Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KHOA SƢ PHẠM THÂN VĂN KHOÁT VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2009 i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KHOA SƢ PHẠM THÂN VĂN KHOÁT VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN HỌC) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS BÙI VĂN NGHỊ HÀ NỘI – 2009 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV : Giáo viên HS : Học sinh KSHS : Khảo sát hàm số PPDH : Phƣơng pháp dạy học PPPH&GQVĐ : Phƣơng pháp phát giải vấn đề SBT GTNC12 : Sách tập Giải tích 12 nâng cao SGK GTNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao THPT : Trung học phổ thông TNTHPT : Tốt nghiệp trung học phổ thông iv MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Giả thuyết khoa học 3 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề 1.1.1 Vài nét lịch sử phƣơng pháp phát giải vấn đề .5 1.1.2 Những khái niệm 1.1.3 Thực dạy học phát giải vấn đề 1.1.4 Dạy học phát giải vấn đề mơn Tốn định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học mơn Tốn trƣờng THPT 13 1.2 Phân tích chƣơng trình, nội dung mục tiêu dạy học KSHS lớp 12 THPT 15 1.2.1 Giới thiệu chƣơng trình 15 1.2.2 Nội dung 16 1.2.3 Mục tiêu 17 1.3 Thực tiễn dạy học KSHS lớp 12 THPT 17 1.3.1 Điều tra qua giáo viên 17 1.3.2 Điều tra qua học sinh 19 Chương 2: VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ CỦA KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 21 2.1 Định hƣớng chung 21 2.2 Tính đơn điệu cúa hàm số 22 2.2.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số 22 2.2.2 Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu miền K 26 2.2.3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình 32 2.2.4 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 40 2.3 Cực trị hàm số 45 2.3.1 Tìm cực trị hàm số 45 2.3.2 Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị 49 v 2.3.3 Đƣờng thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số 57 2.4 Sự tƣơng giao hai đồ thị hàm số 65 2.4.1 Sự tƣơng giao đồ thị hàm bậc ba trục hoành 66 2.4.2 Sự tƣơng giao đồ thị hàm bậc bốn trùng phƣơng trục hoành 84 2.4.3 Sự tƣơng giao đồ thị hàm phân thức đƣờng thẳng 91 2.5 Sự tiếp xúc phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 99 2.5.1 Sự tiếp xúc 99 2.5.2 Phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 114 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 135 3.1 Mục đích, kế hoạch tổ chức thực nghiệm 135 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 135 3.1.2 Kế hoạch thực nghiệm 135 3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 135 3.2 Nội dung kết thực nghiệm 136 3.2.1 Nội dung 136 3.2.2 Kết thực nghiệm sƣ phạm 138 3.2.3 Ý kiến đánh giá giáo viên 139 3.2.4 Những kết luận ban đầu rút đƣợc từ kết thực nghiệm sƣ phạm 141 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO 144 vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày tốc độ phát triển khoa học kỹ thuật công nghệ nhƣ vũ bão đòi hỏi ngƣời muốn đáp ứng đƣợc yêu cầu xã hội phải có lực giải vấn đề nảy sinh thực tế cách nhanh nhạy linh hoạt Để làm đƣợc điều lực phát giải vấn đề cần phải đƣợc hình thành rèn luyện từ cịn ngồi ghế nhà trƣờng Trong đƣờng lối xây dựng phát triển đất nƣớc, Đảng Nhà nƣớc ta quan tâm đến nghiệp giáo dục, coi nghiệp giáo dục quốc sách hàng đầu Nghị Hội nghị lần thứ hai BCH Trung ƣơng Đảng khoá VIII rõ đƣờng đổi giáo dục đào tạo là: “Đổi mạnh mẽ phƣơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục chiều, rèn luyện thành nếp tƣ sáng tạo ngƣời học, phát triển phong trào tự học, tự đào tạo thƣờng xuyên rộng khắp toàn dân, niên” Tuy đạt đƣợc đƣợc nhiều thành lĩnh vực giáo dục đào tạo thời kỳ đổi vừa qua, nhƣ hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học nƣớc, nhƣng việc đổi phƣơng pháp giáo dục nhiều bất cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trị chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét “dạy kiểu luyện thi” thƣờng xảy Vì xảy tình trạng học trị tiếp thu kiến thức thầy giáo cung cấp cách thụ động Trƣớc tình hình đó, định hƣớng phát triển giáo dục đào tạo, Nghị Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục quốc sách hàng đầu tạo chuyển biến bản, toàn diện phát triển giáo dục đào tạo - Triển khai thực hiệu Luật Giáo dục - Định hình qui mô giáo dục đào tạo; điều chỉnh cấu đào tạo, cấu cấp học, ngành nghề cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên cấp”, “Tiếp tục đổi chƣơng trình nội dung, phƣơng pháp giảng dạy phƣơng thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lƣợng cao, đặc biệt ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao” Thực theo đƣờng lối, nghị đó, năm gần ngành Giáo dục Đào tạo có vận động đổi phƣơng pháp dạy học, dạy học phát giải vấn đề đƣợc đề cập quan tâm nhƣ biện pháp hữu hiệu để ngƣời học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập sáng tạo q trình học tập, góp phần nâng cao chất lƣợng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày cao nghiệp cơng nghiệp hóa, đại hóa đất nƣớc Phát huy tính tích cực học sinh hƣớng đổi đƣợc nhiều nhà sƣ phạm nghiên cứu vận dụng cách có hiệu Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ 60 kỷ XX phƣơng pháp đƣợc Phạm Văn Hoàn quan tâm việc dạy học mơn Tốn Đặc biệt gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu áp dụng phƣơng pháp dạy học theo phạm vi, chủ đề nội dung cho đối tƣợng học sinh khác Điển hình cơng trình nghiên cứu Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu nhiều tác giả khác Tuy nhiên trƣờng trung học phổ thông nay, việc vận dụng phƣơng pháp dạy học góp phần thực đổi phƣơng pháp dạy học theo hƣớng vừa kể vào thực tiễn dạy học mơn Tốn cịn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng cách cụ thể Mặt khác mơn tốn mơn học có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tƣ trìu tƣợng, rèn luyện cho học sinh lực phát giải vấn đề Trong chƣơng trình giải tích lớp 12 THPT, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số giữ vai trò chủ đạo Nó chiếm khối lƣợng lớn kiến thức thời gian học chƣơng trình đặc biệt ln có mặt đề thi Tốt nghiệp THPT thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng Bởi việc nắm vững phƣơng pháp giải toán khảo sát hàm số cần thiết bổ ích học sinh lớp 12 THPT Thực tế dạy học Toán trƣờng THPT cho thấy học sinh cịn khó khăn giải toán khảo sát hàm số, chẳng hạn nhƣ: xét tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, tƣơng giao hai đồ thị, tiếp xúc phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số… Vì lý nêu trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng phương pháp phát giải vấn đề dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông” 2 Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề vào dạy học số chủ đề khảo sát hàm số lớp 12 dựa tƣ tƣởng chủ đạo quan điểm hoạt động góp phần rèn luyện cho học sinh lực phát giải vấn đề, đồng thời nâng cao chất lƣợng dạy học nội dung trƣờng THPT Mục đích nghiên cứu Xây dựng phƣơng án dạy học số chủ đề khảo sát hàm số lớp 12 THPT, cụ thể là: Tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, tƣơng giao hai đồ thị hàm số, tiếp xúc phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số theo phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn trƣờng THPT Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý luận phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề - Nghiên cứu mục tiêu, nội dung chƣơng trình dạy học khảo sát hàm số thực trạng dạy học nội dung trƣờng phổ thông - Đề xuất phƣơng án dạy học số chủ đề khảo sát hàm số theo phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề nhằm phát huy tính tích cực học tập học sinh Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài Phương pháp nghiên cứu * - Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học lý luận dạy học mơn Tốn) - Nghiên cứu chƣơng trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao có liên quan đến nội dung khảo sát hàm số * - Điều tra quan sát: Dự giờ, tổng kết rút kinh nghiệm việc dạy học nội dung Phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến chuyên gia, giáo viên, học sinh thực trạng dạy học nội dung trƣờng phổ thông; nhận thức phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề giáo viên kỹ vận dụng phƣơng pháp vào dạy học * Tổng kết kinh nghiệm dạy toán từ kinh nghiệm thân đồng nghiệp * Thử nghiệm sƣ phạm nhằm bƣớc đầu kiểm tra tính khả thi tính hiệu biện pháp đƣợc đề xuất luận văn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm ba chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chƣơng 2: Vận dụng phƣơng pháp phát giải vấn đề vào dạy học số chủ đề khảo sát hàm số lớp 12 Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học phát giải vấn đề 1.1.1 Vài nét lịch sử phương pháp phát giải vấn đề Về mặt thuật ngữ: Trong hệ thống phƣơng pháp dạy học không truyền thống (tức phƣơng pháp dạy học đại) có phƣơng pháp dạy học, có tác giả gọi “dạy học nêu vấn đề”; có tài liệu viết “dạy học giải vấn đề” Vì cần có giải thích khái niệm Theo Nguyễn Bá Kim, thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” có nhƣợc điểm: Một là, dẫn tới suy nghĩ lầm vấn đề thầy giáo nêu theo ý khơng phải nảy sinh từ lơgic bên tình Hai là, hiểu kiểu dạy học dừng nêu vấn đề khơng nói rõ vai trị học sinh việc giải vấn đề Thuật ngữ “dạy học giải vấn đề” khắc phục đƣợc nhƣợc điểm thứ hai nhƣng mắc nhƣợc điểm thứ Thuật ngữ “Phát giả vấn đề” khắc phục hai nhƣợc điểm nhằm nêu rõ hàm ý giúp học sinh phát giải vấn đề Thuật ngữ “Phát giải vấn đề” nói lên chất phƣơng pháp dạy học rõ so với thuật ngữ khác Vì đồng ý với thuật ngữ nhƣ Nguyễn Bá Kim, “Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề” -Theo Lerner thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” đời chƣa đƣợc bao năm, việc nghiên cứu tƣ tƣởng dạy học nêu vấn đề thật rầm rộ đƣợc bắt đầu chƣa lâu lắm, nhƣng tƣ tƣởng đó, dƣới tên gọi khác nhau, tồn giáo dục học hàng trăm năm Sớm nữa, tƣợng “nêu vấn đề” đƣợc Xôcrat (46- 399 trƣớc công nguyên) thực tọa đàm Trong tranh luận, ông không kết luận trƣớc mà để ngƣời tìm cánh giải Trong thập kỷ 60-70 kỷ XX, phƣơng pháp dạy học đƣợc nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, bình diện thực nghiệm rộng rãi nhiều mơn học khác cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thơng Đặc biệt cơng trình nghiên cứu Ơkơn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([30], [31], [32]) “Ở Việt Nam, thời kỳ phƣơng pháp dạy học có ảnh hƣởng tác động đáng kể tới trình đổi phƣơng pháp dạy học nhà trƣờng phổ thơng, cơng trình nghiên cứu Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([2], [3], [14], [20]) Đặc biệt Với x0  phƣơng trình tiếp tuyến d là: y  k ( x  0)  f (0) 1( x  0)   x  Với x0   phƣơng trình tiếp tuyến d là: y 1( x  2)  f (2)  x  Vậy có tiếp tuyến d thỏa mãn y  x  y  x  * Một số tập vận dụng [2] Cho đồ thị (C): y  3x 2x x4 a) Viết phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k  -2 b) Viết phƣơng trình tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y  x  21 c) Viết phƣơng trình tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng y  x 3 d) Viết phƣơng trình tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng y  e) Viết phƣơng trình tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc 750 f) Viết phƣơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dƣơng trục hồnh góc 600 3x7 [2] Cho (C): y  x  góc 30 Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) biết:  2x a) Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y  b) Tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng y 4x c) Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng y 2x góc 450 d) Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng y x góc 600 [3] (K.B,2006) Cho hàm số y  x  x 1 x x 1 (C) 2 Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đƣờng tiệm cận xiên [4] (ĐHKTQD,01) Tìm tọa độ giao điểm đƣờng tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 1 x  với trục hồnh, biết tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng y  x  2001 124 [5] (ĐHAN,01) Tìm đồ thị hàm số y  x2x2 tuyến x điểm A để tiếp 1 đồ thị A vng góc với đƣờng thẳng qua A tâm đối xứng đồ thị [6] (ĐHAN,00) Cho hàm số: y  x  mx  m 1Viết phƣơng trình tiếp tuyến điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến m thay đổi [7] (ĐHSP Vinh,99) Cho (Cm): y  x  mx  m 1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đƣờng thẳng y  2x , với A điểm cố định có hồnh độ dƣơng (Cm) 2.5.2.3.Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước với đồ thị hàm số * Để học sinh phát đƣợc phƣơng pháp giải toán viết phƣơng trình tiếp tuyến qua điểm cho trƣớc với đồ thị hàm số trƣớc tiên ta xét số vị trí cụ thể, vận dụng phƣơng pháp dạy học giải vấn đề bƣớc điều khiển học sinh tìm tịi cách giải tốn Hoạt động 1: Gợi vấn đề phát vấn đề Ví dụ (K.B,2008) Cho hàm số (1) y  x  x 1 Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;-9) (?) Gọi M( x0 ; f ( x0 ) ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm d với đồ thị hàm số (1) Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến d điểm M? ( Phƣơng trình tiếp tuyến d M( x0 ; f ( x0 ) ) thuộc đồ thị hàm số (1) là:  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) y ( Điều kiện để d qua A(-1;-9) gì? (!) Đƣờng thẳng d qua A(-1;-9) 9f'(x0)(1x0)f(x0) (2) ( Từ tìm x0 viết phƣơng trình tiếp tuyến d? (!) Ta có f '(x)  12x 12x Phƣơng trình(2) 9  (12x0  12x0 )(1  x0 )  4x0  6x0 1  x03  3x0  x0 Với x0 1  phƣơng trình tiếp tuyến d là: 125 y  f '(1)( x  1)  f (1)  24( x  1)   24 x 15 Với x  Vậy có tiếp tuyến d cần tìm là: y  24 x 15 * Nghiên cứu sâu lời giải: Tƣơng tự nhƣ phần trƣớc, ta viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị cách tìm hồnh độ tiếp điểm Ta giải cách khác dựa vào điều kiện tiếp xúc đƣờng cong đƣợc không? ( Phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm d qua điểm A(-1;-9) nên có phƣơng trình nhƣ nào? (!) Phƣơng trình tiếp tuyến d có dạng: y  k ( x  1) 9 ( Điều kiện để d tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) gì? (!) d tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) 12x  12x  k (?) Từ tìm hồnh độ tiếp điểm viết phƣơng trình tiếp tuyến d? (!) Thế (3) vào (2) ta đƣợc: 4x3  6x   (12x  12x)(x  1) 9  x  3x Với x 1  k  24  phƣơng trình tiếp tuyến là: y  24( x  1)   24 x 15 15 15 15 24  phƣơng trình tiếp tuyến là: y  (x  1)   x  Hoạt động 2: Đề xuất trình bày giải pháp * Từ ví dụ nêu trên, giáo viên giúp học sinh phát xây dựng phƣơng pháp giải tốn viết phƣơng trình tiếp tuyến qua điểm cho trƣớc với đồ thị hàm số ( Phương pháp giải vấn đề: Để viết phƣơng trình tiếp tuyến d qua điểm A(a;b) cho trƣớc với đồ thị (C): y  f ( x) ta thực theo hai cách sau: Với x   k  Cách (Phƣơng pháp tìm tiếp điểm): 126 Bước 1: Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tọa độ tiếp điểm d với (C) Khi phƣơng trình tiếp tuyến d là: y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Bước 2: Tìm điều kiện để d qua điểm A(a;b) A(a;b) d  b  f '( x0 )(a  x0 )  f ( x0 ) (1) Bước 3: Giải phƣơng trình (1) để tìm đƣợc x0, từ viết phƣơng trình tiếp tuyến d: y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Cách (Phƣơng pháp dựa vào điều kiện tiếp xúc): Bước 1: Viết dạng phƣơng trình tiếp tuyến d qua A(a;b) d: y  k ( x  a) b Bước 2: Tìm điều kiện để d tiếp xúc với đồ thị (C) d tiếp xúc với đồ thị (C)  Hệ (I)  Bước 3: Tìm điều kiện để hệ (I) có nghiệm.Từ viết phƣơng trình tiếp tuyến d Thế (2) vào (1) ta đƣợc: f (x)  f '(x)(x  a) b (3) Giải (3) để tìm đƣợc x vào (2) để tìm đƣợc điều kiện k, từ viết phƣơng trình tiếp tuyến d: y  k ( x  a) b Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp Ví dụ (Dạng biện luận số tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị): Cho đồ thị (C): y  x  3x  Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ đƣợc tiếp tuyến đến (C) (!) Lời giải: Gọi A(a;0) thuộc trục hoành Đƣờng thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k có phƣơng trình: y  k ( x  a) d tiếp xúc với đồ thị (C)  Hệ phƣơng trình sau có nghiệm:     Thế (2) vào (1) đƣợc:   x  3x  3 x  x3  3x   (3x  3)k ( x  a)  ( x  1)(x  x  2)  3(x  1)(x  1)(x  a)   ( x  1)[2x - (3a  2)x  3a  2]  x 1   2x - (3a  2)x  3a   (4)  g ( x) 127 (?)Nêu điều kiện cần đủ để từ điểm A(a;0) kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C)? ( Phƣơng trình (3) có nghiệm phân biệt  Phƣơng trình (4) có nghiệm phân biệt khác -1    (3a  2)(3 a  6)  g ( 1)  6a     Vậy điểm A(a;0) với Ví dụ (ĐHAG,2001) Cho hàm số y  x  x 1 (C) Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) (!) Lời giải: Gọi điểm A(0;m) Oy Đƣờng thẳng d qua điểm A(0;m) có hệ số góc k có phƣơng trình: y  kx  m  x d tiếp xúc với đồ thị(C)Hệ phƣơng trình:  Thế (2) vào (1) đƣợc: 4x  2x  k  x  x   (4 x  x) x  m  3x  x 1 m (3) g ( x) Từ điểm A(0;m) kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C)  Phƣơng trình (3) có nghiệm phân biệt  Đƣờng thẳng y = -m cắt đồ thị hàm số y  g ( x) điểm phân biệt .Lập bảng biến thiên hàm số y  g ( x) : g '( x)  12 x3  x  x(6 x2 1) x   g '( x)      Từ bảng biến thiên suy ra: Đƣờng thẳng y = -m cắt đồ thị hàm số y  g ( x) điểm phân biệt. m 1  m 1 Vậy có điểm A(0;1) thỏa mãn 128 Ví dụ 4:Cho đồ thị (C): y  x  x 1 Tìm trục tung điểm mà từ đó: x 1 a) Kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) b) Kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) (!) Lời giải: Gọi A(0;m)  Oy Đƣờng thẳng d qua A(0;m), có hệ số góc k có phƣơng trình là: y  kx  m Ta có: y  d tiếp xúc với đồ thị (C)  Hệ phƣơng trình sau có nghiệm:   2x   (I)   2    Thế (2) vào (1) ta đƣợc: 2x    2x   ( x  1)  2( x  1) 2 x  m( x 1)2 (điều kiện x ≠ -1)  ( m  1)x  (2m  2)x  m   (3) a) Từ điểm A(0;m) kẻ đƣợc điểm tiếp tuyến đến đồ thị (C)  Phƣơng trình (3) có nghiệm x ≠ -1 Có trƣờng hợp sau: + Trƣờng hợp 1: m = (3)  4 x    x  + 1 m = -1 thỏa mãn Trƣờng hợp 2: m ≠ -1 phƣơng trình (3) có nghiệm kép khác -1  m 1    '   2m   m =  + m 1 Trƣờng hợp 3: m ≠ -1 phƣơng trình (3) có nghiệm phân biệt m 1    Vậy điểm A(0;m) với m 1  thỏa mãn 129 b) Từ điểm A(0;m) kẻ đƣợc tiếp tuyến đến (C)  Phƣơng trình (3) có nghiệm phân biệt khác -1 m      '   m   g( 1)    Vậy điểm A(0;m) với m < m ≠ -1 thỏa mãn Chú ý: Ở trên, từ hệ (I) ta biến đổi để dẫn đến phƣơng trình (3) phƣơng trình bậc hai ẩn x, phụ thuộc vào tham số m Từ mà tìm m thỏa mãn u cầu tốn Ở ta cịn có cách biến đổi khác để từ hệ (I) suy đƣợc số phƣơng trình bậc hai ẩn k phụ thuộc vào tham số m (k hệ số góc tiếp tuyến d) Từ ta tìm đƣợc m thỏa mãn yêu cầu toán Về kĩ thuật biến đổi cụ thể nhƣ sau: Cách (Đƣa phƣơng trình ẩn k) y (C): d tiếp xúc với đồ thị (C)  Hệ sau có nghiệm: (I)  Ta có: (2) Lấy (1) trừ cho (3) ta đƣợc: 3  Do đó:  130 Nhƣ ta thu đƣợc phƣơng trình (1) phƣơng trình bậc hai ẩn k với điều kiện k ≠ 2, từ tùy theo u cầu tốn mà ta đƣa điều kiện phƣơng trình (4) Chú ý: Kĩ thuật biến đổi có hiệu để giải tốn tìm điều kiện để từ điểm kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị hàm số tiếp tuyến vng góc với tạo với góc cho trƣớc Chẳng hạn nhƣ: Ví dụ (ĐH KT,98) Cho đồ thị (C): y  x  x 1 x 1 Tìm trục tung điểm mà từ kẻ đƣợc điểm tiếp tuyến đến đồ thị (C) tiếp tuyến vng góc với (!) Nhận xét: Đây đề ví dụ thay đổi u cầu tốn Làm tƣơng tự nhƣ đến thu đƣợc phƣơng trình (4) với điều kiện k ≠ 2: k    (k )  k  2(m  1)k  ( m  3)2  16  (4) Từ điểm A(0;m) kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) tiếp tuyến vng góc với  Phƣơng trình (4) có nghiệm phân biệt k1, k2 khác thỏa mãn k1.k2 = -1  P    (2)  m  Vậy có điểm thỏa mãn là: A1(0;3  15) A2 (0; 3  15) xm Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đƣợc tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (Cm) cho ABC (B, C tiếp điểm) (!) Lời giải: Đƣờng thẳng d qua A(1;2) có hệ số góc k có phƣơng trình:  k ( x  1)  y Ta có:   1  d tiếp xúc với đồ thị (Cm)  Hệ (I)     131 ... ? ?Vận dụng phương pháp phát giải vấn đề dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông? ?? 2 Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề vào dạy học số chủ đề khảo sát. .. cho dạy học nội dung khảo sát hàm số lớp 12 nhƣ nào? Thầy cô biết phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề? Các thầy có thƣờng xun sử dụng phƣơng pháp phát giải vấn đề dạy học khảo sát hàm số lớp 12. .. chƣơng trình dạy học khảo sát hàm số thực trạng dạy học nội dung trƣờng phổ thông - Đề xuất phƣơng án dạy học số chủ đề khảo sát hàm số theo phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề nhằm phát huy tính