BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tú Sự TồN TẠI VÀ DUY NHÁT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố HỒ Chí Minh - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn quý thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn giải tích K28 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Một •• số kí hiệu R C Tập số thực Tập số phức Re a Phần thực a Im a Phần ảo a Q Miền bị chặn r, dQ E Biên miền Q Cường độ điện trường Ez Sóng tới trường điện Es Sóng tán xạ trường điện H Cường độ từ trường H1 Sóng tới trường từ Hs Sóng tán xạ trường từ F+ F- Giới hạn từ bên cho trường vectơ hàm F Giới hạn từ bên cho trườngvectơ hàm F £ Hằng số điện môi môi trường ự Hằng số từ môi môi trường Tính chiral mơi trường ( V-, div Tốn tử divergence Trong tọa độ Descartes, V-a Vx, curl, rot = (E + ' ■ + a V ỵ ơx ơy ơz ] Tốn tử vectơ mơ tả độ xốy trường vectơ Trong tọa độ Descartes, với i, j, k vectơ đơn vị trục x, y, z, , ídaz ơa y\^ ídax daz\~ , í ơay dax\~ curl a = k \ ơy ơz ) + k+ \ờz ơx ] yơx ơy ] k V (=V(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị x rhướng k Số sóng (mang giá trị thực) K Số sóng (mang giá trị phức).K có giá n Tập hợp số sóng phức rangồi miền Q trị k hoặcik n := {K C : K = 0, Re K > 0; Im K > 0g TK Nghiệm u Trường sóng tán xạ Au Tốn tử Laplace u r Tốn tử Gradient L2(D) Các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông thường, trang bị chuẩn ||U||L2(D) := (ffD |u(x)| dx) , với D c R tập đo có độ đo dương 2 C0° Khơng gian hàm trơn có giá compact "0 Độ điện thẩm chân không /M Độ từ thẩm chân không p Mật độ điện tích J Mật độ dịng điện c Vận tốc ánh sáng ! Tần số góc F Tốn tử trường sóng xa QL, QR Các trường Beltrami QL := E + iH QR := E - iH E Phổ điện trường trường sóng xa H Phổ từ trường trường sóng xa S Hình cầu đơn vị prm, qrm Các hệ số Fourier Mục lục •• Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số kí hiệu MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt lý thuyết tán xạ điện từ Phương trình nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Cho đến nay, nhiều tốn xung quanh phương trình vấn đề mở Các nghiên cứu phương trình liên quan đến tồn nghiệm, tính chất nghiệm, phương pháp giải tích phương pháp số để giải phương trình Một kết hữu ích gần chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell cách đưa phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell, nhà tốn học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Nghiên cứu phương trình tích phân có số thuận lợi định Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell tổng quát cách khảo sát phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, dựa tài liệu tham khảo [6], [8], [10], [11], [15], [16] Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm phương trình Maxwell thơng qua chuỗi hàm cầu điều hòa trường hợp achiral chiral Các biểu diễn mang lại giá trị cho người nghiên cứu phương pháp số giải phương trình Maxwell Nội dung luận văn trình bày thành chương: 10 • Trong Chương 1, tác giả giới thiệu số ký hiệu kiến thức phương trình Maxwell lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời mô tả hai tốn tương ứng với q trình truyền sóng điện trường sóng từ trường Các lớp cơng thức biến phân tương ứng với hai toánnày đưa sau Tiếp theo, tác giả trình bày kết tương đương dạng biến phân với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger • Chương 2, tác giả trình bày kết tồn nghiệm phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ thu tồn nghiệm toán ban đầu Chương hợp trung xây dựng công thức biểu diễn lượng đại sóng tới,luận sóng tán xạ thơng qua chuỗi hàm cầu điều hịa Cơng thức khai triểnvăn cụ thể trường hợp sóng tới vectơ sóng phẳng luận trường achiral vàtập chiral đưa phần cuối củacác văn 59 Bohren [4] Định nghĩa KL,RR ÍK 1- ■ k tron I1 B; KR —c I, ^ ,-2 rv -2^c B 1k Khi đó: B 1+K := < B g B !-'2 :'2 Đặt QL := E + iH Q := E — iH Khi QL,QR trường Beltrami, R nghĩa curl QR = -KRQR curl QL = KLQL chúng thỏa mân phương trình Maxwell achiral cho số sóng 1'1 KR : curl2 QL - K2LQL = curl2 QR - KRQR = Do đó, ta áp dụng kết mục trước cho trường QL Q R suy chuỗi biểu diễn cho trường E H, từ E = 1(QL + QR) H = (QL - QR) Ta bắt đầu với trường sóng tới H* E*: H*(X) = X aĩTM^s k) + Ìn nn Ei(x) = — — curl H*( ) = / J (x ) * cur (^x ) curl Mm(x k) n fímMm(x k) — nm — curl Mm (x k) ỊP V.L Ỵ^ (^u f\) -í 'ỉ'2 • cui -L d r1 Ợ, (^b; f\) X Ta giới thiệu trường sóng tới: QL := E* + iH* QR := E* — iH*: QÌ (x) = ^^(fím Q L (x) QÍ.(x) = ^^'(P Q R (X ) i^m)Mm(x k) — í^m / ^(Pn +i )M (x k) ( i )M (x k) iRm)^ l Mm(x k) curl M (x k) ^n n ; ^n^Pn ) ik m m — i^ ) M (x k) — (nm + iPm) m / ^Ịdn ^n n ; ( ^n + ip n) ik ; ; m curl M (x k) n curl M (x k) n Trường sóng tổng hợp QL,QR phía B cho QL(X) = X1dỊỤfe) (Pm+i“™ )M,m(x «L) _í^m _ det (\ \^n i ^L n ^L) iPm) ip lM curl m(M x (x ) n ^L) n) i1 QR(X> = - ĩĩX ,irf.5;„ì(pm- - i< )MT(X ■ R ) k^^ detnl^R) m ,,K.>m + ÌKR iP?)det curl n(^M R)„ (x KR) ; 60 trường sóng tổng hợp E H tính E(x) = 1(QL + QR) H(x) = 4(QL - QR) Lúc này, ta thấy trường E H nhận từ mở rộng hạng tử hàm sóng vectơ cho số sóng R KR L Các trường sóng tán xạ QL QR có chuỗi khai triển Qs (x) = Q (x) L X liedepp/l'C (p /J det (ft£) m , -m) Nm(x k) (p + n t&n )N (x k) n ; HcCựC/ọy (^m j pm Nm(r k) ( ( ) ik detn(^) an ^n ) Nn x.k Redetn (RR) (pm _ -TO) Nm(x k) QS(x) = — Q R (x) J det (^ ) (pn iR /) n N (x k ) _ RedeMRR( )+(m , pm) ik detn(RR) Đặt CL ' Redetn(RL) detn(^L) an CR pn ) Redetn(ftR) detn(^R) Khi Do đó, chuỗi khai triển cho trường điệntrường từ trường - Es(x) = - X [(CL + C-R)pm- + (CL - CR)íam] N,ĩ‘(x k) Ả ik [(CL + CR.)an‘ - (CL - CR)ípm-] curl N™(x, k) Hs(x) = — — X A [(CL _ CR)Pm + (CL + CR)vý/] Nm(x k) X/ Q • / ; |_x ■It/I n X -L/ IV/ n _| nx' / - [(CL - CR)an’ - (CL + CR)ipm] curl NnR k) Nm(x k) Nn (x k) 61 '" CL h(B m E ín+1 Bn n) n n n n CR m m m _ ĩ(B ~ í« )K (x) + (am + íBT)ưm(x) ín+1 (B n óư n) v n (X) + (ư + bB n n )Un (X) 3.2 Tốn tử trường sóng xa Trong phần này, ta phát triển dạng tường minh tốn tử trường sóng xa F cho trường hợp hình cầu Các thiết lập giống mục trước Sự cản trở tán xạ cầu B = B(0.1) chứa đầy vật liệu chiral đồng nằm chân không Ta suy chuỗi biểu diễn phổ trường sóng xa H cho trường sóng tới H cho F chồng lên phổ trường sóng xa H1(X; d.p) gây sóng phẳng H (x) = pe ' Chúng tơi bắt đầu với chuỗi khai triển sóng phẳng i ikd x Một ta biết hệ số này, việc biểu diễn phổ trường sóng xa tìm thấy phần trước trực tiếp mang lại dạng tường minh F Một lần nữa, ta nghiên cứu trường hợp achiral trường hợp chiral 3.2.1Chuỗi khai triển sóng phẳng Đầu tiên, ta phải khai triển sóng phẳng thành chuỗi hàm sóng vectơ Mm curl Mm; tức là, ta phải xác định hệ số am bm chuỗi peikd'x = X aB.Mkdx k) + bm curl Mm(x k) ■L / , 11’ IV X ! / IV Ị / ỉ/ \ / 62 E am( a n 1)ì^ (klxl)Vm(x) + bm — — j (klxl) + kx° (klxl) ưm(x) — ( 1)j (k x )V (x) + b j (k x ) + kj (k x ) (x) n | | n n ík \x\ n l l n l l n với - Ị 1" / Z" detn(rt) [Pn n ' Qn n k hệ số Fourier p" :— í p(ỡ) • vmw ds(ớ) q" := ỉ p(ỡ) • ũmũ} ds(ớ) Js2 Js2 trường tiếp tuyến p L2(S ) có khai triển p — £ pmvm + qmu" Cuối cùng, ta xác định hệ riêng F Trong trường hợp achiral, giá trị riêng F cho (4^)2 — An Rede MO n= 012 -k detn (b n '.' Chúng có bội số 2n +1 vectơ cầu điều hòa um vm hàm riêng Bây giờ, tính tốn chuỗi neN m=—n ( U l ^z T"")L2(S )|2 + ỊAJ lnl ( l ^z.Vn")L2(S ) |2 (3.13) ^f| lnl neN m=—n Với z R , ta chọn ộz (x) :— —ik [(x X z X x) + (x X z)] e ikx'z Khi u — Gradx |g-ifcÊ-z] + x X Gradx \\e~ikx'zỵ ta biết chuỗi đại diện e~ ' từ khai triển Jacobi-Anger, cụ thể ikx z -kx-z — e 4x—(-í)”j„(k|zi)ỹywn"(x) 67 Do đó, ộ có chuỗi khai triển z ộ (X) = 4V ^^(—i)n'j (k\z\)Ym'(z) [Grad Ynm(X) + X X Grad Ynmcx)] • z n Nhắc lại định nghĩa U^(X') = —ỵ pn(n +1) Grad Ynm(X) Vnm (X) = X X ưm(X) ! ' Các hệ số Fourier ộ cho z (h umk^) = (h • Vmk^) = -Y k V,- Như trường hợp vô hướng (đối chiếu phần 1.5 [9]) X \(ộz,Um) Ĩ(S2}\2 = |V 2n + 1\zJfc|Z|)2Lo (1 + O ( )) \vYZ, n ìLị( )\ V 3(2n + 1)!!]2V \n)) L S m=—n „ E Wz•Vn )L2(S2)\ =4v(2n + m (klzl )| 2n ( 1w ( O ;); (1+ (-)) • m=—n p!! := • • 5• ••'[! cho số lẻ p Ta tiếp tục với dáng điệu tiệm cận giá trị riêng ( A = (IV)2i Redetn(^) n k detn(M = (IV)2i jn(k) k hn(k) () _ ^ + jn (M w k) jn(à) ( 1_1 \ + j'n(K) V’ kJ jn(n) j'n k jn(k) h'n(k) hn(k) j ; h , j' h' có dáng điệu tiệm cận sau: n n n n tn jn(t) ( + = (2n + 1)!! í1 O ©) • hn(‘)=*p (1 + O (ĩ)); \\ ntn~1 ( jn(í) ( \\ ( + = (2^ + 1)!! D) ■ hn(t) = ^n^ (! + O (n)) Thay vào ta An (2n + 1)!!(2n - 1)!! G - 1) + ĩ + ĩ-)r (1 + O (1V ( (4v)2k2n 1_1 \ + ĩ_ĩ \ \K, k) K k \nJJ' ' 68 Đơn giản phân thức thứ hai vế phải ta \ộz; Um) 1\ n n+1 - - k/ K k (n + XX 1)(k\(^ —z ) = \\ /1 + O (1 n \K kỉ - k L2(S ) \2 \An\ \ C/ \ 4^ l + \n)p m=—n Do m=—n đó, + 1)!!(2n - 1)!! Ta kết luận chuỗi (2n (3.13) hội tụ \z\ < 1, nghĩa z nằm (I v)2k2n cầu B (0; 1) 3.2.3 Trường hợp chiral Trong trường hợp chiral, ta tìm thấy dạng tường minh cho F theo cách tương tự: Cho trường tiếp tuyến p L2(S ) : p = Xpmum + qmvm với nn nn pm = p(ỡ) • q = í p(ớ) • vmw ds(ớ) 'ớ ds(ớ) JS2 JS ta ý p=X pmum+«mvm = / ^(pn 6qn X(pm - í