Các loại góc trong đường tròn

Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr HÌNH HỌC TẬP -CÁC LOẠI GĨC TRONG ĐƯỜNG TRỊN -CUNG CHỨA GĨC HỌ VÀ TÊN HỌC SINH : …………………………………………… Năm học : CÁC LOẠI GĨC TRONG ĐƯỜNG TRỊN I/ Góc tâm- Số đo cung trịn O A B Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr Lý thuyết 1/ Góc tâm - Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn -Hình bên góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB 2/ Số đo cung -Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung ( � AOB  sđ � AB ) -Số đo nửa đường tròn 1800 -Số đo cung lớn 3600 trừ số đo cung nhỏ có đầu mút với cung lớn 3/So sánh cung ĐL: Trong đường tròn hai đường tròn a)Hai cung cúng số đo độ b)Hai cung số đo độ Bài tập Bài tập Tự luận Bài Cho (O;R) vẽ dây AB = R Tính số đo cung AB HD:  OAB � A Ô B = 600 � số đo cung nhỏ, cung lớn AB Bài Cho (O;R) vẽ dây AB = R Tính số đo cung AB HD: Dùng ĐL pi ta go đảo C/m  OAB vuông O � Bài Cho (O;R) vẽ dây AB = R Tính số đo cung AB R HD: Vẽ OH  AB I � IA=IB= , Tính SinAOI � A ƠI = 600 � A Ô B = 1200 Bài Cho (O;R), nêu cách vẽ cung có số đo 600; 900; 1200 Bài Cho (O;R),vẽ dây AB khác đường kính M trung điểm AB OM cắt đường tròn E Chứng tỏ E điểm cung nhỏ AB Chú ý: ( Được phép dùng định lý giải BT, số suy luận bỏ qua điều kiện “dây không qua tâm”) Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr Đườ ngkinhvuô ng < gó c dâ y > Đườ ngkínhqua > trungđiể mdâ y C A B M O Đườ ngkínhqua điể mchínhgiữ a cung Ví dụ: Hình Đường tròn (O) �  CB � ) OM  AB � MA  MB � CA Bài tập trắc nghiệm Câu Hai tiếp tuyến hai điểm A, B đường tròn (O) cắt M, tạo thành góc AMB 500 Số đo góc tâm chắn cung AB là: A 500 B 400 C 1300 D 3100 Câu Cho (O; cm), vẽ cung MN có số đo 600 độ dài NM A cm B cm C cm D cm Câu Cho (O; cm), vẽ cung MN có số đo 900 độ dài NM A cm B cm C 2 cm D cm Câu Cho (O; cm), vẽ cung MN có số đo 1200 độ dài NM A cm B cm C cm D 3 cm Câu Cho (O; R cm), vẽ cung MN có số đo 1200 biết NM = cm độ dài R A cm B cm C cm D cm Câu Cho (O; R cm), vẽ cung AB có số đo 900 biết AB = cm độ dài R A cm B cm C cm D cm Câu Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) số đo cung nhỏ BC bẳng A 600 B 1200 C 900 D 1000 Câu Cho đường tròn (O,R), từ A cho OA = 2R, vẽ tiếp tuyến AB AC số đo cung nhỏ BC A 1200 B 600 C 900 D 1000 Câu Khẳng định sai? A.Trong đường tròn hai cung bẳng số đo B.Trong đường tròn số đo cung nhỏ 1500 số đo cung lớn có hai đầu mút với cung nhỏ có số đo 2100 Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr C.Trong đường trịn hai cung có số đo bẳng D.Trong đường trịn cung lớn số đo lớn Câu 10 Cho đường trịn (O,R) cho cung MN có số đo 2000 , góc tâm MƠN A 1600 B 2000 C 1800 D 1000 Bài làm Câu 10 Đáp án II/ Góc nội tiếp: 1/ ĐN : Góc nội tiếp góc có đỉnh đường trịn hai cạnh chứa hai A dây đường tròn (VD: Hình bên góc BAC góc nội tiếp chắn cung BC) O 2/ Tính chất: � � BC s a/ Góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn ( BACđ ) C B b/Góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung � � BOC s ( BACđ M (vì chắn cung BC) c/Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 900 ngược lại (� AMB  900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn)) A B O d/ Những góc nội tiếp chắn cung (hoặc góc nội tiếp chắn A cung nhau) B �  MBN �  MCN � ( góc nội tiếp chắn cung MN) ( MAN C O M Bài tập Bài tập trắc nghiệm Câu 1.Khẳng định đúng? N Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr A Góc nội tiếp góc tạo hai dây đường trịn B Trong đường trịn, hai góc nội tiếp chắn cung C Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn D Trong đường trịn, góc nội tiếp có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung Câu Cho đường trịn (O,R) góc nội tiếp MÂN có số đo 1000 , góc tâm MƠN A 2000 B 1600 C 1800 D 1000 Câu Cho đường tròn (O,R) , vẽ cung MN có số đo 1000 , điểm A nằm cung lớn MN góc MÂN A 500 B 1000 C 900 D 1300 Câu Cho đường trịn (O,R) , vẽ cung MN có số đo 1000 , điểm A nằm cung nhỏ MN góc MÂN A 500 B 1000 C 900 D 1300 Câu Cho đường trịn (O,R) góc nội tiếp MÂN có số đo 450 độ dài MN A R B 2R C R D R cm Câu Cho  MEN nội tiếp đường trịn (O, cm) , có Ê = 300 độ dài MN A cm B cm C 2 cm D cm � Câu 7.Hình bên MÂN = 300 số đo góc PCQ A 1200 B 1000 C 900 D 1300 � Câu Hình bên PCQ = 1360 số đo góc  A 300 B 400 C 340 D 350 � = 1000 Câu Cho  ABC cân nội tiếp đường trịn có B số đo cung nhỏ AC A 800 B 500 C 400 D 1000 Câu 10 Cho  ABC nội tiếp đường trịn có  = 500 � = 700, số đo cung nhỏ AC ,C A 600 B 1200 C 1000 D 1300 Đáp án Câu 10 Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr Đáp án Bài tập Tự luận I/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A B Vẽ cát tuyến CAD vng góc với AB Tia CB cắt (O’) E, tia BD cắt (O) F Chứng minh rằng: a) ∠CAF = ∠DAE b) AB tia phân giác ∠EAF c) CA.CD = CB.CE d) CD2 = CB.CE + BD.CF Hướng dẫn � => sđ BC � = 180o Vì CD ⊥ AB => ∠CAB = 90o Mà ∠CAB = 1/2 sđ BC Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng Chứng minh tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng a) Chứng minh ∠CAF = ∠DAE Trong (O) ta có: ∠CAF = ∠CBF (góc nội tiếp chắn cung CF ) Trong (O’) ta có: ∠DAE = ∠DBE (góc nội tiếp chắn cung DE ) Mà ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠CAF = ∠DAE Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr b) AB tia phân giác ∠EAF Nối CF DE ta có: ∠CFB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ∠BED = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) Xét ΔCFB ΔDEB có: ∠CFB = ∠BED = 90o ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠FCB = ∠EDB Mặt khác: ∠FAB = ∠FCB (góc nội tiếp (O) chắn cung FB ) ∠EAB = ∠EDB (góc nội tiếp (O’) chắn cung EB ) => ∠FAB = ∠EAB hay AB phân giác góc ∠EAF c) Chứng minh CA.CD = CB.CE Xét ΔCAE ΔCBD có: ∠C chung ∠CEA = ∠BDA (góc nội tiếp (O’) chắn cung AB) => ΔCAE ∼ ΔCBD (g.g) => CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE (1) d) Chứng minh CD2 = CB.CE + BD.CF Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2) Từ (1) (2) suy ra: CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF ⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF ⇔ CD2 = CB.CE + DB.DF Bài 2: Cho đường tròn (O; R) điểm M bên đường trịn Qua M kẻ hai dây cung AB CD vng góc với (C thuộc cung nhỏ AB) Vẽ đường kính DE Chứng minh rằng: a) MA.MB = MC.MD b) Tứ giác ABEC hình thang cân Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường tròn (O) Hướng dẫn a) Chứng minh MA.MB = MC.MD Xét ΔAMC ΔDMB có: ∠ACD = ∠ABD (góc nội tiếp chắn cung AD) ∠AMC = ∠BMD = 90o (gt) => ΔAMC ∼ ΔDMB (g.g) => MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD b) Chứng minh tứ giác ABEC hình thang cân Vì ∠DCE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => CD ⊥ CE CD ⊥ AB (gt) => AB // CE => Tứ giác ABEC hình thang (1) Mặt khác: CE AB hai dây song song đường tròn (O) chắn hai cung AC BE �  BE � � AE �  BC � � ABE �  BAC � => AC (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABEC hình thang cân c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O) �  BC � (cmt) => EA = BC Ta có AE Mặt khác: ∠DAE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = (MA2+ MD2) + (MB2 + MC2) = AD2 + BC2 = DE2 = 4R2 không đổi Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung AB Lấy điểm M thuộc cung BC điểm N thuộc tia AM cho AN = BM Kẻ dây CD song song với AM a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM b) Chứng minh ΔCMN vuông cân Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao? Hướng dẫn a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM Xét ΔACN ΔBCM có: AC = BC (vì C điểm cung AB) ∠CAN = ∠CBN (góc nội tiếp chắn cung CM) AN = BM (gt) => ΔACN = ΔBCM (c.g.c) b) Chứng minh ΔCMN vng cân Vì ΔACN = ΔBCM (chứng minh a) => CN = CM => ΔCMN cân C � = 1/2 90o = 45o Lại có ∠CMA = 1/2 sđ AC (1) (2) Từ (1) (2) => ΔCMN vng cân C Vì CD // AM nên tứ giác ADCM hình thang cân c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao? Ta có: ∠DAM = ∠CMN = ∠CNM = 45o => AD // CN Vậy tứ giác ADCN hình bình hành Bài 5: Cho ΔABC cân A nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt BC N Chứng minh rằng: a) AB2 = AM.AN b) ∠ACM = ∠ANC Hướng dẫn a) Chứng minh AB2 = AM.AN Vì ΔABC cân A =>∠ABC = ∠ACB Lại có ∠ACB = ∠AMB (góc nội tiếp chắn cung AB ) => ∠ABN = ∠AMB Do đó: ΔABM ∼ ΔANB (g.g) => AB/AN = AM/MB Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr 10 => AB2 = AN AM b) Chứng minh ∠ACM = ∠ANC Vì ΔABM ∼ ΔANB => ∠ABM = ∠ANB Mà ∠ABM = ∠ACM (góc nội tiếp chắn cung AM) Do đó: ∠ACM = ∠ANC Bài 6: Cho ΔABC có AD tia phân giác góc A Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E đường thẳng song song với AC cắt AB F a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Đường trịn đường kính AD cắt AB AC điểm M N Chứng minh: MN // EF Hướng dẫn a) Chứng minh Tứ giác AEDF hình thoi b) Chứng minh: MN // EF ΔABC có AD tia phân giác góc A => ∠BAD = ∠CAD �  ND � => ∠DAC = ∠MND (hai góc => MD nội tiếp chắn hai cung nhau) Lại có: ∠AND = 90o (nội tiếp chắn nửa đường trịn) => ∠DAN + ∠ADN = 90o => ∠MND + ∠ADN = 90o => MN // AD Vì tứ giác AEDF hình thoi nên EF ⊥ AD => MN // EF Bài 7: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc với A, (R > R') Qua điểm B (O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) hai điểm M N, AB cắt (O) C Chứng minh rằng: a) MN ⊥ OC b) AC tia phân giác ∠MAN Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr 18 Lại có ∠ABD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => ∠BAD + ∠BDA = 90o (3) Từ (2) (3) suy ∠BAD + ∠MAB = 90o hay ∠MAO = 90o => OA ⊥ MA Do A ∈ (O) => MA tiếp tuyến (O) Bài 2: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) A B Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn C Nối C với M cắt đường tròn (O) D Nối A với D cắt MB E Chứng minh rằng: a) ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM b) E trung điểm MB Hướng dẫn a) Chứng minh ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM Xét ΔABE ΔBDE có: ∠E chung ∠BAE = ∠DBE (góc nội tiếp góc tia tiếp ến dây cung chắn cung BD ) => ΔABE ∼ ΔBDE (g.g) Vì AC // MB nên ∠ACM = ∠CMB (so le trong) Mà ∠ACM = ∠MAE (góc nội tiếp góc tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AD ) Suy ra: ∠CMB = ∠MAE Xét ΔMEA ΔDEM có: ∠E chung ∠MAE = ∠CMD (chứng minh trên) => ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g) b) Chứng minh E trung điểm MB Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 19 Theo chứng minh a) ta có: ΔABE ∼ ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB2 = AE.DE ΔMEA ∼ ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME2 = DE.EA Do EB2 = EM2 hay EB = EM Vậy E trung điểm MB Bài 3: Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ điểm D thuộc đọan AO kẻ đường thẳng vng góc với AO cắt AC BC lại E F Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF M cắt AB N a) Chứng minh M trung điểm EF b) Tìm vị trí điểm C đường tròn (O) cho ΔACN cân C Hướng dẫn a) Chứng minh M trung điểm EF � (góc tiếp tuyến dây cung chắn cung AC) Ta có ∠MCA = 1/2 sđ AC (1) � = 1/2 sđ AC � Lại có ∠MEC = ∠AED = 90o - ∠EAD = 90o - 1/2 sđ BC (2) Từ (1) (2) suy ∠MCE = ∠MEC Vậy ΔMEC cân M, suy MC = ME Chứng minh tương tự ta có MC = MF Suy ME = MF hay M trung điểm EF b) Tìm vị trí điểm C đường trịn (O) cho ΔACN cân C ΔACN cân C ∠CAN = ∠CNA Vì MN tiếp tuyến với (O) C nên OC ⊥ MN => ∠CNA = 90o - ∠COB = 90o - 2.∠CAN Do đó: ∠CAN = ∠CNA ⇔ ∠CAN = 90o - 2.∠CAN ⇔ 3∠CAN = 90o Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 20 � = 60o => ∠CAN = 30o => Sđ BC Vậy ΔACN cân C C nằm nửa đường tròn (O) cho SđBC = 60 o Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Gọi M điểm thay đổi tiếp tuyến Bx (O) Nối AM cắt (O) N Gọi I trung điểm AN a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB b) Tìm vị trí điểm M tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn Hướng dẫn a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB Vì I trung điểm AN => OI ⊥ AN => ∠AIO = ∠ANB = 90o Do Bx tiếp tuyến với (O) B � => ∠NBM = ∠IAO = 1/2 sđ BN => ΔAIO ∼ ΔBMN (g.g) Vì ∠OIM = ∠OBM = 90o => điểm B, O, I, M thuộc đường trịn đường kính MO suy ∠BOM = ∠BIN Xét ΔOBM ΔINB có: ∠OBM = ∠INB ∠BOM = ∠BIN => ΔOBM ∼ ΔINB (g.g) b) Tìm vị trí điểm M tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn Kẻ IH ⊥ AO ta có: SΔAIO = 1/2 AO.IH Vì AO không đổi nên SΔAIO lớn ⇔ IH lớn Nhận thấy: Khi M chuyển động tia Bx I chạy nửa đường trịn đường kính AO Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr 21 Do IH lớn IH bán kính đường trịn => ΔAIO vng cân I nên ∠IAH = 45o => ΔABM vuông cân B nên BM = BA = 2R Vậy M thuộc Bx cho BM = 2R SΔAIO lớn Bài 5: Cho đường tròn (O; R) dây AB, gọi I trung điểm dây AB Trên tia dối tia BA lấy điểm M Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D ≠ (O)) a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn b) Gọi N giao điểm tia OM với (O) Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp Hướng dẫn a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn Vì MC, MD tiếp tuyến C, D với đường tròn (O) => ∠OCM = ∠ODM = 90o (1) Mặt khác I trung điểm dây AB nên OI ⊥ AB hay ∠OIM = 90o (2) Từ (1), (2) suy điểm M, C, D, O, I thuộc đường trịn đường kính OM b) Chứng minh N tâm đường trịn nội tiếp Vì MC, MD tiếp tuyến (O) => MO phân giác ∠CMD (3) Mà: ∠DCN = ∠NCM = 1/2 sđ � CN Suy CN phân giác ∠DCM (4) Từ (3) (4) suy N giao điểm đường phân giác ΔCMD => N tâm đường tròn nội tiếp ΔCMD Bài tập tự giải Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 22 Bài Cho đường trịn tâm (O), đường kính AB Lấy điểm P khác A B đường tròn Gọi T giao điểm AP với tiếp tuyến B đường tròn Chứng minh � � APO  BPT Bài 2: Cho (O), Từ A bên vẽ cát tuyến ACD tiếp tuyến AB ( O nằm góc DAB) Vẽ BH  AO a./ Chứng minh AB2 = AC AD b/ Chứng minh  ACH ~  AOD Bài 3: Cho A,B,C ba điểm đường tròn At tiếp tuyến đường tròn AA Đường thẳng song song với At cắt AB M cắt AC N Chứng minh: AB.AM=AC.AN Bài 4: Cho (O) (O’) cắt A B Vẽ dây AM (O) vừa tiếp tuyến (O’) Vẽ dây AN (O‘) vừa tiếp tuyến (O) Chứng minh  ANB ~  MAB từ suy AB2 = NB.MB Bài 5: Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn (C (O), D (O’)) � a) Chứng minh cát tuyến quay xung quang điểm A CBD có số đo không đổi b) Từ C D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh hai tiếp tuyến hợp với góc có số đo không đổi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R Lấy ba điểm A, B, C đường trịn (O) Điểm E thc đoạn thẳng AB (và không trùng với A, B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC điểm F Chứng � B �EF  1800 minh BCF V/ Góc có đỉnh đường trịn 1/ Khái niệm: góc chắn hai cung BC MN A 2/ Tính chất : Số đo góc có đỉnh bên đường tròn B nửa tổng hai cung bị chắn � BC ( s đ�MN s � ( BACđ ) VI/ Góc có đỉnh ngồi đường trịn 1/ Khái niệm Hình bên góc BAC góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn, góc chắn hai cung BC DE N M Hinhg bên góc BAC góc có đỉnh nằm đường trịn, O C Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 23 2/ Tính chất : Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu hai cung bị chắn � DE � -s � ( sđ BC ( BACđ ) D B O E A C Bài tập Bài tập trắc nghiệm Câu Trong hình , Biết số đo cung LK 1000 số đo góc C A.300 B 400 C 450 D 500 Câu Trong hình Biết số đo cung LK 1000 số đo góc AMB A.1200 B 1400 C 1450 D 1600 Câu Trong hình 2,cho đường trịn (O;R), dây cung LK = R số đo góc C A.500 B 1000 C 600 D 400 Câu Trong hình 2, cho đường trịn (O;R), dây cung LK = R số đo góc LMK A.1200 B 1400 C 1450 D 1600 � +sđ ED � � = 1700 số đo góc CME Câu Trong hình 3,biết sđ BC A.1200 B 1400 C 1450 D 1600 � - sđ BD � = 620 số đo góc  Câu Trong hình 3,biết sđ EC Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 24 A.200 B 400 C 310 D 620 � - sđ BD � = 620 số đo góc  Câu Trong hình 3,biết sđ EC A.200 B 400 C 310 D 620 � = 120 ;  = 300 số đo cung BD Câu Trong hình 3,biết sđ EC A500 B 600 C 310 D 620 Bài làm Câu Đáp án Bài tập tự luận Bài tập mẫu Bài 1: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ phân giác AD góc A (D ≠ (O)) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC Nối BE cắt AD AC I K, nối DE cắt AC J Chứng minh rằng: a) ∠BID = ∠AJE b) AI.JK = IK.EJ Hướng dẫn a) Ta có ∠BID góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung BD cung AE  �  sđBD �  sđAE � BID  ∠AJE góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung CD AE  �  sđCD �  sđAE � AJE  �  CD � Mà AD phân giác góc A nên BD Suy ∠BID = ∠ẠJE b) Xét ΔAIK ΔEJK có: +) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh) Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 25 +) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung BD cung CD ) Do ΔAIK ∼ ΔEJK (g.g) => AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ Bài 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A, B cho O ≠ (O') Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M đường tròn (O) Tia AM BM cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng: �  CD � (Cung nhỏ đường tròn (O)) a) AB b) Tứ giác ABCD hình thang cân Hướng dẫn a) Vì ∠AMB góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung AB CD nên:  �  sđAB �  sđCD � AMB  Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung AB lớn) � (góc tâm đường trịn (O)) ∠AOB = sđ AB   �  sđCD �  sđAB � � sđAB �  sđCD � � AB �  CD � sđAB b) Trong đường tròn (O): �  sđCD � ; ACB �  sđAB � DAC 2 �  CD � => DAC �  ACB � Mà AB Vì hai góc vị trí so le trong, suy AD // BC (1) Theo câu a), ta có: ∠ADC = ∠DAB (2 góc chắn cung nhau) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình thang cân Bài 3: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm I chuyển động cung nhỏ BC AB cắt CI M, AC cắt BI N Chứng minh rằng: a) BC2 = BM.CN Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 26 b) ∠AIN có số đo khơng đổi Hướng dẫn a) Vì ΔABC nên: �  sđBC �  sđAC �  120o sđAB Ta có: ∠ANB góc có đỉnh ngồi đường trịn (O) nên:   �  sđAB �  sđCI �  60o  sđCI � ANB 2 �  sđBI � (góc nội tiếp (O) chắn cung BI) Lại có: BCI    �  sđCI �  60o  sđCI � sđBC 2 Suy ∠ANB = ∠BCI (1) Tương tự ta có: ∠AMC = ∠CBI (2) Từ (1) (2) suy ra: ΔBCM ∼ ΔCNB (g-g) => BC/NC = BM/BC => BC2 = BM.NC b) Ta có: ∠AIB = ∠ACB = 60o=> ∠AIN = 180o - ∠AIB = 120o không đổi Bài 4: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD với đường tròn (C nằm A D) Vẽ dây BM vng góc với tia phân giác ∠BAC, BM cắt CD I Chứng minh rằng: a) BM tia phân giác b) MD2 = MI.MB Hướng dẫn Giả sử tia phân giác ∠BAC cắt BC E, cắt BD E cắt đường tròn (O) K a) Ta có: Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 27  �  sđBN �  sđBK � A   �  sđDN �  sđCK � A 2  Mà ∠A1 = ∠A2 (gt) �  sđBK �  sđDN �  sđCK �  sđBN �  sđCK �  sđDN �  sđBK � => sđBN ⇔ ∠BEF = ∠BFE => ΔBEF cân B Mà BM đường cao ΔBEF Suy BM tia phân giác ∠CBD b) Vì BM phân giác ∠CBD �  MD � � MDC �  MBD � CM Do đó: ΔMDI ∼ ΔMBD (g.g) => MD2 = MI.MB BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Cho đường trịn tâm O bán kính R dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB E F hai điểm dây AB Gọi C D tương ứng �  ECD �  1800 giao điểm ME, MF đường tròn (O) Chứng minh EFD Bài Cho tam giác ABC vng góc A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Tiếp tuyến D cắt AC P Chứng minh PD = PC Bài Hai dây cung AB CD kéo dài cắt điểm E ngồi đường trịn (O) (B �  750 ; CED �  220 ; � nằm A E, C nằm D E) Cho biết CDE ACD  1440 � Chứng minh � AOB  BAC Bài A, B, C ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia phân giác BÂC cắt đường tròn M, tia phân giác góc D cắt AM I Chứng minh DI  AM Bài Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB, BC, CD, dây có độ dài nhỏ R Các đường thẳng AB CD cắt I, tiếp tuyến đường tròn B, D cắt K �  BKD � a) Chứng minh BIC B A � b) Chứng minh BC tia phân giác KBD O F C I J D E Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr 28 Chú ý: Góc( nội tiếp, tâm gốc tạo tia tt dây) góc (= ; >) < > Cungbịchắn > (= ; >) < Dây > (= ; >) < > Khoảngcáchtừ tâmđếndây (= ; ∠IBC = 1/2∠ABC CI phân giác ∠ACB, đó: ∠ICB = 1/2 ∠ACB Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90o - α Trong ΔBCI có ∠BIC = 180o - 1/2(∠ABC + ∠ACB) =180o - (90o - 1/2 α) = 90o + 1/2 α Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa-ĐT: 0984.130.757-tr 29 => Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định góc 90o + 1/2α => I thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α dừng đoạn thẳng BC (trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) * Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α nói Vẽ tia Bx Cy cho BI’ tia phân giác ∠CBy CI’ tia phân giác góc ∠BCx Hai tia By Cx cắt A’ Vì I’ thuộc cung chứa góc 90 o + 1/2 α dựng đoạn BC nên: ∠BI'C = 90o + 1/2 α Do đó: ∠I'BC + ∠I'CB = 180o - ∠BIC = 90o - 1/2α Vì BI’ phân giác ∠A'BC CI’ phân giác ∠A'CB => ∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180o - α Mặt khác I’ giao điểm tia phân giác ∠A'BC ∠A'CB => I’ tâm đường tròn nội tiếp ΔA'BC * Kết luận: Quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ΔABC cung chứa góc 90 o + 1/2 α dựng đoạn BC Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm A cố định nằm đường tròn Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường tròn (O) hai điểm M N Tìm quỹ tích trung điểm I MN Hướng dẫn giải * Phần thuận: Vì I trung điểm dây MN suy OI ⊥ MN => ∠OIA = 90o Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định góc 90 o nên I nằm đường trịn đường kính OA * Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc đường tròn đường kính OA Nối AI’ cắt đường trịn (O) M’ N’ Vì I’ thuộc đường trịn đường kính OA nên ∠OI'A = 90o hay OI' ⊥ M'N' => I’ trung điểm M’N’ (theo quan hệ đường kính dây cung) Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 30 * Kết luận: Quỹ tích trung điểm I MN đường trịn đường kính OA Bài 3: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60o trung tuyến AM = 5cm Hướng dẫn giải * Phân tích: Giả sử dựng ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề Vì ∠BAC = 60o => A thuộc cung trịn chứa góc 60o dựng đoạn BC Lại có: AM = 5cm => A thuộc đường trịn tâm M, bán kính 5cm * Cách dựng: Dựng đoạn thẳng BC = 8cm Xác định trung điểm M BC Dựng cung chứa góc 60o đoạn thẳng BC Dựng đường tròn tâm M, bán kính 5cm Gọi giao điểm cung chứa góc đường trịn (M, 5cm) A A’ Ta có hai tam giác ABC A’BC thỏa mãn đề * Chứng minh: Vì A thuộc cung chứa góc 60o dựng đoạn BC nên ∠A = 60o Lại có: A thuộc đường trịn (M, 5cm) nên AM = 5cm BC = 8cm theo cách dựng * Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có C điểm cung AB M điểm chuyển động cung BC Lấy điểm N thuộc đoạn AM cho AN = MB Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn; D điểm thuộc Ax cho AD = AB a) Chứng minh ΔMNC vuông cân Lương Công Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 31 b) Chứng minh DN ⊥ AM c) Tìm quỹ tích điểm N Hướng dẫn giải a) Ta có: ΔANC = ΔBMC (c.g.c) Do đó: CN = CM Lại có: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 90o = 45o Từ (1) (2) suy ΔMNC vuông cân C b) Xét ΔAND ΔBMA có: AD = AB ∠DAN = ∠ABM AN = BM (gt) => ΔAND = ΔBMA (c-g-c) ∠AND = ∠BMA Mà ∠BMA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ∠AND = 90o hay DN ⊥AM c) Tìm quỹ tích điểm N * Phần thuận: Vì ∠AND = 90o N nhìn đoạn AD cố định góc 90o => N thuộc đường trịn đường kính AD Giới hạn: Nếu M ≡ A N ≡ C, M ≡ C N ≡ A quỹ tích điểm N cung nhỏ AN đường trịn đường kính AD (cung thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng Ax có chứa nửa đường tròn (O)) * Phần đảo: Học sinh tự chứng minh BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB I di động nửa đường tròn Trên tia đối tia IA lấy M cho IM = IB Tính góc AMB từ suy quỹ tích M Bài 2: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB I di động nửa đường tròn Trên đoạn IA lấy M cho IM = IB Tính góc AMB từ suy quỹ tích M Lương Cơng Hiển- GV THCS Văn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa-ĐT: 0984.130.757-tr 32 Bài 3: Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Một dây cung CD di động cho CD = R C cung nhỏ AD.Tia AC BD cắt E Đoạn AD BC cắt H a./Tính góc AEB suy quỹ tích E b./Tính góc AHB suy quỹ tích H c./Chứng minh EH  AB Bài 4: Cho tam giác ABC có  = 600 nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm, I tâm đường trịn nội tiếp a./Tính góc BOC; BHC; BIC từ suy B;C;H;O;I nằm đường tròn b./AH cắt BC A’ đường tròn K Chứng minh H K đối xứng qua BC c./Chứng minh : AH.2R = AB.AC Bài 5: Từ A bên ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến AMN tiếp tuyến AB Chứng minh AM.AN = AB2 Bài 6:Từ điểm T ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P tiếp điểm) cát tuyến TBA qua tâm O đường tròn (B A thuộc đường tròn, B nằm O T) �  2.BPT �  900 Chứng minh: BTP Bài 7: Cho A, B, C ba điểm đường tròn Người ta vẽ đường thẳng song song với tiếp tuyến A, đường song song cắt đường thẳng AB M cắt đường thẳng AC N Chứng minh AB AM = AC AN Bài 8:Cho đường trịn (O) đường kính AB dây cung AP Tia AP cắt tiếp tuyến � B đường tròn T Chứng minh: � APO  TBP ... 0984.130.757-tr A Góc nội tiếp góc tạo hai dây đường trịn B Trong đường trịn, hai góc nội tiếp chắn cung C Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn D Trong đường tròn, góc nội tiếp... nửa đường trịn đường kính AB, tâm O Đường trịn tâm A bán kính AO cắt nửa đường trịn cho C Đường trịn tâm B bán kính BO cắt nửa đường tròn cho D Đường thẳng qua O song song với AD cắt nửa đường tròn. .. 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A, B cho O ≠ (O') Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M đường tròn (O) Tia AM BM cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng: �  CD � (Cung nhỏ đường tròn (O))