de thi hsg so 6

đề thi học sinh giỏi môn thi : toán (Thời gian 150 phút ) Bài 1:(3 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của n ta luôn có: 1 1 1 ( 1) 1 1n n n n n n = + + + + b) Tính tổng 1 1 1 1 . 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 S = + + + + + + + Bài 2 :(3 điểm) a) Cho x, y thỏa mãn: 3 2 2 2 2 2 4 3 0 2 0 x y y x x y y + + = + = Tính 2 2 Q x y= + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 A u v u v = + + + ữ ữ với u + v = 1 và u > 0; v > 0 Bài 3:(3 điểm) a) Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng Minh ( ) ( )c a c c b c ab + b) Cho 1; 1x y . Chứng Minh 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + Bài 4:(3 điểm) a) Giải phơng trình: 2 2 5 10 1 7 2x x x x+ + = b) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 4 4 2 5 x xy x y x y + + = + = Bài 5:(3 điểm) Tam giác XYZ có các đỉnh lần lợt năm trên các cạnh BC; CA; AB của tam giác ABC. Giọi là nội tiếp tam giác ABC. a) Giọi ' Y và ' Z là hình chiếu của Y và Z trên cạnh BC. CMR: Nếu có XYZ ABC : thì ' ' 2 BC Y Z = b) Trong số những tam giác XYZ nội tiếp tam giác ABC theo định nghĩa trên và đồng dạng với tam gíc ABC. Hãy xác định tam giác có diện tích nhỏ nhất. Bài 6:(3 điểm) Cho tam giác ABC có à 0 45A = , BC = a, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp, ' B và ' C Là chân các đờng cao hạ từ B, C xuống các cạnh AC, AB tơng ứng. Giọi ' O là điểm đối xứng của O qua ' B và ' C . a) CMR: ' ' ' , , ,A B O C cùng nằm trên một đờng tròn b) Tính ' ' B C theo a. Bài 7:(2 điểm) Xét một hình vuông và một hình tam giác. Nếu chúng có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn. ------ Ht------- 1 S : 6 Đáp án: Bài 1: a) Ta có: ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n n n n + + = + + + + + + + + 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + = = = + + + + b) áp dụng đẳng thức ở câu a lần lợt với n = 1, 2, 3, , 99 Ta có: 1 1 1 1 . 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 S = + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 3 3 99 99 100 + + + 1 9 1 10 100 = = Bài 2: a) Ta có 3 2 3 2 2 4 3 0 1 2( 1) 1x y y x y+ + = = Suy ra 1x (1) Từ 2 2 2 2 0x x y y+ = có 2 2 2 1 1 y x y = + 2 1 1 1x hay x (2) Từ (1) và (2) suy ra x = -1, do đó y = 1 Vậy 2 2 2Q x y= + = b) Ta có 2 2 1 1 A u v u v = + + + ữ ữ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 ( ) 1 4u v u v u v u v = + + + + = + + + ữ Theo BĐT Bunhiacovski ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (1 1 )( ) 2( )u v u v u v= + + + = + hay 2 2 1 2 u v+ Mặt khác: 2 ( ) 4u v uv+ nên 2 2 1 1 4 16 uv u v Do vậy 1 25 (1 16) 4 2 2 A + + = Dấu đẳng thức sảy ra khi 1 2 u v= = Vậy min 25 2 A = khi 1 2 u v= = Bài 3: a) áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) c a c c b c c a c c b c ab ab ab + + = 1 1 (1 ) (1 ) 1 2 2 c c c c c c c c b a a b b a a b + + + + = Vậy: ( ) ( )c a c c b c ab + (ĐPCM) b) Bất đẳng thức 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1x xy y xy + + + + + 2 2 ( ) ( ) 0 (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y x y x y x xy y xy + + + + + 2 2 ( )(1 ) ( )(1 ) 0x y x y y x y x + + + 2 2 2 ( )( ) 0 ( ) ( 1) 0x y x xy y x y x y xy + + Bất đẳng thức đúng với mọi 1; 1x y . Suy ra (ĐPCM) 2 Y Z Z ' C ' X Y ' C B A 45 0 O ' O C ' B ' C B A Bài 4: a) Đặt 2 5 10 1 ( 0)x x t t+ + = do đó: 2 2 1 2 5 t x x + = Phơng trình trỏ thành 2 5 36 0t t+ = giải phơng trình ta đợc: 1 2 4; 9t t= = (loại) Với t = 4 thì 2 5 10 1 4x x+ + = Giải phơng trình ta đợc hai nhiệm: 1 2 3; 1x x= = b) Từ phơng trình: 2 4 4 2x xy x y + + = (1 )( 4 2) 0x x y + = Do đó hệ tơng đơng với hai hệ sau: 2 2 1 ( ) 5 x I x y = + = 2 2 4 2 ( ) 5 x y II x y = + = Giải các hệ trên ta đợc: (x; y) (1;2); (1;-2); (2;1); 38 1 ( ; ) 17 17 Bài 5: a) Lấy ' C đối xứng với C qua ' Y Ta có XYZ ABC : Do đó ã ã ACB YZX= (1) Theo cách dựng thì ' CYC cân tại Y ã ã ' ' YC C YCC = (2) Từ (1) và (2) suy ra ã ã ã ' YC C ACB YZX= = tứ giác ' ZYCXC Nội tiếp (vì ' ;Z C cùng thuộc một nữa mặt phẳng bờ XY) ã ã ã ã ' ' ' ' ' ' 2 BC ZC B ZYX ZC B ABC Z B Z C Y Z = = = = (ĐPCM) b) Ta có XYZ ABC : 2 2 ' ' 1 4 XYZ ABC S YZ Y Z S BC BC = = ữ ữ Đăng thức sảy ra khi XB = XC; YA = YC; ZA = ZB. Bài 6: a) Ta có ã ' 0 90BB C = ; ã ' 0 90CC B = (1) Ta lại có ã ã 0 2 90BOC BAC= = (vì ã 0 45 )BAC = (2) Từ (1) và (2) suy ra ' ' , , , ,B C O B C nằm trên một đờng tròn đờng kính BC . Mặt khác ã ã ' 0 45BAC ABB= = (vì à ' 0 90 )B = Mà ã ã ã ' ' ' ' 0 ' ' 0 180 135C OB C BB C OB+ = = ã ' ' ' 0 135C O B = ã ã ' ' ' ' ' 0 180C O B C AB + = ' ' ' , , ,A B O C cùng nằm trên một đờng tròn. b) Vì tứ giác ' OC BC nội tiếp (c/m câu a) ã ã ' OC C OBC = = 0 45 (góc nội tiếp cùng chắn ằ OC ) Mà tứ giác ' ' OB CC nội tiếp (c/m câu a) nên ã ã ã ' ' 0 ' ' ' ' 45 //OB A OC C B CC OB CC= = = Hình thang ' ' OB CC nội tiếp đợc là hình thang cân ' ' ' 2 a B C OC = = Bài 7: Gọi a, b, c là đọ dài 3 cạnh của một tam giác, x là cạnh hình vuông, a h là độ dài đờng cao tơng ứng với cạnh a của tam giác. Có b + c > 2 a h 2 2 2 .2 2 4 4 4 a a a b c a h a h S x x + + > + = = = Vậy chu vi của tam giác lớn hơn. 3 . đề thi học sinh giỏi môn thi : toán (Thời gian 150 phút ) Bài 1:(3 điểm) a) Chứng minh rằng. + hay 2 2 1 2 u v+ Mặt khác: 2 ( ) 4u v uv+ nên 2 2 1 1 4 16 uv u v Do vậy 1 25 (1 16) 4 2 2 A + + = Dấu đẳng thức sảy ra khi 1 2 u v= = Vậy min