Thế vị logarit có trọng và ứng dụng

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M HO NG THÀ XU N TH VÀ LOGARIT C´ TR¯NG V LU NV NTH CS TO NH¯C TH I NGUY N - 2020 ÙNG DÖNG I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M HO NG THÀ XU N TH VÀ LOGARIT C´ TR¯NG V NG DệNG Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tch M s: 8460102 LU NV NTH CS TO NHC CĂn b hữợng dÔn khoa hồc: GS.TSKH Nguyn Quang Diằu ThĂi Nguyản - 2020 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tỉi, c¡c k‚t qu£ nghiản cứu l trung thỹc v chữa ữổc cổng b bĐt k cổng trnh n o khĂc ThĂi Nguyản, ng y 29 th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ lu“n vôn Ho ng Th XuƠn ii LIC MèN Trữợc ht, em xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi Thy hữợng dÔn, GS.TSKH Nguyn Quang Di»u Em vỉ cịng bi‚t ìn sü gióp ï tn t nh, quỵ bĂu m Thy  d nh cho em suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n Nhớ nhng ỵ tững m Thy  gổi ỵ, nhng t i liằu b ch m Thy  cung cĐp vợi sỹ hữợng dÔn, ch bÊo nhiằt tnh ca Thy vã cổng viằc nghiản cứu, em  ho n th nh lun vôn ca mnh Em xin chƠn th nh c£m ìn c¡c Thƒy Cỉ khoa To¡n tr÷íng ⁄i hồc Sữ phm ThĂi Nguyản, thới gian qua  t⁄o cho chóng em mỉi tr÷íng håc t“p h‚t søc thun lổi v thữớng xuyản cõ nhng lới ng viản, nh›c nhð gióp chóng em thüc hi»n tŁt cỉng vi»c l m khâa lu“n Em xin ch¥n th nh c£m ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới thỹc hiằn Ho ng Thà Xu¥n iii Mưc lưc Trang b…a phư Líi cam oan ii Líi c£m ìn iii Möc löc iv M— U I Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð 1.1.H m iãu hặa dữợi trản C 1.2.Nông lữổng logarit v nông lữổng cõ trồng I Th‚ logarit câ trång 2.1.Th‚ câ trång tr¶n C 2.2.B§t dflng thøc Bernstein-Walsh v t‰nh ch§t Bernstein-Markov 21 K T LU N 37 T I LI U THAM KH O 38 iv M— U Th‚ logarit cıa mºt º o xĂc nh trản K C ữổc nh nghắa bði Z P (y) := K log jx yj d (x): Th‚ n y dòng ” x¡c ành nông lữổng logarit ca v t õ giúp ta nh nghắa ữổc dung lữổng logarit ca K Ơy l cĂc khĂi niằm c in  ữổc ngữới ta tm hiu tł l¥u Trong mºt cỉng tr…nh gƒn ¥y cıa Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky, ng÷íi ta ¢ nghi¶n cøu c¡c kh¡i ni»m th‚ logarit suy rng, nông lữổng logarit suy rng cĂc ứng dửng ca nõ Sỹ "suy rng" Ơy ữổc th hiằn l sü xu§t hi»n cıa h m trång ! cỉng thøc P (y) := ;! Z K log vỵi ! > l h m trång li¶n tưc x¡c d (x); jx yj!(x) ành tr¶n K Mưc ‰ch cıa • t i l tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch h» thŁng c¡c t‰nh ch§t cıa th‚ logarit câ trång, °c bi»t l øng dưng v o nghi¶n cøu c¡c b§t flng thøc Bernstein - Walsh v Bernstein - Markov v o ¡nh gi¡ chu'n c¡c a thøc mºt bi‚n thæng qua h m cüc trà câ trång • t i tr…nh b y l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ cì b£n cıa b i b¡o [2] cıa Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky Nºi dung ch‰nh l c¡c t‰nh ch§t cıa th‚ logarit câ trồng vợi ứng dửng ca nõ v o vĐn ã xĐp x a thức v Ănh giĂ tông cıa a thøc Chóng tỉi dü ki‚n ⁄t ÷ỉc mºt sŁ k‚t qu£ v• i•u ki»n ı ” mºt o thọa m Ân tnh chĐt Bernstein - Markov v mt iãu kiằn ca compact K vợi mºt trång ! tr¶n â ” th‚ logarit câ trång P ;! < vỵi mºt º o x¡c xuĐt n o õ trản K CĂc kt quÊ n y s‡ dịng ” °c tr÷ng t“p cüc C Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð Ta tr…nh b y tâm t›t mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b s ữổc dũng vã sau Nhng kin thức n y ữổc lĐy t i liằu [1] 1.1 Hm iãu hặa dữợi trản C nh nghắa 1.1.1 GiÊ sß X l khỉng gian tỉpỉ H m u : X ! [ ; +1) gồi l nòa liản tửc trản trản X nu vợi mỉi R X = fx X : u(x) < l mð X: H m v : X ! [ n‚u g ; +1) gồi l nòa liản tửc dữợi trản X v l nòa liản tửc trản trản X Chúng ta cõ th d thĐy nh nghắa trản tữỡng ữỡng vợi nh nghắa mang tnh a phữỡng sau GiÊ sò u : X ! ( ; +1] Ta nâi h m u l nòa liản tửc trản ti x0 X nu 8" > tỗn ti lƠn cn Ux0 ca x0 X cho 8x Ux0 ta câ: u(x) < u(x0) + " n‚u u(x0) 6= n‚u u(x) < " u(x0) 6= : H m u gåi l nòa liản tửc trản X nu u nòa liản tưc tr¶n t⁄i måi x X M°t kh¡c nu ta cho nh nghắa sau GiÊ sò E X v u : E ! [ ; +1) l h m trản E GiÊ sò x0 E Ta nh ngh¾a lim sup u(x) = inffsupfu(y) : y V gg x!x0; x2E õ inf lĐy trản cĂc V ch⁄y qua c¡c l¥n c“n cıa x0 Khi â câ th” th§y r‹ng h m u : E ! [ ; +1) l nòa liản tửc trản ti x0 X n‚u lim sup u(x) u(x0): x!x0 Ta câ kt quÊ sau nh lỵ 1.1.2 GiÊ sò u l h m nòa liản tửc trản trản khổng gian tổpổ X v K b X l t“p compact Khi â u ⁄t cüc ⁄i tr¶n K Chøng minh C¡c t“p fx X : u(x) < ng vỵi n t⁄o n¶n phı mð cıa K Do â câ phı hœu h⁄n phı K V“y u bà ch°n tr¶n trản K GiÊ sò M = supfu(x) : x Kg Khi â c¡c t“p mð fx X : u(x) < M K V“y câ x0 K cho u(x0) M n n g khæng th” phı vỵi måi n V“y u(x0) = M, v ành lỵ ữổc chứng minh Tip theo ta cn nh lỵ xĐp x sau i vợi cĂc h m nòa liản tửc trản nh lỵ 1.1.3 GiÊ sò u l h m nòa liản tửc trản v b chn trản trản khổng gian metric (X; d) Khi õ tỗn ti dÂy giÊm cĂc h m liản tửc n :X! R vợi n lim (x) !1 n nh nghắa 1.1.4 GiÊ sò gồi l iãu hặa dữợi trản = u(x); 8x X: l t“p mð C H m u : nu nõ nòa liản tửc trản trản ![ ,u6 ; +1) trản bĐt mt th nh phn liản thổng ca v thọa mÂn bĐt flng thức dữợi trung bnh trản , nghắa l vợi mồi w tỗn ti % > cho måi o r < % ta câ u(w) 2 Z it u(w + re )dt: Ta k‰ hi»u t“p c¡c h m i•u hặa dữợi trản Sau Ơy l v dử Ăng ỵ vã h m l SH( ) iãu hặa dữợi (1.1) BƠy giớ K = [ s i=1(K \ W i) â theo BŒ • 2:2:2 cho mºt t“p hæp hæp, nâi K \ W i0 ta câ cap(K \ W i0 ) (DA; ; s) n¶n cap(f(K)) mi cap(f(W i0 \ K) Ccap(W i0 \ K) C (DA; ; s) mi : H‹ng sŁ C xuĐt hiằn trản ch phử thuc v o f v c¡c t“p V i; Wi v khỉng tr¶n K Vy b ã ữổc chứng minh B ã 2.2.4 Cho f; g l ch¿nh h…nh v kh¡c h m hng trản mt lƠn cn ca DA v cho > cho trữợc Cho K l mt compact cıa D A cho f(K); g(K) DA v cap(K) > Khi â câ mºt h‹ng sŁ M = M(DA; ) > cho vỵi måi k = 1; 2; : : : v vỵi måi hk Fk chu'n hõa nhữ trản, jjpkjjDA e Mk v jjqkjjDA e Mk : Chøng minh Ta cho Łi sŁ cıa qk; cıa pk t÷ìng tü Ta câ cap(f(K)) (DA; ; f) > theo BŒ • 2:2:3 Cho 2:2:2 v cho = (DA; (DA; ; f); 2) tł BŒ • Fk := ft f(K) : qk(t) â M1 l e Mk g ÷ỉc chån N‚u cap(Fk) (2.21) â theo BŒ • 2:2:1 ta câ y¶u cƒu ¡nh gi¡ tr¶n qk: jjpkjjDA kL(D ; jjqkjjFk e A 0) k(M +L(D ; e A 0)) : Chú ỵ Ơy ta sò dửng giÊ thit f(K) D A ” £m b£o r‹ng Fk DA Ta s chứng tọ bng mƠu thuÔn, nu M1 l lỵn â (2:21) ph£i óng N‚u (2:21) khỉng óng â theo BŒ • 2:2:2 cap(Gk) 25 â Gk := ft f(K) : qk(t) e B¥y gií jpk(g(z))j e Mk 1 tr¶n f Mk g: (Gk) \ K = fz K : f(z) Gkg v… jjhkjjK = v theo [2] ta câ cap f (G ) capK ) = cap(f z K : f z ) G ) k ( ( kg C capG k) ( =C â C = sup jjf jjDA Chú ỵ rng jpk(w)j e Mk 1 vợi w g(f (Gk) \ K) v theo BŒ • 2:2:3 ta câ cap(g(f 1(Gk) \ K)) (DA; =C; g) > 0: Do â, theo BŒ • 2:2:1, kL(D ; (D ; 0=C;g)) jjpkjjDAe A jjpkjjg(f A kL(D ; (D ; 0=C;g)) e 1(Gk)\K) A e A Mk : Ơy ta sò dửng g(K) DA Êm b£o g(f (Gk) \ K) DA Vỵi M1 ı lỵn iãu n y mƠu thuÔn vợi jpk(g(z0))j = Ta kt hổp cĂc Ănh giĂ trản vợi Ănh giĂ Bernstein-Walsh (2:16) cho c¡c a thøc v t“p DA: vỵi f; g ch¿nh h…nh tr¶n U D A v pk; qk nhữ B ã 2.2.4, vợi hk Fk chu'n hâa v… th‚ jjhkjjK = 1, log jp (g(z))j V (g(z)) + M k DA k v log jq (f(z))j V (f(z)) + M k DA k vợi iãu kiằn z U Chú ỵ ta yảu cƒu K DA vỵi f(K); g(K) DA v DA U: (2.22) N‚u g(z) = z, nâ gi£m tỵi K DA vỵi f(K) DA v DA 26 U: (2.23) Ta thu ÷æc ¡nh gi¡ k log jhk(z)j 2M + VDA (g(z)) + VDA (f(z)); z U vỵi h‹ng sŁ M, hk Fk chu'n hâa V… th‚ jjhkjjK = Do õ dÂy h m iãu hặa fk log jhk(z)j : hk Fk v jjhkjjK 1g l b chn trản a phữỡng U Suy WK l iãu hặa dữợi trản U v ta cõ (2.24) WK (z) 2M + VDA (g(z)) + VDA (f(z)); z U: i•u â cho ta ¡nh gi¡ Bernstein-Walsh cho h m hk Fk, jhk(z)j jjhkjjK e kW (z) K ;z2U (2.25) vợi biản dữợi (2:24) trản WK (z) Do â log jhk(z)j k jjhkjjK 2M +V (g(z)) + V DA (f(z)); z 2U (2.26) DA vỵi måi hk F Chú ỵ rng v phÊi ca ¡nh gi¡ (2:24) v (2:26) phö thuºc v o DA nh÷ng nhœng ¡nh gi¡ n y câ hi»u lüc t⁄i t§t c£ z U (t⁄i c¡c i”m m f(z) l ch¿nh h…nh) Ta x†t phi¶n b£n câ trång cıa (2:19) v (2:25) Cho Q A(K) Vỵi z U ta cho WK;Q(z) := supf log jhk(z)j : hk Fk v jjhke kQjjK 1g: (2.27) k Khi â WK;Q vỵi hk F, vỵi jjhke Q(z) vỵi z K V… fz K : Q(z) < 1g l khæng cüc, kQ jjK ta câ jjhke jjhkjjF e kC kQ jjF 1v : ành ngh¾a (2:19) v (2:27), WK;Q(z) W (z) + C vỵi måi z F F 27 iãu hặa dữợi xĂc ành WK v â WK;Q l bà ch°n àa phữỡng trản U v WK;Q(z) l iãu hặa dữợi trản U vợi WK;Q Q(z) hu khp nỡi trản K Ta câ ¡nh gi¡ Berstein-Walsh câ trång cho h m hk Fk Cö th” l , tł (2:27), kQ kW (z) (2.28) jhk(z)j jjhke jjK e K;Q ; z U: Ti‚p theo ta chøng minh mºt lo⁄i ch‰nh quy cıa W K tr÷íng hỉp K l ch‰nh quy Ta bt u vợi mt b ã Ta  cõ mºt t“p compact S l khæng mäng t⁄i mºt i”m S n‚u lim supz2Snf g u(z) = u( ) vợi mồi h m u iãu hặa dữợi mt l¥n c“n cıa ; C¡ch kh¡c ta nâi S l mäng t⁄i BŒ • 2.2.5 Cho K C l t“p compact, ch‰nh quy v cho u l h m iãu hặa dữợi trản mt lƠn cn ca K b GiÊ sò u hu khp nỡi trản K Khi â u tr¶n Kb Chøng minh V… u l nòa liản tửc trản nản F = fz K : u(z) > 0g l mºt t“p F V… F l mºt t“p cüc n¶n nâ l mäng t⁄i måi i”m cıa C Nh÷ng K l khỉng mäng ti bĐt k im biản ngo i ca nõ nản KnF l khổng mọng ti bĐt k im biản ngo i ca K iãu n y suy vợi mt i”m bi¶n ngo i , u( ) = lim sup z2KnF ;z! u(z) Khi â u tr¶n bi¶n ngo i bi nguyản lỵ cỹc i u trản Kb H» qu£ 2.2.6 Cho K Khi â W = tr¶n Kb C l t“p compact, ch‰nh quy thäa mÂn (2:22) K Chứng minh Ta cõ WK l iãu hặa dữợi trản mt lƠn cn U ca K b, v WK tr¶n Kb V… WK = WK q.e., ta cõ iãu cn chứng minh Ta nh nghắa phiản b£n câ trång cıa b§t flng thøc BernsteinMarkov cho h m Fk 28 ành ngh¾a 2.2.7 Cho Q A(K), mt o o Borel trản K ữổc gồi l thọa mÂn bĐt flng thức Bernstein-Markov cõ trồng vợi Fk, n‚u cho > 0, câ mºt h‹ng sŁ C cho vỵi måi k = 1; 2; : : : v vỵi måi hk Fk ta câ jjhke kQ jjK Ce k Z K jhk(z)je kQ(z) d (z): (2.29) Nu thọa mÂn l mt bĐt flng thức Bernstein-Markov vợi mồi Q liản tửc trản K, ta nõi thọa mÂn bĐt flng thức Bernstein-Markov mnh vợi F k trản K Ta xt iãu kiằn dữợi Ơy vợi o Borel dữỡng trản K: tỗn ti cĂc hng s T; r0 > cho vỵi måi z K, (D(z; r)) r Do â D(z; r) := fw C : jw T (2.30) vỵi < r r0: zj < rg Ta s nghiản cứu lợp cĂc compact dữợi Ơy nh nghắa 2.2.8 Ta gồi mt compact K l ch‰nh quy m⁄nh n‚u vỵi måi th nh phn liản thổng ca CnK l chnh quy i vợi b i to¡n Dirichlet Mºt °c t‰nh an d§u cıa chnh quy mnh cho B ã 2:2:9 trản, K khỉng l mäng t⁄i mØi i”m cıa nâ Chó þ r‹ng mºt t“p compact ch ‰nh quy m⁄nh l ch‰nh quy; vỵi K l ho n to n ch‰nh quy th nh phƒn khæng bà ch°n cıa CnK l ch‰nh quy theo b i to¡n Dirichlet Do â bĐt k compactc chnh quy K vợi phn bũ li¶n thỉng, K = K b l ch‰nh quy m⁄nh °c bi»t, b§t k… t“p compact ch‰nh quy cıa dặng thỹc l ch nh quy mnh, cụng nhữ l bao õng ca miãn xĂc nh b chn bi biản C Hổp ca ữớng trặn ỡn v vợi compact khổng chnh quy ca mt ữớng trặn nhọ l chnh quy khổng chnh quy mnh Lỵ ta xt lợp cĂc hổp nh nghắa 2:2:8 l ch‰nh quy cıa mºt t“p compact l mºt tnh chĐt ca ữớng biản ngo i ca nõ, â ta x†t 29 tr÷íng hỉp câ trång, mºt i”m khĂc K cõ th b Ênh hững Ta  câ mºt t“p compact K C v mºt i”m z K, ta nâi r‹ng ti¶u chu'n Wiener óng t⁄i z n‚u X n n n = 1; log 1=cap(K (2.31) \S ) n n â Sn = D(z; )nD(z; ) nh lỵ Wiener phĂt biu r‹ng K l khæng mäng t⁄i z mºt c¡ch ch‰nh x¡c (2:31) óng °c bi»t n‚u z l mºt i”m bi¶n cıa th nh phƒn li¶n thỉng G cıa CnK, â z l mºt i”m bi¶n ch‰nh quy cıa G theo b i to¡n Dirichlet n‚u v ch¿ n‚u ti¶u chu'n Wiener óng t⁄i måi i”m bi¶n cıa G Chú ỵ cui n y cho ta chiãu ngữổc li ca kt quÊ tip theo B ã 2.2.9 N‚u K l mºt t“p compact cıa C cho vợi mỉi th nh phn liản thổng ca CnK l ch‰nh quy theo b i to¡n Dirichlet Khi â ti¶u chu'n Wiener óng t⁄i mØi i”m cıa K Chøng minh CŁ ành z K; khỉng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß z = n V… dung lữổng ca hnh v nh khôn S n = D(0; )nD(0; n n )l2 , ti¶u chu'n Wiener l ch›c ch›n óng t⁄i n‚u l mºt i”m Th“t v“y, theo gi£ thi‚t v ành lỵ Wiener, tiảu chu'n n y úng vợi iãu kiằn l mºt i”m bi¶n cıa th nh phƒn li¶n thổng ca CnK Do õ nõ l trĂi vợi tiảu chu'n Wiener l mºt i”m bi¶n cıa K, khổng thuc vã biản ca bĐt k th nh phƒn li¶n thỉng n o cıa CnK Câ hai trữớng hổp: Cõ nhiãu vổ hn n cho vỵi mØi r [2 n1 n ; ) ÷íng trỈn C(0; r) = fw : jwj = rg giao vỵi K Ta x†t vỵi n v cho w r C(0; r) \ K nh x⁄ w ! jwj n l ¡nh x⁄ co tł K \(D(0; )nD(0; thi‚t, ¡nh x⁄ tr¶n [2 n n1 )) ‚n nßa o⁄n [2 n n1 n ; ), m theo gi£ ; ) V… dung l÷ỉng logarit khổng tông dữợi mt Ănh x co, v dung l÷ỉng cıa [2 n1 30 n ;2 )l n =4 = n , ta thu ÷ỉc tr÷íng hỉp n y cap(K \ Sn n , v â vỵi n n y ta câ n n 1: (n + 3) log log 1=cap(K \ Sn) V iãu n y úng vợi nhiãu vổ hn n nản (2:31) úng Vợi mồi n ı lỵn, câ mºt r n [2 n n ; ) cho C(0; rn) l t¡ch tł K, nâ n‹m th nh phƒn Grn ca CnK Grn n y khổng th ging vợi nhiãu væ h⁄n n, â câ th” l mºt i”m bi¶n cıa th nh phƒn â Do â, câ nhi•u hœu h⁄n n cho G rn kh¡c Grn+1 Nh÷ng â mØi o⁄n it it thflng fre : rn+1 r rng ph£i c›t K Do â ¡nh x⁄ fre ! n it eg n l mºt ¡nh x⁄ co tł K \ (Sn [ Sn+1) tr¶n C(0; cap(K \ (Sn [ Sn+1)) cap(C(0; n ) V… th‚ ))=2 n ; v theo [2] ta câ n n log 1=cap(K \ Sn) ho°c n+1 2(n + 2) log n+1 2(n + 2) log : log 1=cap(K \ Sn+1) Do â chuØi (2:31) chøa nhi•u vổ hn s hng vợi nhọ nhĐt l 1=6 Do õ (2:31) úng Kt quÊ dữợi Ơy l thú v theo óng ngh¾a cıa nâ, s‡ cƒn ” chøng minh compact chnh quy mnh, iãu kiằn (2:30) trản suy tnh chĐt Bernstein-Markov B ã 2.2.10 Cho K l mºt t“p compact ch‰nh quy m⁄nh cıa C vỵi b§t ký z K v r K \ > 0, câ mºt t“p compact L K \ D(z; r) chøa D(z; r=2) Chøng minh ” ìn gi£n ta cho z = v r 1=2 Theo [2] t“p Kn := K \ (D(0; n r=2 + )nD(0; r=2)), n‚u khæng cüc, chøa mºt t“p compact 31 Fn cho h i n cap K \ (D(0; r=2 + )nD(0; r=2)) nFn T“p Fn = ; n‚u Kn l cüc, ta ành ngh¾a