CHUONG1-GT

TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Chương 2: Đạo hàm & vi phân hàm một biến Chương 3: Đạo hàm & vi phân hàm nhiều biên Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương trình vi phân Giáo trình: Toán cao cấp (phần giải tích) Bộ môn toán – ĐHNH TPHCM CHƯƠNG 1: HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC §1. Hàm số và đồ thị §2. Giới hạn dãy số và Giới hạn hàm số §3 Hàm số liên tục 1. Hàm số & đồ thị - Định nghĩa Cho tập hợp D⊂R, D≠∅. Một qui tắc f cho tương ứng mỗi số thực x∈D với một và chỉ một số thực y là một hàm số. Kí hiệu: f: D→R x→y=f(x) Hàm số y=f(x) có MXĐ là D, MGT là f(D) Hàm số cho bởi biểu thức f(x), có MXĐ là tập các giá trị của x sao cho biểu thức có nghĩa. TD: Đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp các điểm M(x,f(x) ∀D trong R2 2 2 x 5x 6 y x 1 − + = − x 1 x 1 y 2x 3 x 1  + > −  =  − ≤ −   1. Hàm số & đồ thị- Hàm hợp, Hàm ẩn Hàm hợp: Hàm y=f(x) xác định trên X, hàm z=g(y) xác định trên Y và f(X)⊂Y Khi đó hàm số (gf)(x) = g[f(x)] ∀x∈X được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g (tích của hai hàm f và g) TD: Cho f(x)=x2+1, g(x)=sin x. Tìm hàm hợp gf, fg? Hàm ẩn: Hàm số y với biến độc lập x liên hệ với nhau bởi phương trình: F(x, y)=0 (1). Khi đó ta nói phương trình (1) xác định một hàm ẩn y=y(x). TD: Cho PT: xy3+x2-1=0. Tìm hàm ẩn y=y(x)? 1. Hàm số & đồ thị - Hàm ngược Cho hàm số y=f(x) tăng/giảm trên D. Hàm số đặt tương ứng mỗi y∈f(D) với một số x∈D sao cho: y=f(x) được gọi là hàm ngược của hàm f. Kí hiệu: x=f-1(y) Đồ thị hàm số y=f(x) và hàm ngược y=f-1(x) đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x TD: Tìm hàm ngược của: y=x2+1 trên miền D=[0;+ ∞) MGT của f(x) là f(D)=(0,+∞) ≡ MXĐ của f-1(x)=(x-1)1/2 1. Hàm số & đồ thị - Hàm lượng giác ngược Hàm y=sinx là hàm tăng trên nửa chu kỳ [-π/2, π/2] có hàm ngược y=arcsinx Đồ thị: y=sinx y=arcsinx 1. Hàm số & đồ thị - Hàm lượng giác ngược Các hàm lượng giác ngược  y=sinx xác định /[-π/2, π/2] có hàm ngược y=arcsinx  y=cosx xác định /[0, π] có hàm ngược y=arcosx  y=tanx xác định /(-π/2, π/2) có hàm ngược y=arctanx  y=cotanx xác định /(0, π) có hàm ngược y=arcotanx 1. Hàm số & đồ thị - Hàm số sơ cấp cơ bản 1) y = a (Hàm hằng) 2) y = xα (Hàm lũy thừa) 3) y = ax a>0, a≠1 (Hàm mũ) 4) y = logax a>0, a≠1 (Hàm lô ga rít) 5) Các hàm lượng giác và lượng giác ngược 1. Hàm số & đồ thị - Hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là hàm được xác định bởi một biểu thức giải tích bằng các phép toán số học và lấy hàm hợp các hàm số sơ cấp cơ bản. TD: x sin x e y x ln(tgx) − + = 3 2 1 2 3 4 2. Giới hạn dãy số a) Dãy số Một hàm số f : N → R được gọi là một dãy số. x0=f(0); x1=f(1); …. ; xn=f(n); … Dãy số kí hiệu: {xn} TD: Cho dãy số: xn=2n+1; yn=1/n