Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chun nghành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục LỜI GIỚI THIỆU CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.2 Hệ phương trình đối xứng 10 1.3 Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh 18 1.4 Hệ phương trình đẳng cấp 24 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 28 2.1 Phương pháp 28 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 32 2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 39 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 46 2.5 Phối hợp nhiều phương pháp 55 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 57 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57 3.2 Hệ phương trình bất phương trình ẩn 60 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình chuyên đề quan trọng chương trình học phổ thơng Đề thi đại học năm hầu hết có câu hệ phương trình Đó phần học quan trọng đại số lớp 10 Từ lâu việc tìm cách tổng hợp phương pháp để giải hệ phương trình nhiều người quan tâm Hệ bất phương trình lại lĩnh vực mà người quan tâm Các tài liệu tổng hợp phương pháp giải hệ bất phương trình nói Dựa giúp đỡ dẫn thầy Nguyễn Văn Mậu với tìm tịi tham khảo tơi tổng hợp số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Ngồi phần mở đầu, phần kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn bao gồm có ba chương Chương trình bày số dạng phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn Chương CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Hệ phương trình tuyến tính Nhận dạng Xét hệ phương trình a1 X + b1Y = c1 a2 X + b2Y = c2 Phương pháp giải Thường có ba phương pháp: Cách phương pháp Tư phương trình ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình cịn lại Cách phương pháp cộng đại số Cộng trừ vế hai phương trình hợp lý để dễ dàng tìm x y Cách dùng định thức Ta kí hiệu a c c b a b D = a1 b1 = a1 b2 −a2 b1, DX = c1 b1 = c1 b2 −c2 b1, DY = a1 c1 = a1 c2 −a2 c1 2 2 2 TH1: D = Hệ có nghiệm   X = DX D D  Y = Y D TH2: D = DX = DY = Hệ có vơ số nghiệm dạng {(X0; Y0)|a1 X0 + b1Y0 = c1 } TH3:D = DX = DY = Khi hệ vơ nghiệm Lưu ý : Đơi cần vài biến đổi đặt ẩn phụ hệ quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn Sau số toán Và thơng thường, với tốn ta kết hợp vài phương pháp để giải cách thuận lợi Bàitốn 1.1 Giải hệ phương trình 3(x + y) +    = −2 x−y 5x − y   =  y−x Lời giải Điều kiện: x = y Hệ phương trình đề tương đương với 3x + 3y + = −2x + 2y 15x − 3y = 5y − 5x ⇔ 5x + y = −2 5x − 2y = Từ phương trình thứ nhất, ta rút y = −5x − 2, vào phương trình thứ hai , từ dễ dàng tìm y = − 15x + = hay x = − 15 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = (− ; − ) 15 Bài toán 1.2 Giải hệ phương trình 6   + x   − x =3 y 10 =1 y Lời giải 1 Đặt = u, = v với u, v = Khi hệ phương trình trở thành x y 6u + 5v = 9u − 10v = Nhân hai vế phương trình đầu với cộng vế phương trình thu với phương trình cịn lại ta u = , thay vào hai phương trình v = Từ suy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (3; 5) Bài tốn 1.3 Giải hệ phương trình  2x − y +   + =5 x−2 y+3 x + 3y +   + =5 x−2 y+3 Lời giải +1+ =5 x − y + ⇔ Hệ phương trình tương đương với  1 + +3− =5 x − y +   + =2  x−2 y+3   − =1 x−2 y+3 1 u + 4v = Đặt = u, = v với u, v = hệ trở thành 3u − 8v = x−2 y+3 Sử dụng định thức, ta tính D = −20, DX = −20, DY = −5 Từ thu DY DX = 1, v = = Cuối ta dễ dàng tính (x; y) = (3; 1) u = D D Hay ta xét hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chia trường hợp để giải quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn   2 + Bài tốn 1.4 Giải hệ phương trình sau |x − 1| + y = 2x − y = Lời giải Từ phương trình thứ rút y = −|x − 1|, vào phương trình thứ hai ta thu |x − 1| = − 2x TH1 Nếu x ≥ |x − 1| = x − 1, x − = − 2x, tìm x = < 1, không thỏa mãn TH2 Nếu x < |x − 1| = − x, giải tương tự tìm x = < 1, thỏa mãn Khi y = −1 Vậy nghiệm hệ (x; y) = (0; −1) Sau ta đưa số tốn hình học phẳng câu đề thi đại học năm gần ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính bậc Bài tốn 1.5 (Đề thi Đại học khối A 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3N C Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2) N (2; −1) Lời giải M A K B I N C D Hình 1.1: Gọi K trung điểm MB , N K song song với BC , N K vng góc với AB CD Gọi E giao đường thẳng N K với DC √ 3a a 10 a Trong tam giác vng MKN ta có MK = , N K = , suy MN = 4 Từ cos MN K = √ 10 −−→ Gọi vecto phương N K có tọa độ (a; b) (a2 + b2 > 0) Ta có MN = (1; −3) Khi ta có |a − 3b| √ =√ cos(N K, N M) = | cos MN K| ⇔ √ 10 a2 + b2 10 √ 2 ⇔ |a − 3b| = a + b ⇔ a2 − 6ab + 9a2 = 9(a2 + b2) ⇔ 4a2 + 3ab = a=0 ⇔ 4a + 3b = - Với a = 0, a2 + b2 > nên ta chọn b = Khi dễ dàng viết phương trình đường thẳng AB y − = 0, đường thẳng N K x − = Suy tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình y−2=0 x−2=0 Suy K(2; 2) −−→ −−→ Ta có KE = KN Từ suy E(2; −2) Đường thẳng CD qua điểm E(2; −2), nhận vecto phương (0; 1) N K làm vecto pháp tuyến có phương trình y + = - Với 4a + 3b = 0, a2 + b2 > 0, nên ta chọn a = 3, b = −4 D vecto phương N K (3; −4) Khi dễ dàng viết phương trình đường thẳng AB 3x − 4y + = 0, đường thẳng N K 4x + 3y − = Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình   x = 3x − 4y + = ⇔ 4x + 3y − =  y = Suy tọa độ điểm K ; 5 13 ; − Do Tương tự lập luận trường hợp ta tìm điểm E 5 ta dễ dàng viết phương trình đường thẳng CD 3x − 4y − 15 = Bài toán 1.6 (Đề thi Đại học khối D 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C Lời giải B(−4,1) d I G A B′ M C Hình 1.2: Gọi d đường phân giác góc A, tức d có phương trình x−y−1 = Gọi điểm B ′ đối xứng với điểm B qua d Vì d tia phân giác góc A nên suy B ′ nằm đường thẳng AC Gọi I giao điểm BB ′ d Suy tọa độ I nghiệm hệ phương trình x+y+3=0 x−y−1= ⇔ x = −1 y = −2 Suy I(−1; −2) Ta có I trung điểm BB ′ , dễ dàng ta tìm B ′ (2; −5) −− → −−→ Gọi M trung điểm AC , suy BG = 2GM Do ta tìm M ; ′ Đường thẳng AC qua hai điểm B M nên ta viết phương trình AC 4x − y − 13 = Điểm A giao điểm d AC nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 4x − y − 13 = x=4 ⇔ x−y−1= y=3 Suy A(4; 3) Điểm M trung điểm AC nên dễ dàng tìm C(3; −1) ... phương pháp cách giải hệ phương trình đại số Chương trình bày số phương pháp ví dụ giải hệ bất phương trình đại số Chương xét hệ chứa tham số hệ bất phương trình ẩn Chương CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ DỊU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13... ĐẠI SỐ 57 3.1 Phương pháp tham số hóa giải hệ bất phương trình 57 3.2 Hệ phương trình bất phương trình ẩn 60 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 LỜI GIỚI THIỆU Hệ phương trình