Đề thi + Đáp ánhọc sinh giỏi huyện (môn Toán)

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau P = 2009 2 2008 2009 2 2008+ Q = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 2005.2007.2010.2011 + Bài 2: Biết 2 2 10a 3b ab 0 b a 0 + = > > . Chứng minh rằng: 2a b 5b a 9 3a b 3a b 5 + = + Bài 3: Chứng minh rằng với < 45 0 , ta có sin2 = 2sin. cos. Bài 4: Cho tam giác ABC có ã 0 ABC = 60 ; BC = a; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó Bài 5: Cho iờ m M thuụ c miờ n trong tam gia c ABC. Ca c tia AM, BM, CM c t ca c ca nh cu a tam gia c ABC theo th t P, Q, R. Ch ng minh r ng: a) MP MQ MR 1 AP BQ CR + + = b) MA MB MC 2 AP BQ CR + + = ---------------------- Hết ----------------- Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau P = 2009 2 2008 2009 2 2008+ Q = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 2005.2007.2010.2011 + Bài 2: Biết 2 2 10a 3b ab 0 b a 0 + = > > . Chứng minh rằng: 2a b 5b a 9 3a b 3a b 5 + = + Bài 3: Chứng minh rằng với < 45 0 , ta có sin2 = 2sin. cos. Bài 4: Cho tam giác ABC có ã 0 ABC = 60 ; BC = a; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a ---------------------- Hết ----------------- H ớng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau P = 2009 2 2008 2009 2 2008+ = ( ) ( ) 2 2 2008 1 2008 1+ = 2 Q = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 2005.2007.2010.2011 + . Đặt x = 2008, khi đó Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x 6 x 2x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 + + + + + = x + 1 = 2009 Bài 2: Ta có 10a 2 - 3b 2 + ab = 0 3(4a 2 - b 2 ) - a(2a - b) = 0 (2a - b)(5a + 3b) = 0 2a - b = 0 b = 2a 5a + 3b = 0 5a = -3b (loai) Với b = 2a 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5 + = + = = + + Bài 3: Xét ABC có à A = 90 0 ; à C = . Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH ã AMH 2= Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = a 2 . Ta có sin = c a ; cos = b a ; sin2 = h m Do đó 2sin. cos = 2 2 c b 2bc 2ah 2h h 2 . a a a a a m = = = = = sin2 Bài 4: a/ Đặt AM = x (0 < x < c) . Ta có: MN AM ax = MN = BC AB c ( ) 0 c - x 3 MQ = BM.sin60 = 2 . Suy ra diện tích của MNPQ là: ( ) ( ) ax c- x 3 a 3 S = = x c - x 2c 2c + Ta có bất đẳng thức: 2 a + b a + b ab ab (a > 0,b > 0) 2 2 ữ áp dụng, ta có: 2 2 x + c - x c x(c- x) = 2 4 ữ . Dấu đẳng thức xảy ra khi: c x = c - x x = 2 . Suy ra: . 2 a 3 c ac 3 S = 2c 4 8 . Vậy: max ac 3 S = 8 khi c x = 2 hay M là trung điểm của cạnh AB A B C H M A B C M N P Q 0 60 x b/ Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F. Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G', H' BC) Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên: E'F' BE' BF' F'G' = = = EF BE BF FG E'F' = F'G' . Do đó E'F'G'H' là hình vuông + Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông + Ta có: 0 BH' 1 = cotg60 = E'H' 3 ; ã BG' BH'+ H'G' BH' 1 cotgF'BC = = +1 = +1 F'G' F'G' E'H' 3 = . Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy nhất. Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất + Đặt AE = x . Ta có EF AE ax = EF = BC AB c ; ( ) (c- x) 3 HE = c - x sinB = 2 EFGH là hình vuông, nên 2 ax (c - x) 3 c 3 EF = EH = x = c 2 2a + c 3 Suy ra diện tích hình vuông EFGH là: ( ) 2 2 2 2 3a c S = EF = 2a + c 3 Bài 5: Ta có a 2 + b 2 - ab ab 2 2 3 3 (a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b) 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a 4b - a ab + 5b Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 2 2 19c - b 19a - c 4c - b; 4a - c cb + 5c ac + 5a Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b = c ------------------- Hết ------------------ A B C E F GH E' F' G'H' . x 3 + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 + + + + + = x + 1 = 2009 Bài 2: Ta có 10a 2 - 3b 2 + ab =. MP MQ MR 1 AP BQ CR + + = b) MA MB MC 2 AP BQ CR + + = ---------------------- Hết ----------------- Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2008