Cac De Day so cua THTT gan day - Update to 2013 - uni

Giả sử ngược lại, trong mọi nhóm k số hạng thì số nhỏ nhất không lớn hơn một nửa số lớn nhất... Vậy điều giả sử của ta là sai.[r]

(1)

CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TOÁN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY I NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2009

Bài T9/375: - THTT tháng 1/2009 tr24

Cho dãy số ( )xn (n = 0, 1, 2…) thỏa mãn 0 1 2

; n

n n x

x x

x



 

 Tính

n k k

x



 

 

 

, x   kí hiệu số ngun lớn khơng vượt x

Chứng minh quy nạp theo n ta thấy xn 0, n

Nhận xét rằng: 1 1 1

2 2

( )

n n n

n n

n n n

x x x

x vaø x

x x x

 

  

     

  

Từ ta có cơng thức truy hồi: 1

1 1

0

1 1, ( )

n n

x x

n

x x



 

 

 

Do với n 1 thì: 1

1

1 1 1

3 1

1 3 : ( )

n

n n

x x x

Suy ra x x

x x x

 

  

      

  

1

1 1

3 1

1 1 1

3 3 3

: ,

n

n n n n n n n n

Bởi x n



   



          

    

Hệ là: 2

1

1 1

1

2 2

n

k n n

k

n x n n n



          

1

: n

k k

Suy ra x n



 



 

 

Cho dãy số dương ( ),un n 2 thỏa mãn hai điều kiện sau:

1

1004

2008

/ ,

/

n n

i u u u với số nguyên dương k đó k

ii u u u

   

   

Chứng minh dãy (un) chọn k số hạng cho k số số nhỏ lớn nửa số lớn

Giả sử ngược lại, nhóm k số hạng số nhỏ không lớn nửa số lớn Xét nhóm gồm k số hạng sau: ( , , , ); ( , , ,u u1 2 uk u u2 3 uk1); ;(un k 1,un k 2, , )un , ta có:

1

2

1

2

k

n k n

u u



 

    

     

  

1

2 2008

1004 1004

: ( )

n

k k n n k i

i

Suy ra u u u u u u u

u u u suy u u u

  



        

        

(2)

1 1 1

1004 1004

1 1004

: : k k k ( ) ( ) ( )

Mặt khác u u u neân u u u k u k

k k

              

Từ (1), (2) ta thấy có mâu thuẩn Vậy điều giả sử ta sai Do tốn chứng minh Bài T11/377: - THTT tháng 03/2009 tr24

Cho dãy số ( )un xác định sau: u1 u2 1; un1 4un 5un1, n 3, Chứng minh với số thực a  5, ta có: lim n

n u a  

    

1

0 1

2 5

1 5 1 2

4 5

*

cos ( ) (cos( ) sin( ) ),

: ( ) (cos( ) sin( ) ) ( ) (cos( ) sin( ) )

( ) (cos cos sin sin sin cos cos sin ) ( ) (c

n n

Xét mà Đặt v n n n

Ta có v v và v v n n n n

n n n n



   

       



 



       

          

    





 

1

2 2

3

4 5 5

5

os cos sin sin sin cos cos sin )

( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos sin

( ) cos sin

n n n

n

n n n n

n n n n n n

n n v

       

     

 

 



  

   

       

 

  

2

2 2

5

1

*

( : cos cos ; sin sin cos )

: ,

lim lim (cos( ) sin( ) )

n n

n Chú ý

Do u v n

Bởi với số thực a u

n n

a a

    

 

    

  



  

 

      

 

 



Chú ý: Dãy số tìm từ PT đặc trưng: x24x 5 Bài T9/380: - THTT tháng 06/2009 tr22

Cho dãy số ( )xn xác định sau: x0 a; xn1 xnsinx2, n 2, , ( ,a x ) Chứng minh tồn giới hạn

lim n

n

x x x

n

    

 

 

tìm giới hạn

Đặt d sinx2, rõ ràng ( )xn CSC với cơng sai d Từ đó:

1

2

1

2

2 2

( )

( ) ( ) ( )

sin : lim lim

n n

n

n n

S x x x a d a d a nd na d

S a d d d x

Do đó

n n

n 



            

 

      

 

Với số tự nhiên n, gọi p(n) ước số lẻ lớn n Hãy tính tổng:

4012

2006

( ) n

p n



(3)

2

1

2

1 2

1

2

3 1

( ), : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

: ( )

( ) k

k k k k

n k k

k k k k

k k

Đặt S p n ta có S S p k p k p k S p k k p k Vaäy S p k S k p k k

Đặt u S p k Khi u u k

Suy u u k k k

Vaäy S p k k D

 





            

      

    

              

 



4012

2

2006 2006

2006 2006 2006 1003 4025039

: ( ) ( )

n

o đó p n S p



     



Cho dãy số ( )un xác định sau: u0 9;u1 161vaø un 18un1un2, n 3, Chứng minh

2

1 n u 

là số phương với số tự nhiên n

Nhận xét số hạng dãy cho nguyên Với n = 0, ta có:

2

1 1

2 2

1 2

1

16

5

1 161

1 5184 72

5

0 18 9

9 18 18

, :

, , :

: ( ) ( ) , ( )

n n n n n n n

n n n n n n n n n n

u

u Với n ta có

Vậy BT với n Xét n ta có u u u u u u u

Từ suy u u u u hay u u u u u u

    

      

 

  

 

   

       

     

Lần lượt thay n = 2; 3; ; n vào (1), ta được:

2

2 1

2

3 2

2

1 2

18 18

n n n n n n

u u u u u u u u u u u u u u u  u u u 

   

 

  

 

  

  Cộng vế theo vế n - đẳng thức trên, ta thu được:

2 2

1 1

2

2 2

0 1

18 18

9

9 161 18 80

80 ( )

( )

; ( ) : ,

n n n n

n n

n n n n n

u u u u u u u u

u u

Thay u u vào được u u u u hay u

 



 

    



       

Do số hạng dãy nguyên nên :

2

1 1

2

9 9 20

1

( ) ,

: ( )

n n n n n n

n

u u nên u u và u u a a

u

Suy ra a ñfcm

  

    

 

  

Cách khác: Dùng pt đặc trưng: 218  dãy sai phân để viết dãy dạng tường minh:

   

1

9 80 80

2

n n

n u

 

 

     

 

Từ suy ra:    

2 1 1

1

9 80 80

5

n n

n

u     

     

 

Tiếp theo, sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu điều cần cm Bài T12/386: - THTT tháng 12/2009 tr24

Cho dãy số ( )xn , n = 1, 2, xác định sau:x1 a a( 1);x2 1; xn2 xnlnxn, n1 2, Đặt

1

2 1

2

( ) ln ( )

n

n k

k

S n k x n



 

   Tìm lim n

n S

n



(4)

Nhận xét rằng: x2n 1;n1 2, , do ln1 0 ,suy ra: limx2n 1 Tiếp theo, ta chứng minh dãy (x2n1) có giới hạn

Xét hàm số f x( )xlnxliên tục đồng biến ( ;0 ), vì f x'( ) 1 0với x x

   

* Trước hết ta chứng minh pp quy nạp, dãy (x2n1) bị chặn Theo giả thiết

1 2

2

1 1 1

1

( ) ( )

( )

k k k

n

x a Giả sử x thì f x f nên hiển nhiên x tức dãy x bị chặn bởi

  



     

* Tiếp theo ta cm dãy (x2n1) dãy giảm Thật vậy,

2n 1 ln 2n 2n 2n ln 2n

x   nên x   và x  x    x   , tức (x2n1) dãy giảm Từ suy

2

(x n) có giới hạn climx2n1

Chuyển qua giới hạn dãy sinh hàm f x( )xlnx, ta thu được: c = c - lnc c1 Vậy dãy ( )xn có giới hạn

Theo định lý Cessaro, ta có:

1 2 2

1 3

1

2

1

2 2

( ) ( )

lim lim

( ( ) ln ( ) ln ln

lim

lim lim

n n n

n n

x x x x x x x x x

hay

n n

nx n x n x x n

n

S S

a a

hay

n n



 

 

 

             

 

   

   

        

  

 

    

      

   

(5)

II NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2010 Bài T11/387: - THTT tháng 01/2010 tr23

Cho dãy số ( )un xác định sau:

2

1

2

2 1

2

, ; n n , , ,

n

n n

u u

u u n

u u



 

   

  

Tìm lim(u1u2 un)

Trước hết ta có nhận xét:

2

2 2

2

1 2

2

1

2 1 2

2 3

1

2 2

1

2

1

3

2 2

* ( ) ( )

( )

* ( )

( )

*

( )

n n n

n

n n n n

n n

n

n n n

u u u u

u u u u u u

nếu u vì đó u

u u u

u

u u u u

u u

u

u u u



           

      

   

        

   

  

   

     

  

   

  

Dùng kết (3), tính tốn trực tiếp ta có: 2un 3, n 5, , , , vaø1u6 2

Dùng kết (2), (3), chứng minh quy nạp theo n = 6, 7, 8, ta nhận được: 1un 2, n Hệ là: u1u2 un n, n * Suy ra: lim(u1u2 un) 

Nhận xét: Kết hợp (2), (3) với (1) ta suy ra: 1, u1u2 u3u4  1 2u5

2 2

2 4

0 2

2 2

( ) ( )

,

u u u u u u u

vì u nếu u u

u u u u u u

    

       

        

6

3

( ) :

Dùng kết quả suy ra u u u  

Cho a, b hai số thực thuộc khoảng (0;1) Dãy số ( ),un n 0 2, , , xác định sau:

4 4

0

1 2009

0

2010 2010

; ; n n n, , , ,

u a u b u   u   u  n chứng minh dãy ( )un có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Xét dãy số (vn) xác định sau: 0 1 4

1 2009

2010 2010

min( ; ); n n n,

v  a b v   v  v    n Vì a, b hai số thực thuộc khoảng (0;1) nên

4 4

0 1

1 2009

0 1 1

2010 2010

, :

n n n n n

v và nếu v thì v  v v hay v 

        

Theo nguyên lý quy nạp, ta có: 0vn 1,  n

4 4 4 4

1

2010 2009 2009

: ( n n) ( n n) ( n n) ( n n)(( n n)( n n) )

n n

Do đó v v v v v v v v v v v v

v v



          

 

Như (vn) dãy tăng, bị chặn 1, nên có giới hạn

Giả sử limvn c với0 c

4 4 4

1

1 2009 2009

2010 2010 2010 2010

: lim n lim n n ,

(6)

4 4

2009 2009

:

( ) ( ) ( )(( )( ) )

Hệ thức biến đổi thành

c c  c c   c c c c c  c   Để ý với 0 c 1, thừa số thứ hai âm, ta được: limvn  c Trở lại dãy (un) ta có:

4 4

0 1

1 2009

0 1 1 1

2010 2010

, n , n : n n n

v vaø nếu u u và nếu u u thì u  u u

             

Theo nguyên lt1 quy nạp ta 0un    1, n Tiếp ptheo ta chứng minh

2

min( ; ) ( )

n n n

v  u u  n 

Thật vậy, theo cách xác định v0, BĐT với n =

Giả sử BĐT với n 1,nghóa v: n u2n; vn u2n1 thì:

4 4 4

2 2

4 4 4

2 2 1

4 4

1

1 2

1 2009 2009

2010 2010 2010 2010

1 2009 2009

2010 2010 2010 2010

1 2009

2010 2010

, :

: min( ; )

n n n n n n

n n n n n

n n n n n n

n n n

u u u v v v

u u u v v

Maø v v suy u v v v

Ta v u u

  

   

  

    

    

   



Theo nguyên lý quy nạp ta có: vn min(u2n;u2n1),  n

2 1

1

; lim

( ) lim

n n n n n

n n

Nhö v u v u và v

Do dãy u có giới hạn và u



    



Nhận xét: Theo đầu bài, (un) bị chặn không đơn điệu Để cm có giới hạn, ta sử dụng

ngun lý kẹp: Nếu aun v vn n a thìlimun a Đây kỹ thuật thường dùng để xét giới hạn dãy

Cho dãy số dương ( )un Đặt Sn u13u13u13 u n13, 1 2,

1

: n (( n ) n n ) , , , n

Giả sử u S u u n

S

 



     Tìm limun

Từ giả thiết ta có ngay: SnSn1 un30, n 3, , ta thu Sn dãy tăng

Vậy nên, dãy Sn bị chặn Sn dãy hội tụ limun3 lin S( nSn1)0

Xét trường hợp dãy (Sn) không bị chặn limS  n

1 1

: n n n n n n , , , Từ giả thiết ta có S u  u S u u  n Từ đây, ta thu được: S un nun1S u2 2u n1, 2 3,

Do đó: 2 2

0

: , , , lim

n

n n n

u S u u S u u

u suy ra u n keùo theo u

S S S

  

     

(7)

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [0;1], có dạo hàm (0;1) thỏa mãn điều kiệnf(0) = 0; f(1) = CMR với số thực k1, k2 bất kì, ln tồn số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) cho:

1

/ /

( ) ( )

k k

k k f a  f b  

Ta chứng minh kết mạnh hơn: Với số thực dương k1, k2 , , kn bất kì, ln tồn số

1

0 / ( )1

( )

n n

i

n i

i i i

k

a a a sao cho k

f a

 

      

Thật vậy, đặt

1

, , , ,

m

n n

m i

i n n n n

S S

S k m n Ta coù

S S S S





       

Do theo tính chất quen thuộc hàm số liên tục (Định lí Bolzano - Cauchy): Tồn số

1

0 ( ) i , 2, , ,

n i

n S

c c c thỏa mãn f c moïi i n

S



       

Theo định lý Lagrange tồn số:

1

1 1

1

1 1

0 1

0

1

1 2

/

, ( ; ), , , ( ; )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).( )

( ) ( ) ( ).( ), , , ,

n i i i n

n n n

i i i n i

a a a a c c i n xem c c sao cho

f c f f a c

f f c f a c

f c f c f a c c i n



 

  

        

 

  

     

1

1 1 1

2

1 1

1

1 2

0 1

/ / /

/

( ) ; ( )( ); ( )( ), , , ,

: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

n i

n n i i i

n n n

n n

i

n n i i

i i n i

k k

k

Bởi vậy f a c f a c f a c c i n

S S S

k

Suy f a f a f a vaø c c c c

S f a



  



 

 

       

      

Từ kết trên, ta có (1)

Cho dãy số ( )xn , n = 0,1,2 xác định bởi: 0 1 1 1, , , n

n

x vaø x n vaø

x

  

   

 số cho trước lớn Tìm limxn

Nhận xét với x0  1thì xn 0 và xn 1,n1 2, , Xét hàm số :

1

2

1

0

8

2 1

1

/ /

( ) ( ) :

( ) ( ) ,

( )

n n

f x suy x f x ta coù x

f x và f x với x

x



  

 

   

 



Vì f(1) > f(2) < nên phương trình f(x) = x có nghiệm khoảng (1;2) Gọi nghiệm L Theo định lý Lagrange với L x1 tồn c > cho:

/

( ) ( )

( ) f x f L

f c x L



(8)

1

1 8

1

8

: ( ) ( )

( ) ( )

lim

n n

n

n n

n

Suy f x f L x L vaø f x f L x L

hay x L x L x L

Từ suy ra x L



  

 

      

  

Vậy ta cần xác định L Giải phương trình : 1 25

1 3 27

( ) ( ) ( )

f x x x x x

x

        



Ta thu nghiệm (1;2) 43 177 43 177

54 18 54 18

L     

Vậy: 43 177 43 177

54 18 54 18

limx n    

Cho dãy số ( )xn , n = 1,2 xác định bởi:

1 n n 2,

x  vaø x  x   n Tìm:

a/

1

lim

n n

n x x x x



 b/

1 2

1 1

lim

n

n x x x x x x



 

  

 

 

1/ Chọn a nghiệm lớn phương trình : 5 21

x  x  a  

1

2

2 2

1 2

2 2

1

2

1 1

5 2

1

2 ,

k k

k k k

Ta có a a x a khi x x a a

a a a

Giả sử x a thế x x a

a a



 

 

              

 

     

Theo nguyên lý quy nạp ta có: 1

2

1

,

n

x a n nguyên dương a

 

  

1

2 2

2

1 2 2

1

2

1 2

2

1

1 1

1

1 :

:

: lim lim

k k k

n

n n

n

n n

n

n n

n

n n

Lưu ý a a a

a a a

a x a a

x a a a a

ta coù a

x x x a

a x x x a

a a a

x a

Do đó

x x x

 



 



   

   

   

   

     

   

     

 

     

     

     



 

   

   

 

1

2

1

21

1

n

a a

a 

 

   

 

 



2/ Với

2

1

1 2 1

1

2

*

, :

k k k k

x x x x

k ta coù

x x x x x x x x x x x x

 



 



     

 

 



(9)

1

1 2

1

1 2

1 1

2

1 1 5 21

2 2

: lim lim

n

k n

n

k n

x x

x x x x x x x x x

x Do đó

x x x x x x x x x



 

      

 

    

     

   

   

* Chú ý: giải phần btoán theo cách sau: Chứng minh dãy ( )xn tăng

2

1

2

1 2

4

21 21

lim ; lim

( )

n n

n

n n n

x x

x

x x x x x x x x x

 

   

         

   

   

1

ln( xn) nxn , n 

      Tìm: lim (1 n) n

n n nx

x





Với n   ta đặt *

1

( ) ln( ) ,

n

f x  x nx x  Ta có:

2

1 0 1

1

/ ( ) /

( ) ; ( ) ;

n n

x x

f x n n f x n x

x x



          

 

Do f xn( ) hàm số tăng thực Chu 1y : fn( )0 0; fn( ) ln(1 12)

n n

      suy có

1 số xn thỏa f xn( )n 0và0 xn 1.Bởi vậy: n

   

1

2

1

( ) ln( )

lim n lim n lim ln( )xn

n n

n n n

n n

n nx n x

n x x

x x

  

 

 

 

   

 

 

2

1

2

0

2

1 1 1

1

lim ln( ) ln( ) ( )

( )

: )

x

n n n

x

n

n n

Do x và nx x khi n vì x khi n

n nx n

Chú ý n khi n

x x



 

           

 

 



     

Cho dãy số ( )un , n = 0, 1,2 xác định bởi:

0

1

0

2008

0 2010, , , n

n

n u

u

u n

u



 



 

 

  



a/ Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn tìm: nlimun b/

0

1

2008 lim 2009 n

n n

k k

T

Đặt T Tính

u n



 



a/ Trước hết ta chứng minh un    1, n phương pháp quy nạp Ta có: u  0

Giả sử: 1 2008 1

2010 2010

( )

, k k

k k k

k k

u u

u k thì u u

u u

 

 

         

   



(10)

* Do 1 2008 1 2010

( )( )

, : n n ( )

n n n n n

n

u u

u neân u u u u

u

 

 

     

 

Từ (1) (2) suy dãy số (un) dãy tăng bị chặn trên, nên có giới hạn hữu hạn

Giả sử: 2008 2009 2008 2008

2010

limun L L L L L L hoặc L

L 

        

 

1 lim

n n

Do u  neân L Vaäy u 

1

1 1 0

2008 2009 2008

2008 2008

2010 2010

1

2008 2009 2008 2009

1 2

2008 2009 2008 2009 2007 2008 2007 2007 2008

*

( )

/ :

( )

:

( ) ( )

lim

k k

k

k k

n n

n

k k k k n

n

u u

b Ta coù u

u u

neân k

u u

n n

Suy ra T

u u u u

Do u

 



  

 

   

   

  

 



     

   

 



0

2

1

2009 2007 2008 2009 2007 2009

1

2007 2008 2009 2007

; : lim lim lim

( )( ) ( )

lim

( )( )

n

T n

u neân

n u n u

u n



    

   

  

 

Chú ý:

2

1 1

2009 2008 2009

/ : :

n n

n Duøng CT truy hoài u

      

   

      

      

   

tìm kết

2/ Dùng Đl Stolz cách xét dãy ( )vn với vn n2009.Dãy v( )n tăng vàlimvn  nên

1

2008 2007

lim n lim n n lim

n n n n

T T T

v v v u



 



   

  (tuy nhiên phải cm đl dùng)

2

1

2

, , n n n

n

x x x

x  x       Với

số nguyên dương n, đặt 2

1 1

1

4 lim n

n n

i i

y Tìm y

x

 







Nhận xét: Với số thực a > bất kì, ta có:

2

1

2 4 2

2 2

2 1

: , ( )

a a a a a a a a

a

Do đó x x x

          

  

   

Mặt khác từ CT truy hồi dãy (xn) giả thiết, ta có:

2 2 2

1 1

2

1 1 1

1

2 2

2 1 1

2

1

2 4 4 8

4

3

1 1

2

4 4

1 1

1

2

( )

( )( )

( ) ( )

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n

n n

n

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x

n

x x

x

   

    

 

    

 



             

          

  

    



  

    

(11)

Từ (1) (2) ta thấy tồn limxn

2

1

2

1 1 1 1 1 1

1 1

0

1 1 1

10

2 2 2

4 10

lim lim lim lim

: lim

n

n n

n

n n

n

i i i i i n n

n

suy ra x

x x

x Bởi y

x x x x x

x Vaäy y

 



     

    

 

 

       

      

  



 

Nhận xét: Để rút limx  n ta làm theo cách: phương trình giới hạn

2

4

2 ( )( )

x x x

x     x   x x khơng có nghiệm hữu hạn x >

Cho dãy số thực ( )xn , n = 1,2 xác định bởi: x1 a x, n12xn35xn24xn, n Tìm tất giá trị a để dãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn dãy TH

Xét hàm số f t( )2t35t24t Khi dãy cho có dạng xn1 f x( ),n   n * Ta có:

2

6 10 1

3

2

0

3

/

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) , , ( ) ; ( )

f x x x x x vaø f x x x x x

Từ f x x x x x và x thì f x x x thì f x x

         

        

Bằng cách lập BBT hàm số f(x) ta có khi: 3

2 ( )

x thì f x

   

Từ nhận xét ta thu được:

(i) với x  ( ; )0 ln có f x  ( ) ( ; )0 (ii) với

2 ( ; )

x  ln ln có ( ) ( ; ) f x 

(iii) với ( ; )

x   luôn có ( ) ( ; ) f x   Ta xét TH cụ thể a

TH1: a < Theo (i) xn 0 và xn1xn x xn( n1 2)( xn3)0 Do ( )xn dãy giảm nên có giới hạn limxn b.Khi

2 ; ;

b  vaø b a

 

, mâu thuẩn a < Suy dãy ( )xn khơng có giới hạn hữu hạn ứng với a <

TH2: a = Khi ( )xn dãy limx n TH3: a

2

 Theo (ii) 1

2 ( ; )

n n n

x   vaø x  x  Do ( )xn dãy tăng nên có giới hạn limxn bthì

2 ; ;

b vaø ba

 

, vô lý Suy dãy ( )xn khơng có giới hạn

hữu hạn ứng với a 

TH4: a =

2 Khi ( )xn dãy

(12)

TH5: a a

  Theo (ii)

2

3

0 1 1 1

2

( ; ) ( ) ( ( ; ) ( )( ) )

n n n n n n n n

x  và x    x  x   x  do x  nên x  x   Bằng pp quy nạp, từ xn1 1 xn1 ta thu x: n1 1 a1,   n *

3

0

2

Do a neân a  Suy dãy ( )xn có giới hạn hữu hạn

Kết luận: Dãy ( )xn có giới hạn hữu hạn [ ; ] a 

0

0 1

3

1

2

lim lim

lim n

n n Khi a thì x Khi a thì x Khi a thì x

 

  

Nhận xét: Bài tương tự HSG QG 2005: x1a x, n1 3xn37xn25xn, n

(13)

III NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2011 Bài T10/399: - THTT tháng 01/2011 tr23

Cho dãy số ( )an xác định sau: a0 10 6;( an)(16an1)96, n 2, , , Hãy tính tổng:

0 2010

1 1

S

a a a a

    

1

1 1

1

0

6 16 96 16

6 1 1 1

0

16 16 10 10

1

0

10

8

3

: ( )( ) ( )

( , , , , ) ( )

( , , , ) ( )

:

n n n n n

n

i

n n n n n n

i i

i

n n

i i

Ta coù a a a a a

a

a i n

a a a a a a

Đặt x i n x lập CSN với cơng bội a

x Vậy A x

 

  





     



           

  

        

 

0

1

0

2011 2011

0

1 1

8 10 10

1

8

3

1

8

10 10

1

1 2011 11

10 2010 201

5 25 10 25 50

:

n

i i

n

Mặt khác A S

a

x

n n

Do S A

Với a thì x Thay n ta S







 

    

    

 

 



   

    

   

   

   



    

 

           

    

 



Cho dãy số ( )an xác định sau: 1 1 1

; n , , ,

n

a a n

a



    

 Chứng minh : 2

1 2010 4020

a a  a 

Từ giả thiết ta thấy: an   1, n Ta có CT lùi sau:

2 2

2

1

2

1 ( 1)

n n

a a



  

     

   

 

2

1

2

1

2

2 2

1

2 2 2 2 2

1 2010 2009 2010

2

1 2

2

1

1005 4020 :

; :

( )

: ( ) ( ) ( )

n n

n

n n n n

n

Bời a a

Do a suy a nếu n lẻ a nếu n chẵn với n lẻ thì a

a a a a

a

Do a a a a a a a a a



 

  

  



      



           

Khẳng định chứng minh

(14)

Cho a số thực dương tùy ý Xét dãy số ( )xn xác định sau:

1

2 2

1 2

1

; n , , , ( )

n

n x

x x n tử có n số

x



  

   



Chứng minh dãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn tính giới hạn

2 ( 2)

n

Đặt y     có n số Chứng minh bẳng quy nạp ta có:

1

2

1

2

4 2 2

2

4

2

cos

cos , ( )

, : ( ) ( )

cos cos

sin sin

( ) :

sin cos

n n

n n n

n n

n

n n

x

Đặt y nên x

x a

Đặt a khi đó a

x

b b

a

Lại đặt b Khi đó trở thành  

 

 



 



 



 



   

  

1

1 1

1

4

3

1

2

3 4

2

4 4

2

2 4

4

( ) sin

: cot cot

sin

( ) : cot cot ( , , )

: cot cot : cot :

sin sin

( cot )

n n

n

n n

n

n n n n

n n

n n n

b b

Chú ý rằng

Từ suy b b n

Suy b b b Từ b b Thành thử

b

a b b



 



 

  

 





 

  

 

   

     

   

1

4 2

1

4 2

sin cos

lim lim sin lim cos : lim

lim

n n

n n n n

n b

Vaäy a Suy ra x

a

 



    

Bài T10/403: - THTT tháng 05/2011 tr24 Cho dãy số ( )xn xác định sau:

2010

1 2009

3 16

5

11

; n n , , ,

n

n n

x x

x x n

x x



 

   

  Với số

nguyên dương n, đặt 2009

1

7 lim n

n n

i i

y Tìm y

x







Ta kí hiệu lại cho gọn: m = 2009

1

3 16 11 ( )

m m

x x

f x

x x



 



  Tính chất hs f(x) dùng toán này:

1

3 16 4

4

11 11

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

m m m

x x x x x x x

f x

x x x x x x



      

    

(15)

1 1

4 7

( ) ( )

:

( ) ( )( )

m

x x

Do x thì

f x x x x x

  

   

    

Bởi vậy, chứng minh quy nạp theo n ta được:

1

1 1

4

( )

n m

n n n

x với n và

x  x x

   

  

1

1 1

1

4

7

5

: ( )

:

: lim m

n n

n

Suy ra với n

x x

x

Từ CT tách ta rút ra x x x Như vậy y



  

 



     



Cho dãy số ( )xn xác định sau: 1 1 12 20 21

2; n n n , , ,

n

x x x x n

n



     

 Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

* Ta cm x n quy nạp Thật vậy,

2

1 1

2

5

2 2 12 16

2

1

4

1

( )( ) ( )

n n n n n

n n

x Giả sử x khi x x x x

n

x x bđt đúng

n

 

          



    

 * Ta cm (xn) dãy giảm

Giả sử: 1 1

2

n n

x x  x

     , ta chứng minh :

2 3

1 1

2

1 1

2

1 1 1

1

12

1

12

1

0 2 12 0

1

( ) ( )

( )( ) ( )

;

( )

n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n

x x x x x x x x

n n

x x x x x x

n n

Vì x x nên x x và x x suy x x x x vaø

n n

Do đó đúng Vậy x x

   

  

    



         



       



          

 

Vậy (xn) dãy giảm bị chặn nên tồn

5

2 limxn a ( a )

Qua giới hạn đẳng thức truy hồi ta có PT: a a312a20(a2)(a2 a 10)

1

3

2

1 41

2

1 41

2

lim n

a

a x Suy ra x

a    

  

    

 

 

  



Cho k số nguyên dương tùy ý,  số thực Xét dãy số ( )an xác định sau:

1

1 [ ] [ ] [ ]

, , ,

k k k

n k

n

a n

n

  



  

(16)

1

1 1

1

1 1

( ) ( )

[ ] : ( )

: ( ( ) )

k k k k k k

n

k k k

k

k k k n n

k k

i i

n n

Ta có x x x Do đó a

n n n

n i i

Ta có f với f x x

n n n n

n

 

 



 

     

     

   

  

      

   

 

Theo định lý tích phân ta có:

1

0

1

2

lim ( ) ( )

k k k

k k

x

n

f x dx x dx k n 



  

  



 

Từ (1) (2), áp dụng nguyên lý kẹp ta có:

1 liman

k  

 Bài T10/406: - THTT tháng 08/2011 tr24

Cho dãy số ( )un xác định sau: 1 1

; n ( ), , ,

n

n k u

u a u k n

u



    

 Biết

13

u u Hãy tìm tất giá trị k?

 

1

13

2

1

0

2 2

1

12 12

0

2

1 12

*

( )

tan ; tan ( ; )

( ), : tan(( ) ),

tan( ) tan( ) ( )

; ; ; ;

tan

n

n n

n

n n

n u k

k u u k

Từ u

u

u k

k k a

Đặt k

k

u

Từ cm quy nạp ta có n n k

Do u u l l

Vì nên l

Nhận xét

  

   

 

    

 



 

  



      

    

      

  



 

2

13

2

6 7 3

2

1

6

5

7 3

6 12

cos cos

tan cot Do u u k ; ; ; ;

 



  

 

 

        

 

Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau: 1 1 1 27

; , , ,

n

x n

x  x     n

 

Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Nhận xét xn 0,  n * Xét hàm số 27 ( )

x f x   

 

nghịch biến khoảng [ ;0  Khi đó: )

1 0

* *

( ); ( ) ( ) ,

n n n

x   f x  n  vaø f x  f neân x   n 

1 3

1

0

27

: ; ; ( ) ( )

(17)

Tiếp theo ta chứng minh pp quy nạp:x2n1 x2n1 vaø x2n2 x2n(  n *)

Thật vậy, giả sử có: x2n1x2n1 f x( 2n1) f x( 2n1) nên x2n x2n2 và vaäy f x( 2n) f x( 2n2)

2

2 2 2 2 2

2 2

:

, : ( ) ( ) ( ) ( )

:

n n

n n n n n n n n

n n

Suy x x

Tương tự giả sử có x x thì f x f x nên x x và f x f x Suy x x

 

     

 



   



Vậy (x2n1) dãy đơn điệu giảm dãy (x2n) dãy đơn điệu tăng thuộc [0;1] nên có giới hạn hữu hạn: lim 2n ; lim 2n1

nx a nx  b

1 27

2 2

1

27

1

lim lim ( ) lim ( ( )) ( ( )), ,

a

n n n

Vaø a x f x f f x f f a neân a suy a

Tương tự thu b

     

 

  

 

      

  

Vậy nên a = b lim n nx 

Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau:3xn1xn32, n 2, , xác định x1 để

cho dãy số ( )xn hội tụ Trong trường hợp dãy số hội tụ, tìm giới hạn

Giả sử dãy số ( )xn hội tụ limxn l Khi từ biểu thức xác định dãy ( )xn ta có:

3

3ll    2 l 1hoặc l2 1( )

Từ biểu thức xác định dãy ( )xn ta có: 1 2 2

3( )( ) ( )

n n n n

x    x  x  x 

3

2

1

3

1

3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

n n n n

x x

x x x x



  

   

* Nếu x 1 từ (4) suy xn1 xn 2, với n = 1, Do ( )xn dãy tăng, kết hợp (1) suy limx  n

* Nếu x 1 từ (4) suy x n 2, với n = 1, Do limx n

* Nếu  1 x12 từ (4) suy xn1 xn, với n = 1, Từ (2) (3) suy  1 xn 2 Do ( )xn dãy giảm bị chặn - nên dãy hội tụ Từ (1) suy limx  n

* Nếu x  1 từ (3) suy x  n 1, với n = 1, Do limx  n

* Nếu x  1 từ (4) suy xn1 xn, với n = 1, kết hợp (1) suy limx  n Tóm lại dãy ( )xn hội tụ  1 x12 và l2 nếu x12;l 1nếu 1 x12 Bài T11/408: - THTT tháng 10/2011 tr23

Cho dãy số ( ) (un n 1 2, , ) xác định sau:

1

2

2011

8

cos cos

; cos n n , , ,

n n

u u

u  u    u     n

 

(18)

Ta sử dụng biến đổi sau đây:

2 2

2

2 2

1 25 25

4 2

2 16 4

5

2

8 16

2

8

(sin sin sin ) ( sin cos sin ) (sin cos cos sin )

cos ( cos ) (cos )

sin sin sin ( )

cos cos

( ) cos

x x x x x x x x x x

x x x

Suy ra x x x

x x

Xét hàm số f x x trên Kh

 



      

   

         

   

  

 

    

 



1

2

8

5

1

16

( ) ( ) ( ) :

'( ) (sin sin sin )

( ) '( ) , ( )

n n

i u f u n hàm f x có đạo hàm trên và

f x x x x

Theo thì f x x



  

   

   



Vậy nên hàm số g(x) = f(x) -x hàm nghịch biến R có g x'( ) f x'( ) 1 0,   x

Để ý 11

40 6

( ) ( ) ( )

g o    vaø g      

Nên phương trình g(x) = có nghiệm (kí hiệu  ) khoảng (0; 

), tức f ( ) Vậy dãy số cho thỏa mãn điều kiện: un1  f u( )n  f( ) ( )3

Theo định lý Lagrange, tồn

1

5 16

0

16

0

16

( ) ( ) ( ) '( ), : '( )

, :

lim ( ( )), lim( ) , lim

n n n n n

n n

n

n n

để f u f u f nên u u f u

Bằng quy nạp ta thu được u u

Do theo nên suy ra u tức u



       



 



 



       

 

    

 

 

   

 

 

Cho hàm số f : thỏa mãn hai điều kiện:

1 2

1

1 2011

1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ,

; lim( )

( ) ( )

n n

i i

i f

ii f x f x f x f x x

Đặt S S Tìm S S

f i f i

 



     

  

 

 



2

1

2

1

2011 1

1

*

( ),

: ; ,

n

n n n n

n n

Kí hiệu a f n n

Từ đk tốn ta có a a a a a n

a a

Suy a a

a a



 

     

 

   



Từ CT quy nạp theo n, ta thấy ngay: 2011a1a2 a3  vaø an 2010n, n 1

1 2011

lim n ( ; )

Chú ý a vì pt giới hạn a a khơng có nghiệm thực thuộc a

(19)

1

1 1

2

1

1 1

1 2009 ( lim )

:

lim( )

n n n

i i i i

Do S khi n vì ta biết

a i i

Tương tự S khi n Như vậy S S

  

 

        

   

   

  

  

* Chú ý: Kết hay ta xét: lim(S1S2)

Thật vậy: 1 2 2

1

1 1

n n

i i i i i

S S

a a a

 

 

      

  

   

 

1

2 2 2

1

2

1

1 2

1 1 1 1

1

1 1

1 1 1 1

1 1

1

1 1 1

2 2

1 1

1 :

:

i

i i i i

i i i

i i i i i i i

i i

i

n n

i i i i i n

a

Chú ý a a a a

a a a

a a a a a a a

a a

a

Bởi S S

a a a a

a



 



   



       

  

      

      

  

 



   

       

   

  

 

 

1

2

1 2010 1005 lim(S S )

a

 

 

 

    



Cho dãy số ( ) (an n 1 2, , ) xác định sau:

1 0; 38; 90 n 19 n 30 n 2,

a  a  a   vaø a   a  a  n Chứng minh a2011 chia heát cho 2011

Xét phương trình đặc trưng dãy:

3

1

19 30 ( 2)( 3)( 5) 2;

a  x   x x x  có nghiệm pb x  x  vaø x  

1

1 3

2

0 38 90

( )

; ; ( )

n n n

n

n n n

n Vaäy a c c c

Từ điều kiện ban đầu a a a ta tìm c c c Vậy a

   

          

Với p số nguyên tố, theo định lý Rermat ta có 2p 2(mod );3p 3(mod );( 5)p 5(mod )

p p p

    

Do đó, p 0(mod ) 2011 2011 2011

(20)

IV NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2012 Bài T11/412: - THTT tháng 02/2012 tr24

Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau:

3

2 1, 2, ,

n

x  n a n   n với a tham số thực a/ Tìm a cho dãy số cho cĩ giới hạn hữu hạn

b/ Tìm a cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , )là dãy số tăng (kể từ số hạng đó)

3

8

1

8

( )

: ( ) ,

( )

n n n

n n

Ta có x a n a y với y n n

n n n n

 

       

   

Do tồn giới hạn hữu hạn limxn a = -

b/ Từ lí luận phần a/ suy ra:

1

0

1 lim n

neáu a x neáu a

neáu a

  



  

  



Bởi điều kiện cần để tồn m* sao cho xmxm1xm2  laø a 1 Ta cm a  1 điều kiện đủ để có kết luận Thật với a  1

   

3

3 3

3 3 3

3 3

3

3 3 3 3 3

1

2 1

2 1 8 1 8 1

2 8 12 8 8 3 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

:

n n

x x n a n n a n

a n n n n n n

vì n n n n n n n n

Suy x x x

         

                  

                

  

Vậy dãy số ( )xn dãy số tăng kể từ số hạng a  1 trường hợp ( )xn dãy số tăng từ số x1

1

2 1

1 2

( )

; n , , ,

n

n u

u a u n

u



 

   

 

a/ Tìm a cho số hạng dãy cho xác định b/ Tìm a để u20112011

2

1

8

0

1

8

cot : cot ( )

cot , cot cot

: cot( )

cot cot

x

Đặt x Chú ý x vì x

x Giả sử a

Khi u

 

  



 





      

  



  



Tương tự, chứng minh quy nạp ta có:

*

( )

cot , ( )

n

u       n

 

(21)

Do dãy số ( )un n1

 xác định

8 ( ), , , ,

m

k k m



     

 

1 2 1

8

cot cotl, l , , , a ( ); ( ); ;

          

b/ Ta có: 2011 3

1

4

4 cot cot cot( )

cot cot

a

u u

a 

 



 



    

 

2011

1 2012 1006

2011 2011

1 2010 1005

: a

Do u a

a 

       



Cho dãy số ( )an xác định sau: 1 1

1

1; 2, 2, ,

n

a a n

a a



    

  Tìm giới hạn dãy số ( )bn với bn a1a2 an

* Với * : n 1 1 2 n n 1 n 2; 1

n

n ta coù b a a a a b b

b

 

         

1 *Với x ,ta có x:

x



  

Do đó, cm quy nạp theo n ta thấy: bn  2 2,   n *

1 1 1

0 1

1 1

2

* , ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ), ( ) ( )

Với x y x y x y x y

x y y x xy

nên x y f x f y với f x x x

x y x

             

        

Ta có: 2 1 2 1 3 2 2

2 2

( ) ; ( ) ; ( )

b  f b   f  b  f b    



1

2

2 2 3

4 2 ( ) ( , ) , b



            



Từ nhận xét ta suy ra:

2 4 3

2

2 1

2

1 1

2 2

1

2

1

2

1

2

*

( ); ( ); ( )

:

lim ; lim , : , ,

,

n n n n

n

b b do b f b b f b f và b b

Như ta có b b b và b b b

Kí hiệu p b q b ta suy p q b b n b

Cho n chẵn n ta q p pq p p p

Ch

 

      

       

       

        



2

1

2

1 2

,

( ) ( ) : ( ) ( ) ( )( )

o n lẻ n ta p q pq q q q

Từ và suy ra p q p q p q p q

        

(22)

2 2

2

1

2 2 2

2

1

2

1

2

: , ( ) :

( ) ( )

: : lim n

Chú ý p q q p thay vào ta có

p p p p p p p p

q

Nhö ta có p q Hệ là b

     

            

   

  

Cho dãy số a a a0, , , ,1 2 a với n n 2, xác định sau:

0

1 1

0

1

; k , , , ,

a a k n

n n n k

     

   Chứng minh bất đẳng thức:

1

0

1

2 1 1

1 (ln ) lim( )

k

n

a n

n k

e

a e với e

n k n





    

 



Trước hết có nhận xét

1/ Xét hàm số f(x) = lnx, với m   Từ định lý Lagrange tồn m < b < m+ mà: *

1

1 2

( ) ( ) '( )

: (ln( ) ln( )) ln ln ln ( )

n n

n

i i

f m f m f b

b m

Từ a n i n i n n

n i

 

    



        



 

2/ Xét hàm số ( ) x, ,

g x e x x bất kì Từ định lý Lagrange tồn < c < x mà:

1

1 1

1

0 0

0

1

1 2

2 0

( ) ( ) '( )( )

: ( ) ( )

( ) (ln ) ; ln

: '( ) (ln ) (ln ) , ( ; ln )

k

k k k n n

x c

a

n n n

a n k a a a a a

k k k

x x

x x x x

g x g g c x e e x x

e

Từ đó e e e e e e e

n k

Đặt h x e x e x

Chú ý h x e e x e x e x



  

 

  

      

 

        

 

   

     

        

  

Suy h(x) hàm đồng biến ( ; ln ) (3) Từ (1), (2), (3) ta có:

1

0

2 2 1

1 (ln ) ( ) (ln )

k

n

a n

a

n n

k

e

a e h a h n k





    

 



Bất đẳng thức chứng minh

Cho dãy số thực dương ( ),an n 0 2, , , xác định sau:

0

1 1

0 2012

1

1 *

; , ,

m n

n n n n n n

a a a với m n m n

a a a và a a a với n

Tính tổng T a a a a

   

   

    

    



Từ điều kiện ta có: a0  1 a1a2  vaø: 1 1

4

( ) ( )

a a a a a

a a

a a a

     

 



 

 

 

(23)

Từ (1) cĩ : a2 a11 ( ),3 thay vào( )2 được:4 a1 (a11)2 1 a122a14 a1 

4 2

1

2

1

1 2 2

2

1 1

4

, : ( )( )

: ( ) :

: , , ; ( ) ,

, : ( )

k k

k k k k

Đặt t a t ta pt t t t t t t t Do đó a a Thay vào ta có a

Như ba số hạng đầu dãy là Giả sử a k a k k Từ giả thiết a a a suy ra k a



 

           

   

   

    1k2 ak1(k2)2 Theo nguyên lý quy nạp ta được:

1

( ) , , , n

a  n n Ap dụng côngthức: 12 22 2

6

( )( )

n n n n ta coù:

   

2 2 2013 2014 4027

1 2013 2721031819

6 2721031819

T

Vaäy T

     



Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau:

1

2 2011 2012

1

1001 1003

*

,

n n n n n n n

x

x  x x x x x x n

   

         

 

Hãy tìm lim ( )n n n x

(có dấu hiệu TB Cesaro) Ta có:

2012

2 2011

1

( )

( ) n n ( )

n n n n n n

n

x x

x x x x x x

x





      

 Ta chứng minh 0xn 1

Thật vậy, n = khẳng định Giả sử khẳng định với n Suy

2012

1

0

1 n

n x

x 

 

 V65y từ (1) suy ra: xn1xn 1 ( )2 Từ (2) ta có dãy (xn) giảm bị chặn Do tồn lim xn = a

Qua giới hạn hai vế (1) ta được:

2012

1

0

1

( )

lim n

a a

a a Vaäy x

a 

   

 Để tìm lim ( )n

n n x ta sử dụng bổ đề TB Cesaro:

Bổ đề: Cho dãy (un) thỏa mãn limun a Khi limu1 u2 un a n

  

 Chứng minh bổ đề:

(24)

0

1

1 1

1

0

2

0

, ,

:

( ) , , max( ; )

lim ( )

n

n n n

n

i i i

i n i

n n

i i

n i i

Cho n cho u n n

u u u u

Ta coù

n n n n

u u

Chon n đủ lớn n n cho ta được n n n

n n

u

Vaäy ñfcm n

 



 

 

  





 



    

   

    



  



 



Trở lại toán, xét dãy

1

( )n n

n n

u với u

x  x

 

2011 2011

2012 2012 2012 2012

1

1 1

0

1

1 1

1

1 :

( )

lim lim ( )

: lim lim

lim lim

( )

n n n

n

n n n n n n n n

n n

n

x x x

Ta coù u

x x x x x x x x

Do x neân u

u u u

Theo bổ đềvừa cm

n nx nx

n

nx n n x



 

      

   

 

 

  

    

 

 

  

   

  

 

1

1 lim lim( n)

n n

nx nx



    

Nhận xét:

1/ Có thể phát biểu, chứng minh áp dụng ĐL Stolz giải Ta có:

1

1 1

( )

lim ( ( )) lim lim( )n

n n n

do Do đó n x

x  x x

 

   



2/ Nếu không dùng Stolz cm:

1

2

n , , lim( )n

n n

n x n Từ dùng nguyên lý kẹp ta được n x n

n  n      

Xét hai dãy số ( )an vaø b( )n xác định sau:

0

1

3

4

;

, ,

n n n

a b

a a b n

b a b n

 

   



  



   

 Tìm tất số tự nhiên n để:

0

9

( )

n k k

b





 số phương

Nhận xét rằng: 2

1 1

(25)

2 2

1 1 1 1

2

1

2

0

2 2

2

0

2 12 16 24

2

2 9 2

9

*

( ) ( )

, ( )

: , ( )

: ( )

n n n n n n n n

n n

n n n n

n n

n

k k

a a b b a a b b

a b n

Và a b

Do đó a b b a n

Bởi vậy b a

       

 



 

     

   

  

      

 

   

 

 



- Chú ý: Từ công thức truy nạp dãy số (an), (bn) ta có: an,bn, n

2 0

( ) n ,

Từ ta suy a   n Từ đĩ suy

0

9

( )

n k k

b





 số phương khi: n 1 2 n số nguyên dương lẻ * Nhận xét: Bài dễ khó nhận xét cơng thức lùi (1)

0

1

0

1 [ ; )

lim ( )

, , n n

n n

u a

Tìm u n

u

u n n

n

 

  



 

  



 

Ta ln tìm số hạng thứ k dãy mà u  k [ ; ]1 Thật vậy,

0

2

1

0 1 1

1 2

1

1 1

2 1

1

*

( ; ] ( ; ] [ ; ]

( ; ), ( ; )

[ ; ] , ,

: , : , , ,

n

n n n

n n k

n k

nếu a thì u a Xét TH a tức u

u

Nếu u thì từ hệ thức u suy u n n

n u n u n k u k

Để ý rằng tức là k n

n u n n k u k

Ta thu



 

    

 



     

       

   

   



0

2

1

2 2

2

( )( )

:

( )( )

( ) ( )( )

n

n u n n

được

u

n n

hay u n u n n

n

   

 

  

 

         



 

Điều không xảy n đủ lớn 0

2 u n

u

 



 

  

 

vế trái số dương cịn vế phải số âm

Vậy, tồn k   mà u  k [ ; ]1 Khi theo hệ thức

2

1

n n

u u

n

 

 suy un 1, n k n

  

1

0

: n , lim ( n )

n

Do u n n k Suy ra u n

n 

   

* Có thể dùng công thức

lim cosn  làm

(26)

V NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2013 Bài T9/426: - THTT tháng 4/2013 tr22

Cho dãy số nguyên dương ( )an với a1 1;a2 2vaø an2 4an1a nn, 1 Chứng minh rằng: 1/ 2 ( 1) n

n n

a a   số phương với n 1 2/ Phương trình x24xy y 5 có vơ số nghiệm ngun dương

2 2

1 1 1 1

2

1

2

3 1

2

1 4

1

4 9

1

/ : ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) ( )

( )

n n n n n n n n n n n n n n

n

n n n

n n

n n n n

n n n

Ta coù a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a

Dễ tính a a a Vậy a a a

Do a a a l

       



 



 

        

      

        

   à số phương

2 2

1 2 2

2/ 1/ : ( 5)n 5,

n n n n k k k k

Từ câu ta có a   a a a   a   a a  a    k Do đĩ (a2k1;a2k) nghiệm nguyên dương phương trình x24xy y 5 (1)

Vì dãy (an) tăng nên (a2k1;a2k), k = 1, 2, khác Do phương trình (1) có vơ số

nghiệm ngun dương

Cho dãy hàm số S x xđịnh: n( ) 3 3

2

1 1

3 3

( ) cos cos cos cos

n

n n

S x  x x x    x

 

Tìm tất số thực x cho 3 limS xn( )  x

Từ CT 3

4

cos x ( cosxcos x) ta có biến đổi:

1

3 1

1

3

0

1 1 1

3 3 3

3 4 3

1 1

3 3

3

4

cos (cos cos ) cos cos

: ( ) cos cos cos

cos

k k k k

k k k k k

k k k

n n

k k k

n

k k

x x x x x

Suy S x x x x

x



 



 

 

        

 

   

        

        

 

      

 

       

 

      



 

   



 

1

3 cos n

n x



  

  

  

 

Chuyển qua giới hạn để ý rằng:

1

3

lim cos lim ( ) cos

n

n x ta thu được n S x x



 

 

  

 

 

3 3

1

4

: cos x cos (*)

Xeùt pt x  hay x  x

Hàm số f(x) = x 1 cosx có f(0) = nên x = nghiệm pt(*)

Ta thấy x < f(x) < 0; x2thì f x( ) Trong khoảng (0;2), hàm số f(x) liên tục có

1

2

'( ) sin ( )

(27)

MỤC LỤC

CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY

I NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2009

II NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2010

III NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2011 13

IV NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2012 20

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	448,1 KB