(Luận văn thạc sĩ) nhóm tự đẳng cấu của miền với biên phẳng lêvi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy cơng tác khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức để thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn GS TSKH Đỗ Đức Thái, đồng cảm ơn tới TS Ninh Văn Thu TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tơi hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, cổ vũ động viên đóng góp cho tơi nhiều ý kiến q báu sống, cơng việc học tập nói chung trình thực luận văn Xin chúc người sức khỏe, đạt nhiều thành tích cao cơng tác, học tập nghiên cứu khoa học gặt hái thêm nhiều thành công sống Học viên: Nguyễn Duy Đạt DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • Aut(Ω): nhóm tự đẳng cấu miền Ω • Ck (Ω): khơng gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω • H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập ánh xạ chỉnh hình từ ω vào Ω • KΩ : giả metric Royden-Kobayashi miền Ω • FKD : metric Royden-Kobayashi miền D • FCD : metric Caratheodory miền D • MED : độ đo Eisenman-Kobayashi miền D • MCD : độ đo Caratheodory miền D Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm sở 1.2 Siêu mặt Levi-flat 1.3 Metric độ đo bất biến 12 Nhóm tự đẳng cấu khơng compact 15 2.1 Chứng minh định lý phần 16 2.2 Chứng minh định lý phần 20 MỞ ĐẦU Cho D1 , D2 hai tập mở không gian phức n chiều Cn , ánh xạ chỉnh hình từ D1 → D2 gọi song chỉnh hình có ánh xạ ngược chỉnh hình Hai tập mở D1 , D2 gọi song chỉnh hình tồn ánh xạ song chỉnh hình từ D1 vào D2 Trong giải tích phức, định lý ánh xạ Riemann nói rằng: Nếu U tập mở, đơn liên mặt phẳng phức mà khơng phải tồn C, U song chỉnh hình với đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} Vào năm 1907 Poincaré chứng minh hình cầu đơn vị Bn = {z ∈ Cn : |z| < 1} khơng song chỉnh hình với đa đĩa Dn = {z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ Cn : |z j | < 1, j = 1, n} với n > Chứng minh ông sử dụng việc mơ tả nhóm tự đẳng cấu hai miền Bn Dn Sau Cartan đưa tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước Cn Từ đến có nhiều kết nhà toán học liên quan đến toán mà Cartan đặt Mục đích luận văn trình bày lại kết Fu-Wong (xem [FW1]) đăng tạp trí Complex Variables tốn xác định lớp miền có biên trơn khúc, generic, Levi-flat có nhóm tự đẳng cấu khơng compact, từ xác định nhóm tự đẳng cấu miền Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức Đồng thời, trình bày số khái niệm, kết liên quan đến metric Royden-Kobayashi hai độ đo bất biến Caratheodory EisenmanKobayashi Những kiến thức sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương II: Nhóm tự đẳng cấu không compact Trong chương này, trước hết nhắc lại số kết toán xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước sau tim hiểu kết Fu-Wong toán xác định lớp miền bị chặn C2 với biên trơn khúc, generic, Levi-flat có nhóm tự đẳng cấu khơng compact Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm sở Định nghĩa 1.1.1 Khả vi phức: Cho Ω tập mở Cn f hàm biến phức xác định Ω, f : Ω → C Chúng ta nói f khả vi phức x0 ∈ Ω tồn ánh xạ tuyến tính λ: Cn → C cho: | f (x0 + h) − f (x0 ) − λ(h)| = 0, h→0 ||h|| lim n i=1 |hi | h ∈ Cn , h = (h1 , h2 , , hn ), ||h|| = Hàm f gọi chỉnh hình x0 ∈ Ω tồn lân cận mở U x0 cho f khả vi phức với x ∈ Ux0 Hàm f gọi chỉnh hình Ω f chỉnh hình điểm thuộc Ω Cho ánh xạ f : Ω ⊂ Cn → Cm ; viết dạng f = ( f1 , , fm ) f j = π j ◦ f : Ω → C với j = 1, m hàm tọa độ, π j : Cm → C (z1 , , zm ) → z j Khi đó, f gọi hàm chỉnh hình Ω f j chỉnh hình Ω với j = 1, m Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω1 , Ω2 hai tập mở không gian phức n chiều Cn Ánh xạ f : Ω1 → Ω2 gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f −1 ánh xạ chỉnh hình Ω1 gọi song chỉnh hình với Ω2 tồn ánh xạ song chỉnh hình f : Ω1 → Ω2 Cho Ω miền Cn Ánh xạ song chỉnh hình f : Ω → Ω gọi tự đẳng cấu Ω Ký hiệu Aut(Ω) tập tất tự đẳng cấu Ω Ví dụ 1.1.1 Cho ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} Khi đó, Aut(∆) tập tất phép biến đổi phân tuyến tính ϕ có dạng: ϕ(z) = w z−a ¯ − az |w| = 1, w ∈ C, a ∈ ∆ Ví dụ 1.1.2 Aut(C) tập tất ánh xạ tuyến tính ϕ: ϕ(z) = az + b a, b ∈ C, a Ví dụ 1.1.3 Cho ∆2 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | < 1, |z2 | < 1} Khi đó, Aut(∆2 ) tập tất ánh xạ có dạng sau: (z1 , z2 ) → (w1 zσ(1) − a1 − a1 zσ(1) , w2 zσ(2) − a2 − a2 zσ(2) ) a1 , a2 ∈ ∆, σ phép tập {1, 2}, w1 , w2 ∈ C |w1 | = |w2 | = Định nghĩa 1.1.3 Cho X mặt liên thông, đồ phức U X họ cặp (U j , z j ), U = {(U j , z j )} j∈J thỏa mãn: 1) U j tập mở X, 2) j∈J U j = X, 3)z j : U j → W j đồng phơi, W j tập mở mặt phẳng phức, 4)Hàm z j thỏa mãn điều kiện tương thích sau: Nếu U j ∩ Uk ∅, zk ◦ z−1 : z j (U j ∩ Uk ) → zk (U j ∩ Uk ) chỉnh hình j Hàm z j gọi tọa độ địa phương, phép biến đổi zk ◦ z−1 hiểu phép j chuyển đồ Định nghĩa 1.1.4 Hai đồ phức U V gọi tương đương hay tương thích hợp chúng đồ phức, Một cấu trúc phức X lớp tương đương đồ phức, Một mặt Riemann mặt liên thơng với cấu trúc phức Ví dụ 1.1.4 Mặt phẳng phức C với hàm đồng z → z mặt Riemann Đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} nửa mặt phẳng H = {z ∈ C : Im z > 0} mặt Riemann Định nghĩa 1.1.5 Cho D miền bị chặn Cn Biên bD D gọi ¯ ρk ∈ C∞ (U), ≤ k ≤ m, cho trơn khúc tồn lân cận U D D = {q ∈ U; ρk q < 0, ≤ k ≤ m} dρk1 ∧ ∧ dρkl l j=1 Sk j với phân biệt k1 , , kl ∈ {1, , m}, S j = {q ∈ U; ρ j (q) = 0} Biên bD gọi trơn khúc, generic ∂ρk1 ∧ ∧ ∂ρkl l j=1 Sk j khúc, Levi-flat S j Levi-flat (xem mục 1.2) Biên bD gọi trơn 13 Jacobi (∂ f j /∂zk )m×n Độ đo Kobayashi-Eisenman D xác định : MED = inf{ |det f (0)|2 ; f ∈ H(∆n , D), f (0) = z} Độ đo Carathéodory D xác định MCD = sup{|det f (z)|2 ; f ∈ H(D, ∆n ), f (z) = 0} Bổ đề số tính chất mêtric Kobayashi-Royden hai độ đo bất biến trên: Bổ đề 1.3.1 Cho D, D1 D2 miền bị chặn Cn (1) Nếu f ∈ H(D1 , D2 ), FKD1 (p, ν) ≥ FKD2 ( f (p), f∗p (ν)) với (p, ν) ∈ T(D) (2) Nếu f ∈ H(D1 , D2 ), MD1 (z) ≥ MD2 ( f (z))|det f (z)|2 , M hai độ đo bất biến (3) Cho π : D1 → D2 ánh xạ phủ Khi FKD1 (z, ν) = FKD2 (π(z), π∗ (ν)) MED1 (z) = MED2 (π(z))|detπ (z)|2 (4) MED (z) ≥ MCD (z) với ∀z ∈ D Nếu MED (z0 ) = MCD (z0 ) với z0 ∈ D đó, D song chỉnh hình với ∆n Với θ ∈ (0, π), đặt Γθ = {rei(π+α) ; r > 0, −θ < α < θ} nón với đỉnh gốc góc đường sinh hướng âm trục Re z θ Đặt ∆(a, r) đĩa với tâm a bán kính r Đặt ∆ε = ∆(0, ε) Γεθ = Γθ ∩ ∆ε Bổ đề 1.3.2 Cho θ1 θ2 hai số cho < θ1 < θ2 < π Cho z j = r j e1(α j +π) , −θ1 < α j < θ1 , dãy Γθ1 Giả sử r j → α j → α ∈ (θ1 , θ1 ) Khi với hai số dương ε1 ε2 ,  2 MΓε1 (z j )  θ2 cos(απ/2θ2 ) θ1   lim =    θ1 cos(απ/2θ1 ) j→∞ MΓε2 (z j ) θ2 Trong M hai độ đo bất biến 14 Chứng minh Chú ý miền Γ xét bổ đề miền mặt phẳng phức C độ đo bất biến miền đồng bình phương mêtric Poincare Sử dụng ánh xạ bảo giác  2  + i(−z/ε)π/2θ    z → f (z) =   − i(−z/ε)π/2θ biến Γεθ lên nửa mặt phẳng Ta có metric Poincare nửa mặt phẳng là: Im z , từ áp dụng bổ đề (1.3.1) ta thu độ đo bất biến Γεθ là: MΓεθ (z) = | f (z)|2 4| Im f (z)|2 Vậy độ đo bất biến Γεθ là: MΓεθ (z) = (θ cos(πϕ/2θ))2 × 16r2 (1 − (r/ε)π/2θ )2 π2 + (r/ε)π/θ − 2(r/ε)π/2θ sin(πϕ/2θ) × + (r/ε)π/θ + 2(r/ε)π/2θ sin(πϕ/2θ) , với z = rei(π+φ) −θ < φ < θ Từ bổ đề chứng minh Chương Nhóm tự đẳng cấu khơng compact Trong chương hai, tìm hiểu chứng minh kết Fu − Wong tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước Kết Fu − Wong đưa định lý sau đây: Định lý 2.0.3 Nếu D miền đơn liên C2 với biên trơn khúc, generic, Levi-flat nhóm tự đẳng cấu Aut(D) khơng compact, D song chỉnh hình với song đĩa Trong trường hợp D miền lồi, kết chứng minh Kim (xem [Kim]): Định lý 2.0.4 Nếu D miền bị chặn, lồi C2 với biên trơn khúc, Levi-flat nhóm tự đẳng cấu Aut(D) khơng compact, D song chỉnh hình với song đĩa C2 Một kết tương tự chứng minh Pinchuk (xem [P]) D miền bị chặn với biên trơn khúc D song chỉnh hình 15 16 với tích hình cầu Chứng minh kết Fu-Wong (Định lý (2.0.3)): Trong toàn phần tiếp theo, sử dụng D ký hiệu miền đơn liên C2 với biên trơn khúc, generic, Levi-flat nhóm tự đẳng cấu Aut(D) khơng compact Cho {gk } ⊆ Aut(D) Giả sử gk (q) → bD k → ∞với q ∈ D Bằng cách chọn dãy giả sử dãy gk hội tụ địa phương D đến g Theo định lý Cartan ([?]) g : D → bD Đặt S = bD ∩ (∪ j k (S j ∩ Sk )) tập tất điểm biên kỳ dị Đặt R = bD \ S tập tất điểm biên quy 2.1 Chứng minh định lý phần Trong mục này, chứng minh định lý trường hợp g(D) ∩ R ∅ Đặt p = g(q) ∈ g(D) ∩ R Giả sử p ∈ S S siêu mặt xác định D với hàm xác định ρ Khi tồn lân cận U p cho D ∩ U = {(z, w) ∈ U; ρ(z, w) < 0} Từ bổ đề (1.2.3) ta có: g(D) ⊆ S Bổ đề 2.1.1 Với tất khái niệm điều kiện trên, có g constant Hơn ˆ miền compact tương đối D, g(D) ˆ mặt Riemann mở nữa, D đóng địa phương Chứng minh Chứng minh Đặt q j = g j (q) ký hiệu p j hình chiếu q j lên biên theo phương pháp tuyến bD p Đặt M j S qua p j đặt ν j véc tơ pháp tuyến phức đơn vị M j p j Từ ta có: ||(g−1 j ) (q j )ν j || K FKD (q, (g−1 j ) (q j )ν j ) = FD (q j , ν j ) 17 với j Đặt ν˜ j = (g−1 ) (q j )ν j /||(g−1 ) (q j )ν j || Bằng cách chọn dãy chúng j j ˜ Từ |g j (q)ν˜ j | ta giả sử ν˜ j hội tụ tới véc tơ đơn vị ν ˜ |g (q)ν| Do g có constant ˆ đặt p = g(q ) Sau phép biến đổi tọa độ gần p chúng Lấy q ∈ D ta giả sử p = (0, 0) hướng dương trục thực Re w véc tơ pháp tuyến bD p Lá S qua p tham số hóa địa phương ζ → (ζ, 0) Đặt g = (g1 , g2 ) Từ chứng minh bổ đề 1.2.3 ta suy g2 đồng lân cận q Do g1 constant ˆ ∩ (∆ε × ∆ε ) ⊇ ∆ε × với ε > đủ nhỏ Ta chứng minh Do g(D) ˆ ∩ (∆ε × ∆ε ) = ∆ε × Phản chứng giả sử điều sai, tồn g(D) ˆ cho p → p tọa độ thứ hai p khác Lấy dãy p j ∈ g(D) j j ˆ cho p = g(q ) Bằng cách chọn dãy giả sử qj ∈ D j j ˜ = p , có g2 (z, w) ≡ với (z, w) lân q j → q˜ ∈ D Do g(q) ˜ Mâu thuẫn với giả thiết tọa độ thứ hai khác cận q Bổ đề 2.1.2 Cho Ω miền bị chặn cho M = ∆ × {0} ⊆ bΩ S = bΩ ∩ (∆ × ∆ε0 ) trơn Levi-flat với ε0 > Với δ ∈ (0, 1), ε > đặt Uδε = ∆δ × ∆ε Khi với dãy q j ∈ Ω → (0, 0) ta có: lim lim ε→0 j→∞ MCΩ∩Uδε (q j ) Ω∩Uδε (q j ) =1 Chứng minh Chứng minh, Bởi định lý (1.2.2), chọn hệ tọa độ lân cận M cho véc tơ pháp tuyến bΩ hướng dương trục thực Re w với điểm M Khi S cho lân cận ∆δ × {0} hàm xác định dạng : ρ(z, w) = Re w + r(z, z¯ , Im w), Ở |r(z, z¯ , Im w)| ≤ C| Im w|2 với C số dương 18 Đặt Nδ lân cận ∆δ ×0 Φ(t, ζ) = (ζ, ϕ(t, ζ)) : (−1, 1)×∆δ → S∩Nδ vi phôi xây dựng bổ để (1.2.1) Viết q j = (z j , a j + ib j ) Chọn t j ∈ (1, 1) thỏa mãn ϕ(t j , z j ) = −r(z j , z¯ j , b j ) + ib j Mỗi t j xác định t j → Ta có L j = Φ(t j , ∆δ ) qua hình chiếu q j lên S theo phương hướng dương trục thực Re w Đặt v j = arg((∂ρ/∂w)(z, ϕ(t j , z))) argument lấy theo nhánh Từ (∂ρ/∂w)(z, 0) = 1/2 với |z| < δ, ta có v j xác định j đủ lớn Từ định lý (1.2.2) ta suy v j hàm điều hòa Đặt u j (z) liên hợp điều hòa v j cho u j (0) = Đặt h j (z ) = exp(−u j (z ) + iv j (z )), ta có h j hàm chỉnh hình Cho F j : (z, w) → (z , w ) xác định z = z w = (w − ϕ(t j , z))h j (z) Khi ta có: ˜ , w ) < 0}, F j (Ω ∩ Uδε ) = {(z , w ) : |z | < δ, |w /h j (z ) + ϕ(t j , z )| < ε, ρ(z ˜ , w ) = ρ(F−1 ρ(z (z , w )) Từ j ˜ , 0) = 0, ρ(z ∂ρ˜ ∂z (z , 0) = ∂ρ˜ ∂w (z , 0) = ∂ρ ∂w (z , ϕ(t j , z )) eu j (z ) > với |z | < δ, đó, hệ tọa độ (z , w ), L j = ∆δ × {0} véc tơ pháp tuyến điêm L j hướng dương trục thực Re w Mặt khác tồn số C > cho |ϕ(t j , z)| ≤ C|t j | 1/C ≤ |h j (z)| ≤ C với |z| < δ với j đủ lớn Do đó, tồn số a > b > cho ∆δ × {|w | < ε/b; Re w + a| Im w |2 < 0} ⊆ F j (Ω ∩ Uδε ) ⊆ ∆δ × {|w | < bε; Re w − a| Im w |2 < 0} 19 với ε đủ nhỏ j đủ lớn Do với hai góc θ1 ∈ (0, π/2) θ2 ∈ (π/2, π), có ∆δ × Γε/b ⊆ F j (Ω ∩ Uεδ ) ⊆ ∆δ × Γbε thỏa mãn với θ2 θ1 ε đủ nhỏ Đặt q j = F j (q j ) w j tọa độ thứ hai q j Từ bổ đề (1.3.1) suy ra: 1≥ MCΩ∩Uεδ (q j ) MEΩ∩Uεδ (q j ) MC ≥ ∆δ ×Γbε θ (q j ) ME ε/b (q j ) ∆δ ×Γθ = MCbε (w j ) Γθ MEε/b (w j ) Γθ Theo bổ đề (1.3.2) hạng tử cuối chọn đủ gần j → ∞,ε → 0, θ1 → (π/2)− , θ2 → (π/2)+ Tiếp theo chứng minh định lý trường hợp g(D) ∩ R ∅ Sử dụng ý tưởng chứng minh từ kết trước Fu-Wong xem [FW2] Chúng ta giữ bước phần bắt đầu mục Trước tiên xét tập Dε = {q ∈ D, dist(q, bD) > ε} có rút (liên tục) D với ε > đủ nhỏ Từ D liên thông ta suy Dε Do dó phủ D miền compact tương đối, liên thông Cho D1 D2 hai tập liên thông D cho q ∈ D1 ⊂⊂ D2 ⊂⊂ D Đặt V = g(D2 ) Bởi bổ đề (2.1.1) ta suy V mặt Riemann mở đóng địa phương Hơn nữa, V hyperbolic đa tạp phức miền bị chặn C2 Ta có mặt Riemann đa tạp Stein (xem [?, Thm 3.10.13]) phân thớ đường chỉnh hình mặt Riemann mở tầm thường (xem [For, Thm 30.3]), từ từ hệ (xem [Siu, Cor 1]) ta suy tồn ánh xạ song chỉnh hình Ψ từ lân cận mở W V tới lân cận mở U V × {0} V × C cho Ψ(g(z, w)) = (g(z, w), 0) với (z, w) ∈ D2 Chúng ta giả sử U ⊂ V × ∆ Cho π1 : ∆ → V ánh xạ phủ phổ dụng Đặt π(z, w) = (π1 (z), w) Đặt Ω = π−1 (Ψ(W ∩ D)) Khi ˜ , w ) < 0}, Ω = {(z , w ) ∈ ∆ × C; π(z , w ) ∈ U, ρ(z ˜ , w ) = ρ(Ψ−1 (π(z , w ))) Dễ dàng ρ(z ˜ , 0) = ρ(z 20 ˜ ˜ (∂ρ/∂z )(z , 0) = 0, (∂ρ/∂w )(z , 0) Khi bΩ trơn Levi-flat lân cận M = ∆ × {0} Cố định nghịch ảnh p ∈ π−1 (Ψ(p)) Sau phép đổi biến giả sử p = (0, 0) Do π một địa phương , nên tồn nâng q j Ψ(q j ) với j đủ lớn cho q j → p Từ D1 đơn liên g j (D1 ) ⊆ W ∩ D với j đủ lớn, tồn nâng g˜ j ˜ = p Chọn g˜ : D1 → Ω Ψ(g j ) Ψ(g) tương ứng cho g˜ j (q) = q j g(q) ˜ ) ⊂⊂ ∆δ × {0} Lấy ε > Uδε = ∆δ × ∆ε Khi δ ∈ (0, 1), đủ gần cho g(D g˜ j (D1 ) ⊂ Ω ∩ Uδε với j đủ lớn Từ bổ đề (1.3.1) ta suy MCD1 (q) MED (q) ≥ ≥ = |det g˜ j (q)|2 MCg˜ j (D1 ) (q j ) |detg j (q)|2 MED (q j ) ≥ |det g˜ j (q)|2 MCΩ∩Uδε (q j ) |detg j (q)|2 MED (q j ) |det g˜ j (q)|2 MCΩ∩Uδε (q j ) |detg j (q)|2 MEπ(Ω∩Uδε ) (q j ) |det g˜ j (q)|2 MCΩ∩Uδε (q j ) |det g˜ j (q)|2 |detπ (q j )|2 MEπ(Ω∩Uδε ) (q j ) ≥ MCΩ∩Uδε (q j ) MEπ(Ω∩Uδε ) (q j ) Từ theo bổ đề (2.1.2) ta có: MCD1 (q)/MED (q) ≥ Chúng ta phủ D miền đơn liên, compact tương đối, MCD (q)/MED (q) ≥ Theo bổ đề (1.3.1) D song chỉnh hình với song đĩa 2.2 Chứng minh định lý phần Trong mục này, chứng minh định lý trường hợp: g(D) ∩ S ∅ Lấy p ∈ g(D) ∩ S, p ∈ g(D) nên tồn q ∈ D cho g(q) = p Khi tồn lân cận U p cho U ∩ D = {(z, w) ∈ U; ρ1 < 0, ρ2 < 0} ρ1 ρ2 hàm hệ hàm xác định D Đặt S1 S2 siêu 21 mặt xác định tương ứng với ρ1 ρ2 Theo bổ đề (1.2.3) ta có g(D) ⊆ S1 ∩S2 Do ∂ρ1 ∧∂ρ2 S1 ∩S2 nên ∂ρ1 (p) ∂ρ2 (p) độc lập tuyến tính C, Sau phép biến đổi tuyến tính giả sử p = (0, 0), ∂ρ1 (p) = (0, 1), ∂ρ2 (p) = (1, 0) Để chứng minh định lý trường hợp này, cần hai bổ đề tương tự chứng minh định lý phần 1, đưa đây: Bổ đề 2.2.1 Điểm biên p điểm peak địa phương D Chứng minh Giả sử hai L1 L2 hai phân S1 S2 qua p cho địa phương ϕ(ζ) = (ϕ1 (ζ), ϕ2 (ζ)) ψ(ζ) = (ψ1 (ζ), ψ2 (ζ)) tương ứng Sau phép đổi biến, giả sử ϕ(0) = ψ(0) = p, ϕ (0) = (1, 0), ψ (0) = (1, 0) Sau phép đổi hệ tọa độ từ (z, w) → (z , w ) z = z − ψ1 (φ−1 (w)) w = w − ϕ2 (ϕ−1 (z)), giả sử L1 L2 cho địa phương ∆δ1 × {0} {0} × ∆δ2 tương ứng Do đó, S1 S2 xác định Re w + Im w.O(|w| + | Im w|) = Re z + Im z.O(|z| + | Im z|) = tương ứng Sau phép co rút U, có D ∩ U ⊆ {Re w − | Im w| < 0} × {Re z − | Im z| < 0} Đặt fp (z, w) = exp(−(−z)2/3 − (−w)2/3 ) hàm bậc ba lấy theo nhánh Khi fp hàm peak địa phương p Bổ đề 2.2.2 Cho Uε = ∆ε × ∆ε Khi với dãy {q j } D hội tụ tới p, limε→0 lim j→∞ MCD∩Uε (q j ) MED∩Uε (q j ) = 22 Chứng minh Như bổ đề trên, chọn hệ tọa độ lân cận p cho phân S1 S2 qua p cho L1 = ∆ε0 × {0} L2 = {0} × ∆ε0 với ε0 số dương Hơn theo định lý (1.2.2), giả sử véc tơ pháp tuyến S1 hướng dương trục Re w điểm L1 véc tơ pháp tuyến S2 hướng dương trục Re z điểm L2 Với ε ∈ (0, ε0 ), đặt Φ(t, ζ) = (ζ, ϕ(t, ζ)) vi phơi từ (−1, 1) × ∆ε tới lân cận ∆ε × {0} S1 xác định chứng minh bổ đề (1.2.1) Chọn t j cho t j → L1j = Φ(t j , ∆ε ) phân S1 mà qua hình chiếu q j S1 theo hướng dương trục Re w Đặt v1j (z) = arg(∂ρ1 /∂w)(z, ϕ(t j , z)) Theo định lý (1.2.2), v1j (z) điều hòa ∆ε Gọi u1j (z) liên hợp điều hòa cho u1j (0) = Đặt h1j (z) = exp(−u1j (z) + iv1j (z)) Xác định F1j : (z, w) → (z , w ) z = z w = (w − ϕ(t j , z))h1j (z) Đặt ρ˜ (z , w ) = ρ1 ((F1j )−1 (z , w )) ρ˜ (z , w ) = ρ2 ((F1j )(z , w )) Khi ρ˜ (z , 0) = 0, ∂ρ˜ ∂w (z , 0) = ∂ρ1 ∂w ∂z với |z (0, w ) = ∂ρ2 ∂z ∂z (z , 0) = (z , ϕ(t j , z )) eu j (z ) > 0; ρ˜ (0, w ) = 0, ∂ρ˜ ∂ρ˜ ∂ρ˜ ∂w (0, w ) = 0, (0, w /h1j (0) + ϕ(t j, 0)) > 0, < ε| |w /h1j (0) + ϕ(t j , 0)| < ε0 Do đó, hệ tọa độ (z , w ), L1j = ∆ε × {0} véc tơ pháp tuyến ngồi S1 điểm L1j hướng dương trục Re w Hơn nữa, L2 = {(0, w ); |w /h1j (0) + ϕ(t j , 0)| < ε0 } véc tơ pháp tuyến S2 điểm L2 hướng dương trục Re z 23 Do h j (0) → ϕ(t j , 0) → nên với j đủ lớn ta có F1j (L2 ) ⊇ {(0, w ); |w | < ε0 } ∆ε × ∆ε/2 ⊆ F1j (Uε ) ⊆ ∆ε × ∆ε/2 Đặt Ψ(s, w ) vi phơi từ (−1, 1) × ∆ε lên lân cận {0} × ∆ε F1j (S2 ) xác định chứng minh bổ đề (1.2.1) Chọn s j cho s j → L2j = Ψ(s j , ∆ε ) phân F1j (S2 ) qua hình chiếu q j lên S2 theo hướng dương trục Re z Đặt v2j (w ) = arg(∂ρ2 /∂z )(ψ(s j , w ), w ) Đặt u2j liên hợp điều hòa v2j ∆ε cho u2j (0) = Đặt h2j (w ) = exp(−u2j (w )+iv2j (w )) Xác định F2j : (z , w ) → (z , w ) = (z −ψ(s j , w ))h2j (w ), w Đặt ρˆ (z , w ) = ρ1 ((F2j )−1 (z , w )) ρˆ (z , w ) = ρ2 ((F2j )−1 (z , w )) Khi ρˆ (z , 0) = 0, ∂ρˆ ∂w (z , 0) = ∂ρ˜ ∂w ∂w (0, w ) = ∂z (z , 0) = (z /h2j (0) + ψ(s j , 0), ) > 0; ρˆ (0, w ) = 0, ∂ρˆ ∂ρˆ ∂ρ˜ ∂z ∂ρˆ ∂w (0, w ) = 0, u2j (w ) (ψ(s j , w ), w ) e > 0, với |z /h2j (0) + ψ(s j , 0)| < ε |w | < ε Do tọa độ (z , w ), L1j L2j đĩa mặt phẳng tọa độ véc tơ pháp tuyến S1 S2 tương ứng hướng dương trục Re w Re z điểm L1j L2j Đặt F j = F2j ◦ F1j Khi với j đủ lớn, ∆ε/2 × ∆ε/2 ⊆ F j (Uε ) ⊆ ∆2ε × ∆2ε Hơn nữa, tồn số dương C cho 24 {|z | < ε/2; Re z + C| Im z |2 < 0} ×{|w | < ε/2; Re w + C| Im w |2 < 0} ⊆ F j (D ∩ Uε ) = {(z , w ) ∈ F j (Uε ); ρˆ (z , w ) < 0, ρ2 (z , w ) < 0} ⊆ {|z | < 2ε; Re z − C| Im z |2 < 0} × {|w | < 2ε; Re w − C| Im w |2 < 0}, với j đủ lớn Do với hai góc θ1 ∈ (0, π/2) θ2 ∈ (π/2, π), có Γε/2 × Γε/2 ⊆ F j (Ω ∩ Uε ) ⊆ Γ2ε × Γ2ε ε đủ nhỏ Đặt q j = (z j , w j ) = F j (q j ) θ2 θ2 θ1 θ1 Khi 1≥ MCΩ∩Uε (q j ) MEΩ∩Uε (q j ) ≥ MCΓ2ε ×Γ2ε (q j ) θ2 MEε/2 MCΓ2ε (z j ) MCΓ2ε (w j ) θ θ = E2 E2 M ε/2 (z j ) M ε/2 (w j ) ε/2 (q j ) θ2 Γθ ×Γθ 1 Γθ Γθ Từ bổ đề (1.3.2) hạng tử cuối biểu thức chọn đủ gần cho j → ∞, ε → 0, θ1 → (π/2)− θ2 → (π/2)+ , bổ đề chứng minh Bây giờ, chứng minh định lý trường hợp g(D) ∩ S ∅ giả sử Đặt q j = g j (q) Lấy D1 miền compact tương đối D chứa q Với ε > 0, Do g(D) = {p} nên g j (D1 ) ⊆ D ∩ Uε với j đủ lớn Do đó, theo bổ đề (1.3.1) (2) có: MCD1 (q) MED (q) Theo bổ đề (2.2.2), = MCgj (D1 ) (q j ) MCD1 (q)/MED (q) MCD∩Uε (q j ) ≥ E MED (q j ) MD∩Uε (q j ) ≥ Phủ D D1 , có Từ theo bổ đề (1.3.1) (4) D song chỉnh hình với song đĩa MCD (q) MED (q) ≥ 25 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày nhóm tự đẳng cấu miền với biên phẳng Levi Cụ thể luận văn trình bày kết sau: Phần luận văn trình bày số khái niệm giải tích phức hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình, metric độ đo bất biến, siêu mặt Levi-flat Đó khái niệm quan trọng để nghiên cứu lĩnh vực giải tích phức, cụ thể tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền, hay toán phân loại miền dựa vào nhóm tự đẳng cấu Phần sau luận văn em tập trung trình bày lại chứng minh kết Fu Wong ([FW1]) toán xác định lớp miền bị chặn với biên Leviflat, trơn khúc có nhóm tự đẳng cấu khơng compact Thông qua luận văn em hiểu thêm số kiến thức giải tích phức, việc nghiên cứu kết Fu Wong hướng để tìm câu trả lời cho việc tìm hiểu toán mà Cartan đưa Tài liệu tham khảo [Ca] H Cartan, Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semicerclés bornés, Math Ann 106 (1932), 540-573 [DF] K Diederich and J Forness, Pseudoconvex domains: an example with nontrivial nebenhiille, Math Ann 225 (1977), 275-292 [For] O Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1981 [Fre] M Freeman, Local complex foliation of real manifolds, Math Ann 209 (1974), 1-30 [FW1] S Fu and B Wong, On a Domain in C2 with generic piecewise smooth levi-flat boundary and non-compact automorphism group, Complex Variables 42(1)(2000), 25-40 [FW2] S Fu and B Wong, On boundary accumulation points of a smoothly bounded pseudoconvex domain in C2 , Math Ann 310 (1998), 183-196 [Kim] K.T Kim, Domain in Cn with a piecewise Levi flat boundary which possess a noncompact automorphism group, Math Ann 292 (1992), 575586 [Kr] S Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, John Wiley and Sons, 1982 26 27 [Na] R Narasimhan, Several Complex Variables, The University of Chicago, 1971 [P] S Pinchuk, Homogeneous domains with piecewise-smooth boundaries, Math Notes 32 (1982), 849-852 [R] J.P Rosay, Sur une characterization de la boule parmi les domains de Cn par son groupe d’automorphismes, Ann Inst Four Grenoble 29 (1979), 91-97 [Siu] Y.T Siu, Every Stein subvariety admits a Stein neighborhood, Invent Math 38 (1976), 89-100 [W1] B Wong, Characterization of the unit ball in Cn by its automorphism groups, Invent Math 41 (1977), 253-257 [W2] B Wong, Characterization of the bidisc by its automorphism group, Amer J Math 177 (1995), 279-288 ... định nhóm tự đẳng cấu miền, hay tốn phân loại miền dựa vào nhóm tự đẳng cấu Phần sau luận văn em tập trung trình bày lại chứng minh kết Fu Wong ([FW1]) toán xác định lớp miền bị chặn với biên. .. NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG... miền bị chặn, lồi C2 với biên trơn khúc, Levi-flat nhóm tự đẳng cấu Aut(D) khơng compact, D song chỉnh hình với song đĩa C2 Một kết tương tự chứng minh Pinchuk (xem [P]) D miền bị chặn với biên