Dạy học phương trình vô tỷ ở trường Trung học Phổ thông theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ KHIÊU DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ KHIÊU DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI – 2016 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu, thầy cô giáo trƣờng Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, nhiệt tình giảng dạy hết lịng giúp đỡ trình học tập nghiên cứu đề tài Luận văn đƣợc hoàn thành trƣờng Đại học Giáo dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội dƣới hƣớng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Nhụy Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy cô trƣờng Trung học phổ thơng Phụ Dực, Thái Bình tạo điều kiện để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Tập thể em học sinh lớp 12A1, 12A2 12A3 khóa 2013 – 2016 Trƣờng THPT Phụ Dực, Thái Bình giúp đỡ tác giả nhiều q trình thực nghiệm sƣ phạm, để kiểm tra đƣợc tính khả thi hiệu đề tài luận văn Sự quan tâm giúp đỡ gia đình bạn bè, đặc biệt lớp cao học Lý luận Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn K10 Trƣờng Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, nguồn động viên cổ vũ to lớn tiếp thêm sức mạnh cho tác giả suốt năm tháng học tập thực đề tài Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đƣợc lƣợng thứ mong ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả Lê Thị Khiêu i DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ BĐT Bất đẳng thức GV Giáo viên HS Học sinh KHGD Khoa học giáo dục Nxb Nhà xuất PH&GQVĐ Phát giải vấn đề PPDH Phƣơng pháp dạy học PT Phƣơng trình TB Trung bình THPT Trung học phổ thơng TSĐH Tuyển sinh Đại học VP Vế phải VT Vế trái ii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ v DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ vi MỞ ĐẦU Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ 1.1.1 Thuật ngữ lịch sử nghiên cứu vấn đề 1.1.2 Những khái niệm 1.1.3 Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề 1.2 Thực trạng dạy học giải phƣơng trình vơ tỷ trƣờng THPT nay15 1.2.1 Mục đích điều tra 15 1.2.2 Phƣơng pháp điều tra 15 1.2.3 Kết điều tra 16 1.2.4 Nhận xét chung 17 1.3 Kết luận chƣơng 18 Chƣơng RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PT VÔ TỶ CHO HỌC SINH THÔNG QUA PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 19 2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ nhận biết, tƣơng tự hóa, khái quát hóa giải tập tốn thơng qua hệ thống tập điển hình 19 2.1.1 Cơ sở biện pháp 19 2.1.2 Hệ thống kiến thức phƣơng trình 20 2.1.3 Các phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ 23 2.2 Biện pháp 2: Tăng cƣờng cho học sinh cách tìm nhiều lời giải cho iii toán 56 2.2.1 Cơ sở biện pháp 56 2.2.2 Các ví dụ minh họa 57 2.3 Biện pháp 3: Hƣớng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi PH&GQVĐ giải phƣơng trình vơ tỷ 65 2.3.1 Cơ sở biện pháp 65 2.3.2 Các ví dụ minh họa 67 2.4 Kết luận chƣơng 80 Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 82 3.1 Mục đích thực nghiệm 82 3.2 Nội dung thực nghiệm 82 3.3 Tổ chức thực nghiệm 82 3.3.1 Đối tƣợng thực nghiệm 82 3.3.2 Thời gian thực nghiệm 82 3.3.3 Nội dung thực nghiệm 83 3.4 Kết kiểm tra 98 3.5 Kết luận chƣơng 99 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 iv DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ Trang Bảng 3.1 Thống kê phân tích số liệu kết kiểm tra 30 phút 97 Bảng 3.2 Thống kê phân tích số liệu kết kiểm tra 45 phút 98 v DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ Trang Sơ đồ 1.1 Sơ đồ giải vấn đề 10 vi MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nền giáo dục Việt Nam trình đổi kéo theo đổi tồn diện chƣơng trình giáo dục phổ thơng theo định hƣớng hình thành phát triển lực cho học sinh; phù hợp với xu phát triển chung giới Trong có lực phát giải vấn đề Với tốc độ phát triển kinh tế xã hội, đòi hỏi lớp ngƣời lao động phải nhạy bén nắm bắt tình hình, khả phát vấn đề, sau nhanh chóng vận dụng tri thức, kinh nghiệm… đƣa giải pháp thích hợp để giải vấn đề Thơng qua mơn học nhà trƣờng, ngƣời giáo viên cần hình thành cho học sinh lực phát giải vấn đề, từ đơn giản đến phức tạp Con đƣờng để học sinh nắm bắt đƣợc tri thức phải đƣờng thầy trị đồng hành, tìm hiểu khám phá tri thức Ngƣời thầy giống nhƣ ngƣời bạn lớn, với kiến thức, phƣơng pháp, kinh nghiệm… thân, giúp cho học sinh đến với tri thức cách tự nhiên, tạo cho học sinh cảm giác nhƣ thân ngƣời tìm tri thức đó.Có nhƣ khắc phục đƣợc lối dạy truyền thụ tri thức cách thụ động, tạo hứng thú học tập cho ngƣời học Mơn Tốn mơn khoa học song tƣơng đối khó Ngay từ bé, tâm trí ngƣời coi mơn Tốn mơn học chính, đánh giá học sinh có học giỏi hay khơng thơng qua khả học tốn Điều gây áp lực không nhẹ lên ngƣời học phải học tốt mơn Tốn dù có thích hay khơng học cách Để giúp học sinh u thích mơn Tốn, không áp lực học, trƣớc hết ngƣời giáo viên phải thay đổi phƣơng pháp dạy học để kích thích đƣợc niềm đam mê tốn học, khơng cịn gánh nặng cho học sinh đến tiết học Tốn Vì vậy, dạy học theo phƣơng pháp phát giải vấn đề phƣơng pháp dạy học tích cực, đảm bảo đƣợc yêu cầu nêu khắc phục đƣợc nhƣợc điểm phƣơng pháp dạy học truyền thống Chủ đề “Phƣơng trình vơ tỷ” chủ đề quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng Các em học sinh đƣợc làm quen từ cấp lên cấp đƣợc hoàn thiện kiến thức nhƣ kĩ giải phƣơng trình vơ tỷ Nội dung chủ đề đƣợc nêu sách giáo khoa lớp 10, đƣợc vận dụng thƣờng xuyên lớp trên, thƣờng xuyên xuất đề thi tuyển sinh Đại học Để nâng cao kĩ giải phƣơng trình vơ tỷ, phát triển lực phát giải vấn đề cho ngƣời học; nên chọn đề tài này, để nghiên cứu kĩ lƣỡng phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề, giúp cho thân nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, nâng cao chất lƣợng dạy học Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa sở lý luận đồng thời làm rõ nội dung phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề Hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ theo hƣớng dạy học phát giải vấn đề Nghiên cứu cách sử dụng máy tính bỏ túi Casio hỗ trợ giải phƣơng trình vơ tỷ Phạm vi nghiên cứu Q trình dạy học phƣơng trình vơ tỉ Trung học phổ thơng q trình ơn tập chuẩn bị cho kì thi Trung học phổ thơng Quốc gia Giả thuyết nghiên cứu Trên sở lí luận phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề, thực tiễn dạy học phƣơng trình vơ tỷ trƣờng THPT, khai thác vận dụng đƣợc quy trình dạy học phát giải vấn đề dạy học số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh việc học tập mơn Tốn THPT 4) 3𝑥 + + 5𝑥 + = 𝑥 + 6𝑥 + 13 *) Bước 2+3: Khám phá vấn đề, chọn HS thử làm nháp trả lời câu hỏi chiến lược phương pháp giải( 23 phút) giáo viên: khơng (?) Em có giải đƣợc phƣơng trình Vì nâng lên lũy thừa đƣợc PT đa phƣơng pháp nâng lên lũy thừa hay thức với số mũ cao mà lại khó khơng? Vì sao? để phân tích thành phƣơng trình tích đƣợc + Phân tích PT (1)và (2): Em có nhận xét HS phát mối quan hệ: mối quan hệ biểu thức (3x+2) - (x+3) = 2x-1 = VP(1) với biểu thức ngồi căn? Từ ta dùng cách để giải phƣơng trình?  2x     x   x  x   2( x  4) Vì ta dùng pp nhân liên hợp trực tiếp + Phân tích PT (3): Ở phƣơng trình (3) có Khơng mối liên hệ giống phƣơng trình (1) hay khơng? (?) Sử dụng máy tính em có dị đƣợc HS thao tác máy tính bỏ túi, nghiệm phƣơng trình (3) khơng? tìm đƣợc nghiệm x = (?) Vậy nghĩa phƣơng trình có chứa PT có chứa nhân tử x – nhân tử nào? (?) Khi ta dò đƣợc nghiệm - Ta đặt 3𝑥 + = 𝑎 với x = thay phƣơng trình mà nghiệm đẹp, ta giải PT vào ta đƣợc a = 4, tƣơng tự ta đặt theo phƣơng pháp nhân liên hợp để xuất − 𝑥 = 𝑏 với x = thay vào ta nhân tử (x – 5), vấn đề ta biết nhóm đƣợc b = Vậy ta nhóm thành hai 3𝑥 + − 𝑥 với số để đƣợc nhóm: 3𝑥 + − nhân tử ( x -5) ? phƣơng trình + Phân tích PT(4): 6−𝑥−1 - HS thực với nghiệm dò đƣợc (?) GV yêu cầu học sinh thử giải phƣơng nhƣng gặp bế tắc trình theo hƣớng PT(3) 89 (?) GV hỏi lớp em dò đƣợc HS dò nghiệm, nhƣng nghiệm, nghiệm nào? bạn lại trả lời kết khác Cuối chấp nhận PT có hai nghiệm đẹp (?) Các em có biết lí làm - Có thể có HS biết câu trả lời, để biết phƣơng trình có GV nhắc lại giúp lớp hiểu rõ nghiệm cách tƣơng đối không? Trong trƣờng hợp Thao tác: Sử dụng chức TABLE GV giải đáp thao (MODE 7) để kiểm soát số nghiệm PT tác máy tính cách tƣơng đối Sau quay MODE 1, sử dụng SHIFT CALC để dò nghiệm PT gần khoảng nghiệm mà MODE tìm (trong trƣờng hợp nghiệm lẻ) Cịn này, MODE cho hai nghiệm đẹp (? ) Vậy PT (4) có nhân tử khơng? - Vì PT(4) có nghiệm x = x = nên có nhân tử : x(x-1) = x2 – x Tức ta cần nhóm với số hay với - Ta nhóm với nhị thức bậc x, nhóm với số biểu thức x? khơng nhân tử x2 –x mà ta thử vừa (?) Vậy ta làm để nhị thức - Ta đặt: 3𝑥 + = 𝑎𝑥 + 𝑏 bậc đó? Và 5𝑥 + = 𝑐𝑥 + 𝑑 Vậy ta có nhóm nào? Sau thay x = 0, x = vào ta tìm đƣợc a = 1, b = 2, c = 1, d = suy (2 3𝑥 + − (𝑥 + 2)) (3 5𝑥 + − (𝑥 + 3)) *) Bước 4: Trình bày giải pháp(15 phút) GV yêu cầu HS làm việc theo nhóm, nhóm trình bày lời giải cho 90 bảng nhóm Sau cho nhóm nhận xét chéo, đánh giá lỗi hay mắc phải để lớp rút kinh nghiệm trình bày Cụ thể: 3𝑥 + + 𝑥 + = 2𝑥 − 1) (1) Điều kiện: 𝑥 ≥ −2/3 Điều kiện kéo theo: Do VT(1) > nên 𝑉𝑃 > Suy 𝑥 > 1/2 * Xét 3𝑥 + − 𝑥 + = ⇔ 𝑥 = 1/2 Thay vào phƣơng trình (1) khơng thỏa mãn * Xét 3𝑥 + + 𝑥 + ≠ ⇔ 𝑥 ≠ 1/2 3𝑥+2−𝑥−3 (1) ⇔ ⇔ ⇔ 3𝑥+2− 𝑥+3 2𝑥−1 3𝑥+2− 𝑥+3 = 2𝑥 − = 2𝑥 − 2𝑥 − = =0 3𝑥+2− 𝑥+3 ⇔ 𝑥= 𝑙𝑜ạ𝑖 3𝑥 + − 𝑥 + = Kết hợp với PT(1) ta đƣợc hệ PT: 3𝑥 + + 𝑥 + = 2𝑥 − 3𝑥 + − 𝑥 + = Cộng vế ta đƣợc: 3𝑥 + = 2𝑥 ⇔ 3𝑥 + = 𝑥 ⇔ 𝑥≥0 3𝑥 + = 𝑥 ⇔𝑥= 3+ 17 (thỏa mãn điều kiện) Vậy PT cho có nghiệm 𝑥 = 3+ 17 91 2) 3𝑥 + − − 𝑥 + 3𝑥 − 14𝑥 − = Điều kiện: −1 ≤𝑥≤6 PT (2) ⇔ ( 3𝑥 + − 4) − ( − 𝑥 − 1) + 3𝑥 − 14𝑥 − = ⇔ 3𝑥+1−16 3𝑥+1+4 6−𝑥−1 − 6−𝑥+1 + 3𝑥 − 14𝑥 − = ⇔ 3(𝑥−5) 3𝑥+1+4 𝑥−5 + 6−𝑥+1 + 3𝑥 + 𝑥 − = ⇔ 3𝑥+1+4 𝑥−5=0 + 3𝑥 + = (∗) + 6−𝑥+1 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) PT(*) vơ nghiệm VT(*) > 0, với x thỏa mãn điều kiện Vậy PT có nghiệm x = 3) 3𝑥 + + 5𝑥 + = 𝑥 + 6𝑥 + 13 Điều kiện: 𝑥 ≥ −4/3 ⇔ PT ⇔ 3𝑥 + − 𝑥 − + 5𝑥 + − 𝑥 − = 𝑥 + 𝑥 2(−𝑥 −𝑥) 3𝑥+4+𝑥+2 ⇔ + 3𝑥+4+𝑥+2 3(−𝑥 −𝑥) 5𝑥+9+𝑥+3 = 𝑥2 + 𝑥 −𝑥 − 𝑥 = + + = (∗) 5𝑥+9+𝑥+3 ⇔ x = x = PT(*) vô nghiệm VT(*) > 0, ∀ x ≥ −4/3 PT cho có nghiệm x = 0; x = 4) 3𝑥 − + 19𝑥 − 30 = 2𝑥 − 7𝑥 + 11 92 Điều kiện: 𝑥 ≥ 5/3 PT ⇔ 3𝑥 − − 𝑥 − + 19𝑥 − 30 − 𝑥 = 2𝑥 − 10𝑥 + 12 ⇔ 3𝑥−5−(𝑥−1)2 3𝑥−5+ 𝑥−1 19𝑥−30−𝑥 +23 19𝑥−30 +𝑥 = 2(𝑥 − 5𝑥 + 6) ⇔ − 𝑥 −5𝑥+6 3𝑥−5+ 𝑥−1 −2 𝑥+5 𝑥 −5𝑥+6 19𝑥−30 +𝑥 = 2(𝑥 − 5𝑥 + 6) ⇔ 𝑥 − 5𝑥 + = 3𝑥−5+ 𝑥−1 +23 (𝑥+5) 19𝑥−30 +𝑥 +2=0 ∗ ⇔ x = x = (thỏa mãn điều kiện) PT(*) vô nghiệm VT(*) > với 𝑥 ≥ 5/3 Vậy PT cho có nghiệm x = x = *) Bước 5: Nghiên cứu sâu giải pháp(7 phút) - Hãy tổng kết lại trình làm tập vừa để có cách nhìn tổng qt vế phƣơng pháp nhân liên hợp *) Dạng bài: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑕(𝑥) với *) Dạng bài: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = f(x) – g(x) = h(x) có nhân tử chung 𝑕(𝑥)với f(x) – g(x) = h(x) có nhân tử chung giống giống Cách giải ta nhân liên hợp trực tiếp 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 với 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) - Trong phƣơng trình mà dò đƣợc - Nếu ta dò đƣợc nghiệm đẹp nghiệm đẹp? PT: x = x0 dự đốn nghiệm 93 ta ghép với số a cách thay x = x0 vào để tìm a - Nếu dị đƣợc hai nghiệm đẹp? - Nếu dò đƣợc hai nghiệm đẹp PT x = x1 x = x2 ta ghép với nhị thức bậc nhất, tức đặt 𝑓 𝑥 = ax + b, sau thay hai nghiệm x = x1 x = x2 vào để tìm a b - GV yêu cầu học sinh nhà làm tập tƣơng tự sau Giải phƣơng trình sau: 1) 2𝑥 + 𝑥 + + 2𝑥 − 𝑥 + = 𝑥 + 2) 2𝑥 − + 𝑥 − 4𝑥 = 4𝑥 3) 4𝑥 + + 𝑥 + = 3𝑥 + 4) 𝑥 − 9𝑥 + 24 − 6𝑥 − 59𝑥 + 149 = 5−𝑥 5) 𝑥 + 15 = 3𝑥 − + 𝑥 + 6) 𝑥 + 3𝑥 + + 𝑥 + 2𝑥 + = 𝑥 − 𝑥 + + 6𝑥 Bài kiểm tra 30 phút Bài (4 điểm) Giải phƣơng trình 4𝑥 − = 2𝑥 − 6𝑥 − Bài (6 điểm) Giải phƣơng trình 3𝑥 − − 𝑥 + = 2𝑥 − 𝑥 − Đáp án Bài 1: Điều kiện: 𝑥 ≥ −5/4 4𝑥 − = 2𝑥 − 6𝑥 − 94 ⇔ 4𝑥 + = 4𝑥 + 36𝑥 + − 24𝑥 − 4𝑥 + 12𝑥 ⇔ 4𝑥 − 24𝑥 + 32𝑥 + 8𝑥 − = ⇔ 𝑥 − 6𝑥 + 8𝑥 + 2𝑥 − = ⇔ 𝑥 (𝑥 − 3)2 − 𝑥 − =0 ⇔ 𝑥 𝑥−3 +𝑥−1 𝑥 𝑥−3 −𝑥+1 =0 ⇔ 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 − = ⇔ 𝑥 − 4𝑥 + = 𝑥 − 2𝑥 − = ⇔ 𝑥 =2± 𝑥 =1± Đối chiếu với điều kiện, PT có nghiệm 𝑥 = ± 3và 𝑥 = ± Bài 2: Điều kiện: 𝑥 ≥ 2/3 3𝑥 − − 𝑥 + = 2𝑥 − 𝑥 − (1) 3x   x    x  3 x  1 3x   x  2x     x  3 x  1 3x   x  2 x      x 1  3x   x     x  (tm)    x 1  3x   x  Giải (2): Xét hàm số g(x) = 3𝑥 − + 𝑥 + Ta có g’(x) =   ∀𝑥 ∈ 3x  2 x  ⇒ Hàm số g(x) đồng biến ⇒ Hàm số f ( x)  ⇒𝑓 𝑥 ≤𝑓 = (2) ; +∞) ; +∞) ; +∞) nghịch biến g ( x) 15 1 (4) Tù (3) (4) suy PT(2) vơ nghiệm Phƣơng trình (1) có nghiệm x = 3/2 Bài kiểm tra 45 phút Bài (4 điểm) Giải phƣơng trình 𝑥 − 𝑥 − 18 + 2𝑥 + 𝑥 + − 5𝑥 − = Bài (3 điểm) Giải phƣơng trình 𝑥+1 3𝑥 + + 𝑥 + 2𝑥 + = 𝑥 − 𝑥 + + 6𝑥 Bài (3 điểm) Giải phƣơng trình 𝑥 + + 3𝑥 + = 𝑥 + 2𝑥 + Đáp án Bài Điều kiện: 𝑥 ≥ 1/5 𝑥 − 𝑥 − 18 + 2𝑥 + ⇔ 2𝑥 +   2x  9 𝑥 + − 5𝑥 − = (1) 𝑥 + − + 2 − 5𝑥 − + 𝑥 + 3𝑥 − = x 1  5x   ( x  1)( x  4)  x32  5x   x 1    2x  10   x40  x   2  x  x    2x  10    x40  x   2  x  Giải (2): Xét g(x) = Ta có g’(x) = 2x  10   x  x   2  5x  2x   x  x3 (2)  x32  5  ⇒ Hàm số g(x) đồng biến 5x  1  ; +∞) 96 5x    ; +∞) 1    0x   ;   5    227  94  g ( x)  g    0 10 5 ⇒ PT (2) vơ nghiệm Vậy phƣơng trình có nghiệm x = Bài Điều kiện: 𝑥 ≥ −1/3 𝑥+1 3𝑥 + + 𝑥 + 2𝑥 + = 𝑥 − 𝑥 + + 6𝑥 ⇔ 𝑥+1  3𝑥 + − 𝑥 + (1) + − 𝑥 − 𝑥 + + 𝑥 + 3𝑥 − 4𝑥 = ( x  1)( x  x) 2( x  x)   x( x  1)( x  4)  3x   ( x  1)  x  x   x2  x    x 1   ( x  4)   3x   ( x  1) 1 x  x 1  x   x  x 1     ( x  4)   3x   ( x  1)  x  x  Ta thấy: VT(2) < + – x + = - x – < ∀𝑥 ∈ (2) −1 ; +∞) Suy PT(2) vơ nghiệm Vậy phƣơng trình cho có hai nghiệm x = x = Bài Điều kiện: 𝑥 ≥ 𝑥 + + 3𝑥 + = 𝑥 + 2𝑥 + (1) ⇔ 𝑥 + − 2𝑥 + = 𝑥 − 3𝑥 +   x   2x  x  3x   x   x  2 x  3x  1 x x 1  x   x  2 x  3x  x   1    x   x  2 x  3x  (2) Giải (2) ⇔ 𝑥 + 2𝑥 + = − 𝑥 + − 3𝑥 + ⇔ 𝑥 + + 3𝑥 + = − − 𝑥 − 2𝑥 + 97 (3) Từ (1) (3) ta có: 2( 𝑥 + + 3𝑥 + 1) = ⇔ 𝑥+3=0 (vô nghiệm) 3𝑥 + = Vậy phƣơng trình có nghiệm x = 3.4 Kết kiểm tra Số lƣợng kiểm tra lớp đạt điểm rải rác từ đến 10 Bảng 3.1 Thống kê phân tích số liệu kết kiểm tra 30 phút Điểm 𝑆𝑥 10 Tổng TB 12A1 1 15 14 47 6,4 1,47 1,21 12A3 16 13 1 43 6,5 1,32 1,15 12 10 0 47 5,3 2,56 𝑆𝑥2 12A2 1 1,6 Bảng 3.2 Thống kê phân tích số liệu kết kiểm tra 45 phút Điểm 12A1 12 15 10 12A3 12 14 11 12 10 12A2 2 10 TB 𝑆𝑥2 𝑆𝑥 6,57 1,28 1,13 6,98 1,33 1,15 5,53 2,63 1,62 Để so sánh đánh giá kết kiểm tra học sinh, chúng tơi sử dụng đại lƣợng sau: Điểm trung bình 𝑥 , phƣơng sai 𝑆𝑥2 , độ lệch chuẩn (𝑆𝑥 ) Trong đó: - Số trung bình: 𝑥= 𝑁 10 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1 𝑓𝑖 tần số (số đạt điểm); 𝑥𝑖 điểm; N tổng số kiểm tra (bằng sĩ số lớp) Ý nghĩa: Số điểm trung bình đặc trƣng cho tập trung điểm số - Phƣơng sai: 𝑆𝑥2 = 𝑁 10 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑖=1 - Độ lệch chuẩn: 𝑆𝑥 = 𝑆𝑥2 98 Ý nghĩa: Phƣơng sai độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán điểm số so với điểm trung bình Giá trị nhỏ chứng tỏ số liệu bị phân tán Qua việc phân tích số liệu, có nhận xét sau: - Điểm trung bình lớp thực nghiệm cao Tuy nhiên, điểm trung bình đạt 6,5 chƣa đƣợc cao, sau trao đổi lại với học sinh, lí đại đa số học sinh đƣa em làm không đủ thời gian, nên không kịp kiểm tra lại làm dẫn đến lỗi sai tính tốn trình bày - Ở lớp thực nghiệm có kết phƣơng sai, độ lệch chuẩn nhỏ, chứng tỏ học sinh lớp thực nghiệm học hơn, điều cho thấy dạy học theo phƣơng pháp phát giải vấn đề giúp thu hút học sinh hơn, hƣớng tất học sinh vào hoạt động lớp, thúc đẩy tự giác học, nghiên cứu tài liệu tham khảo, nâng cao khả tự học học sinh - Một số học sinh lớp thực nghiệm có điểm do: kiểm tra em tìm hƣớng giải nhƣng chƣa nhanh, làm nhiều thời gian, nên tính tốn có sai xót Tức giáo viên cần động viên em nhà làm nhiều tập để nâng cao khả tính tốn Đánh giá ban đầu cho thấy: dạy học theo phƣơng pháp phát giải vấn đề giúp nâng cao tích tích cực học tập học sinh, thu hút đƣợc tất em học sinh lớp tham gia vào hoạt động học tập, nâng cao chất lƣợng dạy học 3.5 Kết luận Chƣơng Qua việc tổ chức, theo dõi diễn biến học thực nghiệm, kết hợp với trao đổi với giáo viên học sinh, đặc biệt việc xử lí kiểm tra, tơi có nhận xét sau: - Nhìn chung việc dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ theo phƣơng pháp phát giải vấn đề trƣờng phổ thơng có tính khả thi bƣớc đầu đem lại hiệu - Tuy nhiên, tơi thấy cịn số hạn chế: + Đối tƣợng thực nghiệm cịn ít, cần phải đƣợc mở rộng thêm + Việc dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ theo phƣơng pháp phát giải vấn đề đòi hỏi giáo viên cần soạn giáo án tỉ mỉ hơn, nhiều thời gian công sức hơn, đồng thời phải lƣờng trƣớc đƣợc tình xảy ra, tức phải có 99 kinh nghiệm giảng dạy, đòi hỏi học sinh phải có trình độ nhận thức định, có tính tự giác tình thần hợp tác + Trong trình vận dụng phƣơng pháp phát giải vấn đề nên kết hợp với phƣơng pháp khác, nhƣ phối kết hợp với phƣơng tiện đại, mục đích giúp học sinh linh hoạt, sáng tạo, nhanh chóng nắm bắt đƣợc kiến thức 100 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua trình nghiên cứu thực đề tài luận văn, số kết thu đƣợc nhƣ sau: - Luận văn trình bày tổng quan vấn đề sở lí luận PPDH phát giải vấn đề, bao gồm: khái niệm vấn đề, tình gợi vấn đề, phƣơng pháp dạy học PH&GQVĐ, bƣớc dạy học PH&GQVĐ… - Trên sở nghiên cứu lí luận tổng kết kinh nghiệm nhà sƣ phạm, dựa vào nghiên cứu thực tiễn dạy học chủ đề phƣơng trình vơ tỉ trƣờng THPT, Luận văn trình bày cụ thể số biện pháp dạy học phƣơng trình vơ tỉ trƣờng THPT theo phƣơng pháp phát giải vấn đề, biện pháp trình bày phân tích cụ thể, tốn áp dụng gợi ý định hƣớng cách giải toán Đặc biệt Luận văn có trình bày biện pháp 3, sử dụng máy tính bỏ túi để định hƣớng tìm lời giải cho tốn nhanh, xác - Kết thực nghiệm sƣ phạm phản ánh đƣợc việc vận dụng phƣơng pháp PH&GQVĐ vào thực tiễn q trình dạy học có tính khả thi hiệu Khuyến nghị Qua nghiên cứu đề tài thực nghiệm sƣ phạm, để việc vận dụng PPDH PH&GQVĐ vào dạy học mơn Tốn trƣờng THPT nhằm nâng cao lực giải vấn đề cho học sinh cách hiệu quả, xin có số khuyến nghị sau: - Thứ là, vận dụng phƣơng pháp PH&GQVĐ để xây dựng nội dung chủ đề cho việc giảng dạy mơn Tốn - Thứ hai là, trƣờng THPT nên thƣờng xuyên tổ chức hội thảo giảng dạy, học tập trao đổi kinh nghiệm, biên soạn tài liệu giảng dạy theo hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học, có phƣơng pháp phát giải vấn đề Nhƣ nói, mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn hoàn thành Tác giả mong muốn nội dung Luận văn tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp bạn sinh viên trƣờng sƣ phạm Tốn Tuy nhiên q trình nghiên cứu khó tránh khỏi sai sót, chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp, xây dựng quý thầy cô bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn! 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo (2005), Tài liệu bồi dưỡng: “Nâng cao lực cho giáo viên THPT đổi PPDH mơn Tốn” Viện nghiên cứu Sƣ phạm – ĐHSP Hà Nội Nguyễn Hữu Châu (2015), Phương pháp dạy học mơn Tốn, tập giảng dành cho học viên cao học Đại học Giáo Dục – ĐH Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề chương trình trình dạy học Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Châu, Dạy học giải vấn đề mơn Tốn Tạp chí nghiên cứu Giáo dục số – 1995 Nguyễn Hữu Châu, Giải vấn đề số cách phân loại vấn đề mơn Tốn Trường Phổ thơng Tạp chí KHGD số 54, 1996 Bùi Văn Cƣờng, Mai Văn Chinh nhóm tác giả (2014), Chinh phục hệ phương trình đề thi Quốc gia Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Đồn Trí Dũng – Bùi Thế Việt (2015), Phương pháp sử dụng máy tính Casio giải Tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.Nxb Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh Lê Văn Đồn (2015), Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỷ Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Hồng Đức (chủ biên) (2005), Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ Nxb Hà Nội 10 Lê Hồng Đức (chủ biên) (2006), Bài giảng chuyên sâu toán THPT “Giải toán đại số 10” Nxb Hà Nội 11 Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí (2010), Phương pháp giải toán đại số Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 12 Phạm Văn Hoàn (chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học mơn Tốn Nxb Giáo dục, Hà Nội 102 13 Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội 14 Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Giáo dục, Hà Nội 15 Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường Phổ thơng Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội 16 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội 17 Bùi Văn Nghị, Nguyễn Thị Thanh Bình (2008), Dạy học phát giải vấn đề “Định lý Ta-let tam giác” (HH8) Tạp chí Giáo dục số 199, tháng 10/2008, trang 31 18 Phạm Quốc Phong (2010), Bồi dưỡng đại số 10 Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 19 I Ia Lerner (1997), Dạy học nêu vấn đề Nxb Giáo dục, Hà Nội 20 V Okon (1976), Những sở việc dạy học nêu vấn đề (sách bồi dưỡng giáo viên) Nxb Giáo dục, Hà Nội 21 G Polya (1997), Giải Toán Nxb Giáo dục, Hà Nội 22 G Polya (1995), Tốn học suy luận có lý Nxb Giáo dục, Hà Nội 23 G Polya (1997), Sáng tạo Toán học Nxb Giáo dục, Hà Nội 103