Dạy học hệ phương trình vô tỉ ở trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC - NGUYỄN KIỀU DUNG DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC - NGUYỄN KIỀU DUNG DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội 2015 i LỜI CẢM ƠN Lời Luận văn này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tình giảng dạy, hết lịng giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu - ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tận tình bảo tác giả trình nghiên cứu, thực đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo dạy Tốn em học sinh Trƣờng THPT Lê Lợi, Hà Đông, Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình thực thực nghiệm sƣ phạm góp phần hồn thành Luận văn Xin chân thành cảm ơn tới gia đình, quan tâm giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, tạo điều kiện thuận lợi, tiếp sức để hoàn thành Luận văn Do khả thời gian có hạn cố gắng nhiều song Luận văn chắn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong tiếp tục nhận đƣợc dẫn, góp ý nhà khoa học, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Kiều Dung ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ B1 Bƣớc ĐB Đồng biến ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh KT Kiểm tra NB Nghịch biến Nxb Nhà xuất SGK THPT Sách giáo khoa TN Trung học phổ thông Vn Thực nghiệm Vô nghiệm iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii MỤC LỤC iii DANH MỤC BẢNG BIỂU vii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Khách thể đối tƣợng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn 1.1.1 Khái niệm phƣơng pháp dạy học 1.1.2 Tổng thể phƣơng pháp dạy học 1.1.2.1 Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện chức điều chỉnh trình dạy học 1.1.2.2 Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện đƣờng nhận thức 1.1.2.3 Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện hình thức hoạt động bên ngồi thầy trị 1.1.2.4 Phƣơng pháp dạy học theo mức độ tìm tịi, khám phá 1.1.2.5 Phƣơng pháp dạy học theo hình thức tổ chức dạy học 1.1.2.6 Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện phƣơng tiện dạy học .5 1.1.2.7 Phƣơng pháp dạy học theo hình thức tự học 1.1.2.8 Phƣơng pháp dạy học tình dạy học điển hình iv 1.1.3 Những phƣơng pháp dạy học vận dụng vào trình dạy học mơn Tốn 1.1.3.1 Phƣơng pháp dạy học truyền thống 1.1.3.2 Phƣơng pháp dạy học đại 1.1.4 Dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ Trung học phổ thơng 1.2 Một số vấn đề phƣơng trình vơ tỉ hệ phƣơng trình vơ tỉ 10 1.2.1 Một số vấn đề phƣơng trình vơ tỉ 10 1.2.2 Một số vấn đề hệ phƣơng trình vơ tỉ 10 1.3 Một số vấn đề hàm số 11 1.3.1 Định nghĩa hàm số Cách cho hàm số 11 1.3.2 Định nghĩa hàm số đơn điệu 11 1.3.3 Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu tập xác định 12 1.3.4 Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên hàm số 12 1.2.5 Các tính chất hàm đơn điệu 12 1.4 Một số bất đẳng thức 13 1.4.1 Bất đẳng thức AM-GM 13 1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy 13 KẾT LUẬN CHƢƠNG 14 CHƢƠNG THỰC TRẠNG VIỆC DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 15 2.1 Hệ phƣơng trình vơ tỉ chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng 15 2.1.1 Hệ phƣơng trình vơ tỉ chƣơng trình sách giáo khoa mơn Tốn trung học phổ thơng 15 2.1.2 Hệ phƣơng trình vơ tỉ đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học .16 2.2 Thực trạng việc dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ số trƣờng Trung học phổ thông 20 2.2.1 Thực trạng việc dạy hệ phƣơng trình vơ tỉ giáo viên số trƣờng trung học phổ thông 20 2.2.2 Thực trạng việc học hệ phƣơng trình vơ tỉ học sinh số trƣờng trung học phổ thông 24 KẾT LUẬN CHƢƠNG 32 CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP 34 v GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 34 3.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 34 3.1.1 Phép biến đổi hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng 34 3.1.2 Các ví dụ 34 3.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 39 3.2.1 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 39 3.2.2 Các ví dụ 39 3.3 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 45 3.3.1 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 45 3.3.2 Các ví dụ 48 3.4 Phƣơng pháp tọa độ hóa 55 3.4.1 Phƣơng pháp tọa độ hóa 55 3.4.2 Các ví dụ 57 3.5 Phƣơng pháp liên hợp 62 3.5.1 Phƣơng pháp liên hợp 62 3.5.2 Các ví dụ 62 3.6 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 65 3.6.1 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 65 3.6.2 Các ví dụ 66 3.7 Phƣơng pháp đánh giá 71 3.7.1 Phƣơng pháp đánh giá 71 3.7.2 Các ví dụ 72 3.8 Thiết kế số giáo án dạy học nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ trung học phổ thông 77 3.8.1 Giáo án “phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số giải hệ phƣơng trình vơ tỉ” 77 3.8.2 Giáo án “phƣơng pháp tọa hóa giải hệ phƣơng trình vơ tỉ” 85 KẾT LUẬN CHƢƠNG III 94 CHƢƠNG IV THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 95 4.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 95 4.1.1 Mục đích thực nghiệm 95 vi 4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 95 4.2 Nội dung thực nghiệm 95 4.3 Phƣơng pháp thực nghiệm 96 4.4 Tổ chức thực nghiệm 96 4.4.1.Đối tƣợng thực nghiệm 96 4.4.2 Kế hoạch thực nghiệm 96 4.4.3 Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm 96 4.5 Kết thực nghiệm sƣ phạm 100 4.5.1 Kết thực nghiệm sƣ phạm 100 4.5.2 Xử lý kết thực nghiệm sƣ phạm 101 4.5.3 Phân tích kết thực nghiệm sƣ phạm 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 vii DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1 Tần suất dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ giáo viên 21 Bảng 2.2 Đối tƣợng học sinh đƣợc giáo viên lựa chọn để dạy nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ 22 Bảng 2.3 Thông kê thời điểm học sinh bắt đầu đƣợc biết đến nội dung hệ phƣơng trình vô tỉ 27 Bảng 2.4 Bảng thống kê lớp trung học phổ thông mà học sinh đƣợc học nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ 28 Bảng 3.1 Một số biểu thức thƣờng đƣa dạng lƣợng giác 46 Bảng 4.1 Kết kiểm tra 98 Bảng 4.2 Bảng tổng hợp giá trị đặc trƣng trƣờng THPT Lê Lợi (bài kiểm tra số 1) 99 Bảng 4.3 Bảng tổng hợp giá trị đặc trƣng trƣờng THPT Lê Lợi (bài kiểm tra số 2) 100 viii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn học đƣợc ƣu tiên trọng phát triển hàng đầu giáo dục Bởi ứng dụng thiết thực sống hay mang vai trị cơng cụ khơng thể thiếu cho nhiều mơn học khác Tốn học cịn mơn học giúp rèn khả tƣ cho học sinh Với khối lƣợng lớn kiến thức tính logic, chặt chẽ nội dung mà q trình học tập mơn Tốn, học sinh phải khơng ngừng lỗ lực tìm tịi, vận dụng liên kết nội dung kiến thức, từ giúp cho tƣ em trở nên nhanh nhạy, kích thích sáng tạo Tuy nhiên khơng phải học sinh thực yêu thích học tốt môn học này, nhiệm vụ ngƣời giáo viên mơn Tốn quan trọng Ngồi việc giảng dạy, định hƣớng cho em tiếp cận nội dung kiến thức việc cung cấp cho em hệ thống tập liên quan để em thực hành giải cần thiết Bởi có hệ thống tập đa dạng phù hợp, em tự củng cố khắc sâu kiến thức, từ thành công ban đầu giải đƣợc toán đơn giản, em hứng thú hơn, có động lực để tìm tịi giải phức tạp hơn, tự nâng cao vốn tri thức Hệ phƣơng trình vơ tỉ phần kiến thức Toán vốn phong phú đa dạng hệ thống dạng tập Đây nội dung đƣợc lồng ghép xuyên suốt cấp học thƣờng xuyên có mặt đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kì thi học sinh giỏi…, vậy, hệ phƣơng trình ln thu hút đƣợc quan tâm thầy cô nhƣ học sinh, có nhiều sách báo viết đề tài Tuy nhiên việc dạy học nội dung cho học sinh gặp phải nhiều khó khăn Là giáo viên mơn Tốn, tơi ln muốn tìm hiểu khó khăn mà giáo viên học sinh thƣờng gặp phải dạy học mơn Tốn nói chung chủ đề hệ phƣơng trình vơ tỉ nói riêng , đồng thời tìm giải pháp giúp giáo viên học sinh dạy học đạt hiệu nội dung Vì tơi 97  ( x  y )( x  y )  ( x  y)   ( x  y )( x  y  1)   x  y   (do x  y  0)  x  y 1 Thay x  y 1 vào phƣơng trình (2) ta đƣợc: (2 y  1) y  y y  2(2 y  1)  y  ( y  1)( y  2)   y  (do y  0)  x  Vậy nghiệm hệ phƣơng trình (5;2) Điều kiện: x  0; y 3  Phương trình hệ cho tương đương với: x  xy  y    xy  y     xy  y  x  xy  0 Phương trình hai viết lại thành: x  x  y   0,5đ  x  y    x  y   x  y  xy32   Kết hợp hai điều suy phƣơng trình Bài kiểm tra số Kiểm tra (bài số 2) Thời gian: 45 phút Câu (6 điểm) 98 Giải hệ phương trình: Câu (4 điểm) Hãy tự sáng tạo hệ phương trình vơ tỉ giải hệ phương trình Đáp án thang điểm đề kiểm tra số Câu Điều kiện Phƣơng t  a2      a  b   x y x y y  x  x  y Với x  y  x 1 xuống phƣơng trình hai ta đƣợc: 99 2(1  x ) x  x   x  x     ( x  x  5)(2 x  x  x  1)   x  y  1 Trong bảng chƣơng 4, từ viết tắt : TN (thực nghiệm), ĐC (đối chứng), THPT (trung học phổ thông), GV (giáo viên), HS (học sinh), KT (kiểm tra) Trƣờng THPT THPT Lê Lợi 4.5 Kết thực nghiệm sƣ phạm 4.5.1 Kết thực nghiệm sư phạm Bảng 4.1 Kết kiểm tra Bài KT Bài Bài 100 TN 4.5.2 Xử lý kết thực nghiệm sư phạm Để có nhận xét xác, kết thực nghiệm sƣ phạm đƣợc xử lí theo phƣơng pháp thống kê tốn học, chúng tơi tiến hành theo bƣớc sau: +) Xử lí số liệu phần mềm Excel +) Tính giá trị đặc trƣng thống kê Điểm trung bình cộng X Phƣơng sai S độ lệch chuẩn S : tham số đo mức độ phân tán số liệu quanh giá trị trung bình cộng  n X i S2  i  n 1 Hệ số biến thiên V: dùng để đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê S V  X 100% Mode giá trị có tần suất xuất nhiều dãy điểm số Trung vị (Median) điểm nằm vị trí dãy điểm số xếp theo thứ tự Bảng 4.2 Bảng tổng hợp giá trị đặc trƣng trƣờng THPT Lê Lợi (Bài kiểm tra số 1) Đối Sĩ tƣợng số 101 ĐC TN Bảng 4.3 Bảng tổng hợp giá trị đặc trƣng trƣờng Đối tƣợng ĐC TN 4.5.3 Phân tích kết thực nghiệm sư phạm 4.5.3.1 Phân tích kết thực nghiệm sư phạm mặt định lượng Dựa vào bảng tổng hợp thơng số tính tốn trên, rút đƣợc nhận xét sau: +) Điểm trung bình cộng học sinh lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng Điều chứng tỏ học sinh lớp thực nghiệm nắm vững vận dụng kiến thức, kĩ tốt học sinh lớp đối chứng +) Độ lệch chuẩn lớp thực nghiệm nhỏ lớp đối chứng chứng tỏ số liệu lớp thực nghiệm phân tán so với lớp đối chứng +) Hệ số biến thiên V lớp thực nghiệm nhỏ lớp đối chứng chứng minh độ phân tán quanh giá trị trung bình cộng lớp thực nghiệm nhỏ hơn, tức chất lƣợng lớp thực nghiệm đồng lớp đối chứng +) Số học sinh đạt loại yếu lớp thực nghiệm giảm so với lớp đối chứng Ngƣợc lại, số học sinh đạt loại giỏi lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng Số học sinh rõ rệt kiểm tra sau em làm quen đƣợc với cách học qua kiểm tra trƣớc 102 4.5.3.2 Phân tích kết thực nghiệm sư phạm mặt định tính Ở lớp thực nghiệm: +) Đa số học sinh nắm đƣợc nội dung học tƣơng đối đầy đủ, xác thể việc nắm đƣợc trọng tâm, nội dung học +) Trong làm em thể việc nắm vững mối liên hệ bên vật tƣợng nghiên cứu Khả phân tích, tổng hợp, khái qt hóa kiến thức đƣợc nâng lên (qua tìm hiểu, điều tra thể kết thực nghiệm) +) Các em có khả vận dụng kiến thức học vào tình cụ thể q trình học tập +) Các em tích cực tham gia phát biểu ý kiến, khơng khí học tập vui vẻ, sôi nổi, chủ động Ở lớp đối chứng: +) Các em dừng lại mức độ ghi nhớ, tái nội dung học tập, trình bày nhƣ lời giảng giáo viên sách giáo khoa +) Các nội dung kiến thức quan trọng, chất chƣa nêu đƣợc nêu thiếu xác chƣa thiết lập đƣợc mối liên quan nội dung học +) Việc xử lí tình cịn hạn chế, vận dụng kiến thức chƣa linh hoạt 103 KẾT LUẬN CHƢƠNG Ở chƣơng tơi trình bày mục đích, nhiệm vụ, nội dung trình thực nghiệm sƣ phạm để từ đánh giá tính hiệu tính khả thi đề tài Quá trình thực nghiệm sƣ phạm bao gồm: Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm lớp 12A5, 12A8 hai trƣờng THPT Lê Lợi – Hà Đông Sử dụng giáo án kiểm tra để phục vụ cho thực nghiệm, đánh giá thực nghiệm Sử dụng kiến thức toán học thống kê để xử lý kết thực nghiệm Phân tích đánh giá kết thực nghiệm Từ đánh giá chất lƣợng học tập lớp thực nghiệm đối chứng Qua q trình thực nghiệm đề tài chúng tơi có số kết luận sau: - Việc cung cấp cho hệ thống phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ dạy cho học sinh chủ động tìm lời giải toán việc tự sáng tác đề tốn có bƣớc đầu đạt đƣợc hiệu Kết kiểm tra lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng - Điều quan trọng hình thành cho học sinh lớp thực nghiệm phƣơng pháp học tập nhƣ biết hợp tác học tập, tự học tìm kiếm kiến thức trình học tập Học sinh tự tin trình bày quan điểm trƣớc tập thể qua giáo viên dễ dàng nắm bắt đƣợc thông tin phản hồi từ phía học sinh giảng 104 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ - Kết luận Trong luận văn với đề tài “ Dạy học hệ phƣơng trình vô tỉ trung học phổ thông” , thực đƣợc điều sau: Một là, tìm hiểu đƣợc thực trạng việc dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ trung học phổ thông qua nghiên cứu số trƣờng trung học phổ thông địa bàn thành phố Hà Nội, thấy đƣợc thuận lợi khó khăn dạy học nội dung Hai là, đề xuất đƣợc biện pháp giải khó khăn xây dựng hệ thống phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ nội dung kiến thức liên quan, tài liệu cho giáo viên tham khảo, tài liệu hỗ trợ em học sinh tự học nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ, bên cạnh đó, xây dựng đƣợc số giáo án dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ để giáo viên tham khảo Nhƣ vậy, nói mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu luận văn hoàn thành Tác giả mong muốn nội dung luận văn tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm nghành Toán Tuy nhiên, q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy, cô bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hồn thiện - Khuyến nghị Vì nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ khơng có chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng nên khơng có phân phối thời gian giành cho nội dung tiết học khóa, mà giáo viên phải đan xen nội dung nội dung kiến thức liên quan, chủ động sƣu tầm đề phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ hệ thống phƣơng pháp thêm đa dạng hơn, đặc biệt để học tập tốt nội dung phải dựa vào em học sinh, em phải ln chủ động, tìm tịi lĩnh hội kiến thức, có nhƣ việc dạy học nội dung có đƣợc hiệu cao 105 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cƣờng – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2015), Đại số 10, Nxb Giáo dục Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học Sƣ phạm Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức Định lý áp dụng, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phƣơng Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008), Đại số giải tích nâng cao 12, Nxb Giáo dục 107 ... VIỆC DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 2.1 Hệ phƣơng trình vơ tỉ chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng 2.1.1 Hệ phương trình vơ tỉ chương trình sách giáo khoa mơn Tốn trung học phổ. .. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 15 2.1 Hệ phƣơng trình vơ tỉ chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng 15 2.1.1 Hệ phƣơng trình vơ tỉ chƣơng trình sách giáo... tỉ trung học phổ thông? ?? tiến hành nghiên cứu đƣa đƣợc kết sau: - Việc dạy học chủ đề hệ phƣơng trình vơ tỉ giáo viên học sinh trung học phổ thông - Hệ thống phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vô