Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bài : PHÉP TỊNH TIẾN VÀ TÂM ĐỐI XỨNG 5.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT Điểm uốn đồ thị : Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp liên tục khoảng a;b chứa điểm ( ) ( ) ( ) x có đạo hàm cấp hai khoảng a; x x ;b Nếu f '' đổi dấu ( ( ) ) điểm uốn đồ thị hàm số x qua điểm x I x ; f x ( ) y=f x ( ( ) ) điểm Nếu hàm số f có đạo hàm cấp hai điểm x I x ; f x ( ) uốn đồ thị hàm số f '' x = Phép tịnh tiến hệ tọa độ : Công thức chuyển hệ tọa độ phép tình tiến theo vectơ OI x = X + x o , I x 0; f x y = Y + y0 ( ( )) 5.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị (C ) : y = x ( ) + 3mx + m + x + nằm trục hoành , biết hoành ( ) độ điểm I nghiệm phương trình f '' x = Giải : * Hàm số cho xác định liên tục » * Ta có : y ' = 3x + 6mx + m + y '' = 6x + 6m y '' = ⇔ x = −m Dễ thấy y '' đổi dấu x qua điểm x = −m Suy ( ) I −m;2m − m − 2m + điểm uốn đồ thị cho 117 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt )( ( ) Vì I ∈ Ox ⇔ 2m − m − 2m + = ⇔ m − 2m + m − = 1 Ví dụ 2:Cho hàm số f x = x − x − 4x + Giải phương trình f ' sin x = ⇔ m = m = −1 m = ( ) ( ) Giải phương trình f '' ( cos x ) = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh ( ) độ nghiệm phương trình f '' x = Giải : * Hàm số cho xác định liên tục » ± 17 Cả hai nghiệm x nằm ngồi đoạn −1;1 Do phương trình ( ) ( ) f ' x = x − x − ⇒ f ' x = ⇔ x = ( ) f ' sin x = vô nghiệm ( ) ( ) f '' x = 2x − ⇒ f '' x = ⇔ x = Do phương trình π ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » 47 f '' x = 2x − ⇒ f '' x = ⇔ x = , f = ,f 12 Phương trình tiếp tuyến cần tìm : 17 47 17 145 y = − x − + hay y = − x + 12 24 ( ) f '' cos x = ⇔ cos x = ( ) ( ) ( ) 1 17 ' = − 2 ( ) Ví dụ : Cho hàm số f x = x − 3x + có đồ thị C ( ) Xác định điểm I thuộc đồ thị C hàm số cho , biết hoành ( ) độ điểm I nghiệm phương trình f '' x = Viết công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI ( ) viết phương trình đường cong C hệ IXY Từ suy I 118 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) tâm đối xứng đường cong C ( ) tọa độ Oxy Chứng minh khoảng ( −∞;1) đường cong (C ) nằm phía tiếp tuyến điểm I (C ) khoảng (1; +∞ ) đường cong (C ) nằm phía tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến đường cong C điểm I hệ Giải : * Hàm số cho xác định liên tục » ( ) ( ) ( ) thuộc (C ) x = 1, f (1) = −1 Vậy I (1; −1) ∈ (C ) Ta có f ' x = 3x − 6x , f '' x = 6x − Hoành độ điểm I f '' x = ⇔ x = Công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI x = X + y = Y − ( ) Y − = ( X + 1) − ( X + 1) Phương trình C hệ tọa độ IXY : + ⇔ Y = X − 3X ( ) Vì hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc toạ độ I làm tâm đối xứng f ' x = 3x − 6x ⇒ f ' = −3 Phương trình tiếp tuyến đường ( ) () cong (C ) điểm I hệ tọa độ Oxy : y = f ' (1)( x − 1) + f (1) = −3 ( x − 1) − ⇔ y = g ( x ) = −3x + Xét hàm h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ( x − 3x + 1) − ( −3x + ) = ( x − 1) » h ( x ) < 0, x < Dễ thấy Điều chứng tỏ khoảng ( −∞;1) đường h x > 0, x > ( ) cong (C ) nằm phía tiếp tuyến điểm I (C ) khoảng (1; +∞ ) đường cong (C ) nằm phía tiếp tuyến 3 119 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) ( ) Ví dụ : Cho hàm số y = x − m + x + + 3m x − 2m có đồ thị (C ) , m m tham số thực Gọi I điểm có hồnh độ nghiệm ( ) phương trình f '' x = Tìm tham số m để đồ thị hàm số có cực trị điểm I nằm trục Ox Giải: Hàm số cho xác định liên tục » Ta có : y ' = 3x − m + x + + 3m y '' = 6x − m + ( ) ( ) Đồ thị hàm số có cực trị điểm I nằm trục Ox m + − + 3m > ∆ ' , > ⇔ y ⇔ m + 3 m + 3 m + 3 y = (xu ) − m + + + 3m − 2m = ( ) ( ( ) ) ( ) m − 3m + > ⇔ ⇔m = 0∨m = 3∨m = 2 2m − 9m + = Dạng : Tâm đối xứng đồ thị Ví dụ :Cho hàm số y = x − mx + 4x + m + Tìm tất tham số thực m để hàm số cho có cực trị A, B,C trọng tâm G tam giác ABC trùng với tâm đối xứng đồ thị hàm 4x số y = 4x − m Giải : 4x m Đồ thị hàm số y = có tâm đối xứng I ( ; 1) 4x − m 4 Hàm số : y = x − mx + 4x + m + , liên tục R Ta có : y ' = 4x − 3mx + Hàm số cho có cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình 4x − 3mx + = có nghiệm phân biệt Xét hàm số g x = 4x − 3mx + liên tục R ( ) lim g(x ) = +∞ , lim g(x ) = −∞ x →+∞ x →−∞ 120 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x = 0, g(0) = > Ta có : g ′(x ) = 12x − 6mx ⇒ g ′(x ) = ⇔ x = m , g(m ) = 16 − m 2 ( ) ( ) g ' x đổi dấu lần qua nghiệm , g x = có nghiệm phân biệt m > ⇔m >232 2 16 − m