Chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - DƢƠNG NHẬT THĂNG CHUỖI THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - DƢƠNG NHẬT THĂNG CHUỖI THỜI GIAN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƢ Hà Nội – 2015 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ CHUỖI THỜI GIAN 1.1 MÔ TẢ SƠ LƢỢC 1.2 SƠ LƢỢC VỀ KĨ THUẬT 1.2.1.XU HƢỚNG 1.2.1.1.Phƣơng pháp bình phƣơng cực tiểu 1.2.1.2.Bộ lọc (hay phƣơng pháp làm trơn) 1.2.2VỊNG TUẦN HỒN MÙA 1.3 CHUYỂN ĐỔI DỮ LIỆU 1.4 VÍ DỤ CHƯƠNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 2.1 GIỚI THIỆU 2.2QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 2.3 HÀM TỰ TƢƠNG QUAN MẪU 2.4 CÁC VÍ DỤ CHƯƠNG MƠ HÌNH TRUNG BÌNH TRƢỢT TỰ HỒI QUY 3.1 GIỚI THIỆU 3.2 MƠ HÌNH TRUNG BÌNH TRƢỢT 3.3 MƠ HÌNH TỰ HỒI QUY 3.3.1Mối quan hệ tính nhân tính dừng 3.3.2 Tiệm cận tĩnh 3.3.3 Định lý nhân 3.3.4 Cấu trúc hiệp phƣơng sai mơ hình AR 3.4 MƠ HÌNH ARMA 3.5 MƠ HÌNH ARIMA 44 3.6 MÔ HÌNH ARIMA MÙA 46 CHƯƠNG 48 ƢỚC LƢỢNG TRONG MIỀN THỜI GIAN 48 4.1 GIỚI THIỆU 48 4.2 CÁC ƢỚNG LƢỢNG MOMENT 48 4.3 ƢỚC LƢỢNG TRONG MƠ HÌNH TỰ HỒI QUY AR(p) 49 4.4 ƢỚC LƢỢNG CHO MƠ HÌNH TRUNG BÌNH TRƢỢT .51 4.5 ƢỚC LƢỢNG CHO MƠ HÌNH ARMA 53 4.6 ƢỚC LƢỢNG HỢP LÝ CỰC ĐẠI 54 4.7 HỆ SỐ TỰ TƢƠNG QUAN RIÊNG (PACF) 58 4.8 CHỌN LỰA BẬC 62 4.9 PHÂN TÍCH PHẦN DƢ 66 4.10 XÂY DỰNG MƠ HÌNH 67 CHƯƠNG 68 CÁC VÍ DỤ SỬ DỤNG R 68 5.1 GIỚI THIỆU 68 5.2 VÍ DỤ 68 5.3 VÍ DỤ 73 CHƯƠNG 80 DỰ BÁO 80 6.1 GIỚI THIỆU 80 6.2 DỰ ĐOÁN ĐƠN GIẢN 81 6.3 TIỆM CẬN BOX - JENKINS 83 6.4 VÍ DỤ VỀ TÍN PHIẾU KHO BẠC 84 KẾT LUẬN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 LỜI MỞ ĐẦU Chuỗi thời gian đƣợc sử dụng nhƣ cơng cụ hữu hiệu để phân tích kinh tế, xã hội nhƣ nghiên cứu khoa học Nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian toán gây đƣợc ý nhà toán học, kinh tế, xã hội học, Các quan sát thực tế thƣờng đƣợc thu thập dƣới dạng chuỗi số liệu Làm để từ chuỗi số liệu khơ khan, ta tìm đƣợc mơ hình hay quy luật q trình có đủ sở xác để phản ánh đƣợc chân thực liệu có (kiểm tra) đồng thời lại dự đốn cho thời điểm tƣơng lai chƣa xẩy ra?! Mà việc dự đốn đƣợc tƣơng lai có lẽ ln mong đợi thƣờng trực xã hội loài ngƣời Chính tầm quan trọng việc phân tích chuỗi thời gian nhƣ vậy, nhiều tác giả nghiên cứu đề xuất cơng cụ để phân tích thời chuỗi thời gian nhƣ sử dụng công cụ thống kê hồi qui, phân tích Furie, mơ hình ARIMA BoxJenkins, Sau có nhiều ngƣời sử dụng mạng Nơron để xử lý tính chất phi tuyến chuỗi số liệu, tìm thấy sách chuyên khảo vấn đề thí dụ nhƣ Mandic Chambers “ Recurrent neural network and prediction” in vào năm 2001 Một hƣớng khác sử dụng khái niệm mờ để đƣa thuật ngữ “ Chuỗi thời gian mờ” Phƣơng pháp sử dụng chuỗi thời gian mờ đƣợc đƣa từ năm 1994 đến đƣợc tiếp tục nghiên cứu để làm tăng độ xác dự báo Nghiên cứu chuỗi thời gian đòi hỏi kiến thức rộng lớn Thống kê, xác suất, kinh tế khoa học Các phép tính chủ yếu dựa cac số liệu rời rạc, liên tục địi hỏi phải có thuật tốn hay phần mềm tính tốn cho xác suất thống kê chuyên dụng Có nhiều phần mềm nhƣ nhƣ Eview, S –plus, R, v.v Trong khuôn khổ luận văn học viên trƣờng khoa học nhƣ Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội, việc nghiên cứu dạng khác chuỗi thời gian, tính chất nó, phƣơng pháp thiết lập mơ hình nghiên cứu có tính chất tảng cần thiết Việc phát triển kĩ thuật dự đốn khác nhau, mơ hình cho chuỗi liệu khơng tuyến tính kinh tế, tài chính, v.v nên dành cho cho nghiên cứu sâu trƣờng chun ngành Kinh tế Chính thế, Luận văn tập trung vào chƣơng đầu “Chuỗi thời gian – Các ứng dụng tài với R S-plus“ – Time series Applications to Finance with R and S – Plus (R) tác giả Ngai Hai Chan – The University of Hong Kong Bao gồm Chƣơng 1: Giới thiệu chuỗi thời gian Chƣơng 2: Giới thiệu Lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên Chƣơng 3: Giới thiệu mơ hình trung bình trƣợt tự hồi quy Chƣơng 4: Bàn Ƣớc lƣợng miền thời gian Chƣơng 5: Trình bày ví dụ có sử dụng phần mềm R cho tính tốn đƣợc trình bày chƣơng trƣớc Chƣơng 6: Trình bày Dự đốn Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS TS Phan Viết Thƣ, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành thầy! Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo trƣờng ĐH Khoa học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội tham gia giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập nâng cao trình độ kiến thức trƣờng năm học Cao học Tuy nhiên, điều kiện thời gian khả có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong thầy bạn góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ CHUỖI THỜI GIAN 1.1 MÔ TẢ SƠ LƢỢC Chuỗi thời gian đƣợc sử dụng nhƣ cơng cụ hữu hiệu để phân tích kinh tế, xã hội nhƣ nghiên cứu khoa học Nghiên cứu chuỗi thời gian địi hỏi có số lƣợng lớn quan sát cho đại lƣợng thích hợp để nghiên cứu mối liên hệ đại lƣợng Các quan sát đƣợc tiến hành đặn qua thời kì chẳng hạn theo tháng, quý, năm thời điểm đặc biệt nhƣ thời kỳ xảy khủng hoảng kinh tế Dãy quan sát ta gọi chuỗi thời gian Mơ hình CAPM tiếng mơ hình dao động ngẫu nhiên ví dụ mơ hình tài có chứa cấu trúc chuỗi thời gian Khi nghĩ đến chuỗi thời gian, thƣờng nghĩ đến tập hợp giá trị {X:t t 1, , n} số dƣới t T thời gian t mà mốc X t đƣợc theo dõi CHUỖI RỜI RẠC Chuỗi thời gian rời rạc nhƣ tập số T tập rời rạc (thí dụ, chuỗi báo cáo doanh thu cƣớc phí điện thoại hàng tháng bƣu điện từ tháng năm 2010 đến tháng 12 năm 2014) CHUỖI LIÊN TỤC Chuỗi thời gian gọi liên tục T khoảng liên tục Ví dụ: biểu đồ nhịp tim bệnh nhân hay Biểu đồ theo dõi dƣ trấn dƣới lịng đất cảnh báo sóng thần, động đất tháng CHUỖI LẶP LẠI Dữ liệu đại diện cho phép đo lƣờng lắp lại số thông qua ngày khác Ví dụ, giám sát doanh thu tuần dựa vào số lƣợng khách hàng siêu thị theo thời gian CHUỖI KẾT HỢP Thay số đo chiều, Xt véc-tơ với thành phần cấu thành đại diện cho chuỗi thời gian đơn lẻ Ví dụ, thu thập tổ hợp chứa p phần tử đƣợc viết dƣới dạng X t ( X 1t , , X pt ) ' với X it , i 1, 2, , p đại diện cho thu thập phần tử tổ hợp Trong trƣờng hợp này, không ý đến cấu trúc tƣơng quan chuỗi với phần tử mà phải ý đến cấu trúc tƣơng quan chéo phần tử khác CHUỖI PHI TUYẾN, KHÔNG DỪNG VÀ TÍNH KHƠNG ĐỒNG NHẤT Nhiều chuỗi thời gian bắt gặp thực tế phi tuyến tính Trong vài trƣờng hợp chuyển đổi liệu, nhƣng thƣờng phải thiết lập hệ thống phức tạp để tính tốn cho khía cạnh khơng đƣợc quy chuẩn Ví dụ, tính chất khơng đối xứng doanh số bán hàng nghiên cứu mơ hình GARCH Mặc dù khía cạnh nêu quan trọng, nhƣng ta bàn luận chủ yếu chuỗi thời gian chuẩn Sau hiểu rõ kĩ thuật độ khó việc phân tích chuỗi thời gian ngắt qng vơ hƣớng giải số khía cạnh khơng đƣợc quy chuẩn Trong thống kê cổ điển, thƣờng giả sử giá trị X độc lập Trong chuỗi thời gian, giá trị X thƣờng có tƣơng quan mục tiêu việc phân tích chuỗi thời gian nhằm sử dụng cấu trúc tƣơng quan chuỗi cho việc xây dựng mô hình trúc tốt Ví dụ dƣới miêu tả điều quan điểm khoảng tin cậy CI (confidence interval) Ví dụ 1.1 Cho X t Rõ ràng : E ( X t cov( X t , X t k ) trờng hợp khác n Cho X X t t / n th× 1 var n n t DÔ thÊy var X X Từđó X Nếu ~ khoảng tinh cậy (CI) trở thành X n khớp với trường hợp phân bố độc lập phân phối (i.i.d) Sự khác biệt khoảng tin cậy 0c vµ Bảng 1 Giá trị khác khoảng tin cậy với n = 50 Ví dụ sử dụng khoảng tin cậy cho việc sai cấu trúc CI gây tốn nhiều thời gian Cấu trúc tương quan thời gian đưa theo mơ hình giúp suy luận tốt trường hợp CHƯƠNG DỰ BÁO 6.1 GIỚI THIỆU Khi theo dõi chuỗi thời gian Y1 , ,Yn , thƣờng ý đến việc dự báo giá trị tƣơng lai Yn h Cần phân biệt hai loại dự báo, dự báo sau dự báo trƣớc Dự báo sau dự báo đƣợc tiến hành mà giá trị “tƣơng lai” đƣợc biết Nói đại khái giả sử ta biết đƣợc liệu 10 năm, ta lập mơ hình dựa số liệu năm đầu, từ mơ hình dự đốn giá trị năm thứ 6, 7, ,10 (dù liệu thực tế năm 6,7, ,10 có!) Loại dự báo dùng nhƣ phƣơng tiện để kiểm tra liệu sẵn có từ đó, đánh giá mơ hình dự đốn đủ tốt hay chƣa Trong đó, dự báo trƣớc đƣa dự báo giá trị tƣơng lai dựa số liệu hiên Bây giả sử có chuỗi liệu Y1 , ,Yn sử dụng Y1 , , YT (T n) để ƣớc lƣợng mơ hình (Ví dụ ARMA(1,1)) sử dụng mơ hình để ƣớc tính YT 1, ,Yn Do so sánh với YT 1, ,Yn thực tế nên kiểm nghiệm đƣợc tính hợp lý mơ hình Tiếp theo ta dùng mơ hình dự đốn Yn 1, , Yn h (h Bây ta giới thiệu ba đại lƣợng quan trọng Đầu tiên hàm dự đoán Y n ( h) (cách viết khác Y ( n, h ), Y n h Với PnYn h Thành phần thứ hai sai số dự báo tƣơng ứng đƣợc định nghĩa 80 Thành phần thứ ba phƣơng sai sai số đƣợc cho Pn E (Y n h n h Chú ý trung bình phƣơng sai có điều kiện dựa liệu khứ 6.2 DỰ ĐOÁN ĐƠN GIẢN Nếu chuỗi thời gian sở có xu hƣớng đơn giản nhƣ thảo luận chƣơng 1, Yn đƣợc dự đốn phép ngoại suy đơn Đây đƣợc coi phƣơng pháp hữu ích cần dự đoán khoảng thời gian dài, chuỗi thời gian khơng phù hợp với mơ hình phức tạp Xét Yn mn Xn Giả sử mn hằng, chuỗi dừng Do Y n n h Ở đại lƣợng cuối cùng, mn , đƣợc ƣớc lƣợng cách làm trơn mũ hàm số mũ Nhớ lại từ chƣơng 1, xu hƣớng đƣợc ƣớc lƣợng thời điểm n đƣợc diễn tả tổ hợp lồi theo dõi dự đốn trƣớc mt Lập lại phép quy hồi, giá trị ƣớc tính thời điểm n mn trọng số trung bình liệu m t j Khi xu hƣớng khơng hằng, hàm dự đốn viết PnYn h an 81 Ở an đốn mức nhƣ sau bn h, PnYn h m bn mức hệ số góc hàm xu hƣớng thời điểm n Đầu tiên ta dự an cách làm trơn số mũ giá trị giá trị dự đoán cuối mt Đối với hệ số góc, trƣớc hết cân nhắc đến: n Yn PnYn an 2bn Mặc khác, Yn sẵn có, tính Y Do Ynn b n an (at n dự đoán giá trị tƣơng lai Yn n 2bn Do viết a n n 1 at ) bt Bằng cách kết hợp phép truy hồi dự đoán mức việc cố định điều kiện ban đầu đƣợc thu đƣợc dự đốn Y n v¯ đƣợc chọn tổng bình phƣơng sai số dự đoán Trong thực hành pháp Holt Winters cho xu hƣớng thời vụ nàycó thể đƣợc tìm Kendall and Ord (1990) 82 6.3 TIỆM CẬN BOX - JENKINS Phƣơng pháp đề cập đến việc xây dựng mơ hình ARIMA phù hơp sử dụng mơ hình vào dự báo Thảo luận sâu tìm Abraham and Ledolter (1983) Cho Yt tn theo quan hệ nhân mơ hình ARMA( p, q ) BYt Zt khí Yt i Zt i , Ta có nhận định i0 sau Điềuthứ E (Zs | Yn , ) E(Zs | Zn , ) Thêm vào đó, hàm dự báo thỏa mãn Yn n h Kéo theo sai số dự đoán trở thành Đặc biệt, phƣơng sai sai số dự đoán đƣợc thể Do vậy, miễn sai số dự đoán (sự cải tiến) đƣợc phân phối chuẩnkhoảng tin cậy xác suất (1 ) cho giá trị dự đốn đƣợc xây dựng nhƣ sauY n z n h Khi z biểu thị cho phân vị thứcủa m 83 Ví dụ 6.1 Giả sử mơ hình SARIMA(1,0,0) x(0,1,1)12 đƣợc đặt phù hợp vào liệu YY (Y n n 12 Y n n 13 ) Z n Z n 12 Từ chỗ E(Zn+1 | Yn , ) = ta có Ynn E (Yn Zn | Yn , Yn , ) Yn (Yn Yn 11 12 ) 11 Từ Yn E (Y n n E (Y n 10 Y n 10 Quá trình tiếp tục lặp lại đệ quy Ví dụ, Yn có sẵn, theo (6.6) ta có Yn n Yn Y 10 n 10 Ynn Ynn (Yn (Y n (Y n n Zn Đối với mơ hình ARMA( p , q) tổng quát, phƣơng trình tƣơng tự dùng để tính giá trị dự đốn Nhắc lại rằng, giá trị xấp xỉ cho Zn xuất dự báo đƣợc tính đệ quy với n p 1, p 2, băng cách giải Zn phƣơng trình ARMA với giả sử Z n ( n p) 6.4 VÍ DỤ VỀ TÍN PHIẾU KHO BẠC Xét ví dụ Lãi suất tín phiếu kho bạc nhà nƣớc kì hạn tháng từ năm 1950 đến tháng năm 1988, liệu đƣợc lƣu file Ustbill.dat gồm 462 liệu Dùng lệnh R ta có biểu đồ chuỗi thời gian, hàm tự tƣơng quan ACF chuỗi chuyển đổi Logarit đƣợc cho Hình 6.1 Lệnh R nhƣ sau 84 > > > > > > > > ttbill dlntbill d3tsdiag(d3) > d33 tfore tfore[1] for(i in 2:6){tfore[i] tfore [1] 5.820030 5.896966 5.960716 5.957511 5.899653 5.864232 87 Lệnh dự đoán giá trị từ mơ hình lại ta có W t h Lấy lại Xt từ Wt : Yth X t h Lấy lại ttbill t h Vẽ biểu đồ mơ tả giá trị dự đốn liệu thực tế năm 1988 cho Hình 6.4 nhƣ sau > ttbill tfore ts.plot(ttbill[457:462],tfore,lty=c(1:2)) > leg.names legend(locator(1),leg.names,lty=c(1,2)) t Dự đốn Thực tế Trong Hình 6.4, mẫu dự đoán cho tháng đầu năm 1988 hợp lý, nhiên tín phiếu bắt đầu đột ngột tăng cao vào tháng 5/1988 mẫu khơng đủ dự đốn kịp Ngồi ra, xu hƣớng chung giá trị đƣợc dự đoán theo Thán 5.82 5.81 88 giá trị nhận đƣợc trƣớc Đây khiếm khuyết việc sử dụng mơ hình ARIMA để dự đốn chuỗi tài bất ổn KẾT LUẬN Luận văn bàn vấn đề phân tích chuỗi thời gian dừng Các kĩ thuật, mã lệnh thực hành với R vài lý thuyết trình ngẫu nhiên dừng đƣợc cố gắng trình bày rõ Tuy nhiên đối tƣợng mà luận văn đề cập đến chuỗi thời gian dừng, cịn chuỗi thời gian khơng dừng khơng quy chuẩn tài chƣa đƣợc đề cập tới hạn hẹp thời gian nhƣ trình độ cá nhân ngƣời viết luận văn Với cố gắng thân cộng với giúp đỡ thầy cô Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Phan Viết Thƣ, em hoàn thành xong luận văn Em xin chân thành cảm ơn tiếp đọc góp ý GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, TS Nguyễn Thịnh, TS Nguyễn Hồng Hải, TS Trần Mạnh Cƣờng, TS Tạ Ngọc Ánh giúp đỡ em hoàn thành 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ngai Hai Chan (2010) , “Time series Application to finance with R and S-plus – 2nd ed” , Published by John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey Nguyễn Thị Kim Loan, “Mô hình chuỗi thời gian mờ dự báo chuỗi thời gian”, Luận văn thạc sỹ công nghệ thông tin, Đại Học Thái Nguyên Nguyễn Văn Hữu – Nguyễn Hữu Dƣ, “Phân tích thống kê dự báo”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 90 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ============ GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ học viên cao học Dƣơng Nhật Thăng Tên là: DƢƠNG NHẬT THĂNG, tác giả luận văn với đề tài: “Chuỗi thời gian” đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên ngày 24 tháng 12 năm 2015 Theo góp ý Hội đồng, xin bổ sung chỉnh sửa nội dung sau: Sửa thuật ngữ: ”Bằng phân bố” (trang 26) thành ” phân bố xác suất đồng thời chúng không phụ thuộc vào thời gian.” Sửa thuật ngữ “Hội tụ phân bố” (trang 48) thành “Hội tụ theo phân bố” Sửa tên đề mục “4.7 Ước lượng hệ số tự tương quan riêng PACF” thành “4.7 Hệ số tự tương quan riêng PACF” Tôi xin trân trọng đề nghị Hội đồng xác nhận việc chỉnh sửa, cho phép đƣợc làm thủ tục xin cấp Thạc sĩ khoa học Hà Nội, ngày 26 tháng 12 năm 2015 CÁN BỘ HƢỚNG DẪN KHOA HỌC HỌC VIÊN CAO HỌC PGS.TS Phan Viết Thƣ Dƣơng Nhật Thăng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GS.TSKH Đặng Hùng Thắng 91 ... chứa cấu trúc chuỗi thời gian Khi nghĩ đến chuỗi thời gian, thƣờng nghĩ đến tập hợp giá trị {X:t t 1, , n} số dƣới t T thời gian t mà mốc X t đƣợc theo dõi CHUỖI RỜI RẠC Chuỗi thời gian rời rạc... đƣa thuật ngữ “ Chuỗi thời gian mờ” Phƣơng pháp sử dụng chuỗi thời gian mờ đƣợc đƣa từ năm 1994 đến đƣợc tiếp tục nghiên cứu để làm tăng độ xác dự báo Nghiên cứu chuỗi thời gian đòi hỏi kiến thức... thời gian khả có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong thầy bạn góp ý kiến để đề tài đƣợc hoàn thiện CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ CHUỖI THỜI GIAN 1.1 MÔ TẢ SƠ LƢỢC Chuỗi thời