20 de thi chon HSG

⇔ ⇒ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2009-2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) PHỊNG GD-ĐT NINH HÒA Bài 1:(3đ) = cotg450 Chứng minh đẳng thức: Bài 2:(4đ) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3:(3,5đ) 1 Tìm giá trị lớn biểu thức Bài 4:(3,75đ) Chứng minh với Bài 5:(3,75đ) Cho tam giác ABC vng cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 45 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: Bài 6: (2đ) Từ điểm A ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh MK = MA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điể m 1đ 0,5đ 0,75 đ =1 = cotg450 0,25 đ 2a Q có nghĩa 0,5đ 0,5đ 2b 0,75 đ 0,75 đ 0,25 đ * Nếu < x < ta có: 0,5đ 0,25 đ * Nếu x > ta có: 0,25 đ 0,5đ 0,25 Với điều kiện 0,25 đ ta có: M= Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, 0,75 đ 0,5đ Ta có: 0,75 đ (vì x dương) Và: 0,5đ (vì y dương) 0,25 đ Suy ra: M = 0,5đ Vậy giá trị lớn M x = 2, y = 0,25 đ 0,5đ 0,5đ (vì ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (vì ) 0,5đ B M P E A N F K Q C Kẻ MP AB P, MQ AC Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ K cắt MF N Do EMF = 450 nên tia ME, MF nằm hai tia MP MQ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5đ bé đáy EK) ( có chiều cao đáy EN 0,5đ Suy ra: (*) Chứng minh được: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25 đ (**) Từ (*) (**) ta có: Gọi P,Q trung điểm AB,AC Giao điểm OA PQ I AB AC hai tiếp tuyến nên AB = AC AO tia phân giác BAC PAQ cân A AO PQ Áp dụng Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( MKO vuông K) 0,25 đ 0,25 đ MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( MOI vuông I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( BOP vuông B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( IOP vuông I PA = PB) 5 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2( IAP vuông I) MK2 = MA2( IAM vuông I) MK = MA PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO TRƯỜNG THCS AN BÌNH ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Thời gian : 120 phút) Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị Q Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức Bài 3(1đ): Chứng minh với a,b,c ta có Bài 4(2đ): a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = T ìm giá trị lớn B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình a) 6 b/ Bài 6(2,5đ): Cho hình vng cạnh a Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB M D làđiểm đối xứng O qua C Đường thẳng Dx vng góc với CD D cắt CM tạiE.CA cắt Dx F Đặt a/ Chứng minh AM phân giác Tính độ dài DM, CE theo a b/ Tínhđộ dài CM theo a Suy giá trị ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 7 Bài 1(1,5đ ) Nội dung Biểu chấm a.(1đ) A= 0.25 ĐKXĐ: x 0; x 0.25 = 0.25 0.25 = 0,5 b (0,5 đ) Thay x = +2010 vào A ta có: A 2(1đ) Rút gọn biểu thức Phịng GD- ĐT vĩnh tường Trường THCS vũ di ========== 0.25 Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) 0.25 M«n: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ®Ị ) -0.25 0.25 3(1đ) 0.25 0.25 8 0.5 Bài 1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau : a)A = + + + b) B = x3 - 3x + 2000 với x = + + Bài (2,0 điểm) Giải cỏc phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = b) c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh với hai số thực Dấu đẳng thức xảy ? b) Cho ba số thực Chứng minh: ta ln có: không âm cho Dấu đẳng thức xảy ? c) Với giá trị góc nhọn biết giá trị bé biểu thức có giá trị bé ? Cho Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 người cịn thừa người Nếu bớt tơ phân phối tất học sinh lên tơ cịn lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 người Bài ( 3,0 điểm ) 1) Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC a) Chứng minh : b) Chứng minh : ; ( Kí hiệu diện tích tứ giác ABCD ) 2) Cho tam giác ABC cân A có Chứng minh : số vơ tỉ ============================================== PHỊNG GD- ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS VŨ DI HD CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI (10 - 2010) MôN: TOáN Bài 1.b (1,5 ®) Cho điểm A-Sơ lược lời giải Bài ¸p dơng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a= 0,75 , b= biến ®æi => x3 = + 3x Suy B = 2006 a 0,75 Có A = + + Rút gọn, A = Bài 2a (2,0đ) + + + Giải, xỏc định đỳng điều kiện: 0,25 =0 0,25 0,25 (Thỏa món) b Điều kiện : Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) suy x = kết hợp với (1) (3) 0.5 c 10 Thay vào (4): y – 2y + ; Đỳng với giỏ trị y Thay x = vào phương trỡnh giải đỳng, tỡm y = 1,5 Vậy nghiệm phương trỡnh: (x = 2; y = 1,5) Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 10 0,25 0,25 x = nghiệm phương trình a) (2đ) Áp dụng bất đẳng thức Ta có : , với a > 0; b > 1,0đ 0,5đ = (vì Bài 3: (4,0đ) ) 0,5đ Đẳng thức xảy b) (2đ) 0,5đ Ta có : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: 0,5đ 0,5đ Đẳng thức xảy kiện Bài a) (5,0đ) (1,0đ) (thỏa mãn điều ) Vậy Tính SABC = SMBC + SMAC + SMAB P nên 0,5đ Q M B Vì 0,5đ A ⇒ a.MI + a.MP + a.MQ = ah ⇒MI + MP + MQ = h (không đổi) b) (2,0đ) 0,5đ I C (1) Tam giác BOD có nên 88 (2) 88 0,5đ Từ (1) (2) suy  Do (g-g) 0,5đ A Suy OC) (vì OB =  Do E D (c-g-c) H 60° Vẽ OH B AB; OK 0,5đ K O C 0,5đ DE (ch-gn) OH = OK Mà OH khơng đổi nên DE ln tiếp xúc với đường trịn (O;OH) cố định c) (2,0đ) 0,5đ c) Vẽ OI AC, dễ thấy DH = DK = x; EK = EI = y (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 0,5đ Do DE = x + y; BD = (Dễ thấy BH = CI = Vì Bài 5: (2,0đ) (2,0đ)  ; CE 0,5đ ) (g-g) 0,5đ Vì tam giác ABC vng A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: A 0,5đ B C H 0,5đ (vì AB = CH) Chia hai vế cho BC2 ta được: 0,5đ 0,5đ 89 89 Tam giác ABC vng A nên ta có (đpcm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài 1.(2,0 điểm) với a > 0, a ≠ Cho biểu thức: a) Chứng minh b) Với giá trị a biểu thức nhận giá trị nguyên? Bài 2.(2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: , có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (∆m) Với giá trị tham số m đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? 90 90 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN ln qua điểm cố định Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Bài 3.(2,0 điểm) a) Giải hệ phương trình: b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: Bài (3,0 điểm) Cho đường trịn (C) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động ( C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn ( C) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM⋅AN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương -HẾT Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Số báo danh: Chữ ký giám thị 2: KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP Dưới sơ lược biểu điểm đề thi Học sinh giỏi lớp Các Giám khảo thảo luận thống thêm chi tiết lời giải thang điểm biểu điểm trình bày Tổ chấm phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho ý đề thi Tuy nhiên, điểm bài, câu không thay đổi Nội dung thảo luận thống chấm ghi vào biên cụ thể để việc chấm phúc khảo sau thống xác 91 91 Học sinh có lời giải khác đúng, xác phải nằm chương trình học làm đến ý giám khảo cho điểm ý Việc làm tròn số điểm kiểm tra thực theo quy định Bộ Giáo dục Đào tạo Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT BÀIÝ với a > 0, a ≠ Cho biểu thức: Bài ĐIỂ M ĐỀ -ĐÁP ÁN a) Chứng minh b) Với giá trị a biểu thức Do a > 0, a ≠ nên: nhận giá trị nguyên 2,00 0,25 0,25 1.a (1,25 đ) ⇒ Do 0,25 nên: 0,25 ⇒ 1.b (0,75 đ) 92 Ta có 0,25 0,25 N nhận giá trị nguyên 92 Mà N = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (phù hợp) Vậy, N nguyên ⇔ 0,25 0,25 a) Cho hàm số bậc nhất: , có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (∆m) Với giá trị tham số m đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? Bài b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN ln qua điểm cố định Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức 2,00 2.a (0,75 đ) Điều kiện để (∆m) đồ thị hàm số bậc 0,25 Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (∆m) là: ⇔ Điều kiên để phương trình có nghiệm âm Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (∆m) là: ⇔ Điều kiên để phương trình có nghiệm dương 93 93 0,25 Vậy điều kiện cần tìm là: 2.b (1,25 đ) 0,25 Đặt m = xM n = yN ⇒ m⋅n ≠ m ≠ (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0,25 ⇒ 0,25 ⇒ hệ thức liên hệ m n Chia hai vế cho m⋅n ≠ ta được: (**) ⇒ 0,25 ⇒ (thỏa (*)) dấu “=” xảy kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 0,25 Vậy giá trị nhỏ Q Bài 0,25 a) Giải hệ phương trình: (1) b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: (2) Nếu Nếu Nếu (1) 2,0 đ (phù hợp) 0,50 3.a (1,25 đ) KL: Hệ có nghiệm 94 (loại) (nhận) 94 0,25 0,25 0,25 Điều kiện x ≥ 0; y − z ≥ 0; z − x ≥ ⇔ y ≥ z ≥ x ≥ 0,25 (2) ⇔ 3.b (0,75 đ) Bài 4.a (1,00 đ) 4.b (0,75 đ) ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa điều kiện) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng F với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) điểm thứ hai E Các đường C thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM⋅AN khơng đổi N c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn 95 0,25 M A B O E (C ) ⇒ A trực tâm tam giác BNF 3,0 đ 0,25 0,25 ⇒ Lại có Nên A, E, F thẳng hàng 0,25 0,25 , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng Suy ra: Hay 4.c (1,25 đ) 0,25 Ta có (3) 0,25 0,25 khơng đổi (với R bán kính đường trịn (C )) nên A tâm tam giác BNF ⇔ C trung điểm NF 95 0,25 0,25 Mặt khác: , nên hai tam giác CNA CBF đồng dạng ⇒ 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: khơng đổi Nên: NF ngắn ⇔ CN =CF ⇔ C trung điểm NF (4) 0,25 0,25 (3) (4) cho ta: A tâm tam giác BNF ⇔ NF ngắn Bài Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Đặt: S = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12 ⇒ 3⋅4⋅6⋅7⋅8⋅9⋅11⋅12 (1) số nguyên ⇒ hai chữ số tận S 00 (1,00 Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải (1), đ) để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy có chữ số tận (vì 3⋅4=12; 2⋅6=12; 2⋅7=14; 4⋅8=32; 2⋅9=18; 8⋅11=88; 8⋅12=96) Vậy ba chữ số tận S 600 0,50 0,25 0,25 - Hết - 96 0,25 0,75 96 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: c) Rút gọn biểu thức P d) Tính giá trị P với Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: c) Vẽ đồ thị (D) (L) d) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vng Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O / ) ngồi Đường nối tâm OO/ cắt đường trịn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E ( O ) F minh rằng: ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng d) Tứ giác MENF hình chữ nhật e) MN AD f) ME.MA = MF.MD Hết 97 97 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Bà i a) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MƠN: TỐN LỚP Đáp án Điểm 0,5 đ ĐKXĐ: Mẫu thức chung – xy 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a) 0,5 đ Đồ thị có : 0,5 đ Đồ thị Đồ thị hình vẽ: 1đ 98 98 y N (L) (D) 3/2 -3 b) O M x Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) Ta có: OM = OM2 = ON = 0,5 đ 0,5 đ ON = 18 MN = MN2 = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x2 ta được: 0,5 đ 0,5 đ 1đ Đặt thì: Ta pt: 6y – 5y – 50 = (3y – 10)(2y + 5) = 1đ Do đó: * Với 1đ thì: (3x – 1)(x – 3) = 99 99 1đ * Với thì: (2x + 1)(x + 3) = A B M J Vẽ Ax Ta có C D I 0,5 đ AI cắt đường thẳng CD J AIJ vuông A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: (1) Xét hai tam giác vuông ADJ ABM, ta có: 0,5 đ AB = AD = a; 0,5 đ (góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy ra: AJ = AM Thay vào (1) ta được: 100 0,5 đ (đpcm) 100 M E I F A H O B C D O/ N a) Ta có (góc nội tiếp chắn đường trịn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE EF OF => Hay b) 0,5 đ (góc đồng vị) => MA => EB 0,5 đ Tứ giác MENF có , nên MENF hình chữ nhật Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Mặt khác, đường tròn (O/): => Suy => đồng dạng hay MN (g – g) AD 0,5 đ Do MENF hình chữ nhật, nên 0,5 đ Trong đường trịn (O) có: 101 FN Vì MENF hình chữ nhật, nên c) 0,5 đ EF => OE // O/F Do MA // FN, mà EB 0,5 đ 101 0,5 đ 0,5 đ => Suy đồng dạng (g – g) => , hay ME.MA = MF.MD Lưu ý:Nếu học sinh giải theo cách khác, nếuđúng phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho khơng làm thay đổi tổng điểm (hoặc ý) nêu hướng dẫn này./ 102 102 ... b) A = x − 200 9 + 201 0 − x •Tập xác định: D = [200 9; 201 0] •Với ∀x ∈ D A ≥ Do đó: A = A2 Xét: A = x − 200 9 + 201 0 − x + x − 200 9 201 0 − x = + x − 200 9 201 0 − x Ta có: A ≥ (vì x − 200 9 201 0 − x... với ∀x ∈ D Vậy: Amin =  x − 200 9 =  x = 200 9  201 0 − x = ⇔  x = 201 0   2 Xét: A = + x − 200 9 201 0 − x ≤ + x − 200 9 + 201 0 − x (vì x − 200 9 201 0 − x ≤ x − 200 9 + 201 0 − x , với ∀x ∈ D; BĐT... ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN -NĂM HỌC 200 9 -201 0 ĐỀ CHÍNH MƠN THI : TỐN Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/01 /201 0 Bài