Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2017-2018 – Sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa - Vũng Tàu

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2017-2018 – Sở Giáo dục và Đào tạo Bà Rịa - Vũng Tàu giúp giáo viên có thêm tư liệu trong quá trình biên soạn đề thi, bài tập nhằm đánh giá năng lực của học sinh từ đó có các phương pháp giảng dạy hiệu quả hơn.

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm 180 phút) Câu (1,25 điểm) Giải phương trình   cos x  cos x cos x    cos x sin x  sin x Câu (1,25 điểm) Từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 , lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm 9? Câu (1,25 điểm) n   Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức   x  ; x  , biết n    x  n Cn  Cn   Cn  4095 19 Câu (1,25 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M điểm di đồng cạnh SC Mặt phẳng  P  chứa AM song song với BD  P  cắt SB, SD N , E Chứng minh SB.SM  SN SM  SC.SN Câu (1,25 điểm) Trong không gian cho đường thẳng d1 ; d ; d ; d đơi song song khơng có đường nằm mặt phẳng Mặt phẳng  P  cắt đường d1 ; d ; d ; d theo thứ tự A, B, C , D Mặt phẳng  Q  cắt đường d1 ; d ; d ; d theo thứ tự A, B, C , D (  P  khác  Q  ) Chứng minh thể tích khối tứ diện DABC DABC  Câu (1,25 điểm) Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm miền tam giác BCD Qua M kẻ đường thẳng song song AB, AC AD cắt mặt ACD, ABD tam giác ABC điểm H , I K Chứng minh AB AC AD  27 MH MI MK Câu (1,25 điểm) Cho đường tròn  C  có tâm O bán kính R , hai đường kính AB, CD vng góc với Điểm M   C  , gọi H , K hình chiếu vng góc M AB CD Tìm vị trí M để quay hình chữ nhật OHMK quanh đường thẳng AB thể tích khối trụ sinh lớn Câu (1,25 điểm) Giải phương trình  log x    3 log  x   Câu (1,25 điểm) Cho chất điểm chuyển động thẳng xác định phương trình S  t  t  5t  10t  Trong đó, S tính mằng mét, t tính giây Hỏi từ thời điểm t  1s đến thời điểm t  5s vận tốc lớn chất điểm bao nhiêu? Câu 10 (1,25 điểm) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cho hàm số y   x  1 ln  x  1 có đồ thị  C  điểm A  2;1 Chứng minh qua A vã hai tiếp tuyến đến đồ thị  C  Câu 11 (1,25 điểm) Người ta cần làm thùng hình trụ (khơng có nắp) với thể tích 80m3 Giá thành để làm mét vng đáy thùng 500 nghìn đồng giá thành để làm mét vuông thành xung quanh thùng 400 nghìn đồng Tính giá tiền để làm thùng nói (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) Câu 12 (1,25 điểm) Chứng minh hàm số f  x   62 x  50  x  x có điểm cực đại dương Câu 13 (1,25 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log  mx   log  x   có nghiệm Câu 14 (1,25 điểm) Cho hàm số y  x   m   x   5m   x  3m  với m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số cho có hai điểm cực trị x1 ; x thỏa mãn x1   x2 Câu 15 (1,25 điểm) Cho hàm số y   x  x  x  m với m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số nghịch biến  Câu 16 (1,25 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa ln  b  c  1  ln 3a   9a  b  c  Tìm giá trị lớn b  c  5a  a 2a -Hết Họ tên thí sinh:…………………………………………………Chữ kí 01 CBCT:…………… Số báo danh:……………………………………………………… biểu thức P   VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu Giải phương trình   cos x  cos x cos x    cos x sin x  sin x Lời giải   cos x  cos x cos x    cos x sin x  sin x   cos x  1   cos x  sin x  cos x        cos x  1  cos  x    cos x   6    cos x    x    k 2 k      2   cos  x    cos x  x    k 2  x    k k    18 6  Vậy nghiệm phương trình x    k 2 , x   Câu  2  k , x    k 2 18 n Tìm số hạng chứa x 19   khai triển nhị thức   x  ; x  , biết n  * x  Cn1  Cn2   Cnn  4095 Lời giải Cn1  Cn2   Cnn  4095  2n  4096  n  12 12 12   2   x  C12k      x  x  k 0 Yêu cầu toán 12  k   x5 k 5k   36  3k   19  k  10 Số hạng cần tìm C1210 22 x19 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M điểm di động cạnh SC Mặt phẳng  P  chứa AM song song với BD  P  cắt SB , SD N , E Chứng minh SB.SM  SN SM  SC.SN Lời giải VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí S M E I K N D O A C B Gọi O tâm hình bình hành ABCD , I trung điểm MC  Bài SB SO SI   , K  NE  SO , NE // BD , OI // AM SN SK SM SB SC SI SC SI   SI  IC  SI  MI  2    1 SN SM SM SM SM SM SB SC    SB SM  SC SN  SM SN SN SM Trong không gian cho đường thẳng d1 , d , d3 , d đôi song song khơng có đường nằm mặt phẳng Mặt phẳng  P  cắt đường thẳng d1 , d , d3 , d theo thứ tự A , B , C , D Mặt phẳng  Q  cắt đường thẳng d1 , d , d3 , d theo thứ tự A , B , C  , D (  Q  khác  P  ) Chứng minh thể tích hai khối đa diện DABC DABC  Lời giải A D O C B A D B O C Gọi OO   AAC C    BBDD  VD ABC DD V DD  1 D ABC    2 VO ABC OO  VO ABC  OO  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Mà VO ABC  VB.OAC  h SOAC (trong h  d  B ,  O AC    d  B , OAC    ) Mặt khác VO ABC   VB.OAC   h SOAC  Từ suy VO ABC  SOAC    3 VO ABC SOAC SOAC   S AOO  SC OO  OO .a (trong ddos a  d  AA, CC   )   Tương tự ta có SOAC  S AOO  SCOO  OO .a   Từ  3 ,   ,   suy VO ABC   VO ABC  6 Từ 1 ,   ,   suy VD ABC  VD ABC  Câu Trong không gian cho đường thẳng d1 , d , d3 , d đôi song song khơng có ba đường nằm mặt phẳng Mặt phẳng  P  cắt đường d1 , d , d3 , d theo thứ tự A, B, C , D Mặt phẳng  Q  cắt đường d1 , d , d3 , d theo thứ tự A', B ', C ', D '    P  khác  Q   Chứng minh thể tích hai khối tứ diện D ' ABC DA ' B ' C ' Lời giải Gọi OO '   AA ' C ' C    BB ' D ' D  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VD ' ABC DD ' V DD '  1 , D A ' B ' C '   2 VO' ABC OO ' VO A ' B ' C ' OO ' Mà VO' ABC  VB.O' AC  h.SO ' AC h  d  B,  O ' AC    d  B ',  OA ' C '  Mặt khác VO A ' B ' C '  VB'.OA' C '  h.SOA ' C ' V S Từ suy O A ' B ' C '  OA ' C '  3 VO' ABC SO ' AC Ta có: SOA ' C '  S A 'OO'  SC 'OO'  Tương tự ta có: SO ' AC  S A OO' OO '.a  d  AA ', CC '    SC OO'  OO '.a  5 Từ  3 ,   ,  5 suy VO' ABC  VO' A'B' C '   Từ 1 ,   ,   suy VD' ABC  VD' A'B' C ' Câu Cho tứ diện ABCD , M điểm thuộc miền tam giác BCD Qua M ket đường thẳng song song AB, AC AD cắt mặt  ABC  điểm  ACD  ,  ABD  H , I K Chứng minh AB AC AD  27 MH MI MK Lời giải Chứng minh: MH dt  MCD  MH MI MK     AB AC AD AB dt  BCD  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: MH MI MK MH MI MK    33  AB AC AD  27 MH MI MK AB AC AD AB AC AD Câu 7: (1,25 điểm) Cho đường trịn  C  có tâm O bán kính R , hai đường kính AB, CD vng góc với Điểm M   C  , gọi H , K hình chiếu vng góc M VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí AB CD Tìm vị trí điểm M để quay hình chữ nhật OHMK quanh đường thẳng AB thể tích khối trụ sinh lớn Lời giải Đặt OH  x , OK  y khối trụ sinh quay hình chữ nhật OHMK quanh AB tích V   xy hay V    R  x  x Suy V    R  x  x R Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số  x  ;  R  x  ; x ta có   R  x    R  x   2x    R  x  R  x  2x      6 8R 4R   R2  x2  x2   54 27 4 R 2 R V2  V  27 3 2 Vậy Max V   Câu 8: 2 R 3 3 Dấu “=” xảy R  x  x  x  R R ,y  3 (1,25 điểm) Giải phương trình  log x    3 log  x   Lời giải Điều kiện: x   log x    3 log  x      1  Đặt u  3log x        u  3log x  2   3  Thay   vào 1 ta có  log x 3   3u  log x 3  3u    3 u  3log x  u  3log x     log x   u  3u  3log x   log x  u   log 23 x  u log x  u    u  log x   log x  u       log x  u     2  log x  u log x  u   0   vn   log x  u log x  u   VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x   log x    Từ  3 ,   ta có  log x  3log x   0    x   log x  2  Vậy phương trình cho có nghiệm x  3; x  Câu Cho chất điểm chuyển động thẳng xác định phương trình S  t  t  5t  10t  Trong đó, S tính mét, t tính giây Hỏi từ thời điểm t  1s đến thời điểm t  5s vận tốc lớn chất điểm bao nhiêu? Lời giải Vận tốc chất điểm thời điểm ts v  t   t  3t  10t v '  t   3t  6t  10  0, t Max v  t   v    100m / s Câu 10 Cho hàm số y   x  1 ln  x  1 C  điểm A  2;1 Chứng minh qua A vẽ hai tiếp tuyến đến đồ thị  C  Lời giải Phương trình đường thẳng qua A có dạng: y  k  x       Đồ thị  C     tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm  x  1 ln  x  1  k  x    1    k   ln  x  1   Thay   vào 1 rút gọn ta x   3ln  x  1  3  Số nghiệm phân biệt  3 số tiếp tuyến  C  qua A Ta có số nghiệm phương trình  3 số giao điểm đồ thị hàm số y  x   3ln  x  1 C '  với trục hồnh Ta có: TXD : D   1;   x2  y'  x  x 1 lim y  lim y   Bảng biến thiên y' x  x 1 Ta thấy f     3ln  nên đồ thị  C ' cắt trục hoành hai điểm phân biệt Vậy qua A kẻ hai tiếp tuyến đến  C  Câu 11: Người ta cần làm thùng hình trụ (khơng có nắp) với thể tích 80m3 Giá thành để làm mét vuông đáy thùng 500 nghìn đồng giá thành để làm VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí mét vng thành xung quanh thùng 400 nghìn đồng Tính giá tiền để làm thùng nói (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) Lời giải Giả sử R h bán kính đáy chiều cao thùng Khi V   R h  h  Diện tích đáy thùng thành thùng  R ; 2 Rh  Giá tiền để làm thùng T  500000.2 R  400000 160 R 80  R2 160 320    200000 5 R   R R   320 160 160  5 R    3 5 1602  120 2 R R R T  200000.120 2  44286483,57 Giá tiền thấp để hoàn thành thùng 44 triệu 287 nghìn đồng Ta có 5 R  Câu 12: Chứng minh hàm số f  x   62 x  50  x  x có điểm cực đại dương Lời giải Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  f   x   62  x ln  x ln 7, f   x   5 x ln  x ln  x f     62  ln  ln  f   3  62  53 ln  ln  Phương trình f   x   có nghiệm  thuộc khoảng  0;3 Từ bảng biến thiên f  x  ta suy điều phải chứng minh Câu 13: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log  mx   log  x   có nghiệm Lời giải  x  2  Ta có log  mx   log  x     x  2  m   Xét hàm số f  x  f  x   x  2  2  x   x   Có x2 với x   2;    \ 0 f  x   x  Lập bảng biến thiên ta có m  m  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 14: x   m   x   5m   x  3m  với m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số cho có hai điểm cực trị x1 ; x thỏa mãn x1   x2 Cho hàm số y  Lời giải Ta có y   x   m   x  5m   Hàm số cho có hai điểm cực trị phương trình y   có hai nghiệm phân biệt m      m    5m    m  9m     * m  Với điều kiện  * ta có: x1   x2    x1  x2      x1  x2   x1 x2   1 Theo Viet x1  x2  2  m   , x1 x2  5m  Do 1    m   5m      m  Kết hợp với điều kiện  * ta có m  Câu 15 Cho hàm số y   x  x  x  m ( m tham số) Tìm tất giá trị m để hàm số nghịch biến  Lời giải Hàm số xác định x   x  x  m  , x        4m   m  y   1  2x 1 x2  x  m Hàm số nghịch biến  y  x   , đẳng thức xảy hữu hạn điểm Xét trường hợp m   0 2x 1   Khi ta có y  1   x2  x  2  1  x   2  1  x    2    Vậy y  x    ;   nên không thỏa mãn, suy m  loại   Xét trường hợp m  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2x 1 Nếu x    x    1   1  y   2 x2  x  m 1   Hàm số nghịch biến  ;   2  Nếu x   2x 1 2x 1 2x 1  1   1   1   y  2x 1 x2  x  m 2 x x    Hàm số nghịch biến   ;     Vậy m  thỏa điều kiện toán Câu 16 Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ln  b  c  1  ln  3a   9a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  b  c  5a  a 2a Lời giải  ln  b  c  1  b  c   ln  9a   9a Xét hàm số f  t   ln t  ,  t    b  c  9a   a  b  c   b  c   9a    b  c  18a  18a  5a  P  a 2a P  f  x   18  x  f  x   4x 18  x  1 x  x ,  x   0;3 2 a  x , f  1  , f   x    2 72 18  x  3 f  x   x  Lập bảng biến thiên, suy ra: P  f  x   f 1  10 , a  , b  c  Vậy MaxP  10 Xem thêm tại: https://vndoc.com/toan-lop-12 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ... 4095  2n  4096  n  12 12 12   2   x  C12k      x  x  k 0 Yêu cầu toán 12  k   x5 k 5k   36  3k   19  k  10 Số hạng cần tìm C1210 22 x19 Bài Cho hình chóp S ABCD... 3 f  x   x  Lập bảng biến thi? ?n, suy ra: P  f  x   f 1  10 , a  , b  c  Vậy MaxP  10 Xem thêm tại: https://vndoc.com/toan-lop -1 2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu... VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí AB CD Tìm vị trí điểm M để quay hình chữ nhật OHMK quanh đường thẳng AB thể tích khối trụ sinh lớn Lời giải Đặt OH  x , OK  y khối trụ sinh