Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM KIM QUÝ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 Cán hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tận tình bảo suốt trình thực luận văn Nhân em xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Tốn - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn anh chị bạn chun ngành Tốn ứng dụng động viên ý kiến trao đổi quý báu thân thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất sống học tập Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015 Học viên Phạm Kim Quý DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT n • AC([0, ∞), C ): Khơng gian hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) n vào C • C: Tập số phức k n • Cpw (I, C ): Không gian hàm khả vi liên tục khúc cấp k n từ I vào C • diag(σ1, σ2): Ma trận đường chéo với phần tử chéo σ1, σ2 • K: K = R K = C • PTVP: Phương trình vi phân • PTVP ĐS: Phương trình vi phân đại số • R: Tập số thực • rank A: Hạng ma trận A Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm ma trận 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Chuẩn véc-tơ chuẩn ma 1.3 Một số khái niệm phương Một số kết bán kính ổn định 2.1 Bán kính ổn định hệ phư 2.2 Bán kính ổn định phươn 2.2.1 2.2.2 Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm 3.1 Các khái niệm mở đầu 3.2 Tính ổn định mũ phươn 3.3 Tính ổn định mũ vững Tài liệu tham khảo Mở đầu Bài toán bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm (Delay Differential Algebraic Equations) tốn nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững xây dựng cơng thức tính tốn bán kính ổn định thực/phức cho PTVP ĐS có chậm, dạng: Ex˙(t) = Ax(t) + Dx(t − τ ), n×n n E, A, D ∈ C , x : I → C , I = [0, ∞), τ > độ trễ thời gian, det E = Trong tài liệu này, tính chất P hệ gọi vững tính chất bảo toàn nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ Ngoài việc quan tâm tới tính vững tính chất, người ta cịn quan tâm tới độ vững tính chất mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái niệm bán kính thuộc tính (được đo mêtric tương thích) Trong khn khổ luận văn, tính chất P xét tính ổn định, hệ xét hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng, chịu tác động nhiễu có cấu trúc PTVP ĐS có chậm trường hợp tổng quát PTVP ĐS (Differential Algebraic Equations) PTVP thường có chậm (Delay Ordinary Differential Equations) Trong PTVP ĐS mơ hình tốn học cho nhiều hệ động lực nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn mô mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa học, PTVP ĐS có chậm cần thiết để mơ hình hóa tác động khơng tức thời (có chậm) Khơng giống trường hợp PTVP thường có chậm PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định PTVP ĐS có chậm gặp nhiều khó khăn bao gồm phần ràng buộc đại số độ trễ thời gian, chí lý thuyết tồn nghiệm thu nhiều kết Khó khăn cịn rõ rệt phân tích tính ổn định Hầu hết kết biết tính ổn định PTVP ĐS có chậm trường hợp quy có hệ số vài trường hợp có dạng đặc biệt Nhiều kết biết PTVP thường có chậm PTVP ĐS khơng thể chuyển sang PTVP ĐS có chậm Bài báo [5] sở thực luận văn Trong tài liệu này, tác giả nghiên cứu tính ổn định hệ thơng qua mối quan hệ tập phổ với tập C− với số điều kiện kèm theo Và để thu công thức tính tốn bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm, việc phân tích phức tạp với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions) Trong luận văn, tác giả đề cập đến dạng PTVP tuyến tính hệ số Luận văn gồm 56 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương: ⋄ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi tóm tắt số kiến thức sử dụng luận văn, chủ yếu kiến thức mở rộng ma trận, véc-tơ chuẩn ⋄ Chương Một số kết bán kính ổn định Nội dung chương giới thiệu số kết cơng thức bán kính ổn định PTVP ĐS PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số trường hợp đặc biệt phương trình vi phân đại số có chậm ⋄ Chương Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm Chương nội dung luận văn Trong đó, chúng tơi phân tích chứng minh kết bán kính ổn định phức PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số Và kết đưa công thức tính tốn bán kính ổn định Q trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề khơng tránh khỏi sai sót, hạn chế Do đó, em mong nhận góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt số kiến thức cần dùng cho phân tích, chứng minh luận văn vài ví dụ minh họa Cụ thể số kiến thức mở rộng ma trận, chuẩn vài kiến thức PTVP 1.1 Một số khái niệm ma trận 1.1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương Nghịch đảo Drazin n×n Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A = [aij] ∈ R , ≤ i, j ≤ n Khi đó: A gọi ma trận Metzler tất phần tử, ngoại trừ phần tử đường chéo chính, khơng âm, tức aij ≥ 0, ∀i = j A gọi ma trận không âm (nonnegative matrix) viết A ≥ aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2, , n A gọi ma trận dương (positive matrix) tất phần tử A dương, tức aij > 0, ∀i, j = 1, 2, , n, kí hiệu A > Trong đại số tuyến tính, biết đến khái niệm ma trận nghịch đảo ma trận vuông khả nghịch Mở rộng khái niệm có khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch đảo Drazin, nghịch đảo suy rộng Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm nghịch đảo Drazin vài kết liên quan Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi đó: Số tự nhiên k gọi số A kí hiệu ind(A) = k k k số tự nhiên nhỏ thỏa mãn rank A = rank A k+1 Ma trận X ∈ Cn×n gọi nghịch đảo Drazin A X thỏa mãn đồng thời biểu thức k k A XA = A , XAX = X, AX = XA Trong đó, k = ind(A) Nghịch đảo Drazin ma trận A kí hiệu D A Từ định nghĩa ta có rằng, khái niệm nghịch đảo thông thường trường hợp đặc biệt nghịch đảo Drazin, tức A khả nghịch theo nghĩa thơng thường A D = A−1 Ta có số kết sau nghịch đảo Drazin Định lý 1.3 Trong định lý ta xét ma trận vng Khi ta có khẳng định sau: (a) Nghịch đảo Drazin ma trận A tồn nhất, (b) Nghịch đảo Drazin ma trận lũy linh ma trận không, (c) Nếu P ma trận chiếu, P D = P , có số ind P ≤ P =P, ∗ D D ∗ T D D T (d) (A ) = (A ) , (e) (A ) = (A ) Ví dụ sau ma trận nghịch đảo Drazin ma trận suy biến Ví dụ 1.1 Xét ma trận: A= 0 Ta có rank A = 2, rank A = rank A = nên ind(A) = −1 Vì det A = 0, nên khơng tồn A Tuy nhiên ta kiểm tra 0 X= 000 0 thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.2, tức A D = X 1.1.2 Khai triển kì dị Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) cơng cụ đại số tuyến tính mạnh hữu dụng, sử dụng nhiều toán liên quan đến ma trận mà áp dụng phương pháp khử Gauss hay phân tích LU cho kết với sai số lớn Phân tích SVD dựa định lý sau, xem [6] Định lý 1.4 Cho A ∈ Cm×n Khi ln tồn ma trận trực giao m×m n×n U∈C ,V∈C ma trận đường chéo D := diag(σ 1, , σr) σi, ≤ i ≤ r, bậc hai dương (kể bội) giá trị riêng ma trận A∗A thỏa mãn A=U Ta thường ký hiệu Σ := D 0 D ∗ 0V ∈ Rm×n khai triển A =UΣV ∗ gọi khai triển kỳ dị ma trận A Các véc-tơ cột ma trận U gọi véc-tơ kỳ dị trái, véc-tơ cột ma trận V gọi véc-tơ kỳ dị phải, σ i gọi giá trị kỳ dị ma trận A Để tìm khai triển kì dị ma trận A ta tìm véc-tơ riêng ∗ ∗ ∗ ma trận A A AA Cụ thể véc-tơ riêng đơn vị A A véc-tơ cột V , véc-tơ riêng đơn vị AA ∗ véc-tơ cột U , giá trị kỳ dị A bậc hai giá trị riêng tồn ma trận không suy biến W ∈ Cn×n cho d×n Ở E1, A1, D1 ∈ C a×n , A , D2 ∈ C h×n , D3 ∈ C cho T E1 A2 D3 khả nghịch Giả sử ma trận Bi, i = 1, 2, ma trận hạn chế cấu trúc có dạng d×p h×p h×p Ở Bj1 ∈ C j , Bj2 ∈ C j , Bj3 ∈ C j , j = 1, 2, Theo [2], Bổ đề 3.3, nhiễu có cấu trúc chấp nhận B 12 1C = 0, B13 1C = B23 2C = Do đó, để đơn giản, ta giả sử B12 = 0, B13 = B23 = Dễ thấy rằng, tất nhiễu có cấu trúc mà B i, i = 1, 2, thỏa mãn (3.36), nhiễu đủ nhỏ thuộc tính khơng có tính chất lạ bảo tồn với khối cỡ Kí hiệu cận (infimum) chuẩn tất nhiễu mà (3.24) có tính chất lạ cỡ khối d, a, h thay đổi s d C(E, A, D; B, C), ta có mệnh đề sau 49 Mệnh đề 3.11 Giả sử (3.1) khơng có tính chất lạ chịu tác động nhiễu có cấu trúc với Bi, i = 1, 2, thỏa mãn (3.36) Khi E1 D3 Chứng minh Với ma trận B i, i = 1, 2, thỏa mãn (3.36), hệ bị nhiễu (3.24) khơng có tính chất lạ với E 1, A1, D1 ∈ C a×n ∈C h×n , D3 ∈ C d×n , A2, D2 (như (3.34)) E1 + B11 A2 + B22 D3 + B33 không suy biến Do đó, tốn khoảng cách tốn tính khoảng cách ma trận không suy biến đến ma trận suy biến gần Bài toán chứng minh, xem [13], ma trận E1 D3 A2 không suy biến < C (đpcm) Mệnh đề 3.12 Xét hệ (3.1) với α(H) < Giả sử hệ khơng có tính chất lạ chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24) với ma trận hạn chế Bi, i = 1, 2, thỏa mãn (3.36) nhiễu thỏa mãn −1 < sup G(λ) Re λ≥0 Khi nhiễu có cấu trúc chấp nhận được, tức phương trình bị nhiễu (3.24) khơng có tính chất lạ với khối cỡ d, a h 50 Chứng minh Ta chứng minh sup G(λ) −1 Re λ≥0 Ta viết lại G sau Do ta có λE1 Nếu λ = điều tương đương với − E1 −λτ + A1/λ + e D1/λ − Vì Re λ + lim nên limRe λ→+∞ F (λ) tồn Do ta có lim Re λ + →∞ 51 (3.37) thỏa mãn Rõ ràng sup G(λ) Re λ ≥ Từ mệnh đề 3.11 ta có −1 < sup G(λ) Re λ≥0 Khi đó, hệ bị nhiễu (3.24) khơng có tính chất lạ với khối cỡ d, a, h (3.1) (đpcm) Chúng ta kết hợp kết để mơ tả bán kính ổn định PTVP ĐS có chậm khơng có tính chất lạ tác động nhiễu có cấu trúc phù hợp Định lý 3.13 Giả sử (3.1) ổn định mũ, khơng có tính chất lạ chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24) với ma trận cấu trúc B1, B2, B3 thỏa mãn (3.36) Khi Hơn nữa, với khối cỡ d, a, h với (3.1) Chứng minh Từ (3.28), ta có Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, gọi cho (3.1) tính ổn định mũ Giả sử Vì (3.1) khơng có tính chất lạ ổn định mũ, ta có α(H) < 0; từ Mệnh đề 3.9, ta có α(H ) < Khi đó, từ Mệnh đề 3.12 phương trình 52 bị nhiễu (3.24) khơng có tính chất lạ, đó, theo Định lý 3.4, ta thu phương trình bị nhiễu (3.24) ổn định mũ, điều mâu thuẫn Vậy −1 ≥ rC(E, A, D; B, C) ≥ Cuối cùng, từ Mệnh đề 3.12, ta có (3.24) khơng có tính chất lạ rC(E, A, D; B, C) (đpcm) Nhận xét Do nguyên lý cực đại [5] nên cận G(λ) nửa phải mặt phẳng phức đạt điểm xác định trục ảo vơ Đối với PTVP ĐS có chậm khơng có tính chất lạ supReλ≥0 G(λ) = supRe λ=0 G(λ) , tức −1 sup G(λ) rC(E, A, D; B, C) = Re λ=0 Như hệ quả, ta có kết tương tự cho trường hợp đặc biệt hệ khơng có tính chất lạ mà cặp (E, A) quy ind(E, A) ≤ Hệ 3.14 Xét hệ (3.1) với (E, A) quy thỏa mãn ind(E, A) ≤ 1, giả sử hệ ổn định mũ có dạng (1.1) Nếu hệ chịu tác động nhiễu có cấu trúc (3.24), ma trận cấu trúc B1 thỏa mãn W −1 B1 = B 11 , với B11 ∈ Cd×p1 Khi bán kính ổn định có cấu trúc cho công thức −1 sup G(λ) rC(E, A, D; B, C) = Re λ=0 Với PTVP ĐS khơng có chậm, ta biết [4] mục 2.1 rằng, nhiễu bảo toàn cấu trúc lũy linh dạng WeierstrassKronecker, ta mơ tả bán kính ổn định có cấu trúc trường hợp (E, A) quy ind(E, A) > Ở mục 3.2, ta thấy tính ổn định mũ mô tả phổ H ta giả sử N D21 = N D22 = Sau đây, ta giả sử tính chất ổn định mũ 53 bảo tồn phương trình bị nhiễu (3.24), ma trận cấu trúc B1, B2, B3 thỏa mãn W −1 B1 = d×p (n−d)×p n×n Bj1 ∈ C j , j = 1, 2, 3, B 32 ∈ C W ∈ C , N ∈ C(n−d)×(n−d) dạng (1.1) Xét hệ bị nhiễu không làm thay đổi cấu trúc lũy linh dạng Weierstrass-Kronecker (E, A), tức ma trận lũy linh N không gian bất biến trái tương ứng liên kết với giá trị đặc trưng ∞ bảo toàn, xem [2] cho trường hợp ind(E, A) = D = Tương tự phương pháp tiếp cận [2], ta đưa khoảng cách tới cặp gần có cấu trúc lũy linh thay đổi n d C(E, A, D; B, C) = inf{ : (3.24) khơng bảo tồn cấu trúc lũy linh} Với giả thiết (3.39), ta có kết sau cho trường hợp PTVP ĐS khơng có chậm Mệnh đề 3.15 Xét (3.1) với (E, A) quy tác ind(E, A) > 1, chịu động nhiễu biến đổi thỏa mãn (3.39) Khi đó, khoảng đến hệ gần có cấu trúc lũy linh thay đổi cho cách công thức n dC (E, A, D; B, C) = C11B11 q×r C = [C11 C12] với C11 ∈ C q×(n−r) , C12 ∈ C Chứng minh Từ (3.39), cấu trúc lũy linh phương trình bị nhiễu (3.24) bảo toàn ma trận bị nhiễu I r + B11 1C11 không suy biến Do đó, sử dụng lại khoảng cách ma trận không suy biến đến ma trận suy biến gần nhất, xem [13], ta thu n dC (E, A, D; B, C) = C11B11 (đpcm) Định lý 3.16 Xét (3.1) ổn định mũ với (E, A) quy, ind(E, A) > giả sử (3.1) chịu tác động nhiễu biến đổi thỏa mãn (3.39) 54 Khi đó, bán kính ổn định cho công thức −1 sup G(λ) rC(E, A, D; B, C) = Re λ=0 Hơn nữa, < rC(E, A, D; B, C) (E+C 1B1, A+C 2B2) quy cấu trúc lũy linh dạng Weierstrass-Kronecker (1.1) hệ bị nhiễu ổn định mũ Chứng minh Với giả thiết (3.39), tính tốn đơn giản, ta lim G1(λ) = C11B11 , Re λ→+∞ lim G2(λ) = Re λ→+∞ Do đó, limRe λ→+∞ G(λ) = lim G3(λ) = Re λ→+∞ C11B11 Từ thực tế supRe λ≥0 G(λ) ≥ limRe λ→+∞ G(λ ) Mệnh đề 3.15, phần lại chứng minh tương tự với chứng minh Định lý 3.13 Sử dụng nguyên lý cực đại, ta nhận sup G(λ) Re λ≥0 Để minh họa kết phần này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.4 Xét PTVP ĐS tuyến tính khơng có tính chất lạ 10 0 00 với (E, A) suy biến, chịu tác động nhiễu có cấu trúc E=000❀E= A=02 Và giới thiệu lại dạng (3.24) với B1= ,B2= ,B3= ,C=I3, = δ21 δ22 δ23 55 −λ + λ −2(2 + e ) −λ −λ Ta có, H(λ) = λE − A − e D = −2 − e 0 kiểm tra α(H) < (3.40) ổn định mũ Bằng tính tốn đơn giản, ta có −λ −e dễ −e −λ G(λ) = với chuẩn max C 3×3 nên supλ G(iπ) ∞ = Do đó, Định lý 3.13 ta có rC(E, A, D; B, C) = Ta ý rằng, việc sử dụng (3.29), nhiễu gây bất ổn định xây dựng 0 = 0−1/20, 01/20 với chuẩn 1/2 Hơn nữa, người ta kiểm tra với này, hệ bị nhiễu khơng có tính chất lạ α(H ) = 0, có nghĩa hệ bị nhiễu khơng ổn định tiệm cận 56 Kết luận Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học KHTN, ĐHQGHN sở báo [5] tính ổn định ổn định vững PTVP ĐS có chậm Kết luận văn xây dựng lại điều kiện cần đủ cho tính ổn định vững PTVP ĐS có chậm tác động nhiễu có cấu trúc, đồng thời cơng thức tính tốn bán kính ổn định phức, vài trường hợp đặc biệt xét Chương PTVP ĐS PTVP thường có chậm Các kết thu luận văn khiêm tốn, phạm vi nghiên cứu chưa rộng (chỉ hệ tuyến tính hệ số hằng) Tuy nhiên, số vấn đề đặt nghiên cứu phổ điều kiện tính ổn định mũ PTVP ĐS trường hợp tổng qt cơng thức bán kính ổn định thực toán mở 57 Tài liệu tham khảo [1] Ascher U.M., Petzold L.R (1998): Computer methods for Ordinary Differential equations and differential-algebraic equations, SIAM [2] Byers R., Nichols N.K (1993): "On the stability radius of a generalized state-space system", Linear Algebra and its Applications, Vol 188–189, 113–134 [3] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2005): "Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems", Systems and Control Letters, Vol 54, 33–41 [4] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Mehrmann V (2013), "Robust Stability of Differential-Algebraic Equations", Surveys in Differential-Algebraic Equations I, 63-95, Springer [5] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh, Mehrmann V., Đỗ Đức Thuận (2013): "Stability and robust stability of linear time-invariant delay differential-algebraic equations", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol 34, 1-32 [6] Golub G.H., Van Loan C.F (1996): Matrix Computations, 3rd edn The Johns Hopkins University Press, Baltimore P [7] Ha P., Mehrmann (2012): "Analysis and reformulation of linear delay differential-algebraic equations", Electronic Journal of Linear Algebra, Vol 23, 703-730 [8] Hale J.K (1977): Theory of functional-differential equations, Springer-Velag, Newyork-Heidelberg-Berlin 58 [9] Kunkel and V Mehrmann (2006): Differential-algebraic equations Analysis and numerical solution, EMS Publishing House, Zăurich, Switzerland [10] V Hong Linh, c Thun (2015), "Spectrum-Based Robust Sta-bility Analysis of Linear Delay Differential-Algebraic Equations", Nu-merical Algebra, Matrix Theory, DifferentialAlgebraic Equations and Control Theory, Springer International Publishing Switzerland, 533-557 [11] Michiels W (2011): Spectrum-based stability analysis and stabilisa-tion of systems described by delay differential algebraic equations, IET Control theory Appl [12] Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C (1995): "A formula for computation of the real stability radius", Automatica, Vol 31, 879–890 [13] surjec- Nguyễn Khoa Sơn, Đỗ Đức Thuận (2011): "On the radius of tivity for rectan-gular matrices and its application to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol 12 , 441–453 59 ... chuẩn ma 1.3 Một số khái niệm phương Một số kết bán kính ổn định 2.1 Bán kính ổn định hệ phư 2.2 Bán kính ổn định phươn 2.2.1 2.2.2 Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm 3.1 Các... tính ổn định bán kính ổn định PTVP thường có chậm với trường hợp đặc biệt hệ dương có chậm 26 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân thường có chậm Trong phần này, chúng tơi trình bày tính ổn. .. Chương Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số có chậm Chương nội dung luận văn Trong đó, chúng tơi phân tích chứng minh kết bán kính ổn định phức PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số Và kết