Một số kết quả về vành artin chuỗi

Bài viết chứng minh rằng mọi môđun 1-chuỗi phải trên vành hoàn chỉnh phải đều là môđun cyclic và nơte; mọi môđun 1-chuỗi phải trên vành hoàn chỉnh trái đều là môđun cyclic và artin.

1 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 16 * 2017 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH ARTIN CHUỖI Lê Đức Thoang* Tóm tắt Trong này, chúng tơi chứng minh mơđun 1-chuỗi phải vành hồn chỉnh phải môđun cyclic nơte; môđun 1-chuỗi phải vành hồn chỉnh trái mơđun cyclic artin Từ chúng tơi thu số kết [GK], [Oshiro] [KSX] Từ khóa: vành artin, vành chuỗi Abstract Some results on artinian serial rings In this article, we show that each 1-uniserial right module over right perfect ring is a cyclic and notherian module; each 1-uniserial right module over left perfect ring is a cyclic and artinian module From there we also obtained some results in [GK], [Oshiro] and [KSX] Key words: artinian rings, serial rings Giới thiệu Trong viết này, giả thiết vành R cho vành kết hợp có đơn vị  R-mơđun xét mơđun unita Với vành R, ta kí hiệu Rad  R (hoặc J) để Jacobson MR (RM) để M R-môđun phải (trái, tương ứng) Trong ngữ cảnh cụ thể, khơng sợ nhầm lẫn phía mơđun, để đơn giản ta viết mơđun M thay M R Kí hiệu N  M để N mơđun M Tổng trực tiếp hai môđun A B kí hiệu A  B Một môđun M R gọi artin tập khác rỗng mơđun có phần tử tối tiểu, môđun M R gọi nơte tập khác rỗng môđun có phần tử tối đại Một vành R gọi artin (nơte, tương ứng) phải môđun RR môđun artin (nơte, tương ứng) Định nghĩa tương tự cho vành artin (nơte) trái Khi R đồng thời vành artin phải artin trái, ta gọi R vành artin Một môđun M R gọi 1-chuỗi tập mơđun thẳng theo quan hệ bao hàm Vành R gọi vành chuỗi phải R có phân tích RR  U1  U   U n , U k , k  1, , n môđun 1-chuỗi Định nghĩa tương tự cho vành chuỗi trái Khi R đồng thời vành chuỗi phải chuỗi trái, ta gọi R vành chuỗi Lớp vành artin chuỗi (đồng thời vành artin vành chuỗi) có nhiều tính chất mang lại kết phong phú cho chuyên ngành hẹp Lý thuyết vành nói riêng chuyên ngành Đại số lý thuyết số nói chung Những khái niệm kết liên quan không đề cập viết này, tìm thấy tài liệu [AF], [Kasch] [MNK] * TS, Trường Đại học Phú Yên TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Ví dụ 1.1 Cho K trường, R vành ma trận tam giác cấp 2, có phần tử thuộc trường K, K K  R  0 K Khi đó, R vành artin chuỗi với J  R   Ví dụ 1.2 Cho R vành ma trận tam giác cấp 2, có phần tử thuộc trường số thực trường số phức,  R 0     Khi đó, R vành artin phải trái Ta có RR   0  0    , suy R vành chuỗi  0   0  ta có  0  không môđun 1-chuỗi trái    0 0  R   0  0 Vậy R khơng vành chuỗi trái phải Ngồi ra, R Kết Trước hết, nhắc lại đặc trưng môđun artin môđun nơte Mệnh đề 2.1 (Kacsh, Theorem 6.1.2 II) Cho môđun M R A  M Các điều kiện sau tương đương: a) Môđun M R nơte; b) A M A môđun nơte; c) Mọi dãy tăng A1  A2   An  môđun M dừng; d) Mỗi môđun M R hữu hạn sinh; e) Đối với tập hợp  Ai | i  I    môđun M, tồn tập hữu hạn I  I cho A A i I i I0 Mệnh đề 2.2 (Kacsh, Theorem 6.1.2 I) Cho môđun M R A  M Các điều kiện sau tương đương: a) Môđun M R artin; b) A M A môđun artin; c) Mọi dãy giảm A1  A2   An  môđun M dừng; d) Mỗi môđun M R hữu hạn đối sinh; e) Đối với tập hợp  Ai | i  I    môđun M, tồn tập hữu hạn Ai  I  I cho I Ai I0 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 16 * 2017 Một mở rộng đẹp lớp vành artin phải kể đến lớp vành hoàn chỉnh Sau số đặc trưng vành hoàn chỉnh trái Mệnh đề 2.3 (AF, Theorem 28.4) Cho vành R với J  J  R  Khi phát biểu sau tương đương: a) R vành hoàn chỉnh trái; b) R J nửa đơn J T-lũy linh trái; c) R J nửa đơn R-môđun trái khác không chứa môđun cực đại; d) Mọi R-môđun trái dẹt xạ ảnh; e) R thỏa mãn DCC iđêan phải chính; f) R không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao R-môđun phải khác không chứa môđun cực tiểu Mệnh đề 2.4 (Jonah, Main theorem) Một vành R hoàn chỉnh trái thỏa mãn ACC mơđun trái cyclic Định lí 2.5 Cho R vành a) Nếu R hồn chỉnh phải, R-mơđun phải 1-chuỗi cyclic nơte; b) Nếu R hoàn chỉnh trái, R-mơđun phải 1-chuỗi cyclic artin Chứng minh a) Cho M môđun 1-chuỗi Để chứng minh M môđun nơte, ta cần chứng minh môđun M hữu hạn sinh Thật vậy, xét U môđun M Ta xét dãy tăng môđun cyclic U: V1  V2   Vn  Theo Mệnh đề 2.4, ta có n  thỏa mãn Vn  k  Vn với k  Từ suy tập môđun cyclic U có phần tử tối đại, ta gọi phần tử tối đại U * Ta khẳng định U *  U Thật vậy, U *  U tồn phần tử x U \ U * thỏa mãn U *  xR  U Điều mâu thuẫn với tính cực đại U * Từ ta suy M môđun cyclic nơte b) Cho M môđun 1-chuỗi V1  V2   Vn  dãy tăng môđun M Đặt B   Vi Áp dụng Mệnh đề 2.3 ta có R-mơđun phải vành i 1 hồn chỉnh trái chứa mơđun cực tiểu Vì B  M nên có mơđun B*  M thỏa mãn B  B* B* B đơn Hơn nữa, M mơđun 1-chuỗi B* chứa Vi với i  Vậy tồn k  thỏa mãn Vk  B * B  Vk 1 Điều có nghĩa M thỏa mãn DCC mơđun Vậy M mơđun artin  Hệ 2.6 (KSX, Proposition 2.8) Cho R vành chuỗi trái Nếu R vành hoàn chỉnh phải vành hồn chỉnh trái, R vành artin trái Chứng minh Giả thiết R vành chuỗi trái nên Un , R R  U1  U  mơđun trái U i , i  1, , n môđun chuỗi TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Giả sử R vành hồn chỉnh phải Áp dụng Định lí 2.5 b), ta có U i , i  1, ,n mơđun cyclic artin Từ suy R vành artin trái Giả sử R vành hoàn chỉnh trái Áp dụng Định lí 2.5 a), ta có U i , i  1, ,n mơđun nơte Vì R vành nơte trái, kết hợp với R vành hoàn chỉnh trái ta suy R vành artin trái  Hệ 2.7 (GK, Theorem 5.11) Một vành chuỗi hoàn chỉnh phải vành artin (phải trái) Chứng minh Vì R vành chuỗi phải hoàn chỉnh phải nên áp dụng Hệ 2.6 ta R vành artin trái Hơn nữa, R vành chuỗi trái nên áp dụng Hệ 2.6 lần ta R vành artin phải Vậy R vành artin  TÀI LIỆU THAM KHẢO [AF] F W Anderson and K R Fuller (1992), Rings and categories of modules, Second Edition, Graduate Text in Math., Vol 13, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg New York [Er] N Er, Artinian Rings Characterized by Direct Sum of CS Modules, Com in Alge Vol 32, No 12, 4821-4833 (2004) [FH] C Faith and Đ V Huỳnh, When seft-injective rings are QF: A report on problem, J Algebra and Its Appl 1, (2002) 75-105 [Faith] C Faith, Algebra II: Ring theory, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1976 [GK] N M Gubareni and V V Kirichenko, Semiperfect rings with T-nilpotent prime radical in "Groups, Rings and Group rings", Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 247 (2006), 271-231 [Jonah] D Jonah, Rings with minimum condition for principal left ideals have the maximum condition for right ideals, Math Z 113 (1970), 106-112 [Kasch] F Kasch (1982), Modules and rings, London Math Soc Mono No 17 New York: Academic Press [KSX] D Keskin, P F Smith and W Xue, Rings whose modules are  -supplemented, J Algebra 218 (1999), 470-487 [MNK] M Hazewinkel, N Gubareni and V V Kirichenko, Algebra, Rings and Modules, Vol 1, Kluber Academic Publishers, 2004 [Oshiro] K Oshiro, On Harada rings I, Math J Okayama Univ 31 (1989), 161-178 [Tachikawa] H Tachikawa, On left QF3 rings, Pacific J of Math Vol 32, No (1970), 255-268 [Thoang] L D Thoang, A characterizations of co-Harada ring, Asian-European J of Math 6, No (2013), 1350017 (7 pages) [VP] N Vanaja and V N Purav, A note on generalised uniserial ring, Comm in Alge 21 4, (1993), 1153-1159  ... (GK, Theorem 5.11) Một vành chuỗi hoàn chỉnh phải vành artin (phải trái) Chứng minh Vì R vành chuỗi phải hoàn chỉnh phải nên áp dụng Hệ 2.6 ta R vành artin trái Hơn nữa, R vành chuỗi trái nên áp... cyclic artin Từ suy R vành artin trái Giả sử R vành hoàn chỉnh trái Áp dụng Định lí 2.5 a), ta có U i , i  1, ,n môđun nơte Vì R vành nơte trái, kết hợp với R vành hoàn chỉnh trái ta suy R vành artin. .. I0 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 16 * 2017 Một mở rộng đẹp lớp vành artin phải kể đến lớp vành hoàn chỉnh Sau số đặc trưng vành hoàn chỉnh trái Mệnh đề 2.3 (AF, Theorem 28.4) Cho vành R với J  J  R