Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨKHOA HỌC HÀ NỘI – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính hệ thống tính tốn Mã sô LUẬN VĂN THẠC SĨKHOA HỌC Cán hướng dẫn: TS Lê Anh Vinh HÀ NỘI – 2012 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Cơ E-đồ thị 1.1 Lý thuyết đồ thị 1.2 Thuật ngữ khái niệm đại số 1.3 E-Đồ thị 1.4 Họ E-Đồ thị Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 2.1 Xích Markov 2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên E-đồ thị d-đều Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis 57 3.1 Đồ thị Paley 57 3.2 Đồ thị Margulis 60 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết đồ thị, bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị dành nhiều quan tâm nhiều thập niên qua Các kết ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Việc nghiên cứu lớp đồ thị cụ thể cho ta ứng dụng khác như: thiết kế mạng, thiết kế thuật tốn mã hóa, mật mã, giả ngẫu nhiên Khi nghiên cứu E- đồ thị cho ta thấy tính chất đặc biệt như: tốc độ hội tụ tới phân phối dừng, phân phối dừng, thời gian va chạm, thời gian phủ Luận văn tập trung nghiên cứu E- đồ thị tham số bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Dựa vào tơi đưa cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Cơ E - đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ đưa khái niệm định nghĩa đồ thị Phần thứ hai đưa khái niệm, định nghĩa tính chất liên quan đến đồ thị Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ gồm khái niệm, định nghĩa kết bước nhảy ngẫu nhiên Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị tính chất bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis Chương áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên hai đồ thị đồ thị Paley đồ thị Magulis Để hoàn thành luận văn trước hết xin chân thành cảm ơn TS Lê Anh Vinh người cố vấn với thảo luận hiệu hướng dẫn nhiệt tình Đồng thời xin chân thành cảm ơn TS Lê Trọng Vĩnh động viên, khuyến khích giúp đỡ suốt q trình hồn thiện Vì lý thời gian, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, bất hợp lý nội dung cách trình bày Kính mong nhận góp ý thầy cô Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Lê Quang Hàm CHƯƠNG CƠ BẢN VỀ E-ĐỒ THỊ Kiến thức chủ yếu đưa chương này, dễ dàng tham khảo tài liệu viết lý thuyết đồ thị, E- đồ thị [2], [3], [5], [7] 1.1 Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Giả sử có tập V 6= ∅ đối tượng tùy ý E tập số cặp đối tượng thuộc V thứ tự không Cặp (V, E) gọi đồ thị Ký hiệu G = (V, E) G(V, E) Trong V tập đỉnh E tập cạnh đồ thị G + Nếu a = (x, y) x, y ∈ V khơng thứ tự a gọi cạnh (vô hướng) đồ thị; x, y gọi hai đầu cạnh a (hay hai điểm đầu cạnh a) + Nếu b = (u, v) u, v ∈ V thứ tự b gọi cạnh có hướng (cung) đồ thị; u đỉnh đầu, v đỉnh cuối Nếu c = (z, z) z ∈ V cặp đỉnh trùng c gọi khuyên Nếu hai đỉnh quy định thứ tự c gọi khuyên có hướng + Định nghĩa 1.1.2 x, y gọi hai đỉnh kề chúng nối với cạnh hay cung Hai cạnh có chung đỉnh gọi hai cạnh kề Hai cung a b, điểm cuối a trùng với điểm đầu b a b gọi + hai cung kề Dùng D(x) để ký hiệu tập gồm tất đỉnh mà đỉnh có cạnh nối với x + D (x) tập tất đỉnh mà từ x có cung tới − D (x) tập tất đỉnh có cung tới x Định nghĩa 1.1.3 (i) Nếu tập E gồm tồn cạnh G(V, E) đồ thị vô hướng (ii) Nếu tập E gồm tồn cung G(V, E) đồ thị có hướng Nếu tập E gồm cạnh cung G(V, E) gọi đồ thị hỗn hợp (iii) Nếu đồ thị G(V, E), hai đỉnh nối với không cạnh (có hướng hay vơ hướng) G gọi đồ thị đơn (iv) Nếu đồ thị G(V, E) có cặp đỉnh nối với khơng hai cạnh có hướng vơ hướng G(V, E) gọi đa đồ thị (v) Định nghĩa 1.1.4 (i) Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh Một đa đồ thị vô hướng mà cặp đỉnh nối với k cạnh gọi đồ thị k-đầy đủ (ii) Một (đa) đồ thị gọi (đa) đồ thị phẳng có dạng biểu diễn hình học mặt phẳng mà cạnh cắt đỉnh (iii) Một (đa) đồ thị với số cạnh đỉnh hữu hạn gọi (đa) đồ thị hữu hạn địa phương (iv) Định nghĩa 1.1.5 (i) Giả sử x đỉnh tùy ý đồ thị G = (V, E) Người ta gọi số cạnh cung đỉnh x bậc đỉnh x, kí hiệu d(x) Đồ thị mà bậc tất đỉnh d gọi đồ thị d-đều (ii) Định nghĩa 1.1.6 Dãy đỉnh α = (x1, x2, , xm) gọi xích với t m − cặp xt, xt+1 kề Ta nói xích nối đỉnh x1 đỉnh xm xích α từ đỉnh x1 đến đỉnh xm Hình 1.1: (i) Một xích mà có hai đầu trùng gọi chu trình Một xích gọi xích sơ cấp qua cạnh đồ thị khơng q lần (ii) Một chu trình gọi chu trình sơ cấp qua đỉnh đồ thị không lần (iii) Một xích gọi xích đơn qua đỉnh đồ thị không lần (iv) Một chu trình gọi chu trình đơn qua cạnh đồ thị khơng q lần (v) Định nghĩa 1.1.7 (i) Tổng số cạnh xuất chu trình α gọi độ dài chu trình (ii) Tổng số cạnh xuất xích α gọi độ dài xích ký hiệu |α| Định nghĩa 1.1.8 Giả sử G = (X, E) đồ thị có hướng Dãy đỉnh β = (y1, y2, , yt, yt+1, , ym) gọi đường G với t m − 1, có cung từ yt sang yt+1 Ta cịn nói đường β xuất phát từ đỉnh y1 tới đỉnh ym Trong y1 đỉnh đầu đường β ym đỉnh cuối đường β Định nghĩa 1.1.9 (i) Một đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi vịng Một đường qua đỉnh khơng q lần gọi đường sơ cấp (ii) (iii) Một vòng qua đỉnh khơng q lần gọi vịng sơ cấp (iv) Một đường qua đỉnh cung không lần gọi đường đơn (v) Một vịng qua cung khơng q lần gọi vòng đơn Định nghĩa 1.1.10 Tổng số cung xuất đường β (vòng β) gọi độ dài đường β (vòng β) Định nghĩa 1.1.11 Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng Hai đỉnh a, b thuộc V gọi hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thơng) chúng nối với xích (i) Đồ thị vơ hướng G(V, E) gọi đồ thị liên thông cặp đỉnh liên thơng với (ii) Định nghĩa 1.1.12 Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Cặp đỉnh c, d thuộc X gọi hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thông) có đường từ c đến d ngược lại (i) (ii) Đồ thị có hướng G(V, E) gọi đồ thị liên thông mạnh cặp đỉnh liên thơng với Định nghĩa 1.1.13 Giả sử G = (V, E) đồ thị tuỳ ý Mỗi đồ thị G mà liên thông hay liên thông mạnh gọi thành phần liên thông G Định nghĩa 1.1.14 Đỉnh x đồ thị liên thông gọi đỉnh cắt đồ thị nhận cách bỏ điểm x đồ thị không liên thơng Ví dụ 1.1.15 Cho đồ thị (Hình 1.2) Hình 1.2: + Các thành phần G1, G2, G3, G4 liên thông, G không đồ thị liên thông + G1, G2, G3, G4 thành phần liên thông G Định nghĩa 1.1.16 Đồ thị tự bù: Cho G=(V,E) đồ thị hữu hạn Đồ thị bù G G với V (G) = V (G), E(G) xác định sau: (x, y) ∈ E(G) ⇔ (x, y) ∈/ E(G) Đồ thị G gọi tự bù đẳng cấu với phần bù ||P APb v||2 (β + λ)||v||2 56 Chứng minh Chúng ta biểu diễn P v = (P v) k + (P v)⊥ (P v)k phép chiếu P v u nghĩa P v phương u h(P v)k, (P v)⊥i = Bằng bất đẳng thức tam giác ta có ||P APb v||2 ||P Ab(P v)k||2 + ||P Ab(P v)⊥||2 Vì u véc tơ riêng Ab với giá trị riêng nên ta có ||P Ab(P v)k||2 = ||P (P v)k||2 = β · ||(P v)k||2 Trong đẳng thức thứ hai (P v)k) có dạng (a, a, , a) Nếu cố định ||v2|| ||(P v)k||2 cực đại hv, ui cực đại Nói cách khác ||(P v)k||2 cực đại v bội u với vơ hướng v = au Do ||P Ab(P v)k||2 β||v||2 Bây ta xét tiếp (P v)⊥ ||P Ab(P v)⊥||2 ||Ab(P v)⊥||2 λ||(P v)⊥||2 Lưu ý ||(P v)⊥||2k|v2||, dẫn đến ||P Ab(P v)⊥||2 α||v||2 Từ suy ||P APb v||2 (β + λ)||v||2 Sử dụng hai bổ đề ta có √ t t √ √ t t t ||(P Ab) P u||1 n||(P Ab) P u||2 = n||(P APb) u||2 n(λ+β) ||u||2 = (λ+β) 57 CHƯƠNG BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ PALEY VÀ ĐỒ THỊ MARGULIS Trên sở kiến thức đưa chương chương 2, tơi đưa tính tốn đồ thị Paley đồ thị Margulis 3.1 Đồ thị Paley Định nghĩa 3.1.1 Cho q lũy thừa số nguyên tố cho q ≡ 1(mod 4) Lưu ý điều ngụ ý trường hữu hạn bậc q, Eq, có bậc hai −1 Gọi V = Fq E ∗2 = {(a, b) ∈ Fq × Fq|(a − b) ∈ (Fq ) } Tập E tập tất cặp hai phần tử thuộc trường Fq cho hiệu chúng số phương Đồ thị G = (V, E) với V E xác định gọi đồ thị Paley bậc q Ví dụ 3.1.2 Với q = Trường F5 có phần tử {0, 1, 2, 3, 4} Với ∗ (F 5) = {1, 4} , nên ta có E = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 0)} 58 Hình 3.1: Các tính chất Mệnh đề 3.1.3 Đồ thị Paley đối xứng Mệnh đề 3.1.4 Đồ thị Paley tự bù n Mệnh đề 3.1.5 Pq−1 q−5 đồ thị q−1Paley bậc q = p , P đồ thị mạnh với tham số (q, ) 4 Hệ 3.1.6 Đồ thị Paley liên thơng Ví dụ 3.1.7 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley Phần ta khảo sát bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley bậc p = 13 Ta có Tập đỉnh V = {0, 1, 2, 12} 59 Tập cạnh E = {(0; 1), (0; 3), (0; 4), (0; 9), (0; 10), (0; 12), (1; 2)(1; 4)(1; 5)(1; 10)(1; 11)(2; 3)(2; 5), (2; 6)(2; 11)(2; 12)(3; 4)(3; 6)(3; 7)(3; 12), (4; 5)(4; 7)(4; 8)(5; 6)(5; 8)(5; 9)(6; 7), (6; 9)(6; 10)(7; 8)(7; 10)(7; 11)(8; 9)(8; 11), (8; 12)(9; 10)(9; 12)(10; 11)(11; 12)} Mơ tả hình học (Hình 3.2) Hình 3.2: Hình ảnh đồ thị Paley Ma trận kề 3.1 A= √ 6, Các giá trị riêng: 13−1 Qua tính tốn ta ma trận thời gian va chạm H(Hitting time) H= 3.2 Đồ thị Margulis Kiến trúc Margulis Zn × Zn cho kết E đồ thị có n đỉnh ,8 - Đồ thị theo kiến trúc Margulis có khuyên, đa cạnh vô hướng T1 Và định nghĩa đồ thị - G=(V,E) sau V = Zn × Zn đỉnh = (x, y) ∈ V kề với đỉnh T1v, T2v, T1v + e1, T2v + e2 Các phép toán thực mod(n) Bốn đỉnh khác v xác định bốn phép biến đổi ngược Ta mơ tả cụ thể quy tắc: π0(v) = (x + 2y, y) π1(v) = (x + 2y + 1, y) π2(v) = (x, 2x + y) π3(v) = (x, 2x + y + 1) Lưu ý πi(v) = v, v ∈ V hai khuyên v tạo ra: − Định lý 3.2.2 Đồ thị có kiến trúc Margulis có √ λ2(G)65 2 λ2 > λ2 > · · · > λn, λ1 = d, số Cheeger thỏa mãn Như ta có h(G) > có nghĩa họ E-đồ thị Ví dụ 3.2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Margulis 62 Ta áp dụng với n=3 Ta có V = Z3 × Z3 với v = (x, y) xác định đỉnh kề v theo quy tắc trên, ta có π0(0, 0) = (0, 0) π1(0, 0) = (1, 0) π2(0, 0) = (0, 0) π3(0, 0) = (0, 1) π0(1, 0) = (1, 0) π1(1, 0) = (2, 0) π2(1, 0) = (1, 2) π3(1, 0) = (1, 0) π0(2, 0) = (2, 0) π1(2, 0) = (0, 0) π2(2, 0) = (2, 1) π3(2, 0) = (2, 2) 63 Mô tả hình học (Hình 3.3) Hình 3.3: Hình ảnh đồ thị Margulis Ma trận kề A= Ta có λ2(G) = + Suy h(G) Qua tính tốn ta ma trận thời gian va chạm H(Hitting time) 018.6 10.6 18.6 19.20 13.00 10.60 13.00 12.00 H= 18.6 17.90 17.90 20.30 20.10 65 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc, tìm hiểu hướng dẫn nhiệt tình TS Lê Anh Vinh thu kết sau: Chương 1: Cơ E-đồ thị nêu khái niệm, định nghĩa tính chất đồ thị như: đồ thị đều, đồ thị đối xứng, đồ thị tự bù, đồ thị mạnh v v ,những kiến thức liên quan sử dụng phần sau Đặc biệt chương đưa kết E- đồ thị, nghiên cứu E- đồ thị thông qua giá trị riêng ma trận kề ma trận kề chuẩn hóa nó, kết quan trọng định lý Cheeger-Alon-Milman nói lên mối quan hệ độ hở phổ λ − λ2 tham số nở h(G) đồ thị, bổ đề nói lên với kiến trúc E-đồ thị, với λ nhỏ tính ngẫu nhiên đồ thị tăng có nghĩa số cạnh thực tế nối hai tập đỉnh s, t so với kì vọng cạnh nối s, t nhỏ Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị tìm hiểu Xích Markov tham số độ đo trình ngẫu nhiên Thông qua đồ thị Bước nhảy ngẫu nhiên mơ tả Xích Markov tập trạng thái tập đỉnh đồ thị Trong luận văn đề cập đến đồ thị vô hướng nên đưa khẳng định Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị như: – Bước nhảy ngẫu nhiên Xích Markov có tính thuận nghịch thời gian – Nếu đồ thị liên thơng Xích Markov tối giản, hay nói cách khác tồn n để bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị sau n bước từ i tới j – Đưa công thức biểu diễn thời gian va chạm bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị, thông qua giá trị riêng ma trận kề đồ thị, giới hạn thời gian va chạm, thời gian trộn, thời gian phủ, thời gian hoán đổi Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis 66 Chương áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên hai kiến trúc đồ thị Paley đồ thị Margulis Tính tốn xây dựng đồ thị, tính giá trị riêng ma trận thời gian va chạm đỉnh đồ thị 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục [2] Alon, N (1986), Eigenvalues and expanders, Combinatorica [3] Alon, N., Lubotzky, A., and Wigderson, A (2001), Semi-direct product in groups and zigzag product in graphs: connections and applications In Proc 42nd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, IEEE, Ed., pp [4] Alon, N., Milman, V D (1985), λ1, isopermitric inequalities for graphs, and superconcen trators Journal of Combinatorial Theory, Series B [5] Artin, M (1991), Algebra Prentice Hall [6] Chung, F (1978), On concentrators, superconcentrators, generalizers and nonblocking networks Bell Sys Tech Journal 58 [7] Chung, F (1994), Spectral Graph Theory vol 92 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics AMS [8] D J.Alldows (1989),Lower bounds for covertimes for reversible Markov chains and random walks on graphs J Theoretical Propa-bility [9] L Lovasz (1994), Random walks on graph, Yale University Depart-ment of computer Science ... ngẫu nhiên đồ thị 2.1 Xích Markov 2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên E -đồ thị d-đều Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis... đồ thị tính chất bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis Chương áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên hai đồ thị đồ thị Paley đồ thị Magulis Để hoàn thành... đồ thị Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ gồm khái niệm, định nghĩa kết bước nhảy ngẫu nhiên Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị tính chất bước