Bài giảng xử lý tín hiệu số chương 5 lê vũ hà

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Chương V: BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC 2008 Nội dung Biến đổi Fourier tín hiệu liên tục  Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc  Các tính chất biến đổi Fourier  Lấy mẫu tín hiệu  Chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn  Một tín hiệu tuần hồn x(t) biểu diễn cách xác chuỗi Fourier x(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet sau đây: Số điểm không liên tục chu kỳ x(t) phải hữu hạn Số điểm cực trị chu kỳ x(t) phải hữu hạn Tích phân |x(t)| chu kỳ phải hữu hạn Chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn  Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x(t) với chu kỳ T:  x (t )  c e j 2kt T k k    Các hệ số {ck} tính cơng thức: ck   x (t )e TT  j 2kt T dt Phổ mật độ cơng suất tín hiệu liên tục tuần hồn  Tín hiệu tuần hồn có lượng vơ hạn ln tín hiệu cơng suất: Px   | x (t ) | dt   TT  Cơng thức Parseval cho tín hiệu cơng suất:  Px  | c k k   | Phổ mật độ cơng suất tín hiệu liên tục tuần hồn   Giá trị |ck|2 coi đại diện cho công suất thành phần ej2kt/T (tín hiệu dạng sin phức có tần số kF0 với F0 = 1/T) tín hiệu x(t) Đồ thị |ck|2 theo tần số kF0 (k = 0, 1, 2…) thể phân bố cơng suất tín hiệu x(t) theo tần số khác  phổ mật độ cơng suất Biến đổi Fourier tín hiệu liên tục khơng tuần hồn  Định nghĩa: biến đổi Fourier x(t)  F [ x (t )]  X ( F )   x (t )e  j 2Ft dt   Biến đổi Fourier ngược:  x (t )  F 1 [ X ( F )]   X ( F )e  j 2Ft dF Biến đổi Fourier tín hiệu liên tục khơng tuần hoàn  Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn k ck  X    F0 X ( kF0 ) (T  ) T T   x (t )  lim T  c e j 2kt T k   lim F0 0 k      X ( F )e  j 2Ft dF  X (kF )e k   j 2kF0t F0 Biến đổi Fourier tín hiệu liên tục khơng tuần hồn  Điều kiện cho tồn biến đổi Fourier (các điều kiện Dirichlet): Số điểm không liên tục x(t) phải hữu hạn Số điểm cực trị x(t) phải hữu hạn Tích phân |x(t)| khoảng (, +) phải hữu hạn Phổ mật độ lượng tín hiệu liên tục khơng tuần hồn  Xét tín hiệu lượng x(t):  E x   | x (t ) | dt     Cơng thức Parseval cho tín hiệu khơng tuần hồn có lượng hữu hạn:   2 E x   | x (t ) | dt   | X ( F ) | dF   Chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn  Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hoàn x(n) với chu kỳ N: N 1 x ( n )   ck e j 2kn N k 0  Các hệ số {ck} tính công thức: ck  N N 1  x ( n )e n 0  j 2kn N Phổ mật độ cơng suất tín hiệu rời rạc tuần hồn  Cơng suất trung bình tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N: Px  N  N 1  | x(n ) |  n 0 Cơng thức Parseval cho tín hiệu cơng suất rời rạc tuần hồn: N 1 Px   | ck | k 0 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn  Định nghĩa: biến đổi Fourier x(n)  F [ x ( n )]  X ( )   jn x ( n ) e (  [  ,  ])  n    Biến đổi Fourier ngược: x(n)  F 1 [ X ( )]  2   X ( )e  jn d Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc khơng tuần hoàn  Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn  2k  ck  X    F0 X ( 2kF0 ) ( N  ) N  N  N /2 c e x ( n )  lim N   2 j 2kn N k   lim F0 0 k  N /   X ( )e  jn d  X (2kF )e k   j 2kF0 n F0 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn  Điều kiện hội tụ:    | x ( n )e  jn |   n    | x(n) || e  jn n         | x ( n ) |      | x ( n ) |   n   n       E x   | x ( n ) |    | x ( n ) |   n   n    |  Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn  Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ej  X ( z)   x(n) z n    n  n  x(n) | z | e  jn n   | z |  X ( z )  X ( )  Biến đổi Fourier biến đổi Z đường tròn đơn vị mặt phẳng Z  biến đổi Fourier tồn miền hội tụ biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị Phổ mật độ lượng tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn  Xét tín hiệu lượng x(n):  Ex   | x(n) |  n    Cơng thức Parseval cho tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn có lượng hữu hạn: Ex  2   | X ( ) |  d Phổ mật độ lượng tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn   Giá trị |X()|2 coi đại diện cho lượng thành phần ejn (tín hiệu dạng sin phức có tần số góc ) tín hiệu x(n) Đồ thị |X()|2 theo  thể phân bố lượng tín hiệu x(n) theo tần số  phổ mật độ lượng Các tính chất biến đổi Fourier  Tuyến tính: F  Dịch thời gian: F  [ax1 ( n )  bx2 ( n )]  aX ( )  bX ( ) [ x ( n  n0 )]  e  jn0 Lật: F [ x (  n )]  X (  ) X ( ) Các tính chất biến đổi Fourier  Biến đổi Fourier tích chập: F  [ x1 ( n )  x2 ( n )]  X ( ) X ( ) Biến đổi Fourier tương quan: F F [ rx1x2 ( n )]  X ( ) X (  )  S x1x2 ( )  [ rxx ( n )]  S xx ( ) | X ( ) | ( x ( n )  R ) Sx1x2() gọi phổ mật độ lượng chéo tín hiệu x1(n) x2(n) Các tính chất biến đổi Fourier  Dịch tần số: F  x ( n )]  X (  0 ) Điều chế: F  [e j0n [ x ( n ) cos 0n ]  [ X (  0 )  X (  0 )] Đạo hàm miền Fourier: F dX ( ) [nx ( n )]   j d Lấy mẫu tín hiệu Tín hiệu x(t) có lượng hữu hạn  bề rộng phổ hữu hạn  tồn tần số cao tín hiệu, Fa: F > Fa X(F) =  Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu Fs  x(n) x(t) khơi phục xác từ x(n) theo cơng thức sau Fs = 2Fa:   sin(2Fa t  n ) x (t )   x ( n ) 2Fa t  n n   Lấy mẫu tín hiệu Định lý lấy mẫu (Shannon): tín hiệu liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số cao (bề rộng phổ) Fa khơi phục cách xác từ mẫu tín hiệu tần số lấy mẫu thỏa mãn điều kiện: Fs  2Fa  Tần số Fs = 2Fa gọi tần số Nyquist  Lấy mẫu tín hiệu  Quan hệ tần số tín hiệu liên tục tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục x(t) có bề rộng phổ Fa  Nếu Fs = 2Fa: phổ x(n) [,] có dạng phổ x(t) [Fa,Fa] lặp lại với chu kỳ 2  Nếu Fs > 2Fa: phổ x(t) [Fa,Fa] nén vào khoảng bên [,] lặp lại với chu kỳ 2 Lấy mẫu tín hiệu  Nếu Fs < 2Fa: xảy tượng chồng phổ (phổ x(t) [Fa,Fa] bị giãn khoảng rộng [,] nên bị chồng chu kỳ  phổ bị biến dạng) ... Biến đổi Fourier tín hiệu liên tục  Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc  Các tính chất biến đổi Fourier  Lấy mẫu tín hiệu  Chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn  Một tín hiệu tuần hồn x(t)... lấy mẫu thỏa mãn điều kiện: Fs  2Fa  Tần số Fs = 2Fa gọi tần số Nyquist  Lấy mẫu tín hiệu  Quan hệ tần số tín hiệu liên tục tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục x(t) có bề rộng phổ Fa  Nếu... lượng tín hiệu liên tục khơng tuần hồn   Giá trị |X(F)|2 coi đại diện cho lượng thành phần ej2Ft (tín hiệu dạng sin phức có tần số F) tín hiệu x(t) Đồ thị |X(F)|2 theo F thể phân bố lượng tín hiệu