DongThap-09-10-coDA

Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác BMNC.[r]

Trường THPT ĐỀ THI THỬ MƠN TỐN

Thành Phố Cao Lãnh KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010

Tỉnh Đồng Tháp

-

Câu 1: (5 điểm) (Phương trình, hệ phương trình) Giải hệ phương trình

1

1

1

2

0 14 4

1

4  



 

 

   

     

    

  

 

   

  

 x y

y x y x y x

y x

Câu 2: (4 điểm)(Giải tích)

Cho dãy số (an) thỏa a1 = n n n

1

a a

a

   với n2,nN Chứng minh dãy số (an) có giới hạn tìm giới hạn

Câu 3: (5 điểm) (Hình học)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M, N

1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác BMNC

2.Hãy dựng tam giác cân AMN cho M thuộc AB, N thuộc AC, AM = AN MN qua trọng tâm G tam giác ABC

Câu 4: (3 điểm)(Số học)

Xác định số nguyên a, b, c, d, e cho

27 )

).(

(x2 axb x3 cx2 dxe  x5  x

Câu 5: (3 điểm)(Tổ hợp)

Cho tập hợp X 1,2,3,4,5,6,7,8  Lập số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết 99.999 chữ số N lấy từ số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất số N tìm

Trường THPT ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ MƠN TỐN

Thành Phố Cao Lãnh KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010

Tỉnh Đồng Tháp

-

Câu Nội dung Điểm

Câu 5 điểm

Giải hệ phương trình

) ( ) ( 14 4

4

1                                  

 x y

y x y x y x y x Đặt      y x v u 2

điều kiện u0 ; v0

.Khi (2)u2 (v7)uv2 6v140

.Để phương trình có nghiệm

0 56 24 )

(     



 v v v

3v2 10v70

3

1 

 v 14 ) ( )

( v2  u vu2  u 

0 56 28 )

(     



 u u u

3u2 16u200

3 10

2 

 u 2 ) (                v v u u

Xét hàm số

t t

z2 1 với t1

0 /    t

z với t 1

z

 đồng biến t1

.Khi

2

2  

 u u u 1

1  

 v v v Suy

2 

             v v u u Vậy             1 ) ( y x v u

nghiệm hệ

Câu 4 điểm

n n n

2 2

k k i j

i j j

k j

1

a a a a 2(n 1)

a a

 



  

       

n

n

j j

1

a 2n

a





   Vậy an > 2n , n  2

2

k 2

k

1 1 1 1

a 2k k

a (2k-1) (2k-1) 4k(k+1) k k

 

           

   

Suy ra:

n n

4

k k j j

1 1 1

(1 )

a n a 4

 

 

      



 

Suy ra:

n n

2

j j j j

1

(n 1) (n 1) (n 2)

a a

 

 

    

 

Vậy: a2n 2n 5(n 1) (n 2)



   

Suy ra:

n n

5(n-1) a 5(n-1)

n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+

2 n n

  

Do lim 

  n

an

n Câu

5 điểm

1.Tìm GTLN diện tích tứ giác BMNC: Dựng BE, CF song song MN (hình vẽ)

c x

bx AN

AG AD AG

AF AE AN AC AM

AB

AG AF AN AC

AG AE AM

AB

    

   

    

 

3

2

.Ta có 

  

 

  

 

c x bx bc A S

S

SBMNC ABC AMN

3 sin

2

1

.Khảo sát SBMNC bc.sinA

18

max 

3 2c

x 

2.Dựng tam giác cân AMN:

Ta có  3  3

AN b AM

c AN

AC AM

AB

Với AM  AN ta có

3

c b AM  

.Cách dựng :

+Dựng AB đoạn

3

c b

AM   , suy M +MG cắt AC N

+suy tam giác AMN cần dựng

.Biện luận : toán có nghiệm bc c

3 b

c b

 

b c2

Câu 3 điểm

.Đồng hai đa thức ta

  

   

 

 

  

  

  

 

27

0 0

be bd ae

e bc ad

d b ac

c a

a, b, c, d, e số nguyên

Nên khả cặp (b, e) 1,27 ; 3,9;

Thay a= -c vào (2) , (3), (4) ta có

b ce c

e bc b

c2     9

.Đưa phương trình bậc hai theo c, buộc  số phương Kết a3,b3,c3,d 6, e9

Câu 3 điểm

Cho tập hợp X 1,2,3,4,5,6,7,8 Lập số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia hết 99.999 chữ số N lấy từ số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất số N tìm Gọi M tập hợp số N thỏa điều kiện đề

.Ta xây dựng ánh xạ f sau :

Nếu N a1a2 a2010 f(N)b1b2 b2010 với i

i a

b  9 (i:1 2010)

.Với cách xây dựng vậy, ta có :

  

2010

9 99 )

( 

 f N

N chia hết cho 99.999

Suy f song ánh từ M M

.Từ ta có

 ( ) 99 9 99 10

2 2010

2010 2010

 

 



 





  

M N f N N

M N M N

.Suy trung bình cộng tất số N tìm :

2 102010 

0,5

1,5

1,0

0,5