Đáp án thi HSG T9 2010

Bài Hướng dẫn chấm Điểm 1 a) n 3 – n = n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3, (2,3) = 1 suy ra đpcm 3.0đ b) S –(1 + 2 + 3 + … + 99) = S – 6.33.25 từ đó suy ra S chia hết cho 6 3.0đ 2 ( ) ( ) ) 6 2 5 6 2 5 : 20 5 1 5 1 : 2 5 2 5 : 2 5 1 a x = + + − = + + − = = Suy ra P = 1. 1.0đ 0.5đ 0.5đ b)Đk: 3 4 x ≥ . Đặt 2 4 3 0 4 3x t x t − = ≥ ⇒ − = Phương trình trở thành ( ) ( ) 2 2 2010 2009 0 2010 0 ( ) 2010 x t xt x t x t x t t x KTM − − = ⇔ − + = =   ⇔  = −  Với x = t, ta có: x 2 - 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, x = 3. Cả 2 giá trị đều thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt là: x = 1, x = 3 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 3 KÎ ®êng cao 1 . 2 AH BC S AH BC⊥ ⇒ = (1) 1 .S MN MQ= (2) Ta cã MQ//AH ; NM//BC (v× MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt ) Do ®ã ta cã: AM MN AB BC = (3) ; BM MQ BA AH = (4) 2 2 2 2 2 2 . . 1 1 1 1 . . . 2 4 4 MN MQ AM BM AM BM AB AM BM BC AH AB AB AB AB +   ⇒ = = ≤ = =  ÷   . 4 .AH BC MN MQ≥ ⇔ 1 2 4 2 ABC MNPQ MNPQ ABC S S S S ∆ ∆ ≥ ⇒ ≤ Hay 1 1 2 S S≤ (®pcm) 3.0đ 4 · · · · · 0 0 0 0 ) 36 72 36 72 a BAC ABC ACB MBC BMC = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = Suy ra tam giác MBC cân tại B .BM BC ⇒ = Lại có tam giác MAB cân tại M 1 . 2 BM AM BH AM⇒ = ⇒ = 1.0đ 1.0đ M B H C A N P Q CB H A M b)Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: AM AB AM AB MC BC AM MC AB BC = ⇒ = + + Hay ( ) 2 AB AM AM AB AM AB BC AB BC AC AB = = ⇒ = + + 1.0đ 1.0đ c) Đặt AB = a, BC = b. Ta có ( ) 2 2 2 2 a b a b 0 1 5 1 5 1 0 0 2 2 2 2 5 1 . 2 b ab a b b b b a a a a b a = + ⇔ + − =      ⇔ + − = ⇔ + + + − =  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷      − ⇒ = Từ đó suy ra · 0 5 1 sin18 sin 2 4 BH b BAH AB a − = = = = 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 5 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 4 4 . 16 16. x y z x y z x y z x y z x y x y x y z xyz xyz = + + = + + ≥ + ⇒ ≥ + + ⇒ + ≥ + ≥ ⇒ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 4 1 1 2 x y z x y x y z x y z  + =  = =    = ⇔     = + + =    Vậy GTNN của P bằng 16 khi 1 4 1 2 x y z  = =     =   ./. 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ . 4 3 0 4 3x t x t − = ≥ ⇒ − = Phương trình trở thành ( ) ( ) 2 2 2010 2009 0 2010 0 ( ) 2010 x t xt x t x t x t t x KTM − − = ⇔ − + = =   ⇔  = −  Với