Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM Hoàng Thị Thu Hương ĐÁNH GIÁ ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM Hoàng Thị Thu Hương ĐÁNH GIÁ ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên, năm 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn tác giả thực hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Luận văn không trùng lặp với đề tài khác thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Thu Hương Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người định hướng tận tình giúp đỡ em suốt trình em thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Phịng Sau Đại học thầy giáo Trường Đại học sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học giảng dạy, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn bè đồng nghiệp Trường THPT Nhã Nam Tỉnh Bắc Giang tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Luận văn khơng thể hồn thành thiếu thông cảm, sẻ chia động viên kịp thời gia đình bạn bè Xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Do lực hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Thái nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Học viên Hoàng Thị Thu Hương Mục lục MỞ ĐẦU Đa thức biến hay nhiều biến đối tượng quan trọng giải tích Ta thấy điều qua định lý Weierstrass nói hàm liên tục tập compact giới hạn đa thức Một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đánh giá chuẩn sup tập lớn thông qua chuẩn đa thức tập nhỏ Một bất đẳng thức kiểu bất đẳng thức Bernstein Markov cho đánh giá chuẩn đa thức phức nhiều biến qua chuẩn đa thức tập không đa cực tùy ý Nội dung luận văn trình bày lại số kết Brudnyỉ đánh giá kiểu cho hàm đa điều hòa Cn mà có dạng tổng qt log mơ đun đa thức Luận văn có bố cục sau Chương trình bày kiến thức hàm điều hòa dưới, đa điều hòa Đặc biệt quan trọng khái niệm dung lượng tương đối Chương nội dung luận văn bao gồm Định lý 2.1.2 đánh giá độ lớn hàm đa điều hòa toàn cục C n (thỏa mãn số điều kiện chuẩn hóa đó) dựa độ lớn tập bé cần có độ đo Lebesgue dương Tiếp theo áp dụng Định lý 2.1.2 vào việc nghiên cứu đánh giá độ lớn đa thức tập giải tích thực Rn Ngồi chúng tơi cịn tìm ứng dụng kết vào đánh giá môđun đa thức tập nằm tập đại số hay giải tích thực Chương T7 • £ J >* -2 1• Kiên thức chuân bị Trong chương này, trình bày lại số khái niệm kết cần thiết sử dụng chương sau 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : Q —! [—1; +1) gọi nửa liên tục trên X với a R tập Xa = fx X : u(x) < ag mở X Hàm v : X —! [—1; +1) gọi nửa liên tục X —v nửa liên tục trên X Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Q tập mở C Hàm u : Q —! [—1; +1) gọi điều hịa Q nửa liên tục trên Q thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Q, nghĩa với w Q tồn % > cho với < r < % ta có 2.'.' u(w + rett) dt 2“ u(w) < Chú ý với định nghĩa hàm đồng —1 Q xemlà hàm điều hịa Q Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Q SH(Q) Kết sau cho điều kiện đủ để hàm khả vi hàm điều hòa Định lý 1.1.3 Giả sử u G2(Q) Khỉ u điều hòa Q 4u > Q, 4u = n^ + lyu Laplace u Chứng minh Giả sử 4u > Q Lấy D miền compact tương đối Q h hàm điều hòa miền D, liên tục D cho limsup(u — h)(z) < ( @D Với " > 0, xác định z - Íu(z) — h(z) + " |z|2 z D " \z\2 z @D Khi v£ nửa liên tục D nên đạt cực đại D Tuy nhiên 4c = 4u + 4" > D nên v£ đạt cực đại dD Do u — h < sup \z|2 D Cho " ! ta u < h D và, đó, u dD điều hịa D Ngược lại, giả sử u điều hòa Q Giả thiết ! Q ta có 4u(w) < Do có % > cho 4u < 4(!, %) Theo điều vừa chứng minh —u điều hịa 4(!,%) Do u hàm điều hòa 4(!,%) Vậy 4u(w) = gặp mâu thuẫn Do 4u > định lý chứng minh □ Định lý sau cho thấy tính điều hịa bất biến qua ánh xạ chỉnh hình Định lý 1.1.4 Giả sử f : Q1 ! Q2 ánh xạ chỉnh hỉnh hai tập mởtrong C Nếu u hàm điều hoa Q2 thỉ u o f điều hoa Q1 Chứng minh Vì tính điều hịa tính địa phương nên cần chứng minh u o f điều hòa miền co compact tương đối D b Q1 Giả sử D1 miền Khi D2 = f (D 1) b Q2 Chọn dãy hàm điều hòa trơn {un} C1(D2) cho un & u D2 Theo Định lý 1.1.3 có 4un > D2 với n > Ta có 4(u o f) = (4(un) o f) |f0|2 D1 Do theo Định lý 1.1.3 ta có u o f hàm điều hòa D b Nhưng un o f & u o f D1 nên u o f điều hòa D1 định lý chứng minh □ 1.2Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Q c C n tập mở, u : Q ! [—1; +1) hàm nửa liên tục trên, không đồng —1 thành phần liên thông Oto u gọi đa điều hòa Q (viết u PSH(Q)) với a Q b Cn, hàm A ! u(a + Ab) điều hòa —1 thành phần liên thông tập {A C : a + Ab Q} Định lý 1.2.2 Giả sử u : Q ! [-1, +1) hàm nửa liên tục trên, không đồng —1 thành phần liên thông Q c Cn Khi đố u PSH(Q) với a Q, b Cn cho {a + Ab : A C, |A| < 1} c Q ta có 2^ u(a) 1, số lớn với k đủ lớn giả sử với k > ki Bây định nghĩa với k > ki hàm số (z gk(z) hk(z) : maxfc =1 Bc(x; ^^)) (z Bc(x,rk - |x|) \ Bc(x, 'ỵ./')) k log (2+k^I1 ;9k(z)} (rỊ11^ 2(rfc-|x|) (z Bc(x,r‘k - |x|)) c loff Ck log Vì số hạng loga nhỏ gk dBc(x, ~|x|), (ii) trên, lớn rk dBc(x, rk — l x l) r > 1, nên hk hàm đa điều hòa Cn Hơn nữa, hàm số hk = hk rô ràng thuộc L(Cn) Bây so sánh hk với L hàm cực trị toàn cục EB (X;t) xác định c EB ( )(z) := sup{u(z) : u L(Cn),u < Bc(x,t)} (2.25) c xt Từ định nghĩa suy h k - sup hk < EBc(x,t~) Bc(X;t) (2.26) Bây sử dụng biểu diễn quan trọng L hàm cực trị E Bc(x,í) k1 Áp dụng Bổ đề 2.1.5 thu bất đẳng thức Bernstein với f Fr với c = 2C (r) Chúng ta phải chứng minh f Fr ! log tập đo dương B(X;t)(c Bc(x;at) c Bc(0;1)) „ _ , d\B(X; t)| sup f < c log pg—- + sup f |!| ! (2.28) B(x,t) Rõ ràng giả sử ! tập compact Trong thực tế, trái lại ! = !0 u (U1=1 !i), |!01 = !j dãy giảm tập compact Nếu (2.28) với !j thu kết với ! cho j ! c = c(a, r) d = d(n) không phụ thuộc vào ! Chú ý vào Mệnh đề 2.1.6 Bổ đề 2.1.5 đủ để chứng minh mệnh đề tương đương sau Lấy Bc(0; 1) c Bc(0; a) Ra họ hàm đa điều hòa liên tục f : Bc(0; a) —! R thỏa mãn (i) sup f = Bc(0,a) (ii)sup f > —c log a, Bc(0,1) với số c từ Mệnh đề 2.1.6 Do với tập đo được! c B(0; 1) đo dương f Ra, sup f < c0 log j^(Q’ l)j + sup f (2.29) d = d(n) c0 = c (a;c) Trong thực tế, phép tịnh tiến / gắn với hệ số I biến hình cầu Bc(X; t) Bc(X; at) vào hình cầu Bc(0; 1) Bc(0; a), tương ứng Thì số hạng vế phải (2.28) không đổi Hơn nữa, bất đẳng thức Mệnh đề 2.1.6 phát biểu kéo lùi hàm f Fr xác định phép biến đổi thỏa mãn 3 (i) (ii) Thông thường theo Bổ đề 2.1.5 giả sử f liên tục Bc (0,1) Để chứng minh (2.29), bắt đầu với Bổ đề 2.1.8 Tồn số C = C(c, a) > cho max f > —C (2.30) với f 2Ra Chứng minh Chúng ta lặp góc liên quan Bổ đề 2.1.7 dùng hàm cực trị tương đối (2.21) Trong trường hợp hình cầu B(0,1) không đa cực Sử dụng bất đẳng thức (ii) (2.30), ví dụ với C — c log a ẻỉ 46 C = |M(a)|’ ao M(a) su := p u B(0,1),Bc(0,a) ỠBc(0,(1+a)/2) Bây lấy f Ra Xf B(0,1) cho Mf := f (xf) = max f ■ ■ B(0,1) Theo kết Yu.Brudnyi- Ganzburg tia lf với gốc Xf cho mesi(B(0,1) n lf) < n\B(0,1)| mes1(w n lf) “ I! Lấy ly đường thẳng phức chiều chứa lf lấy Zf điểm Bc(0,1) n l'f cho tf := dist(0, lf) = \zf\ Xét hình trịn D : f = rj(Df- zfM Df := ~~(D'f~ zf); đó, đặt: Df := lf Bc(0,a), Df := l' Bc(0, (a + 1)/2) (2.31) Cuối xét bán kính hình trịn: r f := tương ứng tâm Zf Cũng ý Xf Df Khơng tính tổng quát xác định Df c Df với cặp Dsf c D1, Dr := fz C; |z| < r} Sf := rf/rp Kéo lùi hạn chế f/Df tới D1 kí hiệu f □ Bổ đề 2.1.9 Tồn số r = r(a) < cho với f Ra Chứng minh Suy từ bất đẳng thức (a + 1)2 — 4tf y 4(a2 — t2f) rf rf a+1 2a < a+1 -1 , mà có thê chọn r(a) = —-— Chú ý max f' > max f' > Mf > —C D, f D Sf (2.31) (2.30) Bây áp dụng Mệnh đề 2.1.3 cho hàm C rõ ràng thỏa mãn điều kiện (2.3), thuộc Ar Trở lại với hàm f xây dựng kết mệnh đề sau Mệnh đề Tồn hàm điều hòa hf xác định lf số Cf > cho hf /cf cực tiểu tăng lý f = hf Df- Hơn nữa, c0 = c°(c,a) := sup Cf < f 2Ra Xét mf (!) := max f xét hàm Cfh m (!) • Hàm rõ ràng nhỏ !clf hàm cực trị tương đối E!\i (xem (2.25) từ định nghĩa, thay f f f L(Cn) L(lf Hà Bc(X;t) ! n lf) Dùng biểu diễn (2.27) hàm cực trị tương đối bất đẳng thức Yu Brudnyị- Ganzburg chiều (xem ý (2.34) sau (2.32) thu „, rk max |p| Bc(0,r)' ' (r > 1) Bc(0,ĩ) Xét hàm đa điều hòa Fr(z) := (logr) 1k 1(log |p(z)| — sup log |p|) (z Cn) Bc(0,r) Từ định nghĩa Fr (2.33) suy Fr Fr' 8r > Áp dụng (2.2) với r = cho hàm có: (2.33) với B hình cầu tùy ý ! tập đo Thực tế, trường hợp, lấy c = 1, d = 4n ta có bất đẳng thức Remez với n = Yu.Brudnyi- Ganzburg trường hợp tổng quát 2.2 Ưng dụng định lý Định lý 2.2.1 Cho V c Rn tập đại số thực số chiều m, < m < n — Khi với điểm quy x V tồn lăn cận mở N = N(V) x cho sup|p|< ('r ' B \ Ay(!) J •' ! (2.35) với hỉnh cầu B c N, tập đo ! c B đa thức p Pk;n(R) đẫy kí hiệu Ay độ đo V d = d(m) a số tuyệt đối Chứng minh Chúng ta phải chứng minh tồn lân cận mở N c V x phụ thuộc vào V cho B supip|< ('r' )supi p I \ Xy(!) J ! với hình cầu B c N, tập đo ! c B đa thức thực p bậc k deg(V) bậc đa tạp V, d = d(m) phụ thuộc vào dim(V) a số tuyệt đối Để chứng minh cần ước lượng cho hàm p — trị quy DR := fz C; I z I < R} Ước lượng chứng minh Roytwarf Yomdin (xem [4]) Ta sử dụng kết bổ trợ sau Bổ đề 2.2.2 Giả sử f : DR —! C quy giả sử f nhận giá trị khơng q p lần Do với Rf < R a (0,1) bất đẳng thức max |f I < c max |f I DR DR với c = c(a,fi), := R (2.37) ' Chứng minh Chúng ta đặt M := max |f I Ma := max |f | Nếu f (z) = P1=líakzk k=0 M < X \ữk|(R')k X |«k|(R')k =: X + X k=p+1 Từ bất đẳng thức Cauchy với DaR có p / R0 \ k (y~p X < Ma X -R < ^-MO (2.38) R 1 k=0v « -« Để ước lượng tổng thứ hai áp dụng hệ số bất đẳng thức cho hàm số p- trị Theo đó, / A \2p aj R < í — J j2p mạx | aj | Rj (2.39) với j > p, A số tuyệt đối Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vế phải (2.39) ước lượng Rj j Ma ima? < Ma(aỊ5) p đồng thời hàm giải tích thực theo X U c Rm đố U tập mở Lấy VA khoảng cách tuyến tính Fk;x, < k < N Do với tập compact K c U, tồn số = 2(K,r0) > cho bất đẳng thức kiểu Yu Brudnyi- Ganzburg , sup I F I < B(x,p) (d(n)I B(x,p)I v , ) - sup I F I ! \I!I/ (2.45) với F VA, X K ! c B(x, p) c B(0,1) Chứng minh Theo định lý Bernstein định lý ba đường trịn Hadamard có giả thiết Định lý 2.2.3 theo bất đẳng thức sau Với tập compact K c U F Vx, A K, sup I F I < C1 sup I F I, Bc(0,r) (2.46) Bc(0,1) đó, r = 2r C1 = C1(K,r0) Do hàm số F' :=T1r log I F I — sup log I F logCi I Fr Bc(0,r) Ap dụng bất đẳng thức Định lý 2.1.2 ta có bất đẳng thức cần tìm _ \n\ (d(n)IB(X;|7in| / n sup I F I < I -j-^ -sup I F I (p < 1) B(xpp) Ỳ !I7! với := clog C15 c d(n) số Định lý 2.1.2 □ KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau: Tổng quan kiến thức hàm điều hòa dưới, đa điều hòa dưới, hàm điều hòa cực trị Đặc biệt quan trọng khái niệm dung lượng tương đối Đánh giá độ lớn hàm đa điều hịa tồn cục C n (thỏa mãn số điều kiện chuẩn hóa đó) dựa độ lớn tập bé cần có độ đo Lebesgue dương Áp dụng việc đánh giá độ lớn hàm đa điều hòa toàn cục Cn vào việc nghiên cứu đánh giá độ lớn đa thức tập giải tích thực Rn ứng dụng kết vào đánh giá môđun đa thức tập nằm tập đại số hay giải tích thực Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2013), Cơ sở lý thuyết đa vị, Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] Brudnyi A (1999), "Local inequalities for plurisubharmonic functions, Annals of Mathematics", 149, 511- 533 [3] Fefferman c and Narasimhan R (1996), "A local Bernstein inequality on real algebraic varieties", Math z, 223, 673- 692 [4] Roytvarỉ N and Yomdin Y (1997), "Bernstein classes", Ann Inst Founer, 47, 825- 858 [5] Taylor B and Alexander H (1984), "Comparison of two capacities in CN", Math z, 186, 407- 417 ... quan kiến thức hàm điều hòa dưới, đa điều hòa dưới, hàm điều hòa cực trị Đặc biệt quan trọng khái niệm dung lượng tương đối Đánh giá độ lớn hàm đa điều hịa tồn cục C n (thỏa mãn số điều kiện chuẩn... có độ đo Lebesgue dương Ap dụng việc đánh giá độ lớn hàm đa điều hòa vào việc nghiên cứu đánh giá độ lớn đa thức tập giải tích thực R n ứng dụng kết vào đánh giá môđun đa thức tập nằm tập đại số... đo Lebesgue dương Áp dụng việc đánh giá độ lớn hàm đa điều hịa tồn cục Cn vào việc nghiên cứu đánh giá độ lớn đa thức tập giải tích thực Rn ứng dụng kết vào đánh giá môđun đa thức tập nằm tập