Độ đo

HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO $1. ĐẠI SỐ. σ - ĐẠI SỐ 1. Đại số a) Định nghĩa 1 . Cho tập hợp φ ≠X . Một họ N các tập con của X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều kiện sau: (i) X ∈ N ; (ii) A ∈ N ⇒ C X A = X \ A ∈ N ; (iii) A 1 , A 2 , . , A n ∈ N ⇒ U n k k A 1= ∈ N . b) Các tính chất Cho N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tính chất sau đây: 1. φ ∈ N ; 2. A 1 , A 2 , . , A n ∈ N ⇒ I n k k A 1= ∈ N ; 3. A, B ∈ N ⇒ A \ B ∈ N. Chứng minh . 1. được suy từ (i), (ii) 2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: IU n k n k kk CAAC 11 )( = = = 3. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức A \ B = A ∩ C X B Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N). c) Các ví dụ 1. Cho XA ⊂ . Đặt N = { } ACAX X ,,, φ . Khi đó N là một đại số các tập con của X. 2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 }, C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }. Đặt N = { φ , X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại số các tập con của X? 3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn điều kiện : Nếu A, B ∈ N thì X \ A ∈ N và A ∩ B ∈ N. Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X. 2. σ - đại số a) Định nghĩa 2 . Cho tập hợp φ ≠X . Một họ M các tập con của X được gọi là một σ - đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn ba điều kiện sau: (i) X ∈ M ; (ii) A ∈ M ⇒ C X A = X \ A ∈ M ; (iii) A 1 , A 2 , . , A n , . ∈ M ⇒ U ∞ =1k k A ∈ M . b) Các tính chất Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M có các tính chất sau đây: 1. M là một đại số các tập con của X; 2. φ ∈ M ; 3. A 1 , A 2 , . , A n ∈ M ⇒ I n k k A 1= ∈ M ; 4. A, B ∈ M ⇒ A \ B ∈ M ; 5. A 1 , A 2 , . , A n , . ∈ M ⇒ I ∞ =1k k A ∈ M . Chứng minh . - Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt A n+1 = A n+2 = . = φ . - Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh. - Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: IU ∞ = ∞ = = 11 )( k k kk CAAC Nhận xét σ - đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép kín" đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tập hợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của M ). c) Các ví dụ 1. Cho tập hợp φ ≠X . Họ tất cả các tập con của tập hợp X là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. 2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn hai điều kiện : a) A ∈ M ⇒ X \ A ∈ M ; b) A 1 , A, . , A n , . ∈ M ⇒ I ∞ =1k k A ∈ M . Chứng minh rằng M là một σ - đại số các tập con của X. 3. Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X và Z ∈ M. Đặt M Z là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z. Chứng minh M Z là một σ - đại số các tập con của tập hợp Z. $2. ĐỘ ĐO 1. Tập hợp số thực không âm mở rộng Cho tập hợp số thực không âm ),0[ +∞ . Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là + ∞ , tập hợp mới thu được là ],0[ +∞ . Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với các quy ước về phép toán như sau. a < + ∞ với mọi a ∈ ),0[ +∞ ; a + (+ ∞ ) = (+ ∞ ) + a = + ∞ với mọi a ∈ ],0[ +∞ ; a . (+ ∞ ) = (+ ∞ ) . a = + ∞ với mọi a ∈ ],0( +∞ ; 0 . (+ ∞ ) = (+ ∞ ) . 0 = 0 Lưu ý . Đẳng thức a + c = b + c kéo theo a = b khi và chỉ khi +∞≠c . 2. Các khái niệm Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ . Định nghĩa 1. μ được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một họ hữu hạn các tập hợp đôi một rời nhau A 1 , A 2 , . , A n ∈ M thì ∑ = = = n k k n k k AA 1 1 )()( μμ U Định nghĩa 2 . μ được gọi là ánh xạ σ - cộng tính nếu có một họ đếm được các tập hợp đôi một rời nhau A 1 , A 2 , . , A n , . ∈ M thì ∑ ∞+ = ∞+ = = 1 1 )()( k k k k AA μμ U Định nghĩa 3. μ được gọi là một độ đo trên M, nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: 1. μ ( φ ) = 0; 2. μ là σ - cộng tính. Định nghĩa 4. Cặp (X, M), trong đó M là σ - đại số các tập con của tập hợp X, được gọi là không gian đo được. Mỗi tập hợp A ∈ M được gọi là một tập đo được. Định nghĩa 5. Bộ ba (X, M, μ ), trong đó M là σ - đại số các tập con của tập hợp X, μ là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo. Nếu A ∈ M thì số μ (A) được gọi là độ đo của tập hợp A. Định nghĩa 5. Độ đo μ được gọi là độ đo hữu hạn nếu μ (X) < + ∞ . Độ đo μ được gọi là độ đo σ - hữu hạn, nếu X = U ∞ =1 k k X , X k ∈ M và μ (X k ) < + ∞ với mọi k. Nhận xét . Độ đo hữu hạn thì σ - hữu hạn. 3. Các ví dụ a) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ xác định bởi μ (A) = 0 với mọi A ∈ M . Khi đó μ là một độ đo hữu hạn. b) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ xác định bởi μ ( φ ) = 0 , μ (A) = + ∞ với mọi A ∈ M và φ ≠A . Khi đó μ là một độ đo không σ - hữu hạn. c) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X và x 0 ∈ X. Xét ánh xạ μ : M → ],0[ +∞ xác định bởi : - Nếu A ∈ M và x 0 ∈ A thì μ (A) = 1 ; - Nếu A ∈ M và x 0 ∉ A thì μ (A) = 0 . Chứng minh rằng μ là một độ đo hữu hạn. Nhận xét . Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một σ - đại số các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ đo tương ứng với các tính chất khác nhau. 4. Các tính chất của độ đo Cho (X, M, μ ) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính chất sau đây. 1. μ là cộng tính hữu hạn. 2. Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì μ (A) ≤ μ (B) . Ngoài ra, nếu μ (A) < + ∞ thì μ (B \ A) = μ (B) - μ (A). 3. Nếu A 1 , A 2 , . , A n , . ∈ M thì ∑ ∞+ = ∞+ = ≤ 1 1 )()( k k k k AA μμ U 4. Nếu A, B ∈ M , A ⊂ B và μ (B) = 0 thì μ (A) = 0. 5. Nếu A, B ∈ M và μ (B) = 0 thì μ (A ∪ B) = μ (A \ B) = μ (A). 6. Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo không là tập hợp có độ đo không: μ (A k ) = 0, ∀ k = 1, 2, . , n ⇒ 0)( 1 = = U n k k A μ 7. Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo không là tập hợp có độ đo không: μ (A k ) = 0, ∀ k = 1, 2, . ⇒ 0)( 1 = ∞+ = U k k A μ 8. Nếu μ là độ đo σ - hữu hạn thì i) X = U ∞ =1 k k Y , trong đó các tập hợp Y k đôi một rời nhau, Y k ∈ M và μ (Y k ) < + ∞ với mọi k; ii) A = U ∞ =1 k k A , trong đó các tập hợp A k đôi một rời nhau, A k ∈ M và μ (A k ) < + ∞ với mọi A ∈ M và mọi k. 9. Nếu { A n } , n ∈ N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được, nghĩa là A 1 ⊂ A 2 ⊂ . ⊂ A n ⊂ . , thì U ∞+ = +∞→ = 1 )()( lim n n n n AA μμ 10. Nếu { A n } , n ∈ N, là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo được, nghĩa là A 1 ⊃ A 2 ⊃ . ⊃ A n ⊃ . , và μ (A 1 ) < + ∞ thì )(lim)( 1 n n n n AA μμ +∞→ ∞+ = = I 5. Độ đo đủ Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo được, nghĩa là nếu A ∈ M , B ⊂ A thì có thể B ∉ M . Định nghĩa 6. Độ đo μ được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập có độ đo không đều là tập đo được. Nhận xét . Nếu μ là độ đo không đủ thì ta có thể thác triển μ thành một độ đo đủ nhờ định lý dưới đây. Định lý. Giả sử (X, M, μ ) là một không gian độ đo. Gọi M' là họ tất cả các tập hợp A có dạng A = B ∪ C (1) trong đó B ∈ M, C ⊂ D, D ∈ M, μ (D) = 0. Với mỗi tập hợp A có dạng (1), đặt μ ' là ánh xạ sao cho μ '(A) = μ (B) (2) Khi đó: i) (X, M', μ ') là một không gian độ đo; ii) μ ' là độ đo đủ. Định nghĩa 7. M' được gọi là bổ sung Lebesgue của σ - đại số M và μ ' được gọi là thác triển Lebesgue của độ đo μ . 6. Thác triển ánh xạ σ - cộng tính thành độ đo Định lý (Hahn). Cho N là một đại số các tập con của tập hợp X và m : N → ],0[ +∞ là một ánh xạ σ - cộng tính. Khi đó tồn tại một σ - đại số M chứa N và một độ đo đủ μ : M → ],0[ +∞ sao cho μ (A) = m(A) với mọi A ∈ N . Ngoài ra, nếu m là σ - hữu hạn thì μ xác định một cách duy nhất. Định nghĩa 8. Độ đo μ được gọi là thác triển của m từ đại số N lên σ - đại số M. $3. ĐỘ ĐO LEBERGUE TRÊN ℜ 1. Khoảng trong ℜ Định nghĩa 1. Các tập hợp sau đây được gọi là các khoảng trong ℜ : (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (- ∞ , a), (- ∞ , a], (a, + ∞ ), [a, + ∞ ) (- ∞ , + ∞ ). Để ý rằng giao của hai khoảng bất kỳ trong ℜ cũng là khoảng trong ℜ hoặc là tập hợp rỗng. Định nghĩa 2. Nếu Ι là khoảng trong ℜ có hai đầu mút là a, b (- ∞ ≤ a ≤ b ≤ + ∞ ) thì ta gọi số Ι = b - a là độ dài của Ι . 2. Đại số các tập con của ℜ Xét họ N các tập hợp P là hợp của hữu hạn các khoảng trong ℜ không giao nhau: N = { } U n i jii jiIIIPP 1 )(,/ = ≠=∩=ℜ⊂ φ (1) Trên N xét ánh xạ m : N → ],0[ +∞ xác định bởi ∑ = = n i i IPm 1 )( nếu P có biểu diễn như trong (1). Định lý 1. N là một đại số các tập con của ℜ . Chứng minh . Ta kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa đại số. (i) Ta có ℜ = (- ∞ , + ∞ ) ( hợp của một khoảng) nên hiển nhiên ℜ ∈ N . (ii) Giả sử P ∈ N thì P là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau. Khi đó dễ thấy ℜ \ P cũng là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau. Vậy ℜ \ P ∈ N. (iii) Giả sử P, Q ∈ N, ta cần chứng minh P ∪ Q ∈ N. Trước hết ta chứng minh P ∩ Q ∈ N. Thật vậy, vì P, Q đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau nên ta có biểu diễn: IU )'(,, ' 1 iiIIIP ii n i i ≠== = φ IU )'(,, ' 1 jjJJJQ jj k j j ≠== = φ Khi đó IUUIUU UIIIU k j n i jij k j n i i k j j k j j JIJI JPJPQP 1111 11 )(])[( )()( ==== == == === Thế mà I ijji LJI = ( i = 1, 2, . , n ; j = 1, 2, . , k) là các khoảng không giao nhau đôi một nên P ∩ Q ∈ N. Bây giờ ta chứng minh P ∪ Q ∈ N khi P, Q ∈ N . Thậy vậy, ta có P, Q ∈ N nên theo (ii) ℜ \ P ∈ N , ℜ \ Q ∈ N. Khi đó, theo phần vừa chứng minh, ( ℜ \ P) ∩ ( ℜ \ Q) ∈ N , hay ℜ \ (P ∪ Q) ∈ N, lại theo (ii) suy ra P ∪ Q ∈ N . Vậy, N là đại số các tập con của ℜ , định lý được chứng minh. Định lý 2. Ánh xạ m ánh xạ σ - cộng tính. Chứng minh . Giả sử Q = U ∞ =1 k k P , trong đó các tập hợp P k đôi một rời nhau, Q, P k ∈ N (Q và P k đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau). Ta cần chứng minh ∑ ∞+ = = 1 )()( k k PmQm Không mất tính tổng quát ta có thể xem Q và mỗi P k chỉ là một khoảng trong ℜ . Trước hết ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng hữu hạn. Khi đó các P k cũng là khoảng hữu hạn. Giả sử Q là khoảng hữu hạn có hai đầu mút là a, b , còn P k có hai đầu mút là a k , b k . - Với mỗi n = 1, 2, . , luôn tồn tại hữu hạn các khoảng Ι i ( i = 1, 2, . , n i ) sao cho UUU i n i i n k k IPQ 11 )()( == = trong đó các P k , Ι i rời nhau. Khi đó ∑∑∑ === ≥+= n k k n i i n k k PIPQ i 111 Cho n → + ∞ , ta được ∑ ∞+ = ≥ 1k k PQ (2) - Cho ε > 0 tuỳ ý sao cho 2 ab − < ε . Đặt ),( 22 kk kkk baQ εε +−= (k = 1, 2, . ) [ ] εε −+= baQ ,' Ta có P k ⊂ Q k nên UU ∞+ = ∞+ = ⊂=⊂ 11 ' k k kk QPQQ Mặt khác, Q' là tập compact nên mỗi phủ mở của Q' đều có một phủ con hữu hạn , khi ấy tồn tại hữu hạn các tập n kkk QQQ , .,, 21 sao cho U n i k i QQ 1 ' = ⊂ Suy ra ∑ = ≤ n i k i QQ 1 ' hay ∑∑∑ ∑ ∞+ = ∞+ = ∞+ = = − +−=+−≤ ≤+−≤−− 1 2 11 2 2 1 2 2 1 )()( )(2 kk kk k kk n i kk kk i k ii abab abab εε ε ε Thế nhưng ∑ ∞+ = − 1 2 1 k k ε lại là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu u 1 = ε , công bội q = 1/2 nên hội tụ và có tổng là 2 ε . Vậy εε 2)(2 1 +−≤−− ∑ ∞+ =k kk abab hay ε 4 1 +≤ ∑ ∞+ =k k PQ Cho ε → 0, ta có ∑ ∞+ = ≤ 1k k PQ (3) Từ (2) , (3) suy ra ∑ ∞+ = = 1k k PQ hay ∑ ∞+ = = 1 )()( k k PmQm Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng vô hạn. Khi đó +∞=Q . Rõ ràng ta luôn có thể biểu diễn Q ở dạng +∞=⊂⊂= ∞+ = +∞→ U 1 21 lim .,, n n n n IIIIQ trong đó các Ι n đều là khoảng hữu hạn. Chẳng hạn, U ∞+ = +=+∞= 1 ),(),( n naaaQ Vì QI n ⊂ và Q = U ∞ =1k k P , các P k rời nhau nên UIIIU ∞+ = ∞+ = === 11 )()( k kn k knnn PIPIQII trong đó các tập hợp I kn PI hữu hạn và rời nhau theo chỉ số k = 1, 2, . Theo phần vừa chứng minh ∑∑ ∞+ = ∞+ = ≤= 11 k k k knn PPII I [...]... xạ - cộng tính thành độ đo, ta có một - đại số M chứa N và một độ đo đủ là thác triển của σ σ μ m từ N lên M 3 Độ đo Lebesgue trên Định nghĩa 3 Độ đo μ ℜ và σ - đại số M nhận được khi thác triển ánh xạ m trên đại số N các tập con của ℜ được gọi lần lượt là độ đo Lebesgue và - đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên ℜ Các tính chất Độ đo Lebesgue μ và - đại số M các tập đo được theo nghĩa σ... M là δ - đại số 4 Các tính chất của hàm đo được 1º Nếu f đo được trên Α và c = const ∈ ℜ thì cf đo được trên Α 2º Nếu f , g đo được và hữu hạn trên Α thì f + g , fg đo được trên Α 3º Nếu f đo được trên Α , α > 0 thì f α đo được trên Α 1 đo được trên Α f 5º Nếu f , g đo được trên Α thì max ( f , g ) , min ( f , g ) đo được trên Α 6º Nếu { f n } là dãy hàm đo được trên Α thì sup f n , inf f n , lim... Định lý này cho thấy giới hạn của dãy hàm số theo độ đo là duy nhất, nếu ta đồng nhất các hàm tương đương (tức là bỏ qua tập hợp có độ đo 0) 5 Mối liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo Định lý 2 Nếu dãy hàm số { f n } đo được, hữu hạn hầu khắp nơi, hội tụ hầu khắp nơi đến hàm số f đo được, hữu hạn hầu khắp nơi trên tập hợp A có độ μ → đo hữu hạn thì f n ⎯⎯ f trên A Chứng minh Giả sử... một dãy hàm đo được, hữu hạn h.k.n, hội tụ h.k.n về hàm số f đo được, hữu hạn h.k.n trên một tập hợp A có độ đo hữu hạn Khi đó với mỗi ε > 0, tồn tại một tập hợp E đo được, E ⊂A sao cho μ (A \ E) < ε và dãy hàm { f n } hội tụ đều về f trên E Ý nghĩa: Định lý Egoroff khẳng định rằng mọi sự hội tụ có thể biến thành hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập hợp có độ đo bé tuỳ ý Mối liên hệ giữa hàm đo được và... số đo được (L) trên tập hợp A ℜ chưa chắc là hàm liên tục trên A Tuy nhiên định lý dưới đây sẽ cho ta thấy một hàm đo được có thể trở thành hàm liên tục nếu bỏ qua một tập hợp có độ đo bé tuỳ ý Định lý 3 (Lusin) Giả sử f là một hàm số hữu hạn xác định trên tập hợp A ℜ; A là tập đo được theo nghĩa Lebesgue và có độ đo hữu hạn Khi đó ⊂ ⊂ ε > 0, tồn tại một tập hợp đóng F ⊂A sao cho μ (A \ F) < ε f đo. .. theo nghĩa σ σ Lebesgue trên ℜ có các tính chất sau đây 1 là độ đo đủ μ 2 Tập không quá đếm được trên ℜ có độ đo không 3 Tập mở, tập đóng trên ℜ là tập đo được > 0 tồn tại 4 Tập A ⊂ ℜ là đo được khi và chỉ khi với mọi các tập mở G, tập đóng F sao cho F ⊂ A ⊂ Q và (G \ F) < ε ε μ 5 Nếu A đo được thì các tập hợp t A , x + A ( t, x ∈ ℜ ) cũng đo được và μ ( t A ) = / t / μ ( A ) , μ ( x + A ) = μ ( A),... sao cho μ (A \ F) < ε f đo được (L) trên A khi và chỉ khi với mọi số và f liên tục trên F $6 SỰ HỘI TỤ THEO ĐỘ ĐO 3 Khái niệm Định nghĩa 1 Giả sử ( Χ , M , μ ) là không gian độ đo, Α ∈ M và f , f1 , f 2 , … là những hàm đo được hữu hạn hầu khắp nơi trên A Dãy { f n } được μ gọi là hội tụ theo độ đo đến f và ký hiệu f n ⎯⎯ f trên A, nếu với → ∀ε > 0 ta đều có lim μ n→∞ ({ x ∈ Α : f n ( x ) − f ( x ) ≥... x=0 là hàm số không hữu hạn trên [0, 1) 3 Hàm số đo được Dưới đây ta cho (X, M) là không gian đo được và A Định nghĩa 2 Hàm số f : A →ℜ ∈M được gọi là đo được trên A nếu ∀a ∈ ℜ, {x ∈ A / f ( x) < a}∈ M σ - đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue Nếu X = ℜ và M là trên ℜ , thì f được gọi là hàm đo được theo Lebesgue Các ví dụ 4 Hàm hằng trên A là đo được trên A Thật vậy, giả sử f(x) = c = const... f n , lim sup f n , 4º Nếu f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Α và f đo được trên Α thì lim inf f n đo được trên Α n n n→∞ n→∞ 7º Nếu { f n } hội tụ trên Α , f n đo được trên Α thì lim f n đo được trên Α n→∞ { } 8º Nếu f , g đo được trên Α thì các tập hợp x ∈ Α / f ( x ) < g ( x ) , { x ∈ Α / f ( x ) ≤ g ( x )} , { x ∈ Α / f ( x ) = g ( x )} đều thuộc M 9º Nếu f đo được trên Α thì các hàm số ⎧ f ( x ) , khi f ( x... các hàm hữu hạn đo được) 7 Cấu trúc của hàm đo được Định lý 4 Mọi hàm số đo được không âm trên Α đều là giới hạn của một dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được trên Α Chứng minh Giả sử f là hàm đo được không âm trên Α Đặt n , khi f ( x ) ≥ n ⎧ ⎪ Sn ( x ) = ⎨ m − 1 m −1 m , khi ≤ f ( x ) < n , m = 1, 2, , n 2n ⎪ 2n ⎩ 2n 2 thì S n ( x ) là dãy đơn điệu tăng (theo n ) các hàm đơn giản đo được trên . là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo. Nếu A ∈ M thì số μ (A) được gọi là độ đo của tập hợp A. Định nghĩa 5. Độ đo μ được gọi là độ đo hữu hạn. gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập có độ đo không đều là tập đo được. Nhận xét . Nếu μ là độ đo không đủ thì ta có thể thác triển μ thành một độ đo đủ