Cac De Day so cua THTT gan day - Update to 2013 - uni

Giả sử ngược lại, trong mọi nhóm k số hạng thì số nhỏ nhất không lớn hơn một nửa số lớn nhất... Vậy điều giả sử của ta là sai.[r]

(1)

CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TOÁN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY I NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2009

Bài T9/375: - THTT tháng 1/2009 tr24

Cho dãy số ( )xn (n = 0, 1, 2…) thỏa mãn 0 1 2

; n

n n x

x x

x



 

 Tính

n k k

x



 

 





, x   kí hiệu số ngun lớn khơng vượt x

Chứng minh quy nạp theo n ta thấy xn 0, n

Nhận xét rằng: 1 1 1

2 2

( )

n n n

n n

n n n

x x x

x vaø x

x x x

 

  

     

  

Từ ta có cơng thức truy hồi: 1

1 1

0

1 1, ( )

n n

x x

n

x x



 

 

 

Do với n 1 thì: 1

1

1 1 1

3 1

1 3 : ( )

n

n n

x x x

Suy ra x x

x x x

 

  

      

  

1

1 1

3 1

1 1 1

3 3 3

: ,

n

n n n n n n n n

Bởi x n



   



          

    

Hệ là: 2

1

1 1

1

2 2

n

k n n

k

n x n n n







1

: n

k k

Suy ra x n



 



 





Cho dãy số dương ( ),un n 2 thỏa mãn hai điều kiện sau:

1

1004

2008

/ ,

/

n n

i u u u với số nguyên dương k đó k

ii u u u

   

   

Chứng minh dãy (un) chọn k số hạng cho k số số nhỏ lớn nửa số lớn

Giả sử ngược lại, nhóm k số hạng số nhỏ không lớn nửa số lớn Xét nhóm gồm k số hạng sau: ( , , , ); ( , , ,u u1 2 uk u u2 3 uk1); ;(un k 1,un k 2, , )un , ta có:

1

2

1

2

k

n k n

u u



 

    

     

  

1

2 2008

1004 1004

: ( )

n

k k n n k i

i

Suy ra u u u u u u u

u u u suy u u u

  



        

        

(2)

1 1 1

1004 1004

1 1004

: : k k k ( ) ( ) ( )

Mặt khác u u u neân u u u k u k

k k

              

Từ (1), (2) ta thấy có mâu thuẩn Vậy điều giả sử ta sai Do tốn chứng minh Bài T11/377: - THTT tháng 03/2009 tr24

Cho dãy số ( )un xác định sau: u1 u2 1; un1 4un 5un1, n 3, Chứng minh với số thực a  5, ta có: lim n

n u a  

    

1

0 1

2 5

1 5 1 2

4 5

*

cos ( ) (cos( ) sin( ) ),

: ( ) (cos( ) sin( ) ) ( ) (cos( ) sin( ) )

( ) (cos cos sin sin sin cos cos sin ) ( ) (c

n n

Xét mà Đặt v n n n

Ta có v v và v v n n n n

n n n n



   

       



 



       

          

    













1

2 2

3

4 5 5

5

os cos sin sin sin cos cos sin )

( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos sin

( ) cos sin

n n n

n

n n n n

n n n n n n

n n v

       

     

 

 



  

   

       

 

  

2

2 2

5

1

*

( : cos cos ; sin sin cos )

: ,

lim lim (cos( ) sin( ) )

n n

n Chú ý

Do u v n

Bởi với số thực a u

n n

a a

    

 

    

  



  

 

      

 

 



Chú ý: Dãy số tìm từ PT đặc trưng: x24x 5 Bài T9/380: - THTT tháng 06/2009 tr22

Cho dãy số ( )xn xác định sau: x0 a; xn1 xnsinx2, n 2, , ( ,a x ) Chứng minh tồn giới hạn

lim n

n

x x x

n

    

 

 

tìm giới hạn

Đặt d sinx2, rõ ràng ( )xn CSC với cơng sai d Từ đó:

1

2

1

2

2 2

( )

( ) ( ) ( )

sin : lim lim

n n

n

n n

S x x x a d a d a nd na d

S a d d d x

Do đó

n n

n 



            

 

      

 

Với số tự nhiên n, gọi p(n) ước số lẻ lớn n Hãy tính tổng:

4012

2006

( ) n

p n





(3)

2

1

2

1 2

1

2

3 1

( ), : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

: ( )

( ) k

k k k k

n k k

k k k k

k k

Đặt S p n ta có S S p k p k p k S p k k p k Vaäy S p k S k p k k

Đặt u S p k Khi u u k

Suy u u k k k

Vaäy S p k k D

 





            

      

    

              

 



4012

2

2006 2006

2006 2006 2006 1003 4025039

: ( ) ( )

n

o đó p n S p



     



Cho dãy số ( )un xác định sau: u0 9;u1 161vaø un 18un1un2, n 3, Chứng minh

2

1 n u 

là số phương với số tự nhiên n

Nhận xét số hạng dãy cho nguyên Với n = 0, ta có:

2

1 1

2 2

1 2

1

16

5

1 161

1 5184 72

5

0 18 9

9 18 18

, :

, , :

: ( ) ( ) , ( )

n n n n n n n

n n n n n n n n n n

u

u Với n ta có

Vậy BT với n Xét n ta có u u u u u u u

Từ suy u u u u hay u u u u u u

    

      

 

  

 

   

       

     

Lần lượt thay n = 2; 3; ; n vào (1), ta được:

2

2 1

2

3 2

2

1 2

18 18

n n n n n n

u u u u u u u u u u u u u u u  u u u 

   

 

  

 

  

  Cộng vế theo vế n - đẳng thức trên, ta thu được:

2 2

1 1

2

2 2

0 1

18 18

9

9 161 18 80

80 ( )

( )

; ( ) : ,

n n n n

n n

n n n n n

u u u u u u u u

u u

Thay u u vào được u u u u hay u

 



 

    



       

Do số hạng dãy nguyên nên :

2

1 1

2

9 9 20

1

( ) ,

: ( )

n n n n n n

n

u u nên u u và u u a a

u

Suy ra a ñfcm

  

    

 

  

Cách khác: Dùng pt đặc trưng: 218  dãy sai phân để viết dãy dạng tường minh:









1

9 80 80

2

n n

n u

 

 

     

 

Từ suy ra:



 



2 1 1

1

9 80 80

5

n n

n

u     

     

 

Tiếp theo, sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu điều cần cm Bài T12/386: - THTT tháng 12/2009 tr24

Cho dãy số ( )xn , n = 1, 2, xác định sau:x1 a a( 1);x2 1; xn2 xnlnxn, n1 2, Đặt

1

2 1

2

( ) ln ( )

n

n k

k

S n k x n



 





n

n S

n



(4)

Nhận xét rằng: x2n 1;n1 2, , do ln1 0 ,suy ra: limx2n 1 Tiếp theo, ta chứng minh dãy (x2n1) có giới hạn

Xét hàm số f x( )xlnxliên tục đồng biến ( ;0 ), vì f x'( ) 1 0với x x

   

* Trước hết ta chứng minh pp quy nạp, dãy (x2n1) bị chặn Theo giả thiết

1 2

2

1 1 1

1

( ) ( )

( )

k k k

n

x a Giả sử x thì f x f nên hiển nhiên x tức dãy x bị chặn bởi

  



     

* Tiếp theo ta cm dãy (x2n1) dãy giảm Thật vậy,

2n 1 ln 2n 2n 2n ln 2n

x   nên x   và x  x    x   , tức (x2n1) dãy giảm Từ suy

2

(x n) có giới hạn climx2n1

Chuyển qua giới hạn dãy sinh hàm f x( )xlnx, ta thu được: c = c - lnc c1 Vậy dãy ( )xn có giới hạn

Theo định lý Cessaro, ta có:

1 2 2

1 3

1

2

1

2 2

( ) ( )

lim lim

( ( ) ln ( ) ln ln

lim

lim lim

n n n

n n

x x x x x x x x x

hay

n n

nx n x n x x n

n

S S

a a

hay

n n



 

 

 

             

 

   

   

        

  

 

    

      

   

(5)

II NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2010 Bài T11/387: - THTT tháng 01/2010 tr23

Cho dãy số ( )un xác định sau:

2

1

2

2 1

2

, ; n n , , ,

n

n n

u u

u u n

u u



 

   

  

Tìm lim(u1u2 un)

Trước hết ta có nhận xét:

2

2 2

2

1 2

2

1

2 1 2

2 3

1

2 2

1

2

1

3

2 2

* ( ) ( )

( )

* ( )

( )

*

( )

n n n

n

n n n n

n n

n

n n n

u u u u

u u u u u u

nếu u vì đó u

u u u

u

u u u u

u u

u

u u u



           

      

   

        

   

  

   

     

  

   

  

Dùng kết (3), tính tốn trực tiếp ta có: 2un 3, n 5, , , , vaø1u6 2

Dùng kết (2), (3), chứng minh quy nạp theo n = 6, 7, 8, ta nhận được: 1un 2, n Hệ là: u1u2 un n, n * Suy ra: lim(u1u2 un) 

Nhận xét: Kết hợp (2), (3) với (1) ta suy ra: 1, u1u2 u3u4  1 2u5

2 2

2 4

0 2

2 2

( ) ( )

,

u u u u u u u

vì u nếu u u

u u u u u u

    

       

        

6

3

( ) :

Dùng kết quả suy ra u u u  

Cho a, b hai số thực thuộc khoảng (0;1) Dãy số ( ),un n 0 2, , , xác định sau:

4 4

0

1 2009

0

2010 2010

; ; n n n, , , ,

u a u b u   u   u  n chứng minh dãy ( )un có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Xét dãy số (vn) xác định sau: 0 1 4

1 2009

2010 2010

min( ; ); n n n,

v  a b v   v  v    n Vì a, b hai số thực thuộc khoảng (0;1) nên

4 4

0 1

1 2009

0 1 1

2010 2010

, :

n n n n n

v và nếu v thì v  v v hay v 

        

Theo nguyên lý quy nạp, ta có: 0vn 1,  n

4 4 4 4

1

2010 2009 2009

: ( n n) ( n n) ( n n) ( n n)(( n n)( n n) )

n n

Do đó v v v v v v v v v v v v

v v



          

 

Như (vn) dãy tăng, bị chặn 1, nên có giới hạn

Giả sử limvn c với0 c

4 4 4

1

1 2009 2009

2010 2010 2010 2010

: lim n lim n n ,

(6)

4 4

2009 2009

:

( ) ( ) ( )(( )( ) )

Hệ thức biến đổi thành

c c  c c   c c c c c  c   Để ý với 0 c 1, thừa số thứ hai âm, ta được: limvn  c Trở lại dãy (un) ta có:

4 4

0 1

1 2009

0 1 1 1

2010 2010

, n , n : n n n

v vaø nếu u u và nếu u u thì u  u u

             

Theo nguyên lt1 quy nạp ta 0un    1, n Tiếp ptheo ta chứng minh

2

min( ; ) ( )

n n n

v  u u  n 

Thật vậy, theo cách xác định v0, BĐT với n =

Giả sử BĐT với n 1,nghóa v: n u2n; vn u2n1 thì:

4 4 4

2 2

4 4 4

2 2 1

4 4

1

1 2

1 2009 2009

2010 2010 2010 2010

1 2009 2009

2010 2010 2010 2010

1 2009

2010 2010

, :

: min( ; )

n n n n n n

n n n n n

n n n n n n

n n n

u u u v v v

u u u v v

Maø v v suy u v v v

Ta v u u

  

   

  

    

    

   



Theo nguyên lý quy nạp ta có: vn min(u2n;u2n1),  n

2 1

1

; lim

( ) lim

n n n n n

n n

Nhö v u v u và v

Do dãy u có giới hạn và u



    



Nhận xét: Theo đầu bài, (un) bị chặn không đơn điệu Để cm có giới hạn, ta sử dụng

ngun lý kẹp: Nếu aun v vn n a thìlimun a Đây kỹ thuật thường dùng để xét giới hạn dãy

Cho dãy số dương ( )un Đặt Sn u13u13u13 u n13, 1 2,

1

: n (( n ) n n ) , , , n

Giả sử u S u u n

S

 



     Tìm limun

Từ giả thiết ta có ngay: SnSn1 un30, n 3, , ta thu Sn dãy tăng

Vậy nên, dãy Sn bị chặn Sn dãy hội tụ limun3 lin S( nSn1)0

Xét trường hợp dãy (Sn) không bị chặn limS  n

1 1

: n n n n n n , , , Từ giả thiết ta có S u  u S u u  n Từ đây, ta thu được: S un nun1S u2 2u n1, 2 3,

Do đó: 2 2

0

: , , , lim

n

n n n

u S u u S u u

u suy ra u n keùo theo u

S S S

  

     

(7)

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [0;1], có dạo hàm (0;1) thỏa mãn điều kiệnf(0) = 0; f(1) = CMR với số thực k1, k2 bất kì, ln tồn số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) cho:

1

/ /

( ) ( )

k k

k k f a  f b  

Ta chứng minh kết mạnh hơn: Với số thực dương k1, k2 , , kn bất kì, ln tồn số

1

0 / ( )1

( )

n n

i

n i

i i i

k

a a a sao cho k

f a

 

    



Thật vậy, đặt

1

, , , ,

m

n n

m i

i n n n n

S S

S k m n Ta coù

S S S S







Do theo tính chất quen thuộc hàm số liên tục (Định lí Bolzano - Cauchy): Tồn số

1

0 ( ) i , 2, , ,

n i

n S

c c c thỏa mãn f c moïi i n

S



       

Theo định lý Lagrange tồn số:

1

1 1

1

1 1

0 1

0

1

1 2

/

, ( ; ), , , ( ; )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).( )

( ) ( ) ( ).( ), , , ,

n i i i n

n n n

i i i n i

a a a a c c i n xem c c sao cho

f c f f a c

f f c f a c

f c f c f a c c i n



 

  

        

 

  

     

1

1 1 1

2

1 1

1

1 2

0 1

/ / /

/

( ) ; ( )( ); ( )( ), , , ,

: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

n i

n n i i i

n n n

n n

i

n n i i

i i n i

k k

k

Bởi vậy f a c f a c f a c c i n

S S S

k

Suy f a f a f a vaø c c c c

S f a



  



 

 

       

   



Từ kết trên, ta có (1)

Cho dãy số ( )xn , n = 0,1,2 xác định bởi: 0 1 1 1, , , n

n

x vaø x n vaø

x

  

   

 số cho trước lớn Tìm limxn

Nhận xét với x0  1thì xn 0 và xn 1,n1 2, , Xét hàm số :

1

2

1

0

8

2 1

1

/ /

( ) ( ) :

( ) ( ) ,

( )

n n

f x suy x f x ta coù x

f x và f x với x

x



  

 

   

 



Vì f(1) > f(2) < nên phương trình f(x) = x có nghiệm khoảng (1;2) Gọi nghiệm L Theo định lý Lagrange với L x1 tồn c > cho:

/

( ) ( )

( ) f x f L

f c x L



(8)

1

1 8

1

8

: ( ) ( )

( ) ( )

lim

n n

n

n n

n

Suy f x f L x L vaø f x f L x L

hay x L x L x L

Từ suy ra x L



  

 

      

  

Vậy ta cần xác định L Giải phương trình : 1 25

1 3 27

( ) ( ) ( )

f x x x x x

x

        



Ta thu nghiệm (1;2) 43 177 43 177

54 18 54 18

L     

Vậy: 43 177 43 177

54 18 54 18

limx n    

Cho dãy số ( )xn , n = 1,2 xác định bởi:

1 n n 2,

x  vaø x  x   n Tìm:

a/

1

lim

n n

n x x x x



 b/

1 2

1 1

lim

n

n x x x x x x



 

  

 

 

1/ Chọn a nghiệm lớn phương trình : 5 21

x  x  a  

1

2

2 2

1 2

2 2

1

2

1 1

5 2

1

2 ,

k k

k k k

Ta có a a x a khi x x a a

a a a

Giả sử x a thế x x a

a a



 

 

              

 

     

Theo nguyên lý quy nạp ta có: 1

2

1

,

n

x a n nguyên dương a

 

  

1

2 2

2

1 2 2

1

2

1 2

2

1

1 1

1

1 :

:

: lim lim

k k k

n

n n

n

n n

n

n n

n

n n

Lưu ý a a a

a a a

a x a a

x a a a a

ta coù a

x x x a

a x x x a

a a a

x a

Do đó

x x x

 



 



   

   

   

   

     

   

     

 

     

     

     



 

   

   

 

1

2

1

21

1

n

a a

a 

 

   

 

 



2/ Với

2

1

1 2 1

1

2

*

, :

k k k k

x x x x

k ta coù

x x x x x x x x x x x x

 



 



     

 

 



(9)

1

1 2

1

1 2

1 1

2

1 1 5 21

2 2

: lim lim

n

k n

n

k n

x x

x x x x x x x x x

x Do đó

x x x x x x x x x



 

      

 

    

     

   

   

* Chú ý: giải phần btoán theo cách sau: Chứng minh dãy ( )xn tăng

2

1

2

1 2

4

21 21

lim ; lim

( )

n n

n

n n n

x x

x

x x x x x x x x x

 

   

         

   

   

1

ln( xn) nxn , n 

      Tìm: lim (1 n) n

n n nx

x





Với n   ta đặt *

1

( ) ln( ) ,

n

f x  x nx x  Ta có:

2

1 0 1

1

/ ( ) /

( ) ; ( ) ;

n n

x x

f x n n f x n x

x x



          

 

Do f xn( ) hàm số tăng thực Chu 1y : fn( )0 0; fn( ) ln(1 12)

n n

      suy có

1 số xn thỏa f xn( )n 0và0 xn 1.Bởi vậy: n

   

1

2

1

( ) ln( )

lim n lim n lim ln( )xn

n n

n n n

n n

n nx n x

n x x

x x

  

 

 

 

   

 

 

2

1

2

0

2

1 1 1

1

lim ln( ) ln( ) ( )

( )

: )

x

n n n

x

n

n n

Do x và nx x khi n vì x khi n

n nx n

Chú ý n khi n

x x



 

           

 

 



     

Cho dãy số ( )un , n = 0, 1,2 xác định bởi:

0

1

0

2008

0 2010, , , n

n

n u

u

u n

u



 



 

 

  



a/ Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn tìm: nlimun b/

0

1

2008 lim 2009 n

n n

k k

T

Đặt T Tính

u n



 



a/ Trước hết ta chứng minh un    1, n phương pháp quy nạp Ta có: u  0

Giả sử: 1 2008 1

2010 2010

( )

, k k

k k k

k k

u u

u k thì u u

u u

 

 

         

   



(10)

* Do 1 2008 1 2010

( )( )

, : n n ( )

n n n n n

n

u u

u neân u u u u

u

 

 

     

 

Từ (1) (2) suy dãy số (un) dãy tăng bị chặn trên, nên có giới hạn hữu hạn

Giả sử: 2008 2009 2008 2008

2010

limun L L L L L L hoặc L

L 

        

 

1 lim

n n

Do u  neân L Vaäy u 

1

1 1 0

2008 2009 2008

2008 2008

2010 2010

1

2008 2009 2008 2009

1 2

2008 2009 2008 2009 2007 2008 2007 2007 2008

*

( )

/ :

( )

:

( ) ( )

lim

k k

k

k k

n n

n

k k k k n

n

u u

b Ta coù u

u u

neân k

u u

n n

Suy ra T

u u u u

Do u

 



  

 

   

   

  

 



     

   





0

2

1

2009 2007 2008 2009 2007 2009

1

2007 2008 2009 2007

; : lim lim lim

( )( ) ( )

lim

( )( )

n

T n

u neân

n u n u

u n



    

   

  

 

Chú ý:

2

1 1

2009 2008 2009

/ : :

n n

n Duøng CT truy hoài u

      

   

      

      

   

tìm kết

2/ Dùng Đl Stolz cách xét dãy ( )vn với vn n2009.Dãy v( )n tăng vàlimvn  nên

1

2008 2007

lim n lim n n lim

n n n n

T T T

v v v u



 



   

  (tuy nhiên phải cm đl dùng)

2

1

2

, , n n n

n

x x x

x  x       Với

số nguyên dương n, đặt 2

1 1

1

4 lim n

n n

i i

y Tìm y

x

 







Nhận xét: Với số thực a > bất kì, ta có:

2

1

2 4 2

2 2

2 1

: , ( )

a a a a a a a a

a

Do đó x x x

          

  

   

Mặt khác từ CT truy hồi dãy (xn) giả thiết, ta có:

2 2 2

1 1

2

1 1 1

1

2 2

2 1 1

2

1

2 4 4 8

4

3

1 1

2

4 4

1 1

1

2

( )

( )( )

( ) ( )

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n

n n

n

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x

n

x x

x

   

    

 

    

 



             

          

  

    



  

    

(11)

Từ (1) (2) ta thấy tồn limxn

2

1

2

1 1 1 1 1 1

1 1

0

1 1 1

10

2 2 2

4 10

lim lim lim lim

: lim

n

n n

n

n n

n

i i i i i n n

n

suy ra x

x x

x Bởi y

x x x x x

x Vaäy y

 



     

    

 

 

       

      

  





Nhận xét: Để rút limx  n ta làm theo cách: phương trình giới hạn

2

4

2 ( )( )

x x x

x     x   x x khơng có nghiệm hữu hạn x >

Cho dãy số thực ( )xn , n = 1,2 xác định bởi: x1 a x, n12xn35xn24xn, n Tìm tất giá trị a để dãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn dãy TH

Xét hàm số f t( )2t35t24t Khi dãy cho có dạng xn1 f x( ),n   n * Ta có:

2

6 10 1

3

2

0

3

/

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) , , ( ) ; ( )

f x x x x x vaø f x x x x x

Từ f x x x x x và x thì f x x x thì f x x

         

        

Bằng cách lập BBT hàm số f(x) ta có khi: 3

2 ( )

x thì f x

   

Từ nhận xét ta thu được:

(i) với x  ( ; )0 ln có f x  ( ) ( ; )0 (ii) với

2 ( ; )

x  ln ln có ( ) ( ; ) f x 

(iii) với ( ; )

x   luôn có ( ) ( ; ) f x   Ta xét TH cụ thể a

TH1: a < Theo (i) xn 0 và xn1xn x xn( n1 2)( xn3)0 Do ( )xn dãy giảm nên có giới hạn limxn b.Khi

2 ; ;

b  vaø b a

 

, mâu thuẩn a < Suy dãy ( )xn khơng có giới hạn hữu hạn ứng với a <

TH2: a = Khi ( )xn dãy limx n TH3: a

2

 Theo (ii) 1

2 ( ; )

n n n

x   vaø x  x  Do ( )xn dãy tăng nên có giới hạn limxn bthì

2 ; ;

b vaø ba

 

, vô lý Suy dãy ( )xn khơng có giới hạn

hữu hạn ứng với a 

TH4: a =

2 Khi ( )xn dãy

(12)

TH5: a a

  Theo (ii)

2

3

0 1 1 1

2

( ; ) ( ) ( ( ; ) ( )( ) )

n n n n n n n n

x  và x    x  x   x  do x  nên x  x   Bằng pp quy nạp, từ xn1 1 xn1 ta thu x: n1 1 a1,   n *

3

0

2

Do a neân a  Suy dãy ( )xn có giới hạn hữu hạn

Kết luận: Dãy ( )xn có giới hạn hữu hạn [ ; ] a 

0

0 1

3

1

2

lim lim

lim n

n n Khi a thì x Khi a thì x Khi a thì x

 

  

Nhận xét: Bài tương tự HSG QG 2005: x1a x, n1 3xn37xn25xn, n

(13)

III NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2011 Bài T10/399: - THTT tháng 01/2011 tr23

Cho dãy số ( )an xác định sau: a0 10 6;( an)(16an1)96, n 2, , , Hãy tính tổng:

0 2010

1 1

S

a a a a

    

1

1 1

1

0

6 16 96 16

6 1 1 1

0

16 16 10 10

1

0

10

8

3

: ( )( ) ( )

( , , , , ) ( )

( , , , ) ( )

:

n n n n n

n

i

n n n n n n

i i

i

n n

i i

Ta coù a a a a a

a

a i n

a a a a a a

Đặt x i n x lập CSN với cơng bội a

x Vậy A x

 

  





     



           

  

        





0

1

0

2011 2011

0

1 1

8 10 10

1

8

3

1

8

10 10

1

1 2011 11

10 2010 201

5 25 10 25 50

:

n

i i

n

Mặt khác A S

a

x

n n

Do S A

Với a thì x Thay n ta S







 

    

    

 

 



   

    

   

   

   



    

 

           

    

 



Cho dãy số ( )an xác định sau: 1 1 1

; n , , ,

n

a a n

a



    

 Chứng minh : 2

1 2010 4020

a a  a 

Từ giả thiết ta thấy: an   1, n Ta có CT lùi sau:

2 2

2

1

2

1 ( 1)

n n

a a



  

     

   

 

2

1

2

1

2

2 2

1

2 2 2 2 2

1 2010 2009 2010

2

1 2

2

1

1005 4020 :

; :

( )

: ( ) ( ) ( )

n n

n

n n n n

n

Bời a a

Do a suy a nếu n lẻ a nếu n chẵn với n lẻ thì a

a a a a

a

Do a a a a a a a a a



 

  

  



      



           

Khẳng định chứng minh

(14)

Cho a số thực dương tùy ý Xét dãy số ( )xn xác định sau:

1

2 2

1 2

1

; n , , , ( )

n

n x

x x n tử có n số

x



  

   



Chứng minh dãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn tính giới hạn

2 ( 2)

n

Đặt y     có n số Chứng minh bẳng quy nạp ta có:

1

2

1

2

4 2 2

2

4

2

cos

cos , ( )

, : ( ) ( )

cos cos

sin sin

( ) :

sin cos

n n

n n n

n n

n

n n

x

Đặt y nên x

x a

Đặt a khi đó a

x

b b

a

Lại đặt b Khi đó trở thành  

 

 



 



 



 



   

  

1

1 1

1

4

3

1

2

3 4

2

4 4

2

2 4

4

( ) sin

: cot cot

sin

( ) : cot cot ( , , )

: cot cot : cot :

sin sin

( cot )

n n

n

n n

n

n n n n

n n

n n n

b b

Chú ý rằng

Từ suy b b n

Suy b b b Từ b b Thành thử

b

a b b



 



 

  

 





 

  

 

   

     

   

1

4 2

1

4 2

sin cos

lim lim sin lim cos : lim

lim

n n

n n n n

n b

Vaäy a Suy ra x

a

 



    

Bài T10/403: - THTT tháng 05/2011 tr24 Cho dãy số ( )xn xác định sau:

2010

1 2009

3 16

5

11

; n n , , ,

n

n n

x x

x x n

x x



 

   

  Với số

nguyên dương n, đặt 2009

1

7 lim n

n n

i i

y Tìm y

x







Ta kí hiệu lại cho gọn: m = 2009

1

3 16 11 ( )

m m

x x

f x

x x



 



  Tính chất hs f(x) dùng toán này:

1

3 16 4

4

11 11

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

m m m

x x x x x x x

f x

x x x x x x



      

    

(15)

1 1

4 7

( ) ( )

:

( ) ( )( )

m

x x

Do x thì

f x x x x x

  

   

    

Bởi vậy, chứng minh quy nạp theo n ta được:

1

1 1

4

( )

n m

n n n

x với n và

x  x x

   

  

1

1 1

1

4

7

5

: ( )

:

: lim m

n n

n

Suy ra với n

x x

x

Từ CT tách ta rút ra x x x Như vậy y



  

 



     



Cho dãy số ( )xn xác định sau: 1 1 12 20 21

2; n n n , , ,

n

x x x x n

n



     

 Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

* Ta cm x n quy nạp Thật vậy,

2

1 1

2

5

2 2 12 16

2

1

4

1

( )( ) ( )

n n n n n

n n

x Giả sử x khi x x x x

n

x x bđt đúng

n

 

          



    

 * Ta cm (xn) dãy giảm

Giả sử: 1 1

2

n n

x x  x

     , ta chứng minh :

2 3

1 1

2

1 1

2

1 1 1

1

12

1

12

1

0 2 12 0

1

( ) ( )

( )( ) ( )

;

( )

n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n

x x x x x x x x

n n

x x x x x x

n n

Vì x x nên x x và x x suy x x x x vaø

n n

Do đó đúng Vậy x x

   

  

    



         



       



          

 

Vậy (xn) dãy giảm bị chặn nên tồn

5

2 limxn a ( a )

Qua giới hạn đẳng thức truy hồi ta có PT: a a312a20(a2)(a2 a 10)

1

3

2

1 41

2

1 41

2

lim n

a

a x Suy ra x

a    

  

    

 

 

  



Cho k số nguyên dương tùy ý,  số thực Xét dãy số ( )an xác định sau:

1

1 [ ] [ ] [ ]

, , ,

k k k

n k

n

a n

n

  



  

(16)

1

1 1

1

1 1

( ) ( )

[ ] : ( )

: ( ( ) )

k k k k k k

n

k k k

k

k k k n n

k k

i i

n n

Ta có x x x Do đó a

n n n

n i i

Ta có f với f x x

n n n n

n

 

 



 

     

     

   

  

      

   



Theo định lý tích phân ta có:

1

0

1

2

lim ( ) ( )

k k k

k k

x

n

f x dx x dx k n 



  

  





Từ (1) (2), áp dụng nguyên lý kẹp ta có:

1 liman

k  

 Bài T10/406: - THTT tháng 08/2011 tr24

Cho dãy số ( )un xác định sau: 1 1

; n ( ), , ,

n

n k u

u a u k n

u



    

 Biết

13

u u Hãy tìm tất giá trị k?





1

13

2

1

0

2 2

1

12 12

0

2

1 12

*

( )

tan ; tan ( ; )

( ), : tan(( ) ),

tan( ) tan( ) ( )

; ; ; ;

tan

n

n n

n

n n

n u k

k u u k

Từ u

u

u k

k k a

Đặt k

k

u

Từ cm quy nạp ta có n n k

Do u u l l

Vì nên l

Nhận xét

  

   

 

    

 



 

  



      

    

      

  



 

2

13

2

6 7 3

2

1

6

5

7 3

6 12

cos cos

tan cot Do u u k ; ; ; ;

 



  

 

 

        

 

Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau: 1 1 1 27

; , , ,

n

x n

x  x     n

 

Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Nhận xét xn 0,  n * Xét hàm số 27 ( )

x f x   

 

nghịch biến khoảng [ ;0  Khi đó: )

1 0

* *

( ); ( ) ( ) ,

n n n

x   f x  n  vaø f x  f neân x   n 

1 3

1

0

27

: ; ; ( ) ( )

(17)

Tiếp theo ta chứng minh pp quy nạp:x2n1 x2n1 vaø x2n2 x2n(  n *)

Thật vậy, giả sử có: x2n1x2n1 f x( 2n1) f x( 2n1) nên x2n x2n2 và vaäy f x( 2n) f x( 2n2)

2

2 2 2 2 2

2 2

:

, : ( ) ( ) ( ) ( )

:

n n

n n n n n n n n

n n

Suy x x

Tương tự giả sử có x x thì f x f x nên x x và f x f x Suy x x

 

     

 



   



Vậy (x2n1) dãy đơn điệu giảm dãy (x2n) dãy đơn điệu tăng thuộc [0;1] nên có giới hạn hữu hạn: lim 2n ; lim 2n1

nx a nx  b

1 27

2 2

1

27

1

lim lim ( ) lim ( ( )) ( ( )), ,

a

n n n

Vaø a x f x f f x f f a neân a suy a

Tương tự thu b

     

 

  

 

      

  

Vậy nên a = b lim n nx 

Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau:3xn1xn32, n 2, , xác định x1 để

cho dãy số ( )xn hội tụ Trong trường hợp dãy số hội tụ, tìm giới hạn

Giả sử dãy số ( )xn hội tụ limxn l Khi từ biểu thức xác định dãy ( )xn ta có:

3

3ll    2 l 1hoặc l2 1( )

Từ biểu thức xác định dãy ( )xn ta có: 1 2 2

3( )( ) ( )

n n n n

x    x  x  x 

3

2

1

3

1

3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

n n n n

x x

x x x x



  

   

* Nếu x 1 từ (4) suy xn1 xn 2, với n = 1, Do ( )xn dãy tăng, kết hợp (1) suy limx  n

* Nếu x 1 từ (4) suy x n 2, với n = 1, Do limx n

* Nếu  1 x12 từ (4) suy xn1 xn, với n = 1, Từ (2) (3) suy  1 xn 2 Do ( )xn dãy giảm bị chặn - nên dãy hội tụ Từ (1) suy limx  n

* Nếu x  1 từ (3) suy x  n 1, với n = 1, Do limx  n

* Nếu x  1 từ (4) suy xn1 xn, với n = 1, kết hợp (1) suy limx  n Tóm lại dãy ( )xn hội tụ  1 x12 và l2 nếu x12;l 1nếu 1 x12 Bài T11/408: - THTT tháng 10/2011 tr23

Cho dãy số ( ) (un n 1 2, , ) xác định sau:

1

2

2011

8

cos cos

; cos n n , , ,

n n

u u

u  u    u     n

 

(18)

Ta sử dụng biến đổi sau đây:

2 2

2

2 2

1 25 25

4 2

2 16 4

5

2

8 16

2

8

(sin sin sin ) ( sin cos sin ) (sin cos cos sin )

cos ( cos ) (cos )

sin sin sin ( )

cos cos

( ) cos

x x x x x x x x x x

x x x

Suy ra x x x

x x

Xét hàm số f x x trên Kh

 



      

   

         

   

  

 

    

 



1

2

8

5

1

16

( ) ( ) ( ) :

'( ) (sin sin sin )

( ) '( ) , ( )

n n

i u f u n hàm f x có đạo hàm trên và

f x x x x

Theo thì f x x



  

   

   



Vậy nên hàm số g(x) = f(x) -x hàm nghịch biến R có g x'( ) f x'( ) 1 0,   x

Để ý 11

40 6

( ) ( ) ( )

g o    vaø g      

Nên phương trình g(x) = có nghiệm (kí hiệu  ) khoảng (0; 

), tức f ( ) Vậy dãy số cho thỏa mãn điều kiện: un1  f u( )n  f( ) ( )3

Theo định lý Lagrange, tồn

1

5 16

0

16

0

16

( ) ( ) ( ) '( ), : '( )

, :

lim ( ( )), lim( ) , lim

n n n n n

n n

n

n n

để f u f u f nên u u f u

Bằng quy nạp ta thu được u u

Do theo nên suy ra u tức u



       



 



 



       

 

    

 

 

   

 

 

Cho hàm số f : thỏa mãn hai điều kiện:

1 2

1

1 2011

1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ,

; lim( )

( ) ( )

n n

i i

i f

ii f x f x f x f x x

Đặt S S Tìm S S

f i f i

 



     

  

 





2

1

2

1

2011 1

1

*

( ),

: ; ,

n

n n n n

n n

Kí hiệu a f n n

Từ đk tốn ta có a a a a a n

a a

Suy a a

a a



 

     

 

   



Từ CT quy nạp theo n, ta thấy ngay: 2011a1a2 a3  vaø an 2010n, n 1

1 2011

lim n ( ; )

Chú ý a vì pt giới hạn a a khơng có nghiệm thực thuộc a

(19)

1

1 1

2

1

1 1

1 2009 ( lim )

:

lim( )

n n n

i i i i

Do S khi n vì ta biết

a i i

Tương tự S khi n Như vậy S S

  

 

        

   

   

  



* Chú ý: Kết hay ta xét: lim(S1S2)

Thật vậy: 1 2 2

1

1 1

n n

i i i i i

S S

a a a

 

 

      

  

   



1

2 2 2

1

2

1

1 2

1 1 1 1

1

1 1

1 1 1 1

1 1

1

1 1 1

2 2

1 1

1 :

:

i

i i i i

i i i

i i i i i i i

i i

i

n n

i i i i i n

a

Chú ý a a a a

a a a

a a a a a a a

a a

a

Bởi S S

a a a a

a



 



   



       

  

      

      

  

 



   

       

   

  

 



1

2

1 2010 1005 lim(S S )

a

 

 

 

    



Cho dãy số ( ) (an n 1 2, , ) xác định sau:

1 0; 38; 90 n 19 n 30 n 2,

a  a  a   vaø a   a  a  n Chứng minh a2011 chia heát cho 2011

Xét phương trình đặc trưng dãy:

3

1

19 30 ( 2)( 3)( 5) 2;

a  x   x x x  có nghiệm pb x  x  vaø x  

1

1 3

2

0 38 90

( )

; ; ( )

n n n

n

n n n

n Vaäy a c c c

Từ điều kiện ban đầu a a a ta tìm c c c Vậy a

   

          

Với p số nguyên tố, theo định lý Rermat ta có 2p 2(mod );3p 3(mod );( 5)p 5(mod )

p p p

    

Do đó, p 0(mod ) 2011 2011 2011

(20)

IV NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2012 Bài T11/412: - THTT tháng 02/2012 tr24

Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau:

3

2 1, 2, ,

n

x  n a n   n với a tham số thực a/ Tìm a cho dãy số cho cĩ giới hạn hữu hạn

b/ Tìm a cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , )là dãy số tăng (kể từ số hạng đó)

3

8

1

8

( )

: ( ) ,

( )

n n n

n n

Ta có x a n a y với y n n

n n n n

 

       

   

Do tồn giới hạn hữu hạn limxn a = -

b/ Từ lí luận phần a/ suy ra:

1

0

1 lim n

neáu a x neáu a

neáu a

  



  

  



Bởi điều kiện cần để tồn m* sao cho xmxm1xm2  laø a 1 Ta cm a  1 điều kiện đủ để có kết luận Thật với a  1

















3

3 3

3 3 3

3 3

3

3 3 3 3 3

1

2 1

2 1 8 1 8 1

2 8 12 8 8 3 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

:

n n

x x n a n n a n

a n n n n n n

vì n n n n n n n n

Suy x x x

         

                  

                

  

Vậy dãy số ( )xn dãy số tăng kể từ số hạng a  1 trường hợp ( )xn dãy số tăng từ số x1

1

2 1

1 2

( )

; n , , ,

n

n u

u a u n

u



 

   

 

a/ Tìm a cho số hạng dãy cho xác định b/ Tìm a để u20112011

2

1

8

0

1

8

cot : cot ( )

cot , cot cot

: cot( )

cot cot

x

Đặt x Chú ý x vì x

x Giả sử a

Khi u

 

  



 





      

  



  



Tương tự, chứng minh quy nạp ta có:

*

( )

cot , ( )

n

u       n

 

(21)

Do dãy số ( )un n1

 xác định

8 ( ), , , ,

m

k k m



     





1 2 1

8

cot cotl, l , , , a ( ); ( ); ;

          

b/ Ta có: 2011 3

1

4

4 cot cot cot( )

cot cot

a

u u

a 

 



 



    

 

2011

1 2012 1006

2011 2011

1 2010 1005

: a

Do u a

a 

       



Cho dãy số ( )an xác định sau: 1 1

1

1; 2, 2, ,

n

a a n

a a



    

  Tìm giới hạn dãy số ( )bn với bn a1a2 an

* Với * : n 1 1 2 n n 1 n 2; 1

n

n ta coù b a a a a b b

b

 

         

1 *Với x ,ta có x:

x



  

Do đó, cm quy nạp theo n ta thấy: bn  2 2,   n *

1 1 1

0 1

1 1

2

* , ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ), ( ) ( )

Với x y x y x y x y

x y y x xy

nên x y f x f y với f x x x

x y x

             

        

Ta có: 2 1 2 1 3 2 2

2 2

( ) ; ( ) ; ( )

b  f b   f  b  f b    



1

2

2 2 3

4 2 ( ) ( , ) , b



            



Từ nhận xét ta suy ra:

2 4 3

2

2 1

2

1 1

2 2

1

2

1

2

1

2

*

( ); ( ); ( )

:

lim ; lim , : , ,

,

n n n n

n

b b do b f b b f b f và b b

Như ta có b b b và b b b

Kí hiệu p b q b ta suy p q b b n b

Cho n chẵn n ta q p pq p p p

Ch

 

      

       

       

        



2

1

2

1 2

,

( ) ( ) : ( ) ( ) ( )( )

o n lẻ n ta p q pq q q q

Từ và suy ra p q p q p q p q

        

(22)

2 2

2

1

2 2 2

2

1

2

1

2

: , ( ) :

( ) ( )

: : lim n

Chú ý p q q p thay vào ta có

p p p p p p p p

q

Nhö ta có p q Hệ là b

     

            

   

  

Cho dãy số a a a0, , , ,1 2 a với n n 2, xác định sau:

0

1 1

0

1

; k , , , ,

a a k n

n n n k

     

   Chứng minh bất đẳng thức:

1

0

1

2

1

(ln

)

lim(

)

k

n

a n

n k

e

a e

với e

n k

n















 



Trước hết có nhận xét

1/ Xét hàm số f(x) = lnx, với m   Từ định lý Lagrange tồn m < b < m+ mà: *

1

1 2

( ) ( ) '( )

: (ln( ) ln( )) ln ln ln ( )

n n

n

i i

f m f m f b

b m

Từ a n i n i n n

n i

 

    



        





2/ Xét hàm số ( ) x, ,

g x e x x bất kì Từ định lý Lagrange tồn < c < x mà:

1

1 1

1

0 0

0

1

1 2

2 0

( ) ( ) '( )( )

: ( ) ( )

( ) (ln ) ; ln

: '( ) (ln ) (ln ) , ( ; ln )

k

k k k n n

x c

a

n n n

a n k a a a a a

k k k

x x

x x x x

g x g g c x e e x x

e

Từ đó e e e e e e e

n k

Đặt h x e x e x

Chú ý h x e e x e x e x



  

 

  

      

 

        

 

   

     

        



Suy h(x) hàm đồng biến ( ; ln ) (3) Từ (1), (2), (3) ta có:

1

0

2

1

(ln

)

( )

(ln )

k

n

a n

a

n n

k

e

a e

h a

h

n k













 



Bất đẳng thức chứng minh

Cho dãy số thực dương ( ),an n 0 2, , , xác định sau:

0

1 1

0 2012

1

1 *

; , ,

m n

n n n n n n

a a a với m n m n

a a a và a a a với n

Tính tổng T a a a a

   

   

    

    



Từ điều kiện ta có: a0  1 a1a2  vaø: 1 1

4

( ) ( )

a a a a a

a a

a a a

     

 



 

 

 

(23)

Từ (1) cĩ : a2 a11 ( ),3 thay vào( )2 được:4 a1 (a11)2 1 a122a14 a1 

4 2

1

2

1

1 2 2

2

1 1

4

, : ( )( )

: ( ) :

: , , ; ( ) ,

, : ( )

k k

k k k k

Đặt t a t ta pt t t t t t t t Do đó a a Thay vào ta có a

Như ba số hạng đầu dãy là Giả sử a k a k k Từ giả thiết a a a suy ra k a



 

           

   

   

    1k2 ak1(k2)2 Theo nguyên lý quy nạp ta được:

1

( ) , , , n

a  n n Ap dụng côngthức: 12 22 2

6

( )( )

n n n n ta coù:

   

2 2 2013 2014 4027

1 2013 2721031819

6 2721031819

T

Vaäy T

     



Cho dãy số ( ) (xn n 1 2, , ) xác định sau:

1

2 2011 2012

1

1001 1003

*

,

n n n n n n n

x

x  x x x x x x n

   

         

 

Hãy tìm lim ( )n n n x

(có dấu hiệu TB Cesaro) Ta có:

2012

2 2011

1

( )

( ) n n ( )

n n n n n n

n

x x

x x x x x x

x





      

 Ta chứng minh 0xn 1

Thật vậy, n = khẳng định Giả sử khẳng định với n Suy

2012

1

0

1 n

n x

x 

 

 V65y từ (1) suy ra: xn1xn 1 ( )2 Từ (2) ta có dãy (xn) giảm bị chặn Do tồn lim xn = a

Qua giới hạn hai vế (1) ta được:

2012

1

0

1

( )

lim n

a a

a a Vaäy x

a 

   

 Để tìm lim ( )n

n n x ta sử dụng bổ đề TB Cesaro:

Bổ đề: Cho dãy (un) thỏa mãn limun a Khi limu1 u2 un a n

  

 Chứng minh bổ đề:

(24)

0

1

1 1

1

0

2

0

,

:

(

)

,

max( ; )

lim

(

)

n

n n n

n

i i i

i n i

n n

i i

n i i

Cho

n cho u

n n

u

Ta coù

n

u

Chon n đủ lớn n n cho

ta được

n

n n

n

u

Vaäy

ñfcm

n



 

  





 









 













 





Trở lại toán, xét dãy

1

( )n n

n n

u với u

x  x

 

2011 2011

2012 2012 2012 2012

1

1 1

0

1

1 1

1

1 :

( )

lim lim ( )

: lim lim

lim lim

( )

n n n

n

n n n n n n n n

n n

n

x x x

Ta coù u

x x x x x x x x

Do x neân u

u u u

Theo bổ đềvừa cm

n nx nx

n

nx n n x



 

      

   

 

 

  

    

 

 

  

   

  

 

1

1 lim lim( n)

n n

nx nx



    

Nhận xét:

1/ Có thể phát biểu, chứng minh áp dụng ĐL Stolz giải Ta có:

1

1 1

( )

lim ( ( )) lim lim( )n

n n n

do Do đó n x

x  x x

 

   



2/ Nếu không dùng Stolz cm:

1

2

n , , lim( )n

n n

n x n Từ dùng nguyên lý kẹp ta được n x n

n  n      

Xét hai dãy số ( )an vaø b( )n xác định sau:

0

1

3

4

;

, ,

n n n

a b

a a b n

b a b n

 

   



  



   

 Tìm tất số tự nhiên n để:

0

9

( )

n k k

b







Nhận xét rằng: 2

1 1

(25)

2 2

1 1 1 1

2

1

2

0

2 2

2

0

2 12 16 24

2

2 9 2

9

*

( ) ( )

, ( )

: , ( )

: ( )

n n n n n n n n

n n

n n n n

n n

n

k k

a a b b a a b b

a b n

Và a b

Do đó a b b a n

Bởi vậy b a

       

 



 

     

   

  

      

 

   

 





- Chú ý: Từ công thức truy nạp dãy số (an), (bn) ta có: an,bn, n

2 0

( ) n ,

Từ ta suy a   n Từ đĩ suy

0

9

( )

n k k

b







n 

* Nhận xét: Bài dễ khó nhận xét cơng thức lùi (1)

0

1

0

1 [ ; )

lim ( )

, , n n

n n

u a

Tìm u n

u

u n n

n

 

  



 

  



 

Ta ln tìm số hạng thứ k dãy mà u  k [ ; ]1 Thật vậy,

0

2

1

0 1 1

1 2

1

1 1

2 1

1

*

( ; ] ( ; ] [ ; ]

( ; ), ( ; )

[ ; ] , ,

: , : , , ,

n

n n n

n n k

n k

nếu a thì u a Xét TH a tức u

u

Nếu u thì từ hệ thức u suy u n n

n u n u n k u k

Để ý rằng tức là k n

n u n n k u k

Ta thu



 

    

 



     

       

   

   



0

2

1

2 2

2

( )( )

:

( )( )

( ) ( )( )

n

n u n n

được

u

n n

hay u n u n n

n

   

 

  

 

         



 

Điều không xảy n đủ lớn 0

2 u n

u

 



 

  

 

vế trái số dương cịn vế phải số âm

Vậy, tồn k   mà u  k [ ; ]1 Khi theo hệ thức

2

1

n n

u u

n

 

 suy un 1, n k n

  

1

0

: n , lim ( n )

n

Do u n n k Suy ra u n

n 

   

* Có thể dùng công thức

lim cosn  làm

(26)

V NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2013 Bài T9/426: - THTT tháng 4/2013 tr22

Cho dãy số nguyên dương ( )an với a1 1;a2 2vaø an2 4an1a nn, 1 Chứng minh rằng: 1/ 2 ( 1) n

n n

a a   số phương với n 1 2/ Phương trình x24xy y 5 có vơ số nghiệm ngun dương

2 2

1 1 1 1

2

1

2

3 1

2

1 4

1

4 9

1

/ : ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) ( )

( )

n n n n n n n n n n n n n n

n

n n n

n n

n n n n

n n n

Ta coù a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a

Dễ tính a a a Vậy a a a

Do a a a l

       



 



 

        

      

        

   à số phương

2 2

1 2 2

2/ 1/ : ( 5)n 5,

n n n n k k k k

Từ câu ta có a   a a a   a   a a  a    k Do đĩ (a2k1;a2k) nghiệm nguyên dương phương trình x24xy y 5 (1)

Vì dãy (an) tăng nên (a2k1;a2k), k = 1, 2, khác Do phương trình (1) có vơ số

nghiệm ngun dương

Cho dãy hàm số



S x xđịnh: n



2

1 1

3 3

( ) cos cos cos cos

n

n n

S x  x x x    x

 

Tìm tất số thực x cho 3 limS xn( )  x

Từ CT 3

4

cos x ( cosxcos x) ta có biến đổi:

1

3 1

1

3

0

1 1 1

3 3 3

3 4 3

1 1

3 3

3

4

cos (cos cos ) cos cos

: ( ) cos cos cos

cos

k k k k

k k k k k

k k k

n n

k k k

n

k k

x x x x x

Suy S x x x x

x



 



 

 

        

 

   

        

        

 

      

 

       

 

      



 

   





1

3 cos n

n x



  

  

  

 

Chuyển qua giới hạn để ý rằng:

1

3

lim cos lim ( ) cos

n

n x ta thu được n S x x



 

 

  

 

 

3 3

1

4

: cos x cos (*)

Xeùt pt x  hay x  x

Hàm số f(x) = x 1 cosx có f(0) = nên x = nghiệm pt(*)

Ta thấy x < f(x) < 0; x2thì f x( ) Trong khoảng (0;2), hàm số f(x) liên tục có

1

2

'( ) sin ( )

(27)

MỤC LỤC

CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY

I NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2009

II NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2010

III NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2011 13

IV NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2012 20