Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết giới thiệu khái niệm k-không nhập nhằng, k-nhập nhằng với k là một số tự nhiên và độ không nhập nhằng của ngôn ngữ. Những khái niệm này làm mịn khoảng trống trong liên hệ giữa mã và tích không nhập nhằng.
Các cơng trình nghiên cứu, phát triển ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số (27), tháng 5/2012 Độ không nhập nhằng ngôn ngữ ứng dụng On Unambiguity of Languages and Applications Nguyễn Đình Hân, Đặng Quyết Thắng, Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy Abstract: The classification of languages based on unambiguous product of words and codes contains a gap Our work aims at investigations to fill up the gap The classes of k-unambiguous languages is considered as extensions of codes, in which a code is kunambiguous for all k ≥0, the unambiguous product can be used to define k-unambiguous languages with k ≤ Given a regular language X, its unambiguous value k can be determined by an O(n2) time complexity algorithm, where n is the finite index of the syntactic congruence of X The k-unambiguous languages with k is large enough, can be used in information encryption, and can provide us an encryption schema with high enough security since their ambiguous characteristics I GIỚI THIỆU Mã có vai trị quan trọng lý thuyết ứng dụng, đặc biệt lý thuyết thông tin mật mã học Khái niệm tích khơng nhập nhằng hai ngôn ngữ đề xuất Schützenberger (1955) sở để xây dựng khái niệm mã Cho hai ngôn ngữ X, Y ⊆ A*, tích XY khơng nhập nhằng w = xy = x′y′ với x, x′ ∈ X, y, y′ ∈ Y x = x′ y = y′ Một tập X mã phân tích từ w tùy ý thành tích từ thuộc X khơng nhập nhằng Có nghĩa w = x1x2 xn = y1y2 ym , với xi , yj ∈ X suy n = m, xi = yi , i = 1, ,n Đây mối quan hệ tích khơng nhập nhằng mã Nghiên cứu tính chất khơng nhập nhằng liên quan đến phân tích mã tốn lý thuyết mã Các tính chất đại số mã dựa tích khơng nhập nhằng nghiên cứu sâu sắc Schützenberger (1955), Gilbert and Moore (1959) tác giả khác (xem [1-6]) Gần đây, nghiên cứu lý thuyết mã có xu hướng đưa vào yếu tố điều khiển, đa trị, nhập nhằng để mở rộng khái niệm tích, từ xây dựng lớp mã Chẳng hạn z–mã dựa tích zigzag đưa vào Anselmo [7,8], T–mã dựa tích trộn có điều khiển [9], C–mã dựa tích nhập nhằng sử dụng yếu tố ngữ cảnh [10,11] -mã [12] Giữa định nghĩa mã tích khơng nhập nhằng có khoảng trống Nghiên cứu làm rõ thông tin khoảng trống này, đồng thời thiết lập kết Trong này, chúng tơi đề xuất khái niệm ngơn ngữ có độ không nhập nhằng k, với ≤ k ≤ ∞, tạo nên phân bậc tồn ngơn ngữ Với k = lớp tất ngôn ngữ, k = ∞ lớp ωmã, k = liên quan đến tích khơng nhập nhằng Từ khái niệm làm mịn khoảng trống liên hệ mã tích khơng nhập nhằng ta sử dụng ngôn ngữ mã để mã hóa thơng tin với giá trị k đủ lớn Lưu ý hệ mật, mã đối tượng bị công Nếu ta sử dụng ngơn ngữ khơng phải mã nâng cao hiệu an tồn chống cơng cho hệ mật Dưới góc độ đại số, mã sở vị nhóm tự Trong [13], cho trước ngơn ngữ quy X ba (ϕ , M, B), với ϕ : A* → M đồng cấu vị nhóm thỏa X, M vị nhóm hữu hạn, B ⊆ M cho X = ϕ -1(B), tác giả mở rộng thuật toán Sardinas-Patterson để nhận thuật tốn hiệu cỡ tuyến tính kiểm tra tính chất mã ngơn ngữ quy thay cỡ hàm mũ - 82 - Các cơng trình nghiên cứu, phát triển ứng dụng CNTT-TT thuật toán kinh điển Sardinas-Patterson Bằng kỹ thuật tương tự, chúng tơi đề xuất thuật tốn xác định độ khơng nhập nhằng k ngơn ngữ quy X Kết hợp phương pháp tính tốn cấu trúc liệu đặc biệt, nhận thuật tốn có độ phức tạp thời gian O(n2) để xác định giá trị k với n số X Tập V-1, Số (27), tháng 5/2012 khơng nhập nhằng, X gọi có độ không nhập nhằng vô hạn Chú ý: Điều kiện X k-nhập nhằng định nghĩa tương đương điều kiện tồn từ w ∈ A* mà w = x1x2 xk = y1y2 ym với x1 ≠ y1 Nếu X có độ khơng nhập nhằng k≥0 hữu hạn II MỞ ĐẦU X l-khơng nhập nhằng với 0≤l≤ k X (k+1)-nhập nhằng Rõ ràng, X k-không nhập nhằng Trước giới thiệu khái niệm độ không nhập nhằng ngôn ngữ, nhắc lại số khái niệm ký hiệu sử dụng báo, chi tiết xem [2, 3] Cho A bảng hữu hạn chữ A* vị nhóm tự tất từ hữu hạn sinh với k≥0 X mã Quy ước, tất ngôn ngữ 0-không nhập nhằng A Từ rỗng ký hiệu ε A+ = A* − {ε } Một ngôn ngữ A tập A* Ví dụ 2.1 Cho A = {c, a1, a2, a3, b1, b2}, X = {c, ca1, a1b1, b1a2, a2b2, b2a3, a3} Ta kiểm tra định nghĩa X k-không nhập nhằng với 0≤k≤2 X 3-nhập nhằng tồn từ w = (ca1)(b1a2)(b2a3) = (c)(a1b1)(a2b2)(a3) Cho X ⊆ A*, ta nói X thỏa đồng cấu vị nhóm ϕ : A* → M tồn B ⊆ M cho X = ϕ -1(B) Trong trường hợp này, ta nói X cho ba (ϕ , M, B) ϕ , M, B xác định Nếu X ngơn ngữ quy, ta ln chọn vị nhóm cú pháp MX hữu hạn đồng cấu vị nhóm ϕX : A* → MX thỏa X Ta gọi k = Card(MX) số tương đẳng cú pháp X hay ngắn gọn, k số X Ví dụ 2.2 Cho k≥1 số tự nhiên tùy ý Xem xét bảng chữ A = {c, a1, b1, , ak , bk} X = {c, ca1, a1b1, b1a2, , bk-1ak , akbk , bk} Rõ ràng, X k-không nhập nhằng X (k+1)-nhập nhằng Phân bậc ngôn ngữ theo tính chất khơng nhập nhằng: Ta ký hiệu ℒk lớp ngơn ngữ k-khơng nhập nhằng Khi ℒ0 lớp tất ngôn ngữ, ℒ∞ lớp Sau định nghĩa khái niệm k-không nhập nhằng, k-nhập nhằng độ không nhập nhằng ngôn ngữ ω-mã, ℒCode lớp mã Định nghĩa 2.1 Cho X ⊆ A+ số tự nhiên k≥0 Khi đó, X mã Do X ∈ℒCode X ∈ℒi với (i) Tập X gọi k-khơng nhập nhằng X thỏa Từ Ví dụ 2.2, ta nhận phân bậc toàn ngôn ngữ: mãn điều kiện: với số nguyên m≥1 với phần tử x1, x2, …, xk, y1, y2, …, ym thuộc X, có x1x2 xk = y1y2 ym suy k = m xi = yi với i=1, ,k Ngược lại X khơng thỏa mãn điều kiện trên, X gọi k-nhập nhằng (ii) Nếu tồn số k lớn cho X k-khơng nhập nhằng k gọi độ khơng nhập nhằng Vì X ⊆ A+ k-không nhập nhằng với k≥0 i≥0 Ta có ℒCode = ∩ ℒi i≥0 ℒ∞ ⊊ℒCode⊊ ⊊ℒk +1 ⊊ℒk ⊊ ⊊ℒ1 ⊊ℒ0 III THUẬT TỐN XÁC ĐỊNH ĐỘ KHƠNG NHẬP NHẰNG CỦA NGƠN NGỮ CHÍNH QUY Cho X, Y ⊆ A* Thương trái thương phải X Y định nghĩa sau: X Trường hợp ngược lại, với k≥0 bất kỳ, X k- - 83 - Y –1X = { w ∈ A* | ∃y ∈ Y, yw ∈ X }, Các cơng trình nghiên cứu, phát triển ứng dụng CNTT-TT XY –1 = { w ∈ A* | ∃y ∈ Y, wy ∈ X } Ký hiệu u–1X, X u–1 sử dụng tập Y = {u} có phần tử Cho X ⊆ A+, dựa vào định nghĩa k-không nhập nhằng, thủ tục sau ta tính tốn thương trái để tìm hai X-phân tích khác xâu w thuộc A* Ta xem xét hai dãy tập Ui,Vi+1 định nghĩa đệ quy sau: + Giả sử điều khẳng định với k ≥1, ta chứng minh với k+1 Giả sử z ∈ Vk+1 = Uk–1 X ∪ X –1 Vk ∪ Vk z ∉ Vi với i≤k Khi z ∈ Uk–1 X (trường hợp 1) z ∈ X –1 Vk (trường hợp 2) - Trường hợp 1: z ∈ Uk–1 X Ta có uk ∈ Uk y ∈ X cho ukz = y Với uk ∈ Uk= (VkX*)–1 X, tồn vk ∈ Vk, y’1y’2 y’p ∈ X*, p≥0, xk+1 ∈ X cho U0 = (X ) X – {ε }, + –1 V1 = U0 X ∪ (X X – {ε }), –1 y’1y’2 y’puk = xk+1 Mặt khác, từ điều kiện vk ∈ Vk, theo giả thiết quy nạp ta có: –1 Ui = (ViX*)–1 X, (3.1) x1x2 xkvk = y1y2 ym với x1 ≠ y1 Vi+1 = Ui–1 X ∪ X –1Vi ∪ Vi, i≥1 Tính đắn thủ tục dựa kết sau Bổ đề 3.1 Cho X ⊆ A+ cho dãy tập Ui, Vi+1 (i≥1) định nghĩa theo cơng thức (3.1) Nếu có k≥1 cho z ∈ Vk z ∉ Vi với i