HSG - de da an

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn thi : Toán học ( thời gian 150 ) A. Phần trắc nghiệm : Câu 1 : ( 1,5 điểm ). Chọn các câu trả lời đúng trong các câu sau : a. Phơng trình : .21212 =++ xxxx Có nghiệm là : A . 1 ; B. 2 ; C. 2 3 ; D. 21 x b. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O , các cung nhỏ AB ; BC ; CA có số đo lần lợt là : x + 75 0 ; 2x + 25 o ; 3x - 22 o .Một góc của tam giác có số đo là : A. 57 o 5 ; B. 59 o ; C. 61 o ; D. 60 o Câu 2 : ( 0,5 điểm ). Hai phơng trình : x 2 + ax + 1 = 0. và x 2 - x - a = 0. Có một nghiệm thực chung khi a bằng : A. 0 ; B. 1 ; C. 2 ; D. 3. Câu 3 : ( 1 điểm ). Điền vào chỗ chấm ( . ) trong hai câu sau : a. Nếu bán kính của đờng tròn tăng lên 3 lần thì chu vi của đờng tròn sẽ lần và diện tích của đờng tròn sẽ . . lần. b. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho A ( -1 ; 1 ) ; B ( -1 ; 2 ) ; C ( 2 ; 2 ) và đờng tròn tâm O bán kính 2. Vị trí của các điểm đối với đờng tròn là : Điểm A Điểm B . Điểm C B. Phần tự luận Câu 1 : ( 4 điểm ). Giải phơng trình : a. ( 3x + 4 ) ( x + 1 ) ( 6x + 7 ) 2 = 6. b. xx 3753 + = 5x 2 - 20x + 22. Câu 2 : ( 3,5 điểm ). a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : xy - 2x - 3y + 1 = 0. b. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x ; y ; z thoả mãn : x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2006. Câu 3 : ( 3 điểm ). Ba số dơng x ; y ; z thoả mãn hệ thức : zyx 321 ++ = 6. Xét biểu thức : P = x + y 2 + z 3 . a. Chứng minh rằng : P x + 2y + 3z - 3 ? b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P ? Câu 4 : ( 4,5 điểm ). Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và C là điểm thuộc đờng tròn ( C A ; C B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C. Kẻ tia A x tiếp xúc với đờng tròn ( O ). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC , tia BC cắt A x tại Q , tia AM cắt BC tại N. a. Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân ? b. Khi MB = MQ tính BC theo R ? Câu 5 : ( 2 điểm ). Có tồn tại hay không 2006 điểm nằm trong mặt phẳng mà bất kỳ ba điểm nào trong chúng cũng tạo thành một tam giác có góc tù ? Đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn : toán 9 A. Phần trắc nghiệm : Câu 1 : a. Đáp án : D. 21 x ( 0,75điểm ). b. Đáp án : C. 61 o (0.75đ) Câu 2 : Đáp án : C 2 (0.5đ) Câu 3 : a) Chu vi tăng 3 lần , diện tích tăng 9 lần (0.5đ) b) Điểm A nằm bên trong đờng tròn (O) Điểm B nằm ngoài đờng tròn (O) Điểm C nằm trên đờng tròn (O) (0.5đ) B.Phần tự luận. Câu 1: (2đ) Giải phơng trình. a) (3x+4)(x+1)(6x+7) 2 =6 (3x 2 +7x+4)(36x 2 + 84x + 49) =6 (36x 2 +84x+48)(36x 2 +84x+49)=72. Đặt t = (6x+7) 2 => t 0 Phơng trình trở thành : ( t - 1) t = 72 t 2 - t - 72 = 0 Giải phơng trình này ta đợc t 1 = - 8(loại) , t 2 = 9 Với t = 9 (6x +7) 2 = 9 (6x +7) 2 - 9 = 0 (6x + 7 - 3)(6x + 7 +3 ) = 0 (6x+4)(6x+10) = 0 = = 3 5 3 2 x x Vậy nghiệm của phơng trình S = {- 3 5 ; 3 2 } b) ( 2 điểm ). Điều kiện : 3 7 3 5 735 037 053 xx x x áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm ta có: 53 x + x37 = 1).53( x + 1).37( x 2 2 137 2 153 = + + + xx Mặt khác 5x 2 - 20x +22 = 5x 2 - 20x +20 +2 = 5( x-2) 2 +2 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = 02 3753 x xx x = 2 ( Thoả mãn điều kiện ). Vậy phơng trình có nghiệm : x = 2. Câu 2 : a. ( 2 điểm ). xy - 2x - 3y + 1 = 0 x ( y - 2 ) - 3 ( y - 2 ) = 5 ( x - 3 ) ( y - 2 ) = 5 Để phơng trình có nghiệm nguyên dơng thì : ( x - 3 ) và ( y - 2 ) là ớc của 5. Ta có hệ phơng trình : = = = = 3 8 12 53 y x y x thoả mãn. = = = = 7 4 52 13 y x y x thoả mãn. = = 52 13 y x không có nghiệm nguyên dơng. = = 12 53 y x không có nghiệm nguyên dơng. Vậy phơng trình có 2 nghiệm : ( 8 ; 3 ) và ( 4 ; 7 ). b. ( 1,5 điểm ). Phơng trình : x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2006 x 3 - x + y 3 - y + z 3 - z =2006 x ( x - 1 )(x + 1) + y( y - 1)(y - 1) + z( z -1)(z +1) =2006 Vì : x ( x -1) ( x +1 ) 6 y ( y -1) ( y +1 ) 6 ( với x ; y ; z Z ) z ( z -1) ( z +1 ) 6 Do đó vế trái chia hết cho 6 ; 2006 không chia hết cho 6. Ta có điều phải chứng minh . Câu 3 : a . ( 1,5 điểm ) Xét hiệu : P - ( x + y 2 + z 3 ) = y 2 - 2y+ z 3 - 3z + 3 = ( y 2 - 2y + 1) + ( z 3 - 3z +2 ) = ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 (z + 2) 0 ( do z + 2 > 0 ) Vậy P x + 2y +3z -3. b . ( 1,5 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Bu Nhi a Cốp Xki ta có : ( x+ 2y +3z ) ++ zyx 321 [ ] 336332 66:3632 36)321( 3 3 2 2 1 321 )3()2()( 2 2 222 222 =++ =++ =++= + + + + ++= zyxP zyx z z y y x x zyx zyx Đẳng thức xảy ra khi : 1 3 3 2 2 1 6 321 1 === == =++ == zyx z z y y x x zyx zy Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 khi x = y = z =1. Câu 4. a. ( 2,5 điểm ) - Học sinh vẽ hình đúng ghi đầy đủ giả thiết và kết luận . - Chứng minh : Xét 2 tam giác ABM và NBM có AB là đờng kính của đ- ờng tròn (O) == BMNBMA 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) . Vì M là trung điểm cung nhỏ AC nên MBNMBA = . Mặt khác BM là đờng cao nên BAN cân tại B . Ta lại có tứ giác ABCM nội tiếp nên NABMCN = ( cùng bù MCB ) Mà ANBBAN = ( BAN cân ) . = CNMMCN MCN cân tại M . b . ( 2 điểm ) Theo giả thiết : MB =MQ MBQ cân MQN = MBC ( c.g.c ) QN = BC Mặt khác AC BC nên AB 2 = BC.BQ =BC(BN + QN ) = BC(AB + BC ) thay vào ta có : ( 2R) 2 = BC ( BC + 2R ) BC 2 + 2R.BC - 4R 2 =0 BC = ( 5 - 1 ) R. B C N M M A Q x Câu 5 : ( 2 điểm ). Luôn luôn tồn tại 2006 điểm thỏa mãn điều kiện đề bài . Cách xác định các điểm nh sau : Trên mặt phẳng dựng nửa đờng tròn đờng kính AB trên đó lấy 2006 điểm đôi một khác nhau , khác điểm A hoặc điểm B. Nh vậy 3 điểm bất kì trong chúng đều không thẳng hàng , là 3 đỉnh của tam giác tù vì tam giác đó có một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đờng tròn. . điểm ). xy - 2x - 3y + 1 = 0 x ( y - 2 ) - 3 ( y - 2 ) = 5 ( x - 3 ) ( y - 2 ) = 5 Để phơng trình có nghiệm nguyên dơng thì : ( x - 3 ) và ( y - 2 ) là. z + 2006 x 3 - x + y 3 - y + z 3 - z =2006 x ( x - 1 )(x + 1) + y( y - 1)(y - 1) + z( z -1 )(z +1) =2006 Vì : x ( x -1 ) ( x +1 ) 6 y ( y -1 ) ( y +1 )