Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành: Toán học , Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ THỊ NGỌC HÀ TS TRẦN THỊ LOAN Hà Nội - 2020 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Không gian nội suy, định lý nội suy 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Không gian nội suy phức 1.1.3 Không gian nội suy thực 10 Nửa nhóm 13 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.2.2 Nửa nhóm giải tích 14 1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic 15 Một số không gian hàm 16 1.3.1 Không gian Lorentz 16 1.3.2 Không gian Besov 18 1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn 18 Chương NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 20 TRONG KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa tuyến tính 2.2 Nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 21 tính ổn định nghiệm 25 2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25 2.2.2 Phương trình tổng qt hóa động lực học thủy khí i 31 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN VÀ HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA 36 3.1 Nghiệm tuần hồn 36 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 37 3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40 Nghiệm hầu tuần hoàn 42 3.2 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 4.2 47 Ứng dụng vào phương trình động lực học thủy khí 47 4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen 47 4.1.2 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng 52 4.1.3 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov 55 Ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thô 57 4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck 57 4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô 62 4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic 63 4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng 68 KẾT LUẬN 72 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 ii LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân tác giả Các kết nghiên cứu kết luận luận án trung thực, không chép từ nguồn hình thức Việc tham khảo nguồn tài liệu thực trích dẫn ghi nguồn tài liệu tham khảo quy định Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020 Tập thể hướng dẫn TS Vũ Thị Ngọc Hà Tác giả TS Trần Thị Loan Vũ Thị Mai LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Vũ Thị Ngọc Hà, TS Trần Thị Loan, hai tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu khoa học Các cô bảo suốt q trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị, ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, nhà khoa học, người thầy vô mẫu mực, tận tình giúp đỡ tơi, cho tơi ý kiến đóng góp q báu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Xin chân thành cảm ơn thành viên nhóm seminar “Phương trình vi phân ứng dụng” trường ĐH Bách khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành bên cạnh động viên giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tôi xin chân thành cảm ơn Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Toán KHTN Trường Đại học Hải Phòng tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương Z : tập số nguyên C : tập số phức 1/p Lp (R) := u:R→R u p p |u(x)| dx = < +∞ , ≤ p < ∞ R L∞ (R) := u : R → R u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞ x∈R X, Y L(X, Y ) L(X) Cb (R+ , X) : không gian Banach : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y : không gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào := v : R+ → X | v liên tục sup v(t) < ∞ , t∈R+ với chuẩn v Cb (R, X) Cb (R+ ,X) := sup v(t) t∈R+ := v : R → X | v liên tục sup v(t) < ∞ t∈R với chuẩn v A (e−tA )t≥0 Cb (R,X) := sup v(t) t∈R : tốn tử tuyến tính : nửa nhóm sinh toán tử −A MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Bài tốn hệ phương trình Navier - Stokes đưa từ năm 1882, mơ tả hình dạng sóng, chuyển động đại dương, hình thành bão, chuyển động khơng khí, Bên cạnh hệ phương trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác học chất lỏng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu ý nghĩa mặt toán học tầm quan trọng chúng thách thức khó khăn nghiên cứu Xét phương trình dạng trừu tượng khơng gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần toán học khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy, định lý nội suy, để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Bài tốn tìm nghiệm bị chặn phương trình Navier-Stokes miền Ω không bị chặn hướng Maremonti [1] phát biểu dạng sau: Bài toán A: “Ký hiệu f (t, x) ngoại lực u(t, x) nghiệm phương trình Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X Y hai không gian Banach với chuẩn · X · Y tương ứng Nếu f (t, ·) ∈ X với f (t, ·) bị chặn theo thời gian, u(t, ·) ∈ Y với u(t, ·) Y X bị chặn theo thời gian.” Trong trường hợp, Ω bị chặn (theo hướng đó), cách sử dụng bất đẳng thức Poincaré số định lý nhúng Sobolev compact, người ta dễ dàng giải tốn A Khi miền khơng bị chặn theo hướng tốn trở nên phức tạp nhiều bất đẳng thức Poincaré khơng cịn định lý nhúng compact không khả dụng Vì thế, có nhiều cách tiếp cận đưa để vượt qua khó khăn Như số đường hướng Maremonti [1, 2] Maremonti-Padula [3], Galdi Sohr [4], Yamazaki [5], Thieu Huy Nguyen [6] Bài tốn tìm nghiệm bị chặn miền không bị chặn chứng minh ổn định nghiệm toán thời mang đến nhiều ứng dụng vấn đề luồng thủy khí qua vật cản đứng yên hay quay tròn Tuabin hay cánh quạt Một số kết móng ban đầu đạt Thieu Huy Nguyen số tác giả khác (xem [4, 5, 6, 7, 8, 9]) Chúng phát triển hồn thiện kết tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hồn nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian nội suy để nhận kết tổng quát ứng dụng vào phương trình cụ thể động lực học thủy khí Luận án “Tính giới nội ổn định nghiệm phương trình tiến hóa động lực học thủy khí” Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chặn tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy Từ đó, áp dụng vào toán cụ thể động lực học thủy khí Chúng tơi tổng qt hóa cách tiếp cận Yamazaki Thieu Huy Nguyen, khai thác đặc trưng nội suy định lý nội suy không gian Ld -yếu để nghiệm bị chặn theo thời gian phương trình tiến hóa Cùng với kết hợp phương pháp toán học đại ưa chuộng giới lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm tử nội suy, vv Cụ thể sau: Xây dựng hệ điều kiện cho cặp không gian Banach Y1 , Y2 , không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ với tốn tử sinh nửa nhóm để rút nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa dạng: du(t) + Au(t) = B(G(u)), t ≥ (1) dt không gian (Y1 , Y2 )θ,∞ , −A tốn tử sinh nửa nhóm; B “tốn tử liên kết”; G toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu Luận án: Xây dựng hệ điều kiện cho cặp không gian Banach Y1 , Y2 , không gian nội suy (Y1 , Y2 )θ,∞ với toán tử sinh nửa nhóm để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa (1) khơng gian (Y1 , Y2 )θ,∞ Sau nghiệm bị chặn ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức dạng Lp − Lq chứng minh tồn nghiệm tuần hồn hay hầu tuần hồn • Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Nghiên cứu tổng qt hóa tính chất phương trình cụ thể động học thủy khí để đề xuất phương trình tiến hóa tổng qt chứa phương trình cụ thể trường hợp riêng Xây dựng hệ điều kiện cho không gian Banach Y1 ,Y2 lớp không gian nội suy chúng để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa Dưới điều kiện hệ tiên đề xây dựng, chứng minh nghiệm bị chặn ổn định Xét số lớp phương trình tiến hóa mơ hình q trình xảy tốn học thủy khí: phương trình NavierStokes qua vật cản xoay, qua miền có lỗ thủng, phương trình Navier - Stokes khơng gian Besov Đồng thời xét số ví dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck phương trình truyền nhiệt với hệ số thô Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp sau: • Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính đánh giá Lp − Lq để đưa đặc trưng nội suy lớp hàm đối ngẫu đặc biệt (do bị chặn R) uˆ vˆ ta nhận sử dụng dạng cho nghiệm bị chặn (4.39) mà uˆ(t) − vˆ(t) = T (t)(u0 − v0 ) ≤ M e−νt (u0 − v0 ) → t → ∞ với u0 , v0 ∈ P X Từ điều với tính ổn định suy uˆ(t) = vˆ(t) với t ≥ (b) Từ (a), với hàm đầu vào T -tuần hoàn f , phương trình (3.2) có nghiệm T -tuần hồn uˆ thỏa mãn bất đẳng thức (4.43) Vì khẳng định (b) suy từ Định lý 3.1.4 Kí hiệu Br (x), (Br (v)) hình cầu Y, (Cb (R+ , Y )) tâm x, (hoặc tâm v) với bán kính r Định lý sau điều kiện ổn định nghiệm tuần hồn phương trình (3.9) Định lý 4.3.5 Cho giả thiết Định lý 4.3.4 thỏa mãn Giả sử uˆ nghiệm tuần hồn phương trình (3.9) thu khẳng định (b) Định lý 4.3.4 Cho Bρ (0) hình cầu chứa uˆ khẳng định (b) Định lý 4.3.4 Giả sử tồn số dương L1 cho g(v1 − g(v2 ) Cb ≤ L1 v1 − v2 Cb với v1 , v2 ∈ B2ρ (0) Khi đó, L1 đủ nhỏ, ρ (P u tương ứng với v0 ∈ B 2M ˆ(0)) ∩ P X có nghiệm u(t) phương trình (3.9) R+ thỏa mãn điều kiện P u = v0 u ∈ Bρ (ˆ u) Hơn nữa, nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo nghĩa sau: với nghiệm u(t) có đánh giá u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P u(0) − P uˆ(0) , với t ≥ (4.44) với số dương C µ độc lập với u uˆ ρ (P u Chứng minh Cho v0 ∈ B 2M ˆ(0)) ∩ P Y , ta chứng minh hàm biến đổi F cho ∞ (F w)(t) = T (t)v0 + G(t − τ )g(w)(τ )dτ với t ≥ 0 ánh xạ từ Bρ (ˆ u) vào Bρ (ˆ u) ánh xạ co Thật vậy, với w(·) ∈ Bρ (ˆ u) ta có w Cb ≤ w − uˆ Cb 66 + uˆ Cb ≤ 2ρ (4.45) g(w) − g(ˆ u) Cb ≤ L1 w − uˆ Cb ≤ L1 ρ Do đó, ta đặt ∞ y(t) := (F w)(t) = T (t)v0 + G(t − τ )g(w)(τ )dτ với t ≥ 0 ta có ≤ M e−νt v0 − P (0)ˆ u(0) y(t) − uˆ(t) ∞ e−ν|t−τ | dτ g(w) − g(ˆ u) +(1 + P )M ≤ M v0 − P (0)ˆ u(0) + Cb 2(1 + P )M L1 ρ ν với t ≥ Vì thế, F (w) − uˆ Cb Vì v0 − P (0)ˆ u(0) ≤ ≤ M v0 − P (0)ˆ u(0) + ρ 2M 2(1 + P )M L1 ρ ν nên ta có L1 đủ nhỏ, phép biến đổi F từ Bρ (ˆ u) vào Bρ (ˆ u) Cho x, z ∈ Bρ (ˆ u) (tương tự (4.45) có x Cb , z Cb ≤ 2ρ) ta đánh giá ∞ (F x)(t) − (F z)(t) ≤ G(t − τ ) g(x)(τ ) − g(z)(τ ) dτ ∞ e−v|t−τ | dτ g(x) − g(z) ≤ (1 + P )M Cb với t ≥ 0 Vì thế, Fx − Fz Vì 2(1+ P )M L1 ν Cb ≤ 2(1 + P )M L1 x(·) − z(·) ν Cb < nên ta có F : Bρ (ˆ u) → Bρ (ˆ u) ánh xạ co Do tồn u ∈ Bρ (ˆ u) cho F u = u Bởi định nghĩa F ta có u nghiệm Bρ (ˆ u) phương trình (4.40) với t ≥ Bởi Bổ đề 4.3.2 Nhận xét 4.3.3 ta có u nghiệm Bρ (ˆ u) phương trình (3.9) Cuối ta chứng minh đánh giá (4.45) Giả sử u uˆ bị chặn R+ , ta sử dụng công thức (4.40) để viết ∞ u(t) − uˆ(t) = T (P u(0) − P uˆ(0)) + G(t − τ )(g(u)(τ ) − g(ˆ u)(τ )dτ 67 Vì u(t) − uˆ(t) ≤ M e−νt P u(0) − P uˆ(0) ∞ e−ν|t−τ | g(u)(τ ) − g(ˆ u)(τ ) dτ +(1 + P )M ≤ Me −νt P u(0) − P uˆ(0) ∞ e−ν|t−τ | u(τ ) − uˆ(τ ) dτ +(1 + P )M L1 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall với β := (1 + P )M L1 < ν ta có u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt P u(0) − P uˆ(0) với µ := ν − 2νβ, C := ν+ √2M2ν ν −2νβ Nhận xét 4.3.6 Định lý điều kiện ổn định nghiệm tuần ρ (P u hồn uˆ theo nghĩa có nghiệm u khác cho P u(0) ∈ B 2M ˆ(0))∩ P Y u hình cầu nhỏ Bρ (ˆ u) ta có u(t) − uˆ(t) → theo cấp mũ t → ∞ Hệ 4.3.7 Cho giả thiết Định lý 4.3.4 cho uˆ nghiệm tuần hồn phương trình (3.9) thu khẳng định (b) Định lý 4.3.4 Giả sử nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ Khi nghiệm tuần hồn uˆ ổn định mũ theo nghĩa có nghiệm khác u ∈ Cb (R+ , Y ) (3.9) cho u(0) − uˆ(0) đủ nhỏ ta có u(t) − uˆ(t) ≤ Ce−µt u(0) − uˆ(0) với t ≥ 0, (4.46) với số dương C µ độc lập với u uˆ Chứng minh Áp dụng Định lý 4.3.5 với P = Id, ta nhận kết 4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng Trong phần chúng tơi xét ứng dụng kết nhận Phần 3.1 Chương cho phương trình truyền sóng 68 Giả sử A toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải compact không gian Hilbert H r : D(A ) → H thuộc lớp C với r(0) = 0, r (0) = Ta xét phương trình truyền sóng    uă + u + Au + u = r(u) + f (t), t > 0, u(0) = u0 , t > 0,    u(0) ˙ = u1 ; u0 , u1 ∈ H, (4.47) α > 0, ω ∈ R số, f ∈ Cb (R+ , H) ngoại lực Để chuyển đổi phương trình sang dạng phương trình u (t) − Au(t) = u g(u)(t) ta đặt v = u˙ sử dụng biến U = không gian X = v D(A ) × H Khi ta nhận phương trình     ∂t U = AU + g(U ), u0  U (0) = ∈ X,   u1 t > 0, (4.48) ma trận A xác định A = D(A ) × H, g(U ) = −A − ω −α với miền Đã chứng minh ([38], trang r(u) + f (t) 4724) tốn tử A sinh C0 -nửa nhóm hyperbolic (etA )t≥0 −ω ∈ / σ(A) Hơn nữa, toán tử r C r(0) = r (0) = nên r Lipschitz địa phương với số Lipschitz nhỏ lân cận nhỏ Do tốn tử g thỏa mãn điều kiện (3.8) với Y = X, g(0) = f với số Lipschitz nhỏ bán kính ρ nhỏ Do áp dụng Định lý 4.3.4 4.3.5 ta nhận kết cho phương trình truyền sóng (4.47) Định lý 4.4.1 Cho A tốn tử tự liên hợp, xác định dương với giải thức compact không gian Hilbert H, α > ω ∈ R cho −ω ∈ / σ(A) Giả sử r : D(A ) → H thuộc lớp C với r(0) = r (0) = Cho f ∈ Cb (R+ , H) T -tuần hoàn Khi f Cb (R+ ,H) đủ nhỏ phương trình (4.47) có nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn uˆ lân cận nhỏ 69 Hơn nữa, nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo nghĩa Định lý 4.3.5 Ví dụ 4.4.2 Xét phương trình truyền sóng với ngoại lực phi tuyến ∂t2 u + α∂t u − ∆u = h(u) + f (t); t ∈ R+ , x ∈ Ω, (4.49) Ω miền bị chặn với biên thuộc lớp C Rn , n = 1, 2, 3, với điều kiện biên Dirichlet Neumann đồng nhất, α > số Số hạng phi tuyến h cho cho h lớp C với h(0) = Khi đó, đặt ω = −h (0) − 1, phương trình (4.49) tương đương với ∂t2 u + α∂t u + (I − ∆)u + ωu = h(u) − h (0)u + f (t); t ∈ R+ , x ∈ Ω Phương trình viết lại dạng ∂t2 u + α∂t u + Au + ωu = r(u) + f (t); t ∈ R+ , với A = I − ∆ r(u) := h(u) − h (0)u Sau với lựa chọn H := L2 (Ω), biết A = I − ∆ với miền D(A) = H01 (Ω) ∩ H (Ω) tự liên hợp, xác định dương có giải compact Hơn nữa, phép nhúng Sobolev, dễ dàng thấy toán tử r C ánh xạ từ D(A ) ⊂ H01 (Ω) vào H Vì áp dụng Định lý 4.3.5 4.4.1, với điều kiện −ω ∈ / σ(A), tức −h (0) ∈ / σ(∆), cho thấy với f T -tuần hoàn đủ nhỏ, phương trình sóng tắt dần (4.49) có nghiệm đủ tốt T -tuần hồn uˆ hình cầu nhỏ Cb (R+ , H) nghiệm tuần hoàn ổn định có điều kiện Ví dụ 4.4.3 Xét hệ thống dầm Timoshenko tắt dần với tải phi tuyến ∂t2 w + α∂t w − k∂x (ϕ + ∂x w)u = ∂w Ψ(w, ϕ) + f (t); t ∈ R+ , x ∈ [0, 1], ∂t2 ϕ + α∂t ϕ + k∂x (ϕ + ∂x w) − ∂x2 ϕ = ∂ϕ Ψ(w, ϕ); t ∈ R+ , x ∈ [0, 1], (4.50) với điều kiện biên w(t, 0) = ϕ(t, 0) = 0, ∂x w(t, l) + ϕ(t, l) = ∂x ϕ(t, l) = 70 Để biết chi tiết mơ hình hóa dẫn xuất vật lý dầm Timoshenko tắt dần, xem [25] Ở đây, số α, k, dương, Ψ : R2 → R lớp C với ∇Ψ(0) = Sau đó, chọn H = L2 (0, l)2 A= −κ∂x2 κ∂x −κ∂x κI − ∂x2 − ∇2 Ψ(0) − ω, trang bị điều kiện biên, r(u) = ∇Ψ(u) − ∇2 Ψ(0)u, u = (w, ϕ)T Sau giả thiết Định lý 4.3.5 4.4.1 đưa ra, với điều kiện −ω ≥ đủ lớn −ω ∈ / σ(A) Do áp dụng Định lý 4.3.5 4.4.1 ta nhận hàm T -tuần hoàn f ∈ Cb (R+ , H) với f Cb đủ nhỏ, hệ thống dầm Timoshenko tắt dần với tải phi tuyến có nghiệm đủ tốt T -tuần hồn uˆ hình cầu nhỏ Cb (R+ , H) nghiệm tuần hồn ổn định có điều kiện Kết luận Chương Trong chương này, áp dụng kết đạt Chương để ứng dụng vào phương trình Ornstein - Uhlenbeck phương trình nhiệt với hệ số thơ Các kết đạt Chương 2, ứng dụng vào phương trình: phương trình Navier-Stokes-Oseen (Định lý 4.1.2), phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng (Định lý 4.1.4), phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov (Định lý 4.1.7) Trong phần 3.1 Chương 3, với nửa nhóm (T (t))t≥0 ϕ-ổn định có điều kiện, chúng tơi áp dụng cho nửa nhóm hyperbolic phương trình truyền sóng Kết đạt tồn tại, tính ổn định nghiệm bị chặn, điều kiện ổn định nghiệm tuần hoàn phương trình Kết chương dựa vào báo [1], [2], [3] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 71 KẾT LUẬN Luận án sử dụng tính chất trơn nửa nhóm, tính Lipschitz g sử dụng định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử Stokes kết hợp với đánh giá đối ngẫu nguyên lý ánh xạ co, chứng minh tồn tại, tính tính ổn định nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa Luận án sử dụng tính bị chặn điều kiện ϕ-ổn định nửa nhóm tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đưa nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa Đưa ứng dụng vào phương trình cụ thể minh họa cho phần lý thuyết trình bày Những kết luận án đạt là: • Chứng minh tồn nhất, tính bị chặn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa ut + Au = Bg(t, u) u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ , ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t)) u|t=0 = u0 ∈ (Y1 , Y2 )θ,∞ Kết áp dụng cho phương trình cụ thể phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ • Chỉ tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa với tính bị chặn ϕ-ổn định có điều kiện nửa nhóm (T (t))t≥0 u − Au = f (t), = u0 ∈ Y, u(0) u (t) = Au(t) + g(u)(t), u(0) = u0 ∈ X 72 Chúng áp dụng kết trừu tượng cho nửa nhóm hyperbolic phương trình truyền sóng • Chứng minh tồn ổn định nghiệm hầu tuần hồn bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)), t ∈ R • Các kết áp dụng cho phương trình Navier-StokesOseen, phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng, phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tuần hồn phương trình Navier - Stokes đa tạp khơng compact 73 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Thieu Huy Nguyen, Viet Duoc Trinh, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Mai Vu, 2017, “Boundedness, Almost Periodicity and Stability of Certain Navier-Stokes Flows in Unbounded Domains,” Journal of Differential Equations, Vol.263, 8979-9002 Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Mai Vu, 2020, “Parabolic Evolution Equations in Interpolation Spaces: Boundedness, Stability, and Applications, Zeitschrift fă uer Angewandte Mathematik und Physik, 71:39, 1-17 Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Mai Vu,“Conditional Stability of Semigroup and Periodic Solutions to Evolution Equations,” (submitted) 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Maremonti, “Existence and stability of time-periodic solutions to the Navier-Stokes Equations in the whole space,” Nonlinearity, 4, 503529, 1991 [2] P Maremonti, “Some theorems of existence for solutions of the NavierStokes equations with slip boundary conditions in half-space,” Ric Mat., 40, 81-135, 1991 [3] P Maremonti and M Padula, “Existence, uniqueness, and attainability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains,” J Math Sci., 93, 719-746, 1999 [4] G P Galdi, H Sohr, “Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier-Stokes flow past a body,” Arch Ration Mech Anal., 172, 363-406, 2004 [5] M Yamazaki, “The Navier-Stokes equations in the weak-Ln space with time-dependent external force,” Math Ann., 317, 635-675, 2000 [6] T.H.Nguyen, “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle,” Arch Ration Mech Anal., 213, 689-703, 2014 [7] M.Geissert, M.Hieber, T.H.Nguyen, “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems,” Arch Ration Mech Anal., 220, 1095-1118, 2016 [8] Y.Giga, “Solutions for semilinear parabolic equations in Lp and regularity of weak solutions of the Navier-Stokes system,” J Differential Equations, 61, 186-212, 1986 75 [9] T.H.Nguyen, “Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations,” J Differential Equations, 246, 1820-1844, 2009 [10] A.Lunardi, “Interpolation Theory,” Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) Edizioni della Normale, Pisa, 2009 [11] J.Bergh, J.Lăofstrăom, Interpolation Spaces, Springer, Berlin- Heidelberg-NewYork, 1976 [12] H.Triebel, “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators,” Oxford, New York, 1978 [13] W.Arendt, C.J.K.Batty, M.Hieber and F.Neubrander, "Vector-Valued Laplace Transform and Cauchy Problems, Monographs in Mathematics, 96, Birkhă auser, Basel, 2001 [14] K.J.Engel, R.Nagel, “One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations,” Graduate Text Math., 194, Springer, Berlin, 2000 [15] H.Komatsu, “A general interpolation theorem of Marcinkiewicz type,” Tôhoku Math J., 33 (2), 383-393, 1981 [16] W.Borchers and T.Miyakawa, “On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows,” Acta Math., 174, 311-382, 1995 [17] M.Geissert, H.Heck, M.Hieber, “I Wood, The Ornstein-Uhlenbeck semigroup in exterior domains,” Arch Math, 85, 554-562, 2005 [18] H.Bahouri, J.-Y Chemin, R Danchin, “Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations," Springer, Berlin, 2011 [19] B.M.Levitan, V.V.Zhikov, “Almost Periodic Funtions and Differential Equations,” Cambridge, 1982 [20] J Massera, “The existence of periodic solutions of systems of differential equations,” Duke Math J., 17, 457-475, 1950 76 [21] J.Pră uss, Periodic solutions of semilinear evolution equations,” Nonlinear Anal., 3, 601-612, 1979 [22] T.Yoshizawa, “Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions,” Applied Mathematical Sciences,14.Springer, NewYork, 1975 [23] T.Burton, “Lp − Lq Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations,” Academic Press, Orlando, Florida, 1985 [24] J.H.Liu, G.M.N’Guerekata, Nguyen Van Minh, “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations, World Scientific Publishing, Singapore, 2008 [25] J.Pră uss, “Periodic solutions of the thermostat problem,” Differential Equations in Banach spaces, Spinger, Berlin, 1986 [26] J Serrin, “A note on the existence of periodic solutions of the NavierStokes equations,” Arch Rational Mech Anal., 3, 120-122, 1959 [27] Y Shibita, “On a C semigroup associated with a modified Oseen equation with roating effect,” Adv Math Fluid Mech., 513-551, 2010 [28] Y Shibita, “On the Oseen semigroup with roating effect,” Funt Anal Evol Equ., 595-611, 2008 [29] G.P.Galdi, A.L.Silvestre, “The steady motion of a Navier-Stokes liquid around a rigid body,” Arch Ration Mech Anal., 371-400, 2007 [30] G.P.Galdi, A.L.Silvestre, “Futher results on steady-state flow of a Navier-Stokes liquid around a rigid body Existence of the wake,” Kyoto conference on the Navier-Stokes equations and their applications, RIMS Kokyuroku Bessatsu, 127-143, 2007 77 [31] M.Kyed, “The existence and regularity of time-periodic solutions of the three dimensional Navier-Stokes equations in the whole plane,” Nonlinearity, 27, 2909-2935, 2014 [32] T.Hishida, Y.Shibata, “Lp − Lq estimates of the operator Stokes Navier-Stokes flows in the exterior of a rotating obstacle,” Arch Ration Mech Anal., 193, 339-421, 2009 [33] R.Farwing, H.Sohr, “Helmholtz decomposition and Stokes resolvent system for aperture domains in Lq -spaces,” J Analysis, 16, 1-26, 1996 [34] T.Hishida, “The nonstationary Stokes and Navier-Stokes flows through an aperture.” Contribution to current challenges in Mathematical fluid mechanics, 79-123, 2004 [35] T.Kubo, “The Stokes and the Navier-Stokes equations in an aperture domain,” J Math Soc Japan, 3, 837-859, 2007 [36] T.Hansel, A.Rhandi, “Non-autonomous Ornstein-Uhlenbeck equations in exterior domains,” Adv Diff Equations, 16, 201-220, 2011 [37] X.Duong, E.Ouhabaz,“Complex multiplicative perturbations of elliptic operators: heat kernel bounds and holomorphic functional calculus,” Diff Integral Equations, 12, 395-418, 1999 [38] M.L.Hein, J Pră uss, “The Hartman-Grobman theorem for semilinear hyperbolic evolution equations,” J Differential Equations, 261, 47094727, 2016 [39] B.Wang, “Ill-posedness for the Navier-Stokes equations incritical Besov spaces B˙ ∞,q ,”Advances in Mathematics, 268, 350-372, 2015 [40] F Crispo, P.Maremonti, “Navier - Stokes equations in aperture domains: Global existence with bounded flux and time-periodic solutions,”Math Methods Appl Sci, 31, 249-277, 2008 78 [41] G.Heywood, “On uniqueness questions in the theory of viscous flow,”Acta Math., 31, 61-102, 1976 [42] H.Abel, “Lq − Lr estimates for the non-stationary Stokes equations in an aperture domain,” Z Anal Anwendungen, 21, 159-178, 2002 [43] H.Bae, A Biswas, E.Tadmor, “Analyticity and decay estimates of the Navier- Stokes equations in critial Besoc spaces,” Arch Ration Mech Amnal, 205, 963-991, 2012 [44] H.Amann, “Operator valued Fourier multipliers, vector-valued Besov spaces, and aplications,” Math Nachr, 186, 5-56, 1997 [45] H.Kozono and M.Yamazaki, “Exterior problem for the stationary Navier-Stokes equations in the Lorentz space,” Math Ann., 310, 279305, 1998 [46] H.Kozono and M.Yamazaki, “Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains,” Nonlinear Anal., 38, Ser A: Theory and Methods, 959-970, 1999 [47] J.Bourgain, N.Pavlovic, “Ill-posedness of the Navier - Stokes equations in a critical space in 3D,” J Funt Anal., 255, 2233-2247, 2008 [48] K.Abe, Y.Giga, H Hieber, “Stokes resolven testimates in spaces of bounded functions,” Hokkaido University Preprint Series in Mathematics,1022, 2012 [49] K.Abe, Y.Giga, “Analyticity of the Stokes semigroup in spaces of bounded functions,” Acta Math., 211,1-46, 2013 [50] M.Cannone, “A generalization of a theorem by Kato on Navier-Stokes equations,” Rev Mat Iberoamericana,515-541, 1997 [51] M.Hieber, T.H.Nguyen, A.Seyfert, “On Periodic and Almost Periodic Solutions to Incompressible Viscous Fluid Flow Problems on the 79 Whole Line,” Book Chapter in Mathematics for Nonlinear Phenomena - Analysis and Computation, Springer, 51-81, 2018 [52] Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Truong Xuan Pham, “Boundedness and stability of solutions to semi-linear equations and applications to fluid dynamics,” Communications on Pure and Applied Analysis 15, 2103-2116, 2016 [53] R.Farwing, T.Hishida, “Stationnary Navier-Stokes flows around a rotating obstacle,” Funkc Ekvac., 50, 371-403, 2007 [54] R.Farwing, H.Sohr, “Generalized resolvent estimates for the Stokes system in bounded and unbuonded domains,” J Analysis, 46, 607643, 1994 [55] T.Kato, “Strong Lp -solutions of Navier-Stokes equations in Rn with applications to weak solutions,” Math Z., 187, 471-480, 1984 [56] T.Kobayashi, Y.Shibata, “On the Oseen equation in the three dimensional exterior domains,” Math Ann., 310, 1-45, 1998 [57] T.Kubo, “Periodic solutions to the Navier-Stokes equations in a perturbed half-space and an aperture domain,” Math Methods Appl Sci., 28, 1341-1357, 2005 [58] T.Kubo, Y.Shibata, “On the Stokes and Navier-Stokes equations in a perturbed half-space,” Adv Differential Equations, 10, 695-720, 2005 [59] T.Miyakawa, “The Helmholtz decomposition of vecto fields in some unbounded domains,” Math J Toyana Univ., 17, 115-149, 1994 [60] W.Borchers, H.Sohr, “On the semigroup of the Stokes operator for exterior domains in Lp -spaces,” Math Z.,196, 415-425, 1987 80 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VŨ THỊ MAI TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành: Tốn học , Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN... kết tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hồn nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian nội suy để nhận kết tổng quát ứng dụng vào phương trình cụ thể động lực học thủy khí Luận án ? ?Tính giới nội ổn định. .. định nghiệm phương trình tiến hóa động lực học thủy khí? ?? Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn nghiệm bị chặn tính ổn định nghiệm phương trình tiến hóa tổng qt khơng gian nội suy Từ đó, áp dụng vào