(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử luận văn ths toán học 60 46 30

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 604630 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn nhận giúp đỡ to lớn Thầy, Cơ giáo, gia đình bạn bè xung quanh Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Trong trình giảng dạy hướng dẫn, thầy ân cần, động viên, giúp đỡ bảo tận tình cho tơi Tơi gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng sau đại học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội dạy dỗ, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, đặc biệt Thầy, Cô Seminar Bộ mơn Tốn học tính tốn có ý kiến đóng góp q báu giúp cho luận văn hồn chỉnh Ngồi tơi xin gửi lời cảm ơn tới bạn đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tơi q trình thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình sinh thành, ni dưỡng động viên tơi nhiều thời gian qua Dù cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Mọi ý kiến đóng góp tơi xin đón nhận với lịng biết ơn chân thành Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2011 Học Viên Đặng Văn Hiếu MỞ ĐẦU Nhiều toán khoa học kĩ thuật dẫn đến việc giải phương trình F(x) = y, F : X → Y tốn tử (tuyến tính phi tuyến), X,Y khơng gian Banach Bài toán gọi đặt chỉnh, Phương trình ln có nghiệm với y ∈ Y Nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu F, y Khi ta có nhiều phương pháp giải toán Tuy nhiên thực tế khơng phải lúc tốn đặt chỉnh, tức Tồn lại y ∈ Y để phương trình vơ nghiệm có nhiều nghiệm Nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu F, y Các tốn đặt khơng chỉnh khó giải có sai số liệu phải tính tốn gần máy tính Khi ta cần có chiến lược hiệu chỉnh để giải tốn Nói nơm na, ta thay tốn đặt khơng chỉnh họ tốn đặt chỉnh phụ thuộc tham số mà nghiệm chúng hội tụ đến nghiệm tốn đặt khơng chỉnh tham số hiệu chỉnh dần tới không Trong toán nhận dạng đa tham số, ta phải xác định x, biết liệu gần yδi yi , tức phải giải hệ phương trình (thơng thường đặt không chỉnh) Fi (x) = yδi , i = 1, , l Nếu xem yδ véc tơ yδ = (yδ1 , yδ2 , , yδl ), với yδi ∈ Yi , δ véctơ nhiễu δ = (δ1 , δ2 , , δl )T ∈ Rl (mức nhiễu) hệ phương trình tốn tử đưa phương trình tốn tử khơng gian tích F(x) = yδ Trong nhiều trường hợp việc xét hệ phương trình thay cho phương trình khơng gian tích với tham số hiệu chỉnh cho kết khả quan Sau hai ví dụ đưa hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Ví dụ (Bài tốn khơi phục hệ số phương trình từ ánh xạ Dirichlet Neumann) Ứơc lượng hệ số q ≥ từ phương trình vi phân riêng −∆u + qu = 0, x ∈ Ω ⊂ Rd , ∂u biên ∂ Ω Ω Giả sử biết trước p ∂v giá trị Dirichlet u biên ∂ Ω f0, f1 , , f p−1 đo đạc ∂ ui biên ∂ Ω tương ứng Khi ta viết lại tốn giá trị Neumann gi = ∂v với điều kiện biên Neumann g = Fi (q) = gi , i = 0, , p − 1, Fi : D(Fi ) ⊂ L2 (Ω) → H −1/2 (∂ Ω) toán tử phi tuyến ánh xạ q tới ∂ ui , ui ∈ H (Ω) nghiệm yếu hệ ∂v  −∆u + qu = 0, x ∈ Ω ⊂ Rd i i ui = fi , x ∈ ∂ Ω Bài toán ước lượng q ≥ từ hệ đặt khơng chỉnh (xem [5]) Ví dụ (Bài tốn ước lượng mơmen phi tuyến) Bài tốn ước lượng mơmen phi tuyến tìm hàm u ∈ L2 (Ω) miền bị chặn Ω ⊂ Rd thỏa mãn hệ phương trình tích phân phi tuyến gi = Ω ki (x, u(x))dx ∈ Rm , i = 1, , p, với nhân trơn ki : Ω × R → Rm véctơ gi cho trước (i = 1, , p) Ta đưa toán Fi (u) = gi , i = 1, , p, Fi : L2 (Ω) → Rm toán tử phi tuyến đưa u vào tốn đặt khơng chỉnh (xem [5]) Ω ki (x, u(x))dx Đây Đã có nhiều phương pháp giải hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Ngồi phương pháp lặp xoay vịng Landweber - Kaczmarz, Newton Kaczmarz, đường dốc Kaczmarz, nhóm nhà khoa học Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đề xuất phương pháp chỉnh lặp song song: Newton hiệu chỉnh song song, Gauss - Newton hiệu chỉnh song song, phương pháp chiếu điểm gần kề song song, phương pháp CQ - song song giải hệ phương trình tốn tử Đăc điểm phương pháp hai trình hiệu chỉnh phân rã song song thực đồng thời tương thích với Luận văn trình bày ba phương pháp giải hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh: Phương pháp cực tiểu phiếm hàm ổn định với hạn chế độ lệch mức sai số cho phép Phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov phương pháp Gauss - Newton hiệu chỉnh song song Nội dung luận văn bao gồm vấn đề sau đây: Thiết lập tính đặt chỉnh tốn tối ưu có ràng buộc liên kết với hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh đa tham số trường hợp tổng quát Thiết lập mối liên hệ phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Tikhonov đánh giá tốc độ hội tụ Trình bày phương pháp chỉnh lặp song song dạng Gauss - Newton Các vấn đề − trình bày báo Torsten Hein [2] Phần nghiên cứu cơng trình Phạm Kỳ Anh Vũ Tiến Dũng [1] Phần kết học viên phát triển dựa theo tài liệu Torsten Hein [2], Nguyễn Bường Nguyễn Đình Dũng [3] Chương Hiệu chỉnh đa tham số - hội tụ tốc độ hội tụ Trong chương này, đề cập tới phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Torsten đề xuất dựa việc cực tiểu phiếm hàm ổn định với điều kiện độ lệch phương trình nằm giới hạn sai số cho phép, bao gồm bổ đề tính ổn định định lý tốc độ hội tụ Cuối chương, chúng tơi giới thiệu hai thuật tốn giải toán tối ưu mối liên hệ phương pháp hiệu chỉnh đa tham số phương pháp nhân tử Lagrange Nội dung chương trình bày theo dựa theo tài liệu [2] 1.1 Đặt toán Cho X,Y j , ( j = 1, , l) không gian Banach phản xạ Để đơn giản, chuẩn khơng gian X,Y j kí hiệu Fj : D(Fj ) ⊂ X → Y j ( j = 1, , l) nói chung toán tử phi tuyến Đặt D = lj=1 D(Fj ), giả sử D = ∅ Nếu vế phải cho xác ta có hệ sau Fj (x) = y j ( j = 1, , l), x ∈ D (1.1.1) Tuy nhiên liệu y j thường bị nhiễu yδj : ||yδj − y j || ≤ δ j ta có phương trình ( j = 1, , l), x ∈ D (1.1.2) Fj (x) = yδj Trong ứng dụng tốn (1.1.2) thường tốn đặt khơng chỉnh Ngay hệ (1.1.1) (1.1.2) giải nghiệm (1.1.2) khơng phụ thuộc liên tục vào liệu Nghĩa x† nghiệm (1.1.1) xδ nghiệm (1.1.2) ||x† − xδ || lớn tùy ý δ j ( j = 1, , l) đủ nhỏ Chiến lược hiệu chỉnh Xét phiếm hàm ổn định J : D ⊂ X → R mà tính chất liệt kê mục 1.2 thay (1.1.2) toán tối ưu có ràng buộc sau  J(x) → x∈ D (1.1.3)  F (x) − yδ ≤ δ , j = 1, , l j j j Trong lý thuyết hiệu chỉnh Tikhonov, ta thay (1.1.2) toán cực tiểu phiếm hàm l j=1 Yj ∑ λ j Fj (x) − yδj + J (x) → min, x∈D (1.1.4) λ j > 0( j = 1, , l) tham số hiệu chỉnh Khi dùng phương pháp Lagrange để giải tốn (1.1.3) ta xem tham số λ j > 0( j = 1, , l) nhân tử Lagrange Các số α j = , ( j = 1, , l) đóng vai trị tham số hiệu chỉnh phương pháp hiệu λj chỉnh đa tham số 1.2 Các kết tính ổn định Ta tính đặt chỉnh tốn (1.1.3) Cụ thể ta thiết lập số điều kiện để tốn (1.1.3) có nghiệm xδ phụ thuộc liên tục vào liệu yδj , j = 1, , l Ta cách tiếp cận toán (1.1.3) gần giống việc chứng minh tồn tại, tính ổn định hội tụ điểm cực tiểu xδα phiếm hàm Tikhonov F(x) − yδ Y + α J(x), (1.2.1) J(x) = ||x − x∗ | |2 J(x) = ||D(x − x∗ )| |2 , D tốn tử tuyến tính đóng Sau số giả thiết toán tử Fj , ( j = 1, , l) phiếm hàm ổn định J(x): A1 Với liệu xác hệ (1.1.1) có nghiệm x† , tức Fj (x† ) = y j , ( j = 1, , l) A2 Fj , ( j = 1, , l) tốn tử liên tục đóng yếu (xn ∈ D(Fj ), xn ⇀ x, Fj (xn ) ⇀ y j x ∈ D(Fj ) Fj (x) = y j ) A3 Phiếm hàm J : D ⊂ X → R không âm nửa liên tục yếu (xn ⇀ x J(x) ≤ lim (inf J(xn ))) n→∞ A4 Tập l A(C) := x ∈ X : J(x) + ∑ Fj (x) ≤ C j=1 bị chặn X với C ≥ A5 Nếu xn ⇀ x J(xn ) → J(x) xn → x Nhận xét Giả thiết A1 giả thiết tự nhiên toán nhận dạng, tức có quan sát xác y j , ( j = 1, , l) ta giả thiết có "tham số" x† ∈ D thỏa mãn hệ (1.1.1) Nhưng điều khơng cịn liệu bị nhiễu yδj , ( j = 1, , l) Tức nghiệm (1.1.2) khơng tồn Kí hiệu Mδ = x ∈ X : Fj (x) − yδj Yj ≤ δ j , ( j = 1, , l) (1.2.2) tập phần tử chấp nhận Vì x† ∈ Mδ , ∀δ ≥ nên Mδ = Ø Ngồi Fj liên tục nên Mδ tập đóng Bây ta chứng minh tồn nghiệm xδ (1.1.3) Bổ đề 1.2.1 Với điều kiện (A1) − (A4) ln tồn nghiệm xδ (1.1.3) Chứng minh Giả sử {xn } ⊂ Mδ dãy cực tiểu cho: J(xn+1 ) ≤ J(xn ) lim J(xn ) = inf J(x) Ta có: J(xn ) ≤ J(x0 ), ∀n ≥ n→∞ Từ (1.2.2) ta có x∈D Fj (xn ) ≤ yδj + δ j ≤ y j + 2δ j , j = 1, , l l Đặt C := J(x0 ) + ∑ y j + 2δ j j=1 Suy xn ∈ A(C) Do {(xn , F1 (xn ) , , Fl (xn )}n bị chặn không gian Banach phản xạ X ×Y1 × ×Yl Suy ra, tồn dãy {xnk } cho xnk ⇀ x Fj (xnk ) ⇀ y j , (1 ≤ j ≤ l) Theo (A2) Fj (x) = y j ta có Fj (xnk ) − yδj ⇀ y j − yδj = Fj (x) − yδj , Theo tính nửa liên tục yếu chuẩn,suy Fj (x) − yδj ≤ lim inf F (xnk ) − yδj ≤ δ j , (1 ≤ j ≤ l) , k→∞ chứng tỏ x ∈ Mδ Theo (A3) xnk ⇀ x suy J (x) ≤ lim inf J (xnk ) Từ x nghiệm k→∞ (1.1.3).⊠ Bổ đề 1.2.2 Cho điều kiện (A1)−(A4) Hơn {y j } với y j − yδj ≤ (n) (n) c j , c j → (n → ∞) Gọi {xδn } dãy nghiệm (1.1.3) ứng với yδj = y j (n) (n) (n) (n) δ j + c j Khi Tồn dãy {xδnk } ⇀ xδ nghiệm (1.1.3) Nếu xδ nghiệm xδn ⇀ xδ 10 xét tốn tối ưu khơng ràng buộc Φδn (∆x) = N ∑ j=1 Fj (xδn )∆x − yδj − Fj (xδn ) ′ Yj + αn xδn − x0 + ∆x → ∆x∈ X Đây dạng tồn phương, đạt cực tiểu nghiệm phương trình ∂ Φδn = Tìm ∆x từ phương trình ta xấp xỉ xδn+1 = ∂ ∆x xδn + ∆x, nghĩa xδn+1 = xδn − N ∑ ∗ ′ Fi (xδn ) Fi (xδn ) + αn I ′ −1 i=1 N ∗ ∑ Fi (xδn ) ′ i=1 Fi (xδn ) − yδi + αn xδn − x0 (3.1.5) Tuy nhiên thuật toán (3.1.5) thuật toán Ta song song hóa phép lặp (3.1.5) sau (xem [15]) Thuận toán song song (PA) Cho xδ0 n := Tính tốn đồng thời thành phần thứ i : xδn+1,i , ≤ i ≤ N N xử lý ∗ xδn+1,i = xδn − Fi (xδn ) Fi (xδn ) + βnI ′ ′ ∗ Fi (xδn ) ′ βn = −1 Fi (xδn ) − yδi + βn xδn − x0 , (3.1.6) αn N Đặt xδn+1 N δ = ∑ xn+1,i N i=1 (3.1.7) Nếu n > Nδ (xác định 3.2.4 đây) dừng thuật tốn, ngược lại n := n + quay lại bước 39 Nhận xét Công thức (3.1.6) gồm bước lặp IRGNM áp dụng cho toán nhỏ (3.1.2) Tuy nhiên hội tụ (3.1.5) không hội tụ (3.1.6) (3.1.7) 3.2 Sự hội tụ Bổ đề 3.2.1.[7] Cho dãy không âm {γn}n thỏa mãn γn+1 ≤ a+bγn +cγn2 , ∀n ≥ với a, b, c > √ √ 1−b+ (1−b)2 −4ac 1−b− Đặt M+ := , M− := √2c Khi đó, b + ac < 1, γ0 ≤ M+ (1−b)2 −4ac 2c γn ≤ l := max {γ0 , M− } Chứng minh Rõ ràng γ0 ≤ l Giả sử γk ≤ l, γk+1 − l ≤ a + bγk + cγk2 − l ≤ a + (b − 1)l + cl ≤ l ∈ [M−, M+ ] Do γk+1 ≤ l Theo quy nạp ta có điều phải chứng minh Sau cách chọn tham số số giả thiết Ta chọn tham số αn thỏa mãn αn > 0, αn → ≤ αn ≤ ρ với ρ > αn+1 Gọi Br (x0 ) hình cầu đóng tâm x0 bán kính r > X Trước vào định lý hội tụ ta cịn có số giả thiết sau: G1 Hệ (3.1.1) có nghiệm xác x† ∈ Br (x0 ) Fi , (i = 1, , N) hàm khả vi liên tục B2r (x0 ) G2 Có điều kiện nguồn [5] x† − x0 = ((Fi (x† ))∗ Fi (x† ))µ vi ′ Hơn 40 ′ (3.2.1) Fi , (i = 1, , N) thỏa mãn đk sau [10, 13]: ∀x, z ∈ B2r (x0 ), ∀v ∈ X, ∃hi (x, z, v) ∈ X cho i Nếu < µ ≤ ′ ′ ′ (Fi (x) − Fi (z))v = Fi (z)hi (x, z, v) (3.2.2) hi (x, z, v) ≤ K0 x − z v ii Nếu ′ < µ ≤ Fi liên tục Lipschitz, tức ′ ′ (Fi (x) − Fi (x)) ≤ L x − x , i = 1, , N, ∀x, x ∈ B2r (x0 ) (3.2.3) Định lý 3.2.2 Cho giả thiết G1 G2 số dừng thuật toán PA (3.1.6.) (3.1.7.) thỏa mãn điều kiện tiên nghiệm µ+ ηαNδ 1 µ+ µ+ ≤ δ N < ηαn , ∀n : ≤ n < N , δ (3.2.4) η > tham số cố định N Nếu ∑ vi η đủ nhỏ xδ0 đủ gần x† phương pháp (thuật tốn song i=1 song) PA (3.1.6.), (3.1.7.) hội tụ ta có đánh giá µ xδn − x† = O(αn ) (3.2.5) Chứng minh Giả sử xδn ∈ Br (x† ) Đặt [7, 5, 9, 12] Ai := Fi (x† ); Ain := ′ Fi (xδn ); en := xδn − x†; ein+1 := xδn+1,i − x† Từ 3.1.6 ta suy ′ ein+1 = en − (A∗in Ain + βnI)−1 A∗in (Fi (xδn ) − yδi ) + βn(xδn − x0) , ein+1 = (A∗in Ain + βnI)−1 (βn x0 − x† + A∗in yδi − yi − A∗in Fi (xδn ) − yi − Ain en ) (3.2.6) 41 Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: < µ ≤ Ta có (A∗i Ai + βnI)−1 − (A∗in Ain + βnI)−1 = = −(A∗in Ain + βnI)−1 [(A∗i − A∗in ) Ai + A∗in (Ai − Ain )] (A∗i Ai + βnI)−1 Khi ein+1 = −βn(A∗i Ai + βnI)−1(A∗i Ai )µ vi − βn (A∗in Ain + βnI)−1 [A∗in (Ai − Ain) + (A∗i − A∗in ) Ai ] (A∗i Ai + βnI)−1(A∗i Ai )µ vi − (A∗in Ain + βnI)−1 A∗in Fi (xδn ) − yδi − Ain en (3.2.7) Chú ý, ta có số đánh giá quen thuộc sau [7, 5, 12] 1−γ (A∗i Ai + βnI)−1(A∗i Ai )γ vi ≤ γ γ (1 − γ )1−γ vi ≤ vi , wni (γ ) := βn ∀γ ∈ (0; 1] (A∗in Ain + βnI)−1 ≤ βn −1 (A∗in Ain + βnI)−1A∗in ≤ 12 βn Ai (A∗i Ai + βnI)−1 (A∗i Ai )1/2 ≤ A∗in − A∗i = Ain − Ai = Fi (xδn ) − Fi (x† ) ≤ L en ′ ′ Ta có Fi (xδn ) − yδi − Ain en ≤ Yi = Fi (xδn ) − Fi (x† ) − Fi ′ (xδn )en + Fi (x† ) − yδi ′ ′ Fi (xn δ − ten) − Fn(xδn ) endt + δ ≤ L en Yi +δ Do (A∗in Ain + βnI)−1 A∗in Fi (xδn ) − yδi − Ain en 42 1 ≤ βn − 2 L en 2 +δ (3.2.8) Hơn nữa, đặt T1 := βn (A∗in Ain + βnI)−1 [A∗in (Ai − Ain) + (A∗i − A∗in ) Ai ] (A∗i Ai + βnI)−1 (A∗i Ai )µ vi ≤ βn (A∗in Ain + βnI)−1 A∗in Ai − Ain (A∗i Ai + βnI)−1(A∗i Ai )µ vi + + βn (A∗in Ain + βnI)−1 A∗i − A∗in Ai (A∗i Ai + βnI)−1 (A∗i Ai )1/2 (A∗i Ai )µ −1/2 vi Do µ −1/2 βn wni (µ ) + (A∗i Ai )µ −1/2 vi , (3.2.9) βn (A∗i Ai + βnI)−1(A∗i Ai )µ vi = βn wni (µ ) (3.2.10) T1 ≤ L en cuối µ Từ (3.2.6)-(3.2.10) ta có µ ein+1 ≤ βn wni (µ ) + L en µ −1/2 βn wni (µ ) + (A∗i Ai )µ −1/2 vi 1 L en + δ + βn − 2 Từ (3.1.7) đánh giá ta có en+1 = N N ∑ ein+1 i=1 ≤ N µ ≤ ∑ βn wni (µ ) + L en N i=1 µ −1/2 βn wni (µ ) + (A∗i Ai )µ −1/2 vi 1 + βn − 2 Chọn γn := en βnµ L en 2 µ +1/2 , ý điều kiện dừng 3.2.4 ta có δ < ηβn 43 +δ ,0≤n< Nδ Kết hợp với bất đẳng thức cuối cùng, suy µ N βn γn+1 ≤ ∑ N i=1 βn+1 L en N βnµ βn βn+1 µ N ∑ L en wni (µ ) + 2N βnµ (A∗i Ai )µ −1/2 vi i=1 βn βn+1 L µ −1/2 + βn µ µ −1/2 βn en µ βn N ∑ wni(µ )+ i=1 βn βn+1 µ η βn + βn+1 + µ µ N Lγn µ µ −1/2 N Lγn µ N wni (µ )+ ≤ ρ ∑ wni (µ )+ ρ β0 ρ ∑ (A∗i Ai )µ −1/2 vi ∑ N i=1 2N N i=1 i=1 L µ −1/2 µ η µ + β0 ρ γn + ρ ≤ρ µ N η vi + ∑ N i=1 + a +Lρ µ µ −1/2 N N v + (A∗i Ai )µ −1/2 vi β0 i ∑ ∑ 2N N i=1 i=1 L µ −1/2 µ γn + β0 ρ γn c b Vậy γn+1 ≤ a + bγn + cγn2 (3.2.11) N √ Nếu ∑ vi η đủ nhỏ a, b nhỏ, b + ac ≤ i=1 µ 2aβ0 ≤ r − b + (3.2.12) (1 − b)2 − 4ac Nếu xδ0 đủ gần x† xδ0 − x† 1−b+ e0 γ0 = µ = ≤ M = + µ β0 β0 44 (1 − b)2 − 4ac 2c Theo Bổ đề 3.2.1 suy γn := βenµ ≤ l := max {γ0 , M− } n √ 1−b− (1−b)2 −4ac √ 2a Chú ý M− = = 2c Đặc biệt xδn+1 − x† = µ 1−b+ (1−b) −4ac µ µ en+1 = γn+1 βn+1 ≤ l β0 Ngoài γ0β0 = x0 δ − x† ≤ r, từ (3.2.12) suy µ M−β0 µ 2aβ0 = ≤ r 1−b+ (1 − b) − 4ac µ Do l β0 ≤ r Vậy xδn+1 ∈ Br (x† ) µ Vậy trường hợp < µ ≤ en ≤ l βn = Trường hợp 2: < µ ≤ Ta thấy µ l αn Nµ µ = O αn Fi (xδn )−yi −Fi (xδn )(xδn −x† ) = Fi (x† + t(xδn − x† )) − Fi (xδn ) (xδn − x† )dt ′ ′ ′ 1 Fi (xδn )hti dt = Fi (xδn ) ′ = ′ hti := hi x† + t(xδn − x† ), xδn , xδn − x† Từ (3.2.6), ta có ein+1 ≤ βn (A∗inAin + βnI)−1 x0 − x† hti dt hti dt Yi ≤ K20 xδn − x† + (A∗in Ain + βnI)−1A∗in yδi − yi + (A∗in Ain + βnI)−1A∗in Ain K0 δ xn − x† Từ suy ein+1 ≤ βn (A∗in Ain + βnI)−1 x0 − x† δ −1/2 K0 δ + xn − x† + βn 2 Kết hợp bất đẳng thức với điều kiện nguồn (3.2.1) đánh giá [10] βn (A∗in Ain + βnI)−1 − (A∗i Ai + βnI)−1 ≤ 2K0 xδn − x† , 45 ta suy δ −1/2 ein+1 ≤ βn (A∗i Ai + βnI)−1 (A∗i Ai )µ vi +2K0 xδn − x† x0 − x† + βn 2 δ −1/2 K0 δ K0 δ µ + + xn − x† ≤ βn wni (µ )+2K0 en (A∗i Ai )µ vi + βn xn − x† 2 Đặt γn = en βnµ , kết hợp với bất đẳng thức cuối cùng, suy µ N ein+1 N en+1 βn γn+1 = µ ≤ ∑ µ ≤ ∑ N i=1 βn+1 N i=1 βn+1 βn+1 2K0 en + N βnµ βn βn+1 µ N ∑ (A∗i Ai )µ vi i=1 wni (µ )+ δ −1/2 K0 + βn µ + βn+1 en µ βn 2µ βn µ βn+1 Kết hợp với điều kiện dừng (3.2.4), ta suy γn+1 ≤ µ N 2K0 µ N ρ ∑ wni (µ ) + ρ γn ∑ (A∗i Ai )µ vi N i=1 N i=1 K0 µ µ η −1/2 µ +1/2 + βn βn γn ρ β0 µ + 2 βn+1 Do a = ρ µ N γn+1 ≤ a + bγn + cγn2, N N µ 2K ρ η µ ∑ wni (µ ) + ; b = N0 ∑ (A∗i Ai ) vi ; c = i=1 i=1 µ K0 ρ µ β0 N Tương tự trường hợp 1, ∑ vi η đủ nhỏ xδ0 đủ gần x† xδn+1 ∈ Br x† xδn − x† =O i=1 µ αn với n ≥ 3.3 Ví dụ minh họa Giải hệ phương trình Fi (x1 , , xm ) = yi , i = 1, 2, , N 46 (3.3.1) với m ẩn số x1 , , xm N phương trình m >> N Fi : Rm → R khả vi Fréchet lân cận nghiệm x† hệ (3.3.1), lấy x0 = Ta viết lại dạng véctơ (3.3.2) F(x) = y F : Rm → RN , F = (F1 , , FN ) khả vi Fréchet, x = (x1 , , xm )T , y = (y1 , , yN )T Giả sử ta có hệ thống máy tính gồm N xử lý Theo (3.1.6) (3.1.7), ta tính tốn đồng thời xδn+1,i = xδn − T Fi (xδn ) ′ Fi (xδn ) − yδi + βnxδn Fi (xδn ) + βn ′ , i = 1, · · · , N (3.3.3) đặt xδn+1 N δ = ∑ xn+1,i N i=1 (3.3.4) Cụ thể, với N = m = 104 m = 5.107 Xét hàm Fi (x) sau F1 (x) = x21 + x22 + + x2m = xT A1 x F2 (x) = x1x2 + x2x3 + + xm−1xm = xT A2 x F3 (x) = x1x3 + x2x4 + + xm−2xm = xT A3 x F4 (x) = x1x4 + x2x5 + + xm−3xm = xT A4 x A1 = I Al = (ali j )m×m , l = 2, 3, với  1 |i − j| = l − ali j = 0 |i − j| = l − 1, l = 2, 3, Bây ta kiểm tra giả thiết điều kiện nguồn G1 G2 thuật toán song song PA Rõ ràng không gian X = Rm ,Y j = R, j = 1, 2, 3, khơng gian Hilbert Trên ta xác định chuẩn Euclid Giả thiết G1 Với liệu xác y = (1, 0, 0, 0)T hệ có nghiệm xác x† = (1, 0, , 0)T , hàm Fj khả vi liên tục Rm 47 ′ Giả thiết G2 Trong trường hợp với µ = x0 = 0, hàm Fj liên tục Lipschitz Thật hàm Fj (x), ≤ j ≤ hàm đa thức nên khả vi Fréchet đến cấp ta có ′ Fj (x) = 2A j x Fj” (x) = 2A j , ≤ j ≤ (3.3.5) Fj” (x) = 2A j = 2, ≤ j ≤ Do theo định lý giá trị trung bình, ta có ′ ′ Fj (x) − Fj (y) ≤ sup t∈[0;1] Mặt khác ′′ Fj (y + t(y − x)) x − y = x − y   j = ′ † ∗ ′ † † Fj (x ) Fj (x ) = A j x =  j = (3.3.6) Do điều kiện nguồn (3.2.1) nghiệm chọn v1 = x† v2 = v3 = v4 = x† Sau ta so sánh phương pháp IRGNM phương pháp song song PIRGNM Các tính tốn thực máy IBM1350 với node, node chứa hai nhân Intel Xeon dual core 3.2 GHz, 2GBRam Theo (3.2.5) tốc độ hội tụ thuật tốn PIRGNM O(αn ), tốc độ hội tụ tương tự thuật toán IRGNM Tuy nhiên bước lặp IRGNM ta phải giải hệ tuyến tính cấp m × m, tính tốn tốn nhiều thời gian m lớn Trong thành phần xn+1,i tính toán song song cách dễ dàng theo (3.3.2) Do thuật tốn (3.3.2), (3.3.3) cho ta kết với thời gian tính tốn tiết kiệm Sau ta tính tốn cấp xác thuật tốn IRGNM PIRGNM dùng sai số tương đối (the relative error norm (REN)), nghĩa err := xn − x† / x† Trong ví dụ x† = 1, err := xn − x† Một số kí hiệu m : số ẩn hệ phương trình (3.3.1) 48 Tpi : thời gian tính tốn thuật tốn PIRGNM (một phần triệu giây) Ti : thời gian tính tốn thuật toán IRGNM (một phần triệu giây) Tp : thời gian tính tốn song song tính theo giây hệ thống máy tính có p vi xử lý Ts : thời gian tính tốn tính theo giây Ts Sp = : Sự tăng tốc Tp Sp Ep = : hiệu tính tốn song song dùng hệ thống máy tính có p p vi xử lý Trường hợp 1: m = 104, αn = 0.1 ∗ 0.25n Bảng 3.1 cho ta sai số tương đối thuật toán PIRGNM IRGNM thời gian tính tốn song song m δ αn = 0.1 ∗ 0.25n xn − x† p xn − x† s Tpi Ti 0.0026753 0.0033257 17.5 2540 0.0003565 0.0003905 26.25 5070 0.000085 0.000097 45 6340 0.0000047 0.0000061 57.5 8240 10000 0.00000041 0.00000043 66.2 95.10 0.00284 0.00316 22.5 2600 0.00168 0.00172 25 3500 0.001 0.000576 0.000606 31.2 5210 0.000354 0.000362 37.5 6510 0.000313 0.000315 43.7 7810 Bảng 3.1: Sai số tương đối thuật toán PIRGNM IRGNM Hình 3.1 3.2 cho ta mối liên hệ sai số tương đối thời gian tính tốn thuật toán IRGNM PIRGNM δ = δ = 0.001 tương ứng Trên hình vẽ ta thấy thực thuật toán PIRGNM tốt nhiều thuật tốn IRGNM kể trường hợp có nhiễu khơng có nhiễu Hình 3.3 cho ta mối liên hệ sai số tương đối thời gian tính toán thuật toán PIRGNM mức nhiễu δ khác 49 10000 9000 8000 Thoi gian (phan trieu giay) 7000 IRGNM 6000 5000 4000 3000 2000 PIRGNM 1000 0 0.5 1.5 2.5 + ||xn−x || 3.5 −3 x 10 Hình 3.1: So sánh PIRGNM IRGNM với δ = Trường hợp 2: m = ∗ 107, αn = 0.1 ∗ 0.25n Bảng 3.2 cho ta tốc độ hiệu suất tính tốn thuật tốn PIRGNM 50 8000 7000 Thoi gian (phan trieu giay) 6000 IRGNM 5000 4000 3000 2000 1000 PIRGNM 0 0.5 1.5 2.5 + ||xn−x || 3.5 −3 x 10 Hình 3.2: So sánh PIRGNM IRGNM với δ = 0.001 Tốc độ hiệu suất thuật toán PIRGNM m Processors Thời gian S p E p 178 50000000 124 1.4 0.7 90 0.5 Bảng 3.2: Tốc độ hiệu suất thuật toán PIRGNM 51 x 10 −3 2.5 δ =0 δ =0.001 n ||x −x+|| 1.5 0.5 10 20 30 40 50 Thoi gian (phan trieu giay) 60 70 Hình 3.3: Đồ thị sai số tương đối REN thời gian thực PIRGNM 52 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu ba phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử, bao gồm: i Phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Torsten Hein đề xuất, dựa việc cực tiểu phiếm hàm ổn định J(x) với điều kiện độ lệch phương trình nằm giới hạn sai số cho phép ii Phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Tikhonov, phiếm hàm làm trơn Tikhonov chứa tham số hiệu chỉnh α tham số - trọng số λi , i = 1, , l Trong phần học viên dựa vào hướng tiếp cận tổng quát Torsten Hein để mở rộng kết biết GS Nguyễn Bường NCS Nguyễn Đình Dũng iii Phương pháp chỉnh lặp song song Gauss - Newton tác giả Phạm Kỳ Anh Vũ Tiến Dũng đề xuất Luận văn phát triển theo hướng sau: a Thiết lập hội tụ số phương pháp song song giải hệ phương trình tốn tử giả thiết tổng quát Torsten Hein b Tìm ứng dụng cách tiếp cận Torsten Hein cho số tốn đặt khơng chỉnh thường gặp thực tế 53 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 604 630 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... song, phương pháp CQ - song song giải hệ phương trình tốn tử Đăc điểm phương pháp hai trình hiệu chỉnh phân rã song song thực đồng thời tương thích với Luận văn trình bày ba phương pháp giải hệ phương. .. lập mối liên hệ phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Tikhonov đánh giá tốc độ hội tụ Trình bày phương pháp chỉnh lặp song