Chương 6 &7. Ước lượng & Kiểm định

C ương 6: Ướ lượng am ố ống kê Chương ỚC L Ợ 6.1 CÁC HAM SỐ HỐ KÊ ớc lượng điểm P ương p p ướ lượng điểm p ương p p dùng mộ gi rị q0 để ốq ưa biế ể T am ố q ai, … T ông ường gi rị q0 đượ ưa biế ọn gi rị ụ ể ay o gi rị am ường r ng bìn , ỷ lệ, p ương ể mộ ống kê G mẫ ngẫ n iên Giả với mẫ ngẫ n iên W G G( , , , ( , ( , , , ) , , ), ống kê ướ lượng o am ố q ó dạng: ) K i đó, với mẫ ụ ể w ì gi rị ụ ể ống kê G G ( , , , ) ướ lượng q Ví dụ 6.1 : L y mẫ ướ lượng đượ iề ao r ng bìn người Việ Nam 160 cm 6.1.1 ớc lượng không chệch ịnh nghĩa: T ống kê G G ( Nế E(G) ¹ q 6.1.2 ịnh G( , , , ) đượ gọi ướ lượng k ơng ệ q nế ®+ o E (G ) ắắắ đq E(G) = q G 1 , ì G đượ gọi ướ lượng ệ ớc lượng hiệu nghĩa: , , C o mẫ ngẫ n iên W ( , , , ) K i đó, ) đượ gọi ướ lượng iệ q ả q nế G ướ lượng k ông phươ g sai hỏ hấ rong ướ lượng k ơng ệ ống kê ệ ó q Bất đẳng thức Cramer - ao C o biến ngẫ n iên n iên đượ ,q W ó àm mậ độ x ọn biến ngẫ n iên Với G G( , , , ( , , , ) mẫ ngẫ ) mộ ướ lượng k ông ệ q K i đó: V (G ) ³ 6.1.3 ổ ả Eỗ ln ố ảq ,q ữ ø ớc lượng vững ịnh nghĩa: T ống kê G G( , , , ) đượ gọi ước lượ g vữ g với e > 0, a ó lim P { G q < e } ® Ví dụ 6.2: Giả rọng lượng N ; 96 am ố q nế C ương 6: Ướ lượng Q an am ố mẫ , , , ống kê để ướ lượng rọng lượng r ng bìn Giả , , , độ lập ùng p ân p ối với é ống kê a : G1 ; G2 +2 V n đề đặ E E G3 ổ Eỗ ố E G4 ổ Eỗ è +2 +2 +3 + + + V G1 V V G3 ổ Vỗ ố V G4 ổ Vỗ ố + + + ? +2 + ÷ ø +2 ÷ ø ; ; + + ệ ống kê rên a đượ 1 +2 + +3 ổ Vỗ ố ; V G2 ÷ ø + + 36 ống kê k i n àng lớn ì Và người a ũng + ö ÷ ø Trong p ương rên, a ướ lượng ống kê rên đề ướ lượng k ơng * Tín p ương ; G4 +2 +3 ÷ ø ổ Eỗ ố ; E G2 +3 ống kê ố n ống kê rên * Ta ó : E G1 Vậy ; G3 y ng ị 2 ữ ứ 9 + 36 36 + +2 2 + ; ; 18 + + 2 ống kê T2 ố ơn T1 T4 ố n rong ống kê T4 ướ lượng iệ q ả rong ống kê để ứng đượ T4 ướ lượng vững để ướ lượng óm lại, ta có kết sau: i) Tr ng bìn mẫ ướ lượng k ơng ệ , iệ q ả vững r ng bìn ể ii) Tỷ lệ mẫ ướ lượng k ông ệ , iệ q ả vững ỷ lệ p iii) P ương mẫ S2 ướ lượng k ơng Trong ín 6.2 o n với mẫ ụ ể, a l y ệ » ; vững p ương » p; s » ể ể ớc lượng khoảng tin cậy Giả ể ó đặ rưng q ( ó ể r ng bìn , ỷ lệ p, p ương ,…) ưa biế Với ướ lượng điểm, gi mộ gi rị ụ ể q0 rị ướ lượng am ố đặ rưng q ưa biế ểp ụ ộ vào ống kê mẫ đơn lẻ n r ng bìn , ỷ lệ, p ương mẫ ,… C ín mà ướ lượng điểm ó n ượ điểm k ơng 97 ể biế độ ín x ũng n x C ương 6: Ướ lượng am ố ống kê để ướ lượng ín x Ứng với mẫ k n a ì ướ lượng điểm ẽ o kế q ả k n a Để k ắ p ụ , người a ướ lượng gi rị đặ rưng ể ưa biế mộ k oảng gi rị với mộ độ in ậy o rướ , ng ĩa ỉ k oảng gi rị mà đặ rưng ể ó ể rơi vào với mộ x Dựa vào mẫ ó kí P(q1 £ q £ q ) địn ướ n, a rướ ỉ q1 q2 ao o q1 q2 biến ngẫ n iên ó K i đó, (q1 , q ) đượ gọi k oảng ướ lượng q (1 ) : độ in ậy k oảng ướ lượng mứ ý ng ĩa ướ lượng ín x ọn k oảng in ậy (q1 , q ) lầm k i q1 , q2 giới ạn giới ạn rên k oảng ướ lượng | q1 q | e : độ 6.2.1 ướ lượng ay b n kín , y, o n x o P ao địn k oảng in ậy r ng bìn £ £ Ta xé o n rên rong ẩn với r ng bìn ẩn với r ng bìn Vì N , ổ P ỗỗ ố ổ Pỗ ố Ê ( ổ Pỗ ố ổ Pỗ ố ng vi m 2 Ê ụ ( ) ọn mộ ể ó p ân p ối biế K i đó, r ng bìn mẫ với Z ứ N , N (0,1) N (0,1) ö ÷ ÷ ø )£ £ £ o rướ rên, a ó £( £Z£ nên Z ) ướ n đượ ưa biế p ương T ay Z vào p ương rìn 1 ÷ ø + + ÛP £ £ địn ưa biế p ương ể o n x rường ợp a : Giả ử, a ó mộ mẫ ngẫ n iên ó kí é p ương rìn P với (1 ) độ in ậy 6.2.1.1 Khi biết phương sai tổng thể p ối ướ lượng ớc lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể Ta n ận k oảng ín x ÷ ø ÷ ø ể w , a ó r ng bìn mẫ 98 £( ) £ ẽ ó p ân C ương 6: lng ổ Do ú, P ỗ ố am ố £ £ + Vậy, với độ in ậy (1 ) £ rong £ + ống kê ÷ ø o rướ , r ng bìn ì ïï với í ï ïỵ ố ó P( Z < 1 + ) ể đượ x địn : 2 với Z biến ngẫ n iên ó p ân p ối ẩn ắ hận xét: i) Trong ự àn , k i ó mẫ đó, k oảng in ậy , o ụ ể w ( , , , am ố r ng bìn ) độ in ậy (1 ) ể đượ x địn o rướ K i ần ự q a bướ a : Với mẫ ụ ể w ( , , , ) , ín Với độ in ậy (1 ), x Tín độ ín x e địn địn Từ ông (đượ o rong p ần P ụ lụ ) địn k oảng in ậy ii) r ng bìn mẫ , e; + e e Þ ỡ mẫ n ứ ín độ ớn x ổ ỗ ố ÷ eø Do ỡ mẫ n p ải ố ng yờn nờn n n rong ụng ộổ ờỗ ởờố 2 iii) ù ÷ ú + vi e ứ ỷỳ ộổ ờỗ ởờố n in ậy (1 Từ ơng ứ ín độ ù ổ ữ ỳ l p n ng yờn a ỗ e ø ûú è ín x e ự ế, k i ướ lượng r ng bìn ể Đối với dạng này, a xé ÷ è rên k ơng ố ng n ì ) Þ 6.2.1.2 Khi chưa biết phương sai tổng thể Trong ứ 2 e g Þ1 ể , a ường k ơng biế p ương rường ợp a : * n 30: Trong rường ợp này, địn lý giới ạn r ng âm ẽ giúp a giải q yế v n đề p ân p ối r ng bìn mẫ r ng bìn mẫ T eo địn lý này, a ẽ ó p ân p ối y k i ỡ mẫ n đủ lớn (n ³ 30) ẩn b kể p ân p ối 99 ì p ân p ối ể ó p ân p ối C ương 6: Ướ lượng am ố Do p ương bìn s £ rong 2 ể ể đượ x ống kê ưa biế nên a ay K i đó, với độ in ậy (1 ), r ng địn : £ + ì ïï với í ï ïỵ s ố ó P( Z < s 1 ) s + 2 với Z biến ngẫ n iên ó p ân p ối ẩn ắ hận xét: i) Trong ự àn , k i ó mẫ đó, k oảng in ậy , ợp p ương e o ể ụ ể w ( , , , am ố r ng bìn biế n ưng độ ) độ in ậy (1 ) ể ín x đượ x địn o rướ K i ương ự rong rường ướ lượng rong rường ợp s ii) địn Từ ông ỡ mẫ n ứ ín độ e ín x s ổ ỗ ố ị sử ữ e ứ Do ỡ mẫ n p ải ố ng yờn nờn n n rong ụng ộổ ờỗ ờởố sư ÷ e ø iii) ù éỉ ú + vi ờỗ ỳỷ ờởố sử ữ e ø địn độ in ậy (1 Từ ông ứ ín độ * n < 30: K i n < 30, a n ận ù æ ú p n ng yờn a ỗ ố ỳỷ sử ÷ e ø rên k ông ố ng n ì ) e ín x s Þ e g s Þ1 y ỡ mẫ n k ông đủ lớn nên a k ông ể p dụng địn lý giới ạn r ng âm dụng p ân p ối ẩn ắ Z Người a ũng ứng đượ k i n < 30, ể ó p ân p ối k ơng p ân p ối ẩn ì r ng bìn ể ẽ ó p ân p ối S den với (n 1) bậ ự K i đó, với độ in ậy (1 ), r ng bìn s 1;1 rong 1;1 £ s £ + 1;1 p ân vị hận xét: Trong ự ì ïï với í ï ïỵ den mứ àn , k i ó mẫ rướ K i đó, k oảng in ậy , o ể đượ x s 1;1 + 2 ụ s 1;1 với (n 1) bậ ự ể w am ố r ng bìn 100 địn : ( , , , ể ) độ in ậy (1 ) đượ x địn o ương ự C ương 6: Ướ lượng am ố ống kê rong rường ợp p ương o K i đó, độ rọng lượng vĩ mẫ ngẫ n iên gồm 100 vĩ mẫ ưa biế với ỡ mẫ n ³ 30 n ưng a dụng ín x Độ in ậy = 95% Þ Kế l ận: ; s ín x : e ọn mộ ẩn ì độ in ậy ướ lượng giảm 30% độ in ậy 99% ì ần k ảo 400 100 1, 96 e; +e 1, 96 0,975 78, 1500 78, 4;1500 + 78, Vậy với độ in ậy 95%, rọng lượng r ng bìn k oảng 1421,6 mg đến 1578,4 mg b) Từ ông s ứ e Vậy nế m ốn độ 96% ) Ta ó: e / ứ e Vậy m ốn độ 353 100 = 253 vĩ Þ ín x 0, 7e 0,99 Þ Từ ơng 1500 ; = 400; n = 100 a) Ta ó: ay với độ in ậy 95%? 82,148 mg ) Trong ướ lượng rên, nế m ốn độ ín x êm bao n iê vĩ ố đượ dập m y ? Giải: 1500 mg , độ lệ ín đượ ố đượ dập m y b) Trong ướ lượng rên, nế m ốn độ bao n iê ? Độ 1;1 ố đượ dập m y , người a iến àn ố đượ dập m y = 400 mg a) Hãy ướ lượng rọng lượng vĩ 1;1 s ướ lượng rong rường ợp e ín x Ví dụ 6.3: K ảo ể e ố đượ dập m y 82,148 100 400 s vĩ 1421, 6;1578, 2,0537 ướ lượng rên 82,148 0,98 nằm rong Þ1 0,96 ì độ in ậy ướ lượng 54,88 0,995 s / ín x 2,5758 Þ ỉ ç è s / ÷ e ø 400 ổ ỗ 2,5758 54,88 ữ ố ứ 352, 465 » 353 ướ lượng giảm 30% độ in ậy 99% ố đượ dập m y ì ần k ảo êm Ví dụ 6.4: K ảo rọng lượng mộ lọ ố ngẫ n iên 25 lọ ố q an rọng lượng y rọng lượng r ng bìn mộ lọ ố 375g 96%, ãy ướ lượng rọng lượng r ng bìn mộ lọ động rên? (Giả iế rọng lượng ản p ẩm đượ biến ngẫ n iên ó p ân p ối ẩn) Giải: 101 mộ dây yền đóng gói ự động C ọn úng, kế q ả đượ mẫ 25 lọ o p ương = 424,36g2 Với độ in ậy ố đượ ản x dây yền đóng gói ự ản x dây yền đóng gói ự động rên C ương 6: Ướ lượng am ố 375 g; Ta ó: Độ in ậy ống kê = 426,36 Þ = 20,6g; n = 25 < 30 = 96% Þ 1;1 2,1715 24;0,98 Với độ in ậy 96%, rọng lượng r ng bìn đượ x địn : s 1;1 £ mộ lọ ố đượ đóng gói dây yền rên s £ + 1;1 20, 20, £ £ 375 + 2,1715 25 25 366, 0534 £ £ 383,9466 375 2,1715 Vậy với độ in ậy 96%, rọng lượng r ng bìn mộ lọ rên nằm rong k oảng 366,0534g đến 383,9466g 6.2.2 ố đượ đóng gói dây ớc lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể p Ướ lượng k oảng in ậy ỷ lệ P p1 £ p £ p2 lớn (n ³ 100) é lại p ương rìn P N p, pq ỉ Pỗ ỗ ố Ê ổ P ỗỗ è p p (1 p ) p (1 p ) (1 ) N 0,1 ÷ ÷ ø £ p£ £ p£ Vậy, với độ in ậy (1 ) ẩn p(1 p ) ÷÷ ø Ứng với mẫ ụ ể w , a ó ỉ lệ mẫ f p r ng bìn r ng bìn ể p r ng bìn mẫ f K i đó, a đượ o N 0,1 pq rên, a ó với Z p nên Z T ay vào p ương rìn £ ẽ ó p ân p ối x p xỉ p ân p ối N p , pq ứ £Z£ địn k oảng ( p1 , p2 ) ao o rướ ì ỷ lệ mẫ với r ng bìn p p ương pq Do ể p o n x , với (1 ) độ in ậy Ta bi rng k i n k ổ P ỗỗ ố yền (1 o rướ , ỷ lệ 102 )ư ÷÷ ø ể p đượ x địn ể k ông biế nên a ay C ương 6: Ướ lượng (1 am ố ) rong £ p£ ống kê (1 + ố ó P( Z < ì ï p1 ï với í ïp ïỵ ) ) 2 + (1 ) (1 ) 2 với Z biến ngẫ n iên ó p ân p ối ẩn ắ ( , , , ) độ in ậy (1 ) o rướ K i hận xét: i) Trong ự àn , k i ó mẫ đó, k oảng in ậy p1 , p2 ần ự q a bướ Với mẫ mẫ ụ ụ o ụ ể w am ố ỷ lệ p ần ó ín A ể w ( , , , ) , ín ỷ lệ mẫ với nA ố p ần ó ín A ín x e địn đượ (1 ii) địn Từ ông o rong p ần P ụ lụ ) địn k oảng in ậy p1 , p2 e; +e ỡ mẫ n ứ ín độ (1 e ín x ) Þ (1 ) ù é + với ê ú e û ë Ví dụ 6.5: K ảo (1 )ù úû p ần ng yên e 2 ỷ lệ lọ ố đạ yê mộ mẫ ngẫ n iên gồm 500 lọ lọ ố đượ l y ố ầ (1 ) e2 2 Do ỡ mẫ n p ải ố ng yên nên nế n rong ông A ể Tín độ địn a : Với độ in ậy (1 ), x é êë ể p đượ x rong mộ lô ứ rên k ông ố ng yên (1 ) e 2 ố ór lơ àng kế q ả ó 375 lọ a) Hãy ướ lượng ỷ lệ lọ ố đạ yê ầ b) Trong ướ lượng rên, m ốn ỷ lệ lọ n iề lọ ố đạ yê ố a) Ta ó Độ in ậy 375 500 0, 75 = 95% Þ Với độ in ậy 95%, ỷ lệ người lọ 0,975 1, 96 ố đạ yê 103 ầ 500 ì ần kiểm lơ àng rên nữa? A ố Kiểm lô àng rên với độ in ậy 95%? ố đạ yê ầ lô àng nằm rong k oảng (71,02%; 78,98%) ì độ in ậy ướ lượng bao n iê ? ) Nế m ốn độ ín x rong ướ lượng rên 3% độ in ậy 98% bao n iê lọ Giải: ì ầ lơ àng rên đượ x địn : C ương 6: Ướ lượng am ố (1 ) £ p£ ống kê (1 + ) 0, 75 0, 25 0, 75 0, 25 £ p £ 0, 75 + 1,96 500 500 0, 712 £ p £ 0, 788 0, 75 1,96 Vậy ỷ lệ lọ ố đạ yê ầ lô àng rên với độ in ậy 95% 71,2% đến 78,8% b) Ta ó: f e = 71,02% Þ e = 0,0398 Từ ơng ứ e Þ e Þ1 (1 ) (1 0, 0398 ) 500 0, 75 0, 25 2, 0553 » 0,98 0,96 Vậy m ốn ỷ lệ người lọ ố đạ yê ầ lơ àng nằm rong k oảng (71,02%; 78,98%) ì độ in ậy ướ lượng 96% Þ Vậy m ốn độ ) 2,32632 ín x 1128 500 = 628 lọ 6.2.3 (1 ) e (1 ứ e ) Từ ông 0, 75 0, 25 1127, 4316 » 1128 0,032 rong ướ lượng rên 3% độ in ậy 98% ố đạ yê ầ ể ó p ân p ối p ương ể với (1 ) độ in ậy o n x ẩn với p ương địn k oảng 2 ưa biế Ướ lượng k oảng in ậy , 2 ao o P £ £ 2 o rướ Ta xé rường ợp: 6.2.3.1 Khi biết trung bình tổng thể é p ương rìn : P c 2; å Vì c ổ ỗ P ỗ c 2; ỗ ỗ ố £ c £ c 2;1 2 i i £ c ( ) p ân p ối “k i bìn p ương” với n bậ ự å i i Ứng với mẫ ụ £ c 2;1 êm lô àng ớc lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể Giả ì ần k ảo ÷ ữ ữ ữ ứ ổ ỗồ i Pỗ i ỗ c ;1 ỗ ố w , a ó 104 £ 2 £ å i i c 2; ÷ ÷ ÷ ÷ ø , C ương 6: Ướ lng ổ ỗồ i Pỗ i ỗ c ;1 ỗ ố am 2 Ê Ê i Vậy, với độ in ậy (1 ) å i i c £ ;1 £ å o rướ , p ương i c rong c 2; 2 i ÷ ÷ ÷ ÷ ø i c 2; 2 ống kê ; ì ï ï ïï với í ï ï ï ïỵ å 2 i i c 2;1 c 2;1 2 i c 2; o P ch2 < c 2; p ân vị “k i bìn p ương” ao địn : p ân vị “k i bìn p ương” ao đượ x i å 2 ể 2 o P ch2 < c 2;1 2 6.2.3.2 Khi chưa biết trung bình tổng thể é p ương rìn : P ch2; P c 1; £ c £ c 1;1 1) S ( Vì c 2 £ 1) S ( Ứng với mẫ ụ æ ( 1) s Pỗ Ê ỗ c 1;1 è £c 2 £ rong c 1; c 1;1 1) p ân p ối “k i bìn p ương” với (n 1) bậ ự 1;1 æ ( 1) S Pỗ Ê ỗ c 1;1 ố ÷ ø 1) S ÷ £ ÷ c 1; ø ( ểw , a ó £ ( 1) s ÷ c 1; ÷ ø Vậy, với độ in ậy (1 ) ( 1)s £ c 1;1 £ ch2 £ ch2;1 c 2( ổ P ỗ c 1; ố 1) s ( c 1; o rướ , p ương ì ï ï với í ï ï ỵ ( 1) s c 1;1 đượ x địn : 2 2 1)s ( c 1; p ân vị “k i bìn p ương” ao ể p ân vị “k i bìn p ương” ao 105 o P ch2 < c 1; 2 o P ch2 < c 1;1 2 ... s Û 4, 67 84 3, 967 5 150 200 y 0,975 1, 96 biệ rọng lượng r ng bìn £ 1, 96 £ y + s 2 + 0, 75432 0,54432 + £ 150 200 rẻ đến s £ 0, 75432 0,54432 + 150 200 4, 67 84 3, 967 5 + 1, 96 Û 0, 568 6 £ ổi địa... in ậy 96% , rọng lượng r ng bìn đượ x địn : s 1;1 £ mộ lọ ố đượ đóng gói dây yền rên s £ + 1;1 20, 20, £ £ 375 + 2,1715 25 25 366 , 0534 £ £ 383,9 466 375 2,1715 Vậy với độ in ậy 96% , rọng lượng. .. k ảo êm Ví dụ 6. 4: K ảo rọng lượng mộ lọ ố ngẫ n iên 25 lọ ố q an rọng lượng y rọng lượng r ng bìn mộ lọ ố 375g 96% , ãy ướ lượng rọng lượng r ng bìn mộ lọ động rên? (Giả iế rọng lượng ản p ẩm