Nhóm tự đẳng cấu của miền với biên phẳng lêvi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN DUY ĐẠT NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN PHẲNG LÊVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy cơng tác khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức để thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn GS TSKH Đỗ Đức Thái, đồng cảm ơn tới TS Ninh Văn Thu TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tơi hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, cổ vũ động viên đóng góp cho tơi nhiều ý kiến q báu sống, cơng việc học tập nói chung trình thực luận văn Xin chúc người sức khỏe, đạt nhiều thành tích cao công tác, học tập nghiên cứu khoa học gặt hái thêm nhiều thành công sống Học viên: Nguyễn Duy Đạt DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut( ): nhóm tự đẳng cấu miền Ck( ): không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k H(!; ) (hoặc Hol(!; )): tập ánh xạ chỉnh hình từ ! vào K : giả metric Royden-Kobayashi miền K F D: metric Royden-Kobayashi miền D C F D: metric Caratheodory miền D E M D: độ đo Eisenman-Kobayashi miền D C M D: độ đo Caratheodory miền D : Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm sở 1.2 Siêu mặt Levi-flat 1.3 Metric độ đo bất biến Nhóm tự đẳng cấu không compact 2.1 Chứng minh định lý phần 2.2 Chứng minh định lý phần MỞ ĐẦU n Cho D1; D2 hai tập mở không gian phức n chiều C , ánh xạ chỉnh hình từ D1 ! D2 gọi song chỉnh hình có ánh xạ ngược chỉnh hình Hai tập mở D1; D2 gọi song chỉnh hình tồn ánh xạ song chỉnh hình từ D1 vào D2 Trong giải tích phức, định lý ánh xạ Riemann nói rằng: Nếu U tập mở, đơn liên mặt phẳng phức mà khơng phải tồn C, U song chỉnh hình với đĩa đơn vị = fz C : jzj < 1g Vào năm 1907 Poincaré chứng minh hình cầu đơn vị n n n B = fz C : jzj < 1g không song chỉnh hình với đa đĩa D = fz = (z1; z2; :::; n zn) C : jzjj < 1; j = 1; ng với n > Chứng minh ơng sử dụng việc mơ n n tả nhóm tự đẳng cấu hai miền B D Sau Cartan đưa n tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước C Từ đến có nhiều kết nhà toán học liên quan đến toán mà Cartan đặt Mục đích luận văn trình bày lại kết Fu-Wong (xem [FW1]) đăng tạp trí Complex Variables toán xác định lớp miền có biên trơn khúc, generic, Levi-flat có nhóm tự đẳng cấu khơng compact, từ xác định nhóm tự đẳng cấu miền Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức Đồng thời, trình bày số khái niệm, kết liên quan đến metric Royden-Kobayashi hai độ đo bất biến Caratheodory EisenmanKobayashi Những kiến thức sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương II: Nhóm tự đẳng cấu không compact Trong chương này, trước hết nhắc lại số kết tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước sau tim hiểu kết Fu-Wong toán xác định lớp miền bị chặn C với biên trơn khúc, generic, Levi-flat có nhóm tự đẳng cấu không compact Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm sở Định nghĩa 1.1.1 Khả vi phức: n Cho tập mở C f : ! C Chúng ta nói f khả vi phức x0 n : C ! C cho: lim h!0 n h C ; h = (h1; h2; :::; hn); jjhjj = p Hàm f gọi chỉnh hình x0 x0 cho f khả vi phức với x Ux0 : Hàm f gọi chỉnh hình Cho ánh xạ f : n m C ! C ; viết dạng f = ( f1; :::; fm) f j = j f : ! C với j = 1; m m hàm tọa độ, j : C ! C (z1; :::; zm) 7!zj Khi đó, f gọi hàm chỉnh hình fj chỉnh hình với j = 1; m Định nghĩa 1.1.2 Cho 1; n hai tập mở không gian phức n chiều C Ánh xạ f : ! gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f ánh xạ chỉnh hình gọi song chỉnh hình với tồn ánh xạ song chỉnh hình f : ! n Cho miền C Ánh xạ song chỉnh hình f : ! gọi tự đẳng cấu Ký hiệu Aut( ) tập tất tự đẳng cấu Ví dụ 1.1.1 Cho = fz C : jzj < 1g Khi đó, Aut( ) tập tất phép biến đổi phân z tuyến tính ’ có dạng: ’(z) = w1 az¯ a jwj = 1; w C; a Ví dụ 1.1.2 Aut(C) tập tất ánh xạ tuyến tính ’: ’(z) = az + b a; b C; a , Ví dụ 1.1.3 2 Cho = f(z1; z2) C : jz1j < 1; jz2j < 1g Khi đó, Aut( ) tập tất ánh xạ có dạng sau: (z1; z2) 7!(w1 a1; a2 , phép tập f1; 2g, w1; w2 C jw1j = jw2j = Định nghĩa 1.1.3 Cho X mặt liên thông, đồ phức U X họ cặp (Uj; zj), U = f(Uj; zj)gj2J thỏa mãn: 16 với tích hình cầu Chứng minh kết Fu-Wong (Định lý (2.0.3)): Trong toàn phần tiếp theo, sử dụng D ký hiệu miền đơn liên C với biên trơn khúc, generic, Levi-flat nhóm tự đẳng cấu Aut(D) khơng compact Cho fg kg Aut(D) Giả sử g k(q) ! bD k ! 1với q D Bằng cách chọn dãy giả sử dãy g k hội tụ địa phương D đến g Theo định lý Cartan ([?]) g : D ! bD Đặt S = bD \ ([j,k(Sj \ Sk)) tập tất điểm biên kỳ dị Đặt R = bD n S tập tất điểm biên quy 2.1 Chứng minh định lý phần Trong mục này, chứng minh định lý trường hợp g(D) \ R , ; Đặt p = g(q) g(D) \ R Giả sử p S S siêu mặt xác định D với hàm xác định Khi tồn lân cận U p cho D \ U = f(z; w) U; (z; w) < 0g Từ bổ đề (1.2.3) ta có: g(D) S Bổ đề 2.1.1 Với tất khái niệm điều kiện trên, có g constant Hơn ˆ ˆ nữa, D miền compact tương đối D, g(D) mặt Riemann mở đóng địa phương Chứng minh Chứng minh Đặt qj = gj(q) ký hiệu pj hình chiếu qj lên biên theo phương pháp tuyến bD p Đặt Mj S qua pj đặt j véc tơ pháp tuyến phức đơn vị Mj pj Từ ta có: K K jj(gj ) (qj) jjj > F D(q; (gj ) (qj) j) = F D(qj; j) > 17 1 với j Đặt ˜ j = (gj ) (qj) j=jj(gj ) (qj) jjj Bằng cách chọn dãy giả sử ˜ j hội tụ tới véc tơ đơn vị ˜ Từ jg j(q)˜ jj ? có jg (q)˜j ? Do g constant Lấy ˆ đặt p 00 Sau phép biến đổi tọa độ gần chúng q D p = g(q ) 0 tơ pháp tuyến bD p Lá S qua p tham số hóa địa phương 7!( ; 0) Đặt g = (g ; g ) Từ chứng minh bổ đề 1:2:3 ta suy g đồng lân cận q Do g constant ˆ Do g(D) \ ( "") ˆ " với " > đủ nhỏ Ta chứng minh ") g(D) \ ( " dãy p j q j = " g(D ˆ 0 D cho p j = g(q j) Bằng cách chọn dãy giả sử rằn 0 j ! q˜ D Do g(q˜) = p , có g (z; w) với (z; w) lâ cận q˜ Mâu thuẫn với giả thiết tọa độ thứ hai khác q Bổ đề 2.1.2 Cho miền bị chặn cho M =f0g b S = b \ ("0 ) trơn Levi-flat với "0 đặt U " =" Khi với dãy qj lim lim Chứng minh Chứng minh, Bởi định lý (1.2.2), chọn hệ tọa độ lân cận M cho véc tơ pháp tuyến b hướng dương trục thực Re w với điểm M Khi S cho lân cận f0g hàm xác định dạng : (z; w) = Re w + r(z; z¯; Im w); Ở jr(z; z¯; Im w)j Cj Im wj với C số dương 18 Đặt N lân cận (t; ) = ( ; ’(t; )) : ( 1; 1) ! S\N vi phôi xây dựng bổ để (1.2.1) Viết qj = (zj; aj + ibj) Chọn t j (1; 1) thỏa mãn ’(tj; zj) = r(zj; z¯j; bj) + ibj Mỗi tj xác định tj ! Ta có Lj = (tj; ) qua hình chiếu qj lên S theo phương hướng dương trục thực Re w Đặt vj = arg((@ =@w)(z; ’(tj; z))) argument lấy theo nhánh Từ (@ =@w)(z; 0) = 1=2 với jzj < , ta có vj xác định j đủ lớn Từ định lý (1.2.2) ta suy vj hàm điều hòa Đặt uj(z) liên hợp điều hòa vj cho 0 u j(0) = Đặt hj(z ) = exp( uj(z ) + ivj(z )), ta có hj hàm chỉnh hình Cho F : (z; w) j Khi ta có: 0 0 0 0 F j( \ U ") = f(z ; w ) : jz j < ; jw =hj(z ) + ’(tj; z )j < "; ˜(z ; w ) < 0g; 0 0 ˜(z ; w ) = (Fj (z ; w )) Từ j j với z < , đó, hệ tọa độ điêm L j hướng dương trục thực Re w Mặt khác tồn số C > cho j’(tj; z)j Cjtjj 1=C jhj(z)j C với jzj < với j đủ lớn Do đó, tồn số a > b > cho 0 02 fjw j < "=b; Re w + aj Im w j < 0g Fj( \ U ") fjw j < b"; Re w 02 aj Im w j < 0g 19 với " đủ nhỏ j đủ lớn Do với hai góc "=b Fj( \ U" ) 2 ( =2; ), có " đủ nhỏ Đặt suy ra: q j = Fj(qj) w j b" (0; =2) thỏa mãn với tọa độ thứ hai q j Từ bổ đề (1.3.1) M ME Theo bổ đề (1.3.2) hạng tử cuối chọn đủ gần j ! + 1," ! 0, ! ( =2) , ! ( =2) Tiếp theo chứng minh định lý trường hợp g(D) \ R , ; Sử dụng ý tưởng chứng minh từ kết trước Fu-Wong xem [FW2] Chúng ta giữ bước phần bắt đầu mục Trước tiên xét tập D" = fq D; dist(q; bD) > "g có rút (liên tục) D với " > đủ nhỏ Từ D liên thơng ta suy D " Do dó phủ D miền compact tương đối, liên thông Cho D1 D2 hai tập liên thông D cho q D D2 D Đặt V = g(D2) Bởi bổ đề (2.1.1) ta suy V mặt Riemann mở đóng địa phương Hơn nữa, V hyperbolic đa tạp phức miền bị chặn C Ta có mặt Riemann đa tạp Stein (xem [?, Thm 3.10.13]) phân thớ đường chỉnh hình mặt Riemann mở tầm thường (xem [For, Thm 30.3]), từ từ hệ (xem [Siu, Cor 1]) ta suy tồn ánh xạ song chỉnh hình từ lân cận mở W V tới lân cận mở U V f0g V C cho (g(z; w)) = (g(z; w); 0) với (z; w) D2 Chúng ta giả sử U V Cho : ! V ánh xạ phủ phổ dụng Đặt (z; w) = ( 1(z); w) Đặt = ( (W \ D)) Khi 0 0 0 = f(z ; w ) C; (z ; w ) U; ˜(z ; w ) < 0g; 0 ˜(z ; w ) = ( 0 ( (z ; w ))) Dễ dàng ˜(z ; 0) = 20 0 0 (@ ˜=@z )(z ; 0) = 0; (@ ˜=@w )(z ; 0) , Khi b trơn Levi-flat lân cận M = f0g Cố định nghịch ảnh p ( (p)) Sau phép đổi biến giả sử p = (0; 0) Do một địa phương , nên tồn 0 nâng q j (qj) với j đủ lớn cho q j ! p Từ D1 đơn liên gj(D1) W \ D với j đủ lớn, tồn nâng g˜ j g˜ : 0 D1 ! (gj) (g) tương ứng cho g˜j(q) = q j g˜(q) = p Chọn (0; 1), đủ gần cho g˜(D1) f0g Lấy " > U " = " Khi g˜j(D1) \ U " với j đủ lớn Từ bổ đề (1.3.1) ta suy M C D1 E (q) detg˜ j M D(q) j C jdetg˜ j(q)j M \U " (q j) j detg0 (q) 2ME j j ( \U ") (q ) j detg˜ = j C E Từ theo bổ đề (2.1.2) ta có: M D1 (q)=M D(q) Chúng ta phủ D C E miền đơn liên, compact tương đối, M D(q)=M D(q) Theo bổ đề (1.3.1) D song chỉnh hình với song đĩa 2.2 Chứng minh định lý phần Trong mục này, chứng minh định lý trường hợp: g(D) \ S , ; Lấy p g(D) \ S, p g(D) nên tồn q D cho g(q) = p Khi tồn lân cận U p cho U \ D = f(z; w) U; < 0; < 0g hàm hệ hàm xác định D Đặt S1 S2 siêu 21 mặt xác định tương ứng với Theo bổ đề (1.2.3) ta có g(D) S1 \S2 Do @ 1^@ , S1\S2 nên @ 1(p) @ 2(p) độc lập tuyến tính C, Sau phép biến đổi tuyến tính giả sử p = (0; 0); @ 1(p) = (0; 1); @ 2(p) = (1; 0) Để chứng minh định lý trường hợp này, cần hai bổ đề tương tự chứng minh định lý phần 1, đưa đây: Bổ đề 2.2.1 Điểm biên p điểm peak địa phương D Chứng minh Giả sử hai L1 L2 hai phân S1 S2 qua p cho địa phương ’( ) = (’1( ); ’2( )) ( ) = ( 1( ); 2( )) tương ứng Sau phép đổi biến, giả sử ’(0) = (1; 0), (0) = (1; 0) Sau z =z L2 cho địa phương xác định f0g f0g tương ứng Do đó, S1 S2 Re w + Im w:O(jwj + j Im wj) = Re z + Im z:O(jzj + j Im zj) = tương ứng Sau phép co rút U, có D \ U fRe w j Im wj < 0g fRe z j Im zj < 0g Đặt fp(z; w) = exp( ( z) 2=3 ( w) 2=3 ) hàm bậc ba lấy theo nhánh Khi fp hàm peak địa phương p Bổ đề 2.2.2 Cho U" = " " Khi với dãy fqjg D hội tụ tới p, MC D\U" lim"!0limj!1 (q ) MED\U" (qj) j = 1: 22 Chứng minh Như bổ đề trên, chọn hệ tọa độ lân cận p cho phân S S2 qua p cho L = "0 f0g L = f0g "0 với "0 số dương Hơn theo định lý (1.2.2), giả sử véc tơ pháp tuyến S hướng dương trục Re w điểm L véc tơ pháp tuyến S2 hướng dương trục Re z điểm L Với " (0; "0), đặt (t; ) = ( ; ’(t; )) vi phôi từ ( 1; 1) " tới lân cận " f0g S1 xác định chứng minh bổ đề (1.2.1) Chọn tj cho t j ! L j = (tj; ") phân S1 mà qua hình chiếu qj S1 theo hướng dương trục Re w Đặt v j(z) = arg(@ 1=@w)(z; ’(tj; z)) 1 Theo định lý (1.2.2), v j(z) điều hòa " Gọi u j(z) liên hợp điều hòa 1 1 cho u j(0) = Đặt h j(z) = exp( u j(z) + iv j(z)) Xác định F j : (z; w) ! (z ; 0 0 1 0 w ) z = z w = (w ’(tj; z))h j(z) Đặt ˜1(z ; w ) = 1((F j) (z ; w )) 0 0 ˜2(z ; w ) = 2((F j)(z ; w )) Khi @ ˜1 0 ˜1(z ; 0) = 0; @z0 (z ; 0) = @˜ @w10 (z 0; 0) = @ ˜2 0 ˜2(0; w ) = 0; @w0(0; w ) = 0; @ ˜2 (0; w ) = @z 00 với jz " 0 < "j jw =h j(0) + ’(tj; 0)j < "0 Do đó, hệ tọa độ (z ; w ), L j = f0g véc tơ pháp tuyến S điểm L j hướng 0 dương trục Re w Hơn nữa, L = f(0; w ); jw =h j(0) + ’(tj; 0)j < "0g véc tơ pháp tuyến S2 điểm L2 hướng dương trục Re z 23 Do hj(0) ! ’(tj; 0) ! nên với j đủ lớn ta có F j(L ) " "=2 F j(U") f(0; w ); jw j < "0g "=2 " (s; w ) vi phôi từ ( 1; 1) Đặt xác định chứng minh bổ đề (1.2.1) Chọn sj cho sj ! L j = (sj; ") phân F j(S2) qua hình chiếu q j lên S2 theo 0 0 hướng dương trục Re z Đặt v j(w ) = arg(@ 2=@z )( (sj; w ); w ) Đặt 2 2 u j liên hợp điều hòa v j " cho u j(0) = Đặt h j(w ) = exp( u (w )+iv j j 00 00 00 00 00 00 Đặt ˆ1(z ; w ) = 1((F j) (z ; w )) ˆ2(z ; w ) = 2((F j) @ ˆ1 00 00 ˆ1(z ; 0) = 0; @z00(z ; 0) = @ ˆ1 @w 00 (z ; 0) = 00 @ ˆ2 00 00 ˆ2(0; w ) = 0; @w00(0; w ) = 0; @ ˆ2 @w0 00 0 u2 (w0) (sj; w ); w ) e (0; w 00 ) = j > 0; 00 00 00 với jz =h j(0) + (sj; 0)j < " jw j < " Do tọa độ (z ; w ), L j L j đĩa mặt phẳng tọa độ véc tơ pháp tuyến S S2 tương ứng hướng dương trục Re w 2 00 Re z 00 điểm L j L j Đặt Fj = F j F j Khi với j đủ lớn, "=2 "=2 Fj(U") 2" 2" Hơn nữa, tồn số dương C cho 24 00 fjz j < "=2; Re z 00 00 + Cj Im z j < 0g 00 fjw j < "=2; Re w 00 00 + Cj Im w j < 0g Fj(D \ U") 00 00 00 00 00 00 = f(z ; w ) Fj(U"); ˆ1(z ; w ) < 0; 2(z ; w ) < 0g 00 fjz j < 2"; Re z 00 00 fjw j < 2"; Re w 00 với j đủ lớn Do với hai góc có Khi 00 Cj Im z j < 0g 00 Cj Im w j < 0g; 12 (0; =2) 2 ( =2; ), "=2 "=2 1 MC (qj) ME \U" \U" (q ) j Từ bổ đề (1.3.2) hạng tử cuối biểu thức chọn đủ + gần cho j ! 1; " ! 0; ! ( =2) ! ( =2) , bổ đề chứng minh Bây giờ, chứng minh định lý trường hợp g(D) \ S , ; giả sử Đặt qj = gj(q) Lấy D1 miền compact tương đối D chứa q Với " > 0, Do g(D) = fpg nên gj(D1) D \ U" với j đủ lớn Do đó, theo bổ đề (1.3.1) (2) có: Theo bổ đề (2.2.2), MD C Từ theo bổ đề (1.3.1) (4) D song chỉnh hình với song đĩa 25 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày nhóm tự đẳng cấu miền với biên phẳng Levi Cụ thể luận văn trình bày kết sau: Phần luận văn trình bày số khái niệm giải tích phức hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình, metric độ đo bất biến, siêu mặt Levi-flat Đó khái niệm quan trọng để nghiên cứu lĩnh vực giải tích phức, cụ thể tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền, hay toán phân loại miền dựa vào nhóm tự đẳng cấu Phần sau luận văn em tập trung trình bày lại chứng minh kết Fu Wong ([FW1]) toán xác định lớp miền bị chặn với biên Levi-flat, trơn khúc có nhóm tự đẳng cấu không compact Thông qua luận văn em hiểu thêm số kiến thức giải tích phức, việc nghiên cứu kết Fu Wong hướng để tìm câu trả lời cho việc tìm hiểu tốn mà Cartan đưa Tài liệu tham khảo [Ca] H Cartan, Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semicerclés bornés, Math Ann 106 (1932), 540-573 [DF] K Diederich and J Forness, Pseudoconvex domains: an example with nontrivial nebenhiille, Math Ann 225 (1977), 275-292 [For] O Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1981 [Fre] M Freeman, Local complex foliation of real manifolds, Math Ann 209 (1974), 1-30 [FW1] S Fu and B Wong, On a Domain in C with generic piecewise smooth levi-flat boundary and non-compact automorphism group, Complex Vari-ables 42(1)(2000), 25-40 [FW2] S Fu and B Wong, On boundary accumulation points of a smoothly bounded pseudoconvex domain in C , Math Ann 310 (1998), 183-196 n [Kim] K.T Kim, Domain in C with a piecewise Levi flat boundary which possess a noncompact automorphism group, Math Ann 292 (1992), 575-586 [Kr] S Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, John Wiley and Sons, 1982 26 27 [Na] R Narasimhan, Several Complex Variables, The University of Chicago, 1971 [P] S Pinchuk, Homogeneous domains with piecewise-smooth boundaries, Math Notes 32 (1982), 849-852 [R] J.P Rosay, Sur une characterization de la boule parmi les domains n de C par son groupe d’automorphismes, Ann Inst Four Grenoble 29 (1979), 91-97 [Siu] Y.T Siu, Every Stein subvariety admits a Stein neighborhood, Invent Math 38 (1976), 89-100 n [W1] B Wong, Characterization of the unit ball in C by its automorphism groups, Invent Math 41 (1977), 253-257 [W2] B Wong, Characterization of the bidisc by its automorphism group, Amer J Math 177 (1995), 279-288 ... định nhóm tự đẳng cấu miền, hay tốn phân loại miền dựa vào nhóm tự đẳng cấu Phần sau luận văn em tập trung trình bày lại chứng minh kết Fu Wong ([FW1]) toán xác định lớp miền bị chặn với biên. .. Fu Wong tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước Kết Fu Wong đưa định lý sau đây: Định lý 2.0.3 Nếu D miền đơn liên C với biên trơn khúc, generic, Levi-flat nhóm tự đẳng cấu Aut(D) khơng compact,... II: Nhóm tự đẳng cấu khơng compact Trong chương này, trước hết nhắc lại số kết tốn xác định nhóm tự đẳng cấu miền cho trước sau tim hiểu kết Fu-Wong toán xác định lớp miền bị chặn C với biên