Đang tải... (xem toàn văn)
41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 41 đề thi học sinh giỏi toán lớp 9
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 41 ĐỀ THI HSG TỐN CĨ ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho biểu thức : A ( x 1 x 1 )2 x2 1 1 x2 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Giải phương trình theo x A = -2 Câu ( điểm ) Giải phương trình 5x 3x x Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , ) đường thẳng (D) : y = - 2(x +1) a) Điểm A có thuộc (D) hay khơng ? b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A c) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (D) Câu ( điểm ) Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F , đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ suy tam giác AFK vng cân 2) Gọi I trung điểm FK , Chứng minh I tâm đường tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF , suy điểm A , B , F , I nằm đường tròn ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho hàm số : y = x 1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên vẽ đồ thi hàm số 2) Lập phương trình đường thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a tiếp xúc với đồ thị hàm số Câu ( điểm ) Cho phương trình : x2 – mx + m – = 1) Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức M x12 x 22 Từ tìm m để M > x12 x x1 x 22 2) Tìm giá trị m để biểu thức P = x12 x22 đạt giá trị nhỏ Câu ( điểm ) Giải phương trình : a) x x b) x x Câu ( điểm ) Cho hai đường tròn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai đường tròn (O1) (O2) thứ tự E F , đường thẳng EC , DF cắt P 1) Chứng minh : BE = BF Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 2) Một cát tuyến qua A vng góc với AB cắt (O1) (O2) lần lợt C,D Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 3) Tính diện tích phần giao hai đường tròn AB = R ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) 1) Giải bất phương trình : x x 2) Tìm giá trị nguyên lớn x thoả mãn x 3x 1 Câu ( điểm ) Cho phương trình : 2x2 – ( m+ )x +m – = a) Giải phương trình m = b) Tìm giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng Câu3 ( điểm ) Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; ) b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với giá trị m Câu ( điểm ) Cho góc vng xOy , Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A , đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho biểu thức : A ( xx x x 1 x 2 ) : x x x a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A x Câu ( điểm ) Giải phương trình : 2x x2 x 1 2 x 36 x x x x Câu ( điểm ) Cho hàm số : y = - x a) Tìm x biết f(x) = - ; - ;0;2 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hồnh độ lần lợt -2 Câu ( điểm ) Cho hình vuông ABCD , cạnh BC lấy điểm M Đường trịn đường kính AM cắt đường trịn đường kính BC N cắt cạnh AD E 1) Chứng minh E, N , C thẳng hàng 2) Gọi F giao điểm BN DC Chứng minh BCF CDE 3) Chứng minh MF vng góc với AC ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) 2mx y mx y Cho hệ phương trình : a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để x – y = Câu ( điểm ) x y 1) Giải hệ phương trình : x x y y 2) Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2x1+ 3x2 3x1 + 2x2 Câu ( điểm ) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đường tròn tâm O M điểm chuyển động đường trịn Từ B hạ đường thẳng vng góc với AM cắt CM D Chứng minh tam giác BMD cân Câu ( điểm ) 1) Tính : 5 5 2) Giải bất phương trình : ( x –1 ) ( 2x + ) > 2x( x + ) ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) x 1 Giải hệ phương trình : x 1 7 y 1 4 y 1 Câu ( điểm ) Cho biểu thức : A x 1 : x x x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Câu ( điểm ) Tìm điều kiện tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = x2 + (2m + )x +2 =0 Câu ( điểm ) Cho đường tròn tâm O đường thẳng d cắt (O) hai điểm A,B Từ điểm M d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F tiếp điểm ) 1) Chứng minh góc EMO = góc OFE đường tròn qua điểm M, E, F qua điểm cố định m thay đổi d 2) Xác định vị trí M d để tứ giác OEMF hình vng ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Cho phương trình (m2 + m + )x2 - ( m2 + 8m + )x – = a) Chứng minh x1x2 < b) Gọi hai nghiệm phương trình x1, x2 Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức : S = x1 + x2 Câu ( điểm ) Cho phương trình : 3x2 + 7x + = Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai mà có hai nghiệm : x x1 x1 x2 Câu ( điểm ) 1) Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn , nhỏ x + y x y 16 x y 2) Giải hệ phương trình : 3) Giải phương trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + ( 5m +6)x +2m = Câu ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đườngphân giác góc A , B cắt đường trịn tâm O D E , gọi giao điểm hai đườngphân giác I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N 1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? ĐỀ SỐ Câu1 ( điểm ) Tìm m để phương trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phân biệt Câu ( điểm ) x my mx y Cho hệ phương trình : a) Giải hệ m = Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x > , y > Câu ( điểm ) Cho x , y hai số dơng thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 Chứng minh x2 + y2 + xy Câu ( điểm ) 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Đườngcao tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K cắt đường tròn (O) E a) Chứng minh : DE//BC b) Chứng minh : AB.AC = AK.AD c) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành ĐỀ SỐ Câu ( điểm ) Trục thức mẫu biểu thức sau : A 1 3 B ; 2 ; C 1 Câu ( điểm ) Cho phương trình : x2 – ( m+2)x + m2 – = (1) a) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 = b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phương trình có hai nghiệm khác Câu ( điểm ) Cho a 2 ;b 2 Lập phương trình bậc hai có hệ số số có nghiệm x1 = a b 1 ; x2 b a 1 Câu ( điểm ) Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vng 2) Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đường tròn 3) E trung điểm IJ , đường thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn ĐỀ SỐ 10 Câu ( điểm ) 1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x2 2)Viết phương trình đường thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm đường thẳng vừa tìm với đồ thị Câu ( điểm ) a) Giải phương trình : Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x x 1 x x 1 b)Tính giá trị biểu thức S x y y x với xy (1 x )(1 y ) a Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đường trịn đường kính AB , AC cắt D Một đường thẳng qua A cắt đường trịn đường kính AB , AC lần lợt E F 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đường tròn 3) Xác định vị trí đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn Câu ( điểm ) Cho F(x) = x x a) Tìm giá trị x để F(x) xác định b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn ĐỀ SỐ 11 Câu ( điểm ) 1) Vẽ đồ thị hàm số y x2 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đường thẳng vừa tìm với đồ thị Câu ( điểm ) 1) Giải phương trình : x x 1 x x 1 2) Giải phương trình : 2x 4x 5 x 2x Câu ( điểm ) Cho hình bình hành ABCD , đườngphân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M N Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC 1) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 2) Chứng minh B , C , D , O nằm đường tròn Câu ( điểm ) Cho x + y = y Chứng minh x2 + y2 ĐỀ SỐ 12 Câu ( điểm ) 1) Giải phương trình : x x 2) Xác định a để tổng bình phương hai nghiệm phương trình x2 +ax +a –2 = bé Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( ; 0) đường thẳng x – 2y = - a) Vẽ đồ thị đường thẳng Gọi giao điểm đường thẳng với trục tung trục hoành B E Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 b) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng x – 2y = -2 c) Tìm toạ độ giao điểm C hai đường thẳng Chứng minh EO EA = EB EC tính diện tích tứ giác OACB Câu ( điểm ) Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = (1) a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để x12 x 22 đạt giá trị bé , lớn Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đườngcao AH , gọi trung điểm AB , BC theo thứ tự M , N E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc của B , C đường kính AD a) Chứng minh MN vng góc với HE b) Chứng minh N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF ĐỀ SỐ 13 Câu ( điểm ) So sánh hai số : a 11 ;b 3 Câu ( điểm ) Cho hệ phương trình : 2 x y 3a x y Gọi nghiệm hệ ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Câu ( điểm ) Giả hệ phương trình : x y xy 2 x y xy Câu ( điểm ) 1) Cho tứ giác lồi ABCD cặp cạnh đối AB , CD cắt P BC , AD cắt Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt điểm 3) Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh AB AD CB.CD AC BA.BC DC.DA BD Câu ( điểm ) Cho hai số dơng x , y có tổng Tìm giá trị nhỏ : S xy x y ĐỀ SỐ 14 Câu ( điểm ) Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Tính giá trị biểu thức : P 2 2 2 2 Câu ( điểm ) 1) Giải biện luận phương trình : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 2) Cho phương trình x2 – x – = có hai nghiệm x1 , x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : x1 x ; x2 x2 Câu ( điểm ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức : P 2x nguyên x2 Câu ( điểm ) Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đường trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I , CM cắt đường tròn E , EN cắt đường thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB 3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB Đề số 15 Câu ( điểm ) x xy y Giải hệ phương trình : y xy Câu ( điểm ) Cho hàm số : y x2 y = - x – a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – cắt đồ thị hàm số y x2 điểm có tung độ Câu ( điểm ) Cho phương trình : x2 – 4x + q = a) Với giá trị q phương trình có nghiệm b) Tìm q để tổng bình phương nghiệm phương trình 16 Câu ( điểm ) 1) Tìm số nguyên nhỏ x thoả mãn phương trình : x x 1 2) Giải phương trình : Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x2 1 x2 1 Câu ( điểm ) Cho tam giác vng ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH đườngcao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đườngcao AH F Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM D Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM N a) Chứng minh OM//CD M trung điểm đoạn thẳng BD b) Chứng minh EF // BC c) Chứng minh HA tia phân giác góc MHN Đề số 16 Câu : ( điểm ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Câu : ( 2,5 điểm ) 1 1 Cho biểu thức : A= : 1- x x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ Câu : ( điểm ) Cho phương trình bậc hai : x 3x gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Khơng giải phương trình , tính giá trị biểu thức sau : 1 2 x1 x2 1 c) x1 x2 b) x12 x22 a) d) x1 x2 Câu ( 3.5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD , AE lần lợt cắt đường tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c) AC song song với FG d) Các đường thẳng AC , DE BF đồng quy Đề số 17 Câu ( 2,5 điểm ) a a 1 a a 1 a : a a a a a2 Cho biểu thức : A = Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên a A có giá trị ngun Câu ( điểm ) Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đườngAB thời gian dự định lúc đầu Câu ( điểm ) x y x y 3 a) Giải hệ phương trình : 1 x y x y x5 x 5 x 25 b) Giải phương trình : x x x 10 x x 50 Câu ( điểm ) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đường trịn đường kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm lần lợt O , I , K Đườngvng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm cuae EA , EB với nửa đường tròn (I) , (K) Chứng minh : a) EC = MN b) MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I) (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn ĐỀ 18 Câu ( điểm ) Cho biểu thức : A = 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1) Rút gọn biểu thức A 2) Chứng minh biểu thức A dơng với a Câu ( điểm ) Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - = 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m 3) Với giá trị m x1 x2 dơng Câu ( điểm ) Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ Câu ( điểm ) 10 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 MAC BMD AMC, MBD Tương tự ta có : MC CD MA AB Do DBM CAM MB BD MA AC MB MC 1 MA MA Suy MA + MB + MC = 2MA 4R Vậy max (MA + MB + MC) = 4R AM đường kính M trung điểm cung BC Đề 20 a b a a 2a a a Cho biÓu thøc: M a a Bi 1: (4 im) Tìm điều kiện biÓu thøc M cã nghÜa Chøng minh r»ng biÓu thøc M không phụ thuộc vào a Bi 2: (5 im) x 3x x x x 4x x 6x x x y2 y b) Giải hệ phương trình : x x 3 y y a) Giải phương trình : Bài 3: (4 điểm) Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : Xét biểu thức :P= x+y2+z3 x y z a.Chứng minh rằng: P x+2y+3z-3? b.Tìm giá trị nhỏ P? Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường Trên tia Bx lấy điểm C, D (C: nằm B D) Các tia AC AD cắt đường tròn E F; hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) MN // Bx b) Tứ giác CDFE nội tiếp Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác có số đo cạnh 6; 10 Tính khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp tam giác HƯỚNG DẴN GIẢI a M a 1 §iỊu kiƯn: a a a 2a 2a a a a 2a a 1 a a a a 1 a 1 a 1 3 a a 1 a KÕt luËn: biểu thức M không phụ thuộc vào a a) Chia tử mẫu hai phân thức cho x đặt biến phụ b) Điều kiện y 77 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x 1 x x x (1) y y y y x x 1 x x y y y y (2) 1 1 1 Cộng (1) (2) vế với vế ta được: x x x 3 x y y y y 1 x 33 30 y y 1 20 x y 24 y x y 3 6 y y 0(*) (3) (2) ta có: x x y y 6 x x Từ Từ (4) (2) ta có vơ nghiệm hệ vơ nghiệm x y 3 y 2y x y 1; hệ x y x 1 y có nghiệm x y 1; a) Xét nghiệm P=(x+y2+x3)= y2-2y+z3-3z+3=(y2-2y+1)+(z3-3x+2)=(y-1)2+(z-1)2(x+2) x+2>0) Vậy P x+2y+3z-3 b) áp dụng BĐT Bu nhi a Cốp ski ta có 2 2 (x+2y+3z)( ) =[( x ) ( y) ( 3z ) ] x y z y y z 1 2 3z (1 3) =36 x y x y z => x+2y+3z 36 : 6=>P x y 3z y z 1 x y z 1 Đẳng thức xảy khi: x y z x 2y 3z x y z Vạy giá trị nhỏ P=3 x=y=z=1 a) Trong tam giác ABN ta có: x N F C E M 78 B A Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AE BN (1) AFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BF AN (2) Từ (1) (2) => M trực tâm tam giác ABN => MN AB => MN //Bx (Vì vng góc với AB) b) Ta có: DFE + BFE = DFE + BAE = 900 BCA + BAC = BCA + BAE = 900=> DFE = BCA Khi tứ giác CDFE ta có: DCE + DFE = DCE + BCA = 1800 => Tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp a) Ta có: BC2 = AB2 + AC2 102 = 62 + 82 B ABC vuông A, nên trung điểm O cạnh huyền BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) cạnh BC, AC, AB, S, p, r diện tích, F nửa chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ta có: S = pr 6.8 10 r r = 2 A Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BF, CD = CE, AE = AF Suy ra: BD + CE + AF = p BD + (CE + AE) = p D O r r 10 I r E C BD + AC = p BD = p – AC = p – b = 12 – = Do OD = OB – OD = – = Theo định lý Pi-ta-go tam giác vuông OID, ta có: OI2 = OD2 + ID2 = 12 + 22 = OI = Vậy OI = Đề 21 Bài 1: (4 điểm) x y x y Cho biểu thức M : 1 xy xy x y 2xy xy 79 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a) Tìm điều kiện xác định M rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị M với x 2 x y 1 x y 2 a) Giải hệ phuơng trình: x y x y 3x y Bài 2: (5 điểm) b) Tìm (x;y) thoả mãn x y y x xy Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: Bài 3: (2 điểm) 1 (1 )4 (1 )4 (1 )4 3(1 )4 a b c abc a) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị lớn A x y z 3( x y z ) b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1) Bài 5: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) khơng qua tâm O cắt đường trịn (O; R) hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động (d) nằm ngồi đường trịn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN MP tới đường tròn (O; R) (N, P hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường tròn b) Chứng minh MA.MB = MN2 c) Xác định vị trí điểm M cho tam giác MNP d) Xác định quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP HƯỚNG DẴN GIẢI a) + Đặt ĐKXĐ hệ x y 1 x y 2 x y 1 x 2y 3x y (x+2y)(x+y+1) x y 1 x y ( x y 1) ( x y ) + Biến đổi phương trình x y x y ( x y 1)( x y ) ( x y 1)2 ( x y)2 2( x y 1)( x y ) ( x y 1) ( x y ) 1 y y 2 + Thay y = vào phương trình 3x + y = ta tìm x = + Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm hệ (1; 1) b) + Điều kiên xác định: x y (*) + Đặt a x 4; b y với a b số không âm điều kiện đề trở thành a b b2 a a b2 a b b2 a a b 1 2b 2a 4b 4a 1 (1) b 4 a 4 b 4 a 4 80 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 4b 4b 4a 4a + Với a; b b2 1; a Do từ (1) suy b2 a (2) Giải (2) ta a = b = Do x = y = + Kiểm tra giá trị x, y thoả mãn điều kiện đề Vậy cặp số (8; 8) cặp số cần tìm a b c Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: (1 )4 (1 )4 (1 )4 3(1 )4 abc 1 1 1 Áp dụng BĐT Cơ-si cho số dương ta có: (1 )4 (1 )4 (1 )4 (1 )(1 )(1 ) a b c a b c 1 Ta chứng minh: (1 )(1 )(1 ) (1 (*) )3 a b c abc 1 1 1 1 1 Lại theo BĐT Cơ-si ta có: (1 )(1 )(1 ) a b c a b c ab bc ca abc 3 1 3 1 (1 ) (1 )3 abc abc abc abc (abc) ( abc+2 = abc+1+1 3 abc ) Vậy (*)được chứng minh BĐT cho với a,b,c>0 Đẳng thức xảy a=b=c=1 a) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z Tìm giá trị lớn A x y z 3( x y z ) Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được: x x (1 1)(1 x x) 2( x 1) Tương tự: y y (1 1)(1 y y ) 2( y 1) z z (1 1)(1 z z ) 2( z 1) Bởi A x y x 3( x y z ) 2( x y z 3) 2( x y z ) 3( x y z ) (3 2)( x y z ) A + ( - ) (1 1)( x y z) + ( - )3 = + (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x + y + z ) Vậy giá trị lớn A : + , x = y = z = b) Nhận thấy x=y=0 nghiệm Với x,y (1) y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2) (2) x2 – phải bình phương số nguyên x a 7 Hay: x2 – = a2 x2 – a2 = ( x a )( x a) x a 1 x x 4 Thay x =- 4, ta được: y=1; y=-2 Thay x = 4, ta được: y= 1; y=2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: 81 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2) a, b) Dễ c) Tam giác MNP OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ điểm bên đường tròn) Đề 22 Bài 1: (4 điểm) Cho biÓu thøc : A ( xx x x 1 x 2 ) : x x x a Rót gän biĨu thøc b TÝnh gi¸ trÞ cđa A x Bài 2: (5 điểm) a) x 1 y (1) b) Giải hệ phương trình: y z 3 (2) (I) z 3 x 1 (3) Bài 3: (4 điểm) a) Cho xyz = x + y + z = Tìm GTNN B8 = x16 + y16 + z16 a bc bc a c a b c a b b c a Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 a b c b) Cho a, b, c thoả mãn: Bài 4: (5 điểm) Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC 82 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c chu vi tam giác 2P Chứng minh rằng: P P P 9 Pa Pb Pc HƯỚNG DẴN GIẢI b) Nhân (1) (2) (3) ta có:[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36 (x + 1)(y + 2)(z + 3) = (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6 Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = hệ (I) là: z 3 z x 1 x y y z 3 z 6 y 2 y 4 Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - hệ (I) là: x 1 x 2 Vậy nghiệm hệ (0 ; ; 0) (-2 ; -4 ; -6) a) Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 B8 (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3(do xyz = x + y + z = 3) 83 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 B8min = x = y = z = abc abc bca cab bca c a b suy 2 2 2 c c a a b b Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = a + b = -c b+c=-a c + a = -b (c) ( a ) ( b) abc b c a a b b c c a P = 1 1 1 = = a b c = abc = -1 a b c a b c * Nếu a + b + c a = b = c P = 2.2.2 = b) Từ gt ta có * Cm bđt: 1 với x > 0, y > x y xy Ta có (x - y)2 x,y ⇔ x2 + y2 -2xy ⇔ (x + y)2 4xy 84 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 xy 1 với x ; y xy xy x y xy * Áp dụng : 1 4 Pa Pb Pa Pb c 1 4 1 1 1 1 2 Pb Pc c Pa Pb Pc b c a 1 4 Pa Pb c P P P 1 P P P 1 1 1 2P a b c 1 1 Pa Pb Pc b c P a Pb P c b c a a (Áp dụng Bunhacopski) Dấu xảy ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c Đề 23 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A x x x 4 x x 6 10 x : x 2 x 2 x 2 1 Rút gọn biểu thức A Tìm x cho A < Bài 2: (5 điểm) 1 x y x y a) Giải hệ phương trình: xy xy b) Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: (4 điểm) Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2 (2đ) Cho số dương a, b, c biết Chứng minh rằng: abc a b c 1 1 a 1 b 1 c Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C hình chiếu vng góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lấy D, E cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK NMP Chứng minh rằng: a MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Bài 5: (2 điểm) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đường trịn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn HƯỚNG DẴN GIẢI 85 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a) Điều kiện xy Hệ cho Giải PT(2) ta được: Từ (1)&(4) 2[xy ( x y ) ( x y )] xy (1) (2) 2( xy ) xy xy (3) Từ xy (4) (1)&(3) x có: x y y x xy y x có: x y y xy x 2 y Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1) b) Khai triển rút gọn chia hai vế cho x2 Đặt x + 1/x = y Có nghiệm x = 3 1) Đặt y =3-x toán cho trở thành: tìm GTNN biểu thức: x y P= x4 + y4 + 6x2y2 x, y số thực thay đổi thỏa mãn: 2 x y x y xy Từ hệ thức ta có: 2 (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) + 4.9 =41 x y 5(x2 + y2) + 4(2xy) 41 Mặt khác 16 (x2 + y2) + 25(2xy)2 40(x2 + y2)(2xy) (1) Dấu đẳng thức xảy (x2 + y2) =5(2xy) Cộng hai vế (1) với 25 (x2 + y2) + 16(2xy)2 ta được: 41[ (x2 + y2) + (2xy)2] [5(x2 + y2) + 4(2xy)]2 412 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 41 x4 + y4+6x2y2 41 x y ( x; y) (1; 2) Đẳng thức xảy x y ( x; y) (2;1) 4( x y ) 5(2 xy ) Do giá trị nhỏ P 41 đạt x=1 x=2 Theo giả thiết a b c b c a 1 1 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a a 1 Do b > 0; c > nên theo bất đẳng thức cơsi ta có: b c bc bc 2 0 2 0 1 b 1 c (1 b)(1 c) 1 a (1 b)(1 c) Tương tự ta chứng minh (1) ac 2 0 1 b (1 a)(1 c) (2) ab 2 0 1 c (1 a)(1 b) (3) Từ (1); (2); (3) ta chứng minh 86 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1 abc 8 => 8abc abc => đpcm 1 a 1 b 1 c (1 a )(1 b)(1 c) Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp MAB MNB , MCAP nội tiếp CAM CPM Lại có BNM CPM (cùng phụ góc NMP) M CAM BAM (1) Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) K Từ (1), (2) ADE cân A MA trung trực DE B C MD = ME D Do DE//NP nên DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: E NMB NAB 1800 NMB DEK 1800 Theo giả thiết DMK NMP DMK DEK 1800 N P A Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực DE MEA MDA MEA MDA MEK MDC Vì MEK MDK MDK MDC DM phân giác góc CDK, kết hợp với AM phân giác DAB M tâm đường tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Khơng tổng quát giả sử:AB AC Gọi B’ điểm cung ABC AB' CB' Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA AB BC CA' Ta có: B'BC B'AC B'CA (1) ; B'CA B'BA 1800 (2) B'BC B'BA' 1800 (3);Từ (1), (2), (3) B 'BA B 'BA ' Hai tam giác A’BB’ ABB’ A'B' B'A Ta có B'A B'C B'A' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C khơng đổi B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy B trùng với B’ Hoàn toàn tương tự gọi D’ điểm cung ADC ta có AD’ + CD’ AD + CD Dấu “=” xảy D trùng với D’ Chu vi tứ giác ABCD lớn B, D điểm cung AC đường tròn (O) A' B' B O C A D' D 87 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Đề 24 x x : Cho biểu thức: B 1 x 1 x 1 x a) Rút gon biểu thức B b) Tìm giá trị x để biểu thức B = Bài 1: (4 điểm) Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương 3x trình: y x3 y b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = Bài 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa món: a b c bc ca Tìn giá trị nhỏ biểu thức: P a b c ab 2 a bb cc a Bài 4: (3 điểm) Bài 6: (5 điểm) Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, xy tiếp tuyến B với đường trịn, CD đường kính Gọi giao điểm AC AD với xy theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: MCDN tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN Khi đường kính CD quay quanh tâm O điểm I di chuyển đường tròn ? HƯỚNG DẴN GIẢI x z 3 x z z x3 a) Đặt z Hệ cho trở thành y z x x z x xz z x z (vì x xz z 0, x, z ) x 1 x Từ ta có phương trình: x3 3x Vậy hệ cho có nghiệm: ( x, y) (1; 2), 2,1 b) Phương trình cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 Nhận xét rằng: y x3 y y y y ( y 1)3 (2) (1) 88 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 y x3 y y y (5 y 2) ( y 1)3 (3) Từ (2) (3) suy ra: ( y 1)3 < x3 ( y 1)3 , Vì y 2 y y x3 y y3 y y y3 y 1 (vi y ) y 1 3 y y y x ( y 1) y y y ( y 1) Với y = -1 x= -1 Với y = x= Vậy phương trình có cặp nghiệm ngun (-1; -1) (1; 0) Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 mà a3 + ab2 2a2b (áp dụng BĐT Côsi ) b3 + bc2 2b2c c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > Suy P a b c ab bc ca a b2 c2 (a b c ) Pa b c 2(a b c ) Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t 9t t t 3 P Suy P t 2t 2t 2 2 Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P 2 89 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 6.a) ∆ ABM vuông B => BMA + BAM = 900 ∆ OAC cân O => ACD = BAM=> BMA + ACD = 900 ∆ ADC vuông A => ADC + ACD = 900 => BMA = ADC ADC + NDC = 1800 => ∆ MCDN có NMC + NDC = 1800 nên nội tiếp đường tròn b) ∆ ABM vuông B, BC AM => AB2 = AC AM (1) ∆ ABN vuông B.BD AN=> AB2 = aD.AN (2) Từ (1) (2) => AC.AM = AD.AN c) Chỉ : Kể từ IH xy => IH // OA (1) HN = HM = AH (∆ AMN vuông A; HN = HM)=> NAH = ANH Theo câu a : ADC = AMN mà ANH + AMN = 900 => NAH + ADC = 900=> AH CD Mặt khác IO CD (OC = OD; IO bán kính)= AH // IO (2) Từ (1) (2) => AHIO hình bình hành => IH = OA = R (R bán kính đường tròn (0)) 90 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Vậy CD quanh quanh tâm I chuyển động đường thẳng d//xy cách xy khoảng R 91 ... m + n cho m – n Hãy tính tỷ số m n Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 199 6 Đại học khoa học tự nhiên 19 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 098 7 1 09 591 1 ( x )6 ( x ) x x Bài Cho... 098 7 1 09 591 b) Đường thẳng DM cắt BN E Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp c) Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E nằm cung tròn cố định m chạy BC Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 199 9... giải x 0, x 2, x 19 Với x y 5x Với x 2 y 5x 6 Với x 19 y 5x 99 Vậy, nghiệm hệ x; y 0;4 , 2;6 , 2; 6 , 5 ;9? ?? , 19; 99? ?? Vì a ; b ; c số dương