Phân tích ổn định phi tuyến của vỏ trụ sandwich cơ tính biến thiên có gân gia cường trực giao chịu tải xoắn trong môi trường nhiệt độ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN TIẾN THIỆP PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CĨ GÂN GIA CƢỜNG TRỰC GIAO CHỊU XOẮN TRONG MƠI TRƢỜNG NHIỆT ĐỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN TIẾN THIỆP PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CĨ GÂN GIA CƢỜNG TRỰC GIAO CHỊU XOẮN TRONG MÔI TRƢỜNG NHIỆT ĐỘ Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 8440109.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ KHẢ HÕA Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn thạc sỹ khoa học này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến q Thầy Cơ khoa tốn – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQGHN với tri thức tâm huyết để truyền đạt kiến thức quý báu cho chúng em suốt thời gian học tập trường Em xin chân thành cảm ơn TS Lê Khả Hòa tận tâm hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ- Tin học, phòng sau Đại học- Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên- ĐHQGHN Qua xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln ủng hộ suốt q trình học tập Bước đầu nghiên cứu, kiến thức em nhiều hạn chế Do vậy, em không tránh khỏi thiếu sót mong nhận đóng góp quý giá quý thầy cô bạn đồng môn Sau em xin kính chúc TS Lê Khả Hịa tồn thể q thầy khoa Tốn – Cơ – Tin học thật nhiều sức khỏe, niềm vui để tiếp tục cống hiến cho khoa học mang hết tâm huyết truyền đam mê khoa học cho hệ học trò mai sau Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2018 Học viên Nguyễn Tiến Thiệp Mục lục Danh sách hình vẽ i Danh sách bảng vẽ ii MỞ ĐẦU Chương – Vỏ trụ hệ thức 1.1 Vỏ trụ sandwich đàn hồi Pasternak Các hệ thức phương trình cân Chương – Phương pháp giải 14 2.1 Điều kiện biên dạng nghiệm 14 Chương – Tính tốn số 21 3.1 So sánh kết 21 3.2 Kết số cho vỏ nón cụt ES – FGM 21 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Danh sách hình vẽ Hình 1: Vỏ trụ sandwich có gân gia cường Hình Ảnh hưởng hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn τupper (k2=k3=N=k=1) 23 Hình Ảnh hưởng hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn τlower (k2=k3=N=k=1) 23 Hình 4b Ảnh hưởng hcore/hFG lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24 Hình 4a Ảnh hưởng hcore/hFG lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24 Hình 5a Ảnh hưởng e0 lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24 Hình 5b Ảnh hưởng e0 lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24 Hình Ảnh hưởng e0 lên tải xoắn tới hạn τupper (k2=k3=N=k=1) 24 Hình Ảnh hưởng ΔT lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24 Hình 8a Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1) 26 Hình 8b Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ – ψ (Case 1) 26 Hình Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích k lên tải xoắn tới hạn τupper 26 Hình 10 Ảnh hưởng R/h lên tải xoắn tới hạn τupper (Case 1, k=1 26 Hình 11a Ảnh hưởng tỉ số R/h lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 27 Hình 11b Ảnh hưởng tỉ số R/h lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 27 Hình 12a Ảnh hưởng L/R lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 28 Hình 12b Ảnh hưởng tỉ số L/R lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 28 Hình 13a Ảnh hưởng gân lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 29 Hình 13b Ảnh hưởng gân lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 29 i Danh sách bảng Bảng 1: So sánh tải tới hạn xoắn (psi) với [30] [29] vỏ trụ không gân chịu xoắn 21 Bảng 2: So sánh tải tới hạn xoắn (psi) với [29] [31] vỏ trụ không gân chịu xoắn 21 Bảng :Ảnh hưởng hệ số độ xốp e0 độ dầy lớp lõi hcore đến tải tới hạn τcr, k2=k3=N=k=1, h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, ΔT=300K, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m 22 Bảng 4: Ảnh hưởng nhiệt độ số tỉ phần thể tích đến tải xoắn tới hạn tải tới hạn h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m 25 Bảng 5: Ảnh hưởng thơng số hình học đến tải xoắn tới hạn tải xoắn tới hạn k2=k3=N=k=1, h=0.006m, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K 27 Bảng 6: Ảnh hưởng gân đến tải xoắn tới hạn k2=k3=N=k=1, h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K (Trường hợp 1: gân gia cưởng phía trong) 28 ii MỞ ĐẦU Các kết cấu chế tạo từ vật liệu tính biến thiên (Functionally graded Material-FGM) sử dụng ngày nhiều công nghiệp hàng khơng vũ trụ, lị phản ứng hạt nhân lĩnh vực làm việc môi trường nhiệt độ cao chịu tải phức tạp Do tính chất lý biến đổi trơn liên tục từ mặt đến mặt nên kết cấu FGM tránh tập trung ứng suất bề mặt tiếp xúc lớp, tránh bong tách rạn nứt kết cấu Do nghiên cứu ổn định, dao động độ bền kết cấu FGM thu hút ý đặc biệt cộng đồng nhà khoa học nước Một kết cấu sử dụng nhiều thực tế vỏ trụ Đã có nhiều kết nghiên cứu toán ổn định dao động vỏ trụ làm vật liệu FGM không gân chịu tải xoắn, tác giả Batra [1] nghiên cứu toán xoắn vỏ trụ với modul vật liệu thay đổi dọc theo trục Tác giả Wang cộng [2] đưa nghiệm xác đáp ứng dao động vỏ trụ FGM rỗng hữu hạn Các tác giả Zhang Fu [3] nghiên cứu trạng thái tới hạn vỏ trụ đàn hồi có lớp phủ cứng bề mặt biến dạng lớp lõi bề mặt phân tích thơng qua phương trình Navier mơ hình lớp vỏ mỏng, tương ứng Các tác giả Sofiyev Schnack [4] nghiên cứu ổn định vỏ trụ FGM chịu tải xoắn động tăng tuyến tính Trong đó, họ sử dụng phương trình ổn định động dạng Donnell cải tiến phương pháp Galerkin với liên hệ hình học tuyến tính nghiệm gần lựa chọn số hạng Tác giả Li Wang [5] nghiên cứu ổn định đàn hồi vỏ trụ FGM sandwich với điều kiện biên tựa đơn chịu tải xoắn phương pháp bán giải tích Các phương trình chủ đạo với thành phần chuyển vị toán ổn định kết cấu thiết lập sử dụng lý thuyết vỏ mỏng Flugge quan hệ biến dạng – chuyển vị tuyến tính Về vỏ đàn hồi, Dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc cao tác giả Bagherizadeh cộng [6] nghiên cứu ổn định vỏ trụ FGM không gân bao quanh đàn hồi Pasternak Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến, nghiên cứu ổn định phân tích dao động vỏ trụ FGM khơng gân đàn hồi tác giả Sofiyev cộng nghiên cứu [7] Bằng phương pháp Galerkin, tác giả đưa biểu thức xác định tải xoắn tới hạn tần số dao động vỏ Về tốn ổn định vỏ có gân gia cƣờng: Năm 2009, tác giả Najafizadeh cộng [8] với phương trình ổn định tuyến tính theo chuyển vị, nghiên cứu trạng thái tới hạn vỏ trụ FGM gia cường gân dọc gân vòng chịu nén dọc trục Gân vỏ vật liệu có tính biến thiên Năm 2011, tác giả Đào Huy Bích cộng [9] trình bày cách tiếp cận giải tích để nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến FGM vỏ thoải FGM có gân gia cường lệch tâm dựa lý thuyết vỏ cổ điển gân giả thiết Dựa vào lý thuyết vỏ cổ điển có tính tới yếu tố phi tuyến hình học von Karman sử dụng kỹ thuật san tác dụng gân, Dung Hoa [10] nghiên cứu ổn định phi tuyến đáp ứng sau tới hạn vỏ trụ có gân FGM gia cường chịu tải xoắn đàn hồi Pasternak môi trường nhiệt độ Vỏ gia cường gân vịng gân dọc vỏ gân làm vật liệu tính biến thiên Với phương pháp tương tự, Thang Trung [11] nghiên cứu ảnh hưởng gân đến ổn định phi tuyến vỏ trụ với lớp phủ FGM chịu tải xoắn Vỏ trụ gia cường gân dọc trục Sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển, Thang cộng [12] trình bày đáp ứng vỏ trụ có lớp phủ vật liệu FGM hai lớp phủ làm vật liệu FGM lớp lõi làm vật liệu Vỏ gia cường gân dọc nằm phía ngồi vỏ Với hàm độ võng ba số hạng, Ninh Bich [13] nghiên cứu ổn định vỏ trụ với ba lớp gốm – FGM – kim loại (C-FGM-M) chịu tải xoắn đàn hồi Vỏ gia cường gân dọc gân vịng đặt mơi trường nhiệt độ Về vỏ làm việc môi trƣờng nhiệt độ: Dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, tác giả Shen [14] thu kết toán ổn định vỏ trụ FGM chịu xoắn môi trường nhiệt độ Trong báo ông sử dụng phương pháp tham số bé để xác định tải tới hạn đường cong sau tới hạn Bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng lớn phi tuyến phương pháp Ritz, tác giả Huang Han [15] nghiên cứu ổn định phi tuyến vỏ trụ không gân chịu tải xoắn môi trường nhiệt Trong nghiên cứu họ, thành phần độ võng phi tuyến đề xuất dựa vào quan sát từ thực nghiệm Vật liệu xốp (porous material) loại vật liệu vật liệu FGM tính chất xốp vật liệu đặc trưng phân bố lỗ rỗng bên Các vật liệu xốp bọt kim loại (metal foams) loại vật liệu nhẹ quan trọng với khả hấp thụ lượng tuyệt vời Do loại vật liệu nhận ứng dụng rộng rãi thực tế cho cấu trúc chịu tải động Trong báo [16], tác giả Magnucki Stasiewicz nghiên cứu ổn định đàn hồi dầm xốp Magnucka-Blandzi [17, 18, 19] trình bày mơ hình tốn học sandwich hình chữ nhật hình trịn với phần lõi kim loại bọt Các nghiên cứu đưa biểu thức xác định tải tới hạn Phân tích ổn định đàn hồi dầm xốp chịu uốn trình bày tác giả Chen nhóm nghiên cứu [20] Tác giả Kitipornchai nhóm nghiên cứu nghiên cứu dao động tự ổn định đàn hồi dầm xốp báo [21] Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, tác giả Jabbari cộng [22, 23] trình bày ổn định phi tuyến tròn làm vật liệu xốp Sử dụng phương pháp Galerkin, tác giả Tú cộng [24] nghiên cứu ổn định phi tuyến chịu nén Bài báo đưa biểu thức biểu thức xác định tải tới hạn mô tả đường cong sau tới hạn Các kết cấu làm vật liệu xốp gần chủ đề quan tâm đặc biệt nhà thiết kế xây dựng Để tăng cường khả làm việc kết cấu người ta thường giảm trọng lượng kết cấu cách sử dụng vật liệu xốp Cách làm có ưu điểm giảm trọng lượng cơng trình, tiết kiệm vật liệu đặc biệt giảm ảnh hưởng thành phần lực quán tính xuất kết cấu có ảnh hưởng tải trọng động Vì vậy, việc nghiên cứu kết cấu làm vật liệu xốp khơng tối ưu vật liệu mà cịn tối ưu giá thành Tuy vậy, nhìn tổng quan tài liệu nghiên cứu ổn định vỏ xốp chưa có nhiều đặc biệt vật liệu xốp có gân gia cường Hơn nữa, theo hiểu biết tác giả, chưa có nghiên cứu ổn định phi tuyến vỏ trụ sandwich có lớp vật liệu xốp, gia cường gân trực giao, đàn hồi chịu tải xoắn môi trường nhiệt độ Phát triển hướng nghiên cứu hai báo [10], luận văn tập trung vào giải tốn phương pháp giải tích dựa lý thuyết vỏ Donell, kỹ thuật san tác dụng gân phương pháp Galerkin Các phân tích tiến hành để đánh giá ảnh hưởng gân, tham số vật liệu tham số hình học tác dụng đến tải trọng tới hạn đường cong tải độ võng vỏ trụ sandwich ba lớp với lớp lõi làm vật xốp, hai lớp phủ làm vật liệu tính biến thiên vỏ có gân gia cường làm vật liệu FGM Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục chương sau: Chương Vỏ trụ hệ thức bản: Trình bày kết cấu vỏ trụ sandwich, hệ thức phương trình cân vỏ trụ FGP có gân gia cường Chương Phương pháp giải: Trình bày điều kiện biên, phương pháp Galerkin dẫn tới biểu thức giải tích để tìm lực tới hạn vỏ trụ FGP chịu tải xoắn Chương Tính tốn số: Các tính tốn số so sánh với cơng bố trước để khẳng định tin cậy tính tốn giải tích khảo sát ảnh hưởng tham số đến tải tới hạn đường cong đáp ứng sau tới hạn vỏ trụ Nội dung cụ thể chương trình bày Chƣơng – Tính toán số 3.1 So sánh kết Để minh chứng độ xác kết luận văn, tác giả thực ba so sánh Bảng so sánh tải tới hạn vỏ trụ không gân với kết tác giả Shen [29], tác giả Nash [30] Ekstrom [31] Các so sánh chứng tỏ kết luận văn đáng tin cậy Bảng 1: So sánh tải tới hạn xoắn  cr (psi) với [30] [29] vỏ trụ không gân chịu xoắn  cr (psi) E=27e+6 psi,   0.3 L=38 in, R=4 in h=0.0172 in Kết thực nghiệm Nash 6590 Shen Sử dụng phương trình (30) luận văn 6835 6767 Sai số (%) 2.68 (Nash) 0.99 (Shen)  Bảng 2: So sánh tải tới hạn xoắn cr (psi) với [29] [31] vỏ trụ không gân chịu xoắn Kết thực Sử dụng phương trình  cr (psi) nghiệm Shen Sai số (%) (30) luận văn Ekstrom E=29e+6 psi,   0.3 4997 5.0335e+003 4.64 (Ekstrom) 4800 L=19.85 in, R=3 in 0.73 (Shen) h=0.0075 in 3.2 Kết số cho vỏ trụ sandwich ba lớp Trong phần tiếp theo, luận văn nghiên cứu vỏ trụ sandwich gồm ba lớp: lớp vật liệu tính biến thiên/lớp vật liệu xốp/lớp vật liệu tính biến thiên (FG/P/FG) gia cường gân trực giao đàn hồi Pasternak Vật liệu tính biến thiên lớp phủ gân hỗn hợp hai vật liệu Silicon nitride Si3N4 (gốm) thép SUS304 (kim loại) với số vật liệu Ec = 348.43 GPa,  c  7.4746 106 1/ K Em = 201.04 GPa,  m  15.321106 1/ K hệ số Poisson v = 0.3 Lớp lõi làm kim loại (thép) bọt với Em = 201.04 GPa,  m  15.321106 1/ K 21 Các kích thước hình học hệ số cho là: h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, hcore/hFG=2, e0=0.5, k2=k3=k=1, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K Bảng :Ảnh hưởng hệ số độ xốp e0 độ dầy lớp lõi hcore đến tải tới hạn τcr, k2=k3=N=k=1, h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, ΔT=300K, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m Trường hợp 1: Gân τcr (MN) e0=0.2 e0=0.5 Trường hợp 2: Gân e0=0.8 e0=0.2 e0=0.5 e0=0.8 1285.5262 (7,0.55) 1285.5262 (7,0.55) 1285.5262 (7,0.55) 1073.1064 (7,0.65) 1073.1064 (7,0.65) 1073.1064 (7,0.65) 1184.9801 (7,0.62) 1184.9801 (7,0.62) 1184.9801 (7,0.62) hcore/hFG = 0.5 1104.3187 (7,0.61) 1078.7786 (7,0.61) 1052.8295 (7,0.62) 1216.3836 (7,0.56) 1191.5309 (7,0.56) 1166.3308 (7,0.57) hcore/hFG = 1174.9639U (7,0.59) 1174.9639 (7,0.59) 1174.9639 (7,0.59) L 1015.5265 (7,0.65) 996.3323 (7,0.66) 976.9042 (7,0.66) 1127.2047 (7,0.63) 1107.9276 (7,0.63) 1088.3110 (7,0.64) 1061.4664 (7,0.61) 1020.5119 (7,0.63) 978.6761 (7,0.64) 1174.2141 (7,0.56) 1134.3420 (7,0.57) 1093.4924 (7,0.58) 979.1149 (7,0.66) 947.8622 (7,0.67) 915.9337 (7,0.67) 1090.7786 (7,0.63) 1059.2346 (7,0.64) 1026.9885 (7,0.64) 1011.3593 (7,0.62) 952.0060 (7,0.64) 890.9725 (7,0.66) 1124.9341 (7,0.57) 1066.9788 (7,0.58) 1007.0353 (7,0.59) 935.4593 (7,0.67) 889.1465 (7,0.68) 841.4135 (7,0.69) 1047.0223 (7,0.64) 1000.3516 (7,0.65) 952.0409 (7,0.65) 983.0890 (7,0.63) 913.1302 (7,0.65) 840.8046 (7,0.67) 1097.0445 (7,0.57) 1028.6628 (7,0.58) 957.5058 (7,0.60) 910.3472 (7,0.67) 855.0998 (7,0.68) 795.8436 (6,0.67) 1021.9176 (7,0.64) 966.2104 (7,0.65) 908.2096 (7,0.66) 964.9663 (7,0.63) 888.0875 (7,0.65) 808.3950 (7,0.67) 1079.1829 (7,0.57) 1004.0303 (7,0.59) 925.4390 (7,0.60) 894.1315 (7,0.67) 832.9634 (7,0.69) 765.3784 (6,0.68) 1005.7052 (7,0.64) 944.0562 (7,0.65) 879.5858 (7,0.66) 952.3905 (7,0.63) 870.6796 (7,0.65) 785.7253 (7,0.68) 1066.7779 (7,0.57) 986.8195 (7,0.59) 903.0525 (7,0.60) 882.8027 (7,0.68) 817.4380 (7,0.69) 744.2384 (6,0.68) 994.3861 (7,0.65) 928.5400 (7,0.66) 859.4694 (7,0.66) hcore=h 882.8467 (7,0.64) 773.5609 (7,0.68) 658.3979 (7,0.71) 998.2023 (7,0.58) 891.1339 (7,0.60) 776.9170 (7,0.62) hFG =0 819.3462 (7,0.69) 729.8077 (7,0.71) 627.6695 (6,0.71) 931.0266 (7,0.65) 840.9350 (7,0.67) 744.5405 (7,0.68) hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = U ký hiệu cho tải tới hạn trên; L Ký hiệu tải tới hạn a) Ảnh hưởng hệ số độ xốp e0 độ dầy lớp lõi hcore Bảng mô tả tải tới hạn vỏ trụ sandwich với hệ số độ xốp, tỉ số độ dày lớp lõi/độ dày lớp phủ - hcore/hFG thay đổi Trong đó, tải xoắn tới hạn tải xoắn tới hạn xác định cách cực tiểu hóa giá trị theo m, n λ, dựa phương trình (27) (31) Các tải giới hạn tính tốn cho hai trường hợp: gân FGM gia cường phía phía ngồi vỏ trụ sandwich Với hệ số độ rỗng khác e0, hình hình mô tả ảnh hưởng tỉ số hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn tải xoắn tới hạn vỏ xốp 22 sandwich Hình 4a b trình bày ảnh hưởng tỉ số hcore/hFG lên đường tải – độ võng đường cong tải – góc xoắn sau tới hạn vỏ trụ sandwich có gân gia cường Nó cho thấy hcore/hFG tăng tải tới hạn giảm cho hai trường hợp gân gân ngồi (bảng 3) Ví dụ, trường hợp - gân trong, e0=0.5, tải tới hạn giảm 52% từ τupper=1174.9639 MPa (với hcore/hFG=0) xuống τupper=773.5609 MPa (với hcore=h, hFG=0) Giá trị tải xoắn tới hạn τupper vỏ sandwich có gân gia cường phía (trường hợp 1) luôn nhỏ trường hợp gân gia cường phía ngồi (trường hợp 2) Hình ảnh hưởng hệ số độ rỗng đến đường cong tải – độ võng sau tới hạn vỏ trụ sandwich xốp có gân gia cường Nó khả mang tải vỏ trụ giảm hệ số độ rỗng e0 tăng Hình mô tả ảnh hưởng hệ số độ rỗng đến tải xoắn tới hạn tải xoắn tới hạn τcr vỏ trụ xốp có gân gia cường giảm e0 tăng Điều hồn tồn phù hợp với thực tế dựa theo phương trình (1), độ rỗng vỏ ảnh hưởng đến mô đun đàn hồi Young vỏ h= 0.006m, R/h=80 Gân L/R=1.5, ΔT=300K hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 τlower (MPa) τupper (MPa) h= 0.006m, R/h=80 L/R=1.5, ΔT=300K (3) (4) (1) (3) (4) (1) (2) (2) Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m hcore/hFG hcore/hFG Hình Ảnh hưởng hcore/hFG lên tải Hình Ảnh hưởng hcore/hFG lên tải xoắn tới hạn τupper (k2=k3=N=k=1) xoắn tới hạn τlower (k2=k3=N=k=1) 23 τ (MPa) -0.25 h= 0.006m, R/h=80 L/R=1.5, e0=0.5, ΔT=300K (2) 1079 MPa (2) (3) -0.24 (4) (3) 952 MPa (4) 774 MPa Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m -0.23 Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Hình 4a Ảnh hưởng hcore/hFG lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) Hình 4b Ảnh hưởng hcore/hFG lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, ΔT=300K (1) (2) (3) (4) -0.31 -0.28 -0.24 -0.20 (3) (4) 891 MPa Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Wmax/h e0=0 e0=0.2 e0=0.5 e0=0.8 ψ (độ) Hình 5a Ảnh hưởng e0 lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) Hình 5b Ảnh hưởng e0 lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) h= 0.006m, R/h=80 L/R=1.5, ΔT=300K (3) h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5, hcore/hFG = 2, e0=0.5 (4) Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 -0.24 (1) τ (MPa) τupper (MPa) (1) (2) 1050 MPa 1011 MPa 952 MPa τ (MPa) τ (MPa) e0=0 h= 0.006m, R/h=80 e0=0.2 L/R=1.5, h /h = core FG e0=0.5 ΔT=300K e0=0.8 (2) hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = hcore/hFG = 0.5 hcore/hFG = hcore = h ψ (độ) Wmax/h Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m (1) 1175 MPa τ (MPa) hcore/hFG = h= 0.006m, R/h=80 hcore/hFG = 0.5 L/R=1.5, e0=0.5 hcore/hFG = ΔT=300K hcore = h (1) -0.26 Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m -0.49 (3) (2) (1) Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Wmax/h e0 Hình Ảnh hưởng e0 lên tải xoắn tới hạn τupper (k2=k3=N=k=1) Hình Ảnh hưởng ΔT lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 24 b) Ảnh hưởng thành phần nhiệt độ Ảnh hưởng nhiệt độ tăng đến giá trị tải tới hạn đáp ứng sau tới hạn vỏ trụ nghiên cứu phần Bảng trình bày ảnh hưởng nhiệt độ đến giá trị tải xoắn tới hạn Nó cho thấy tải xoắn tới hạn vỏ trụ giảm nhiệt độ ΔT tăng Ví dụ, trường hợp gân k=1, tải xoắn tới hạn τlower =894.3144 MPa tương ứng với ΔT = 0K lớn tải xoắn tới hạn tương ứng với ΔT = 300K khoảng 5.1679MPa ΔT= 600K khoảng 10.3594MPa Bảng tải xoắn tới hạn vỏ gia cường gân lớn so với gân Ảnh hưởng nhiệt độ đến đường cong sau tới hạn τ - Wmax/h mơ tả hình Đường thứ không xuất phát từ điểm trục tung Có nghĩa nhiệt độ tác động vỏ vỏ bị phình (vỏ có độ võng âm) trước tải xoắn học tác động vào vỏ trụ Khi vỏ trụ chịu tác dụng tải xoắn, độ phình ta vỏ giảm tải xoắn đạt tới giá trị vỏ bị co lại (độ võng âm) Bảng 4: Ảnh hưởng nhiệt độ số tỉ phần thể tích đến tải xoắn tới hạn tải tới hạn h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m τ (MPa) ΔT=0K Case ΔT=300K ΔT=600K ΔT=0K Case ΔT=300K k=0 k=0.5 k=1 k=5 U 938.1262 (7,0.65) 877.1568 (7,0.69) 932.0261 (7,0.65) 871.9326 (7,0.69) 925.9279 (7,0.65) 866.6793 (7,0.68) 1025.2624 (7,0.58) 960.7338 (7,0.65) 1018.0948 (7,0.58) 954.9201 (7,0.65) 1010.9218 (7,0.57) 949.0707 (7,0.64) 958.0560 (7,0.64) 894.3144 (7,0.68) 952.0060 (7,0.64) 889.1465 (7,0.68) 945.9579 (7,0.64) 883.9550 (7,0.67) 1073.6733 (7,0.58) 1005.7798 (7,0.65) 1066.9788 (7,0.58) 1000.3516 (7,0.65) 1060.2818 (7,0.57) 994.8828 (7,0.64) 997.8473 (7,0.62) 928.7301 (7,0.66) 992.0008 (7,0.62) 923.7587 (7,0.66) 986.1561 (7,0.62) 918.7870 (7,0.66) 1178.8424 (7,0.58) 1103.2623 (7,0.65) 1173.0901 (7,0.58) 1098.6010 (7,0.65) 1167.3392 (7,0.58) 1093.9392 (7,0.65) 907.4452 (7,0.69) 852.4215L (7,0.72) 901.5159 (7,0.68) 847.2485 (7,0.71) 895.5493 (7,0.68) 842.0322 (7,0.71) 932.2925 (7,0.58) 873.9862 (7,0.65) 924.2810 (7,0.58) 867.4837 (7,0.65) 916.2732 (7,0.58) 860.9803 (7,0.65) ΔT=600K a Mode vồng (n, λ); m=1 c) Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích đến tải xoắn tới hạn đường cong sau tới hạn vỏ trụ sandwich xốp có gân gia cường trình bày bảng 4, hình Nó rằng, giá trị tải tới hạn tăng số tỉ phần thể tích k tăng Giá trị tải xoắn tới hạn với k=0 (kim loại) nhỏ Tính chất phù hợp với thực tế vật liệu giá trị k lớn tương ứng với hàm lượng gốm lớp phủ tăng lên dẫn tới tính kháng nhiệt vỏ độ cứng kết cấu vỏ trụ tăng lên 25 (4) (3) (2) (1) τ (MPa) Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 (4) (3) (2) τ (MPa) h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, e0=0.5, ΔT=300K h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, e0=0.5, ΔT=300K (1) ψ (độ) Wmax/h Hình 8b Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ – ψ (Case 1) Hình 8a Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích k lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1) h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, e0=0.5 Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m h= 0.006m, hcore/hFG=2 e0=0.5, ΔT=300K (3) τupper (MPa) τupper (MPa) (4) Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 (1) (2) Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 (1) (2) Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m k R/h Hình 10 Ảnh hưởng R/h lên tải xoắn tới hạn τupper (Case 1, k=1) Hình Ảnh hưởng số tỉ phần thể tích k lên tải xoắn tới hạn τupper d) Ảnh hưởng thơng số hình học (ảnh hưởng tỉ số R/h L/R) Bảng biểu diễn ảnh hưởng tỉ số R/h L/R lên tải xoắn tới hạn vỏ trụ xốp có gân gia cường trực giao đàn hồi mơi trường nhiệt độ (ΔT=300K) Các hình 10, 11 12 ảnh hưởng tỉ số R/h, L/R lên đường cong mô tả quan hệ  upper  R / h ,   Wmax / h   Các ảnh hưởng tỉ số R/h lên đường cong   Wmax / h   biểu diễn hình 11 Các kết thu khả chịu lực vỏ giảm đáng kể mà tỉ số R/h tăng 26 Bảng 5: với tỉ số R/h, tải xoắn tới hạn giảm mà tỉ số L/R tăng Ví dụ, với R/h=80 (trường hợp 1), tải xoắn tới hạn  lower =1105.4533 MPa tương ứng với L/R=1 tương ứng lớn tải xoắn tới hạn tỉ số L/R=1.5, khoảng 1.24, 1.38 lần Bảng 5: Ảnh hưởng thông số hình học đến tải xoắn tới hạn tải xoắn tới hạn k2=k3=N=k=1, h=0.006m, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, , K1=6×107 N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K τ (MPa) L/R=1 Trường hợp L/R=1.5 L/R=2 L/R=1 Trường hợp L/R=1.5 L/R=2 a R/h=50 R/h=80 R/h=100 R/h=200 2258.1525U (6,0.77) 2190.2584L (6,0.79) 1735.3191 (5,0.68) 1586.7886 (5,0.72) 1477.4771 (5,0.60) 1335.6180 (5,0.62) 2934.2472 (6,0.76) 2839.9821 (6,0.83) 2116.6690 (6,0.64) 1980.8920 (5,0.73) 1712.9223 (5,0.53) 1567.5275 (5,0.59) 1169.3954 (7,0.74) 1105.4533 (7,0.77) 952.0060 (7,0.64) 889.1465 (7,0.68) 845.0664 (7,0.58) 800.2638 (7,0.61) 1417.2728 (7,0.71) 1341.4070 (7,0.78) 1066.9788 (7,0.58) 1000.3516 (7,0.65) 907.3853 (7,0.52) 863.5654 (7,0.57) 886.5336 (8,0.72) 842.4465 (8,0.75) 740.8538 (8,0.62) 708.8548 (8,0.66) 668.6882 (8,0.57) 649.8811 (7,0.56) 1029.0819 (8,0.67) 978.4445 (8,0.74) 804.3150 (8,0.57) 771.9972 (8,0.62) 703.1049 (8,0.52) 687.7935 (7,0.53) 427.8135 (12,0.68) 427.8135 (12,0.68) 387.4691 (12,0.62) 387.4691 (12,0.62) 368.2886 (12,0.59) 368.2886 (12,0.59) 452.9347 (12,0.64) 452.9347 (12,0.64) 399.2213 (12,0.58) 399.2213 (12,0.58) 375.7068 (12,0.56) 375.7068 (12,0.56) Mode vồng (n, λ); m=1 h= 0.006m, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, e0 = 0.5, ΔT=300K Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 τ (MPa) -0.15 (1) 1735 MPa τ (MPa) (1) -0.24 h= 0.006m, L/R=1.5, hcore/hFG =2 e0=0.5, ΔT=300K (2) (3) -0.29 (4) -0.53 (2) (3) (4) 952 MPa 741 MPa Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m 387 MN Wmax/h Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 ψ (độ) Hình 11a Ảnh hưởng tỉ số R/h lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) Hình 11b Ảnh hưởng tỉ số R/h lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) 27 h= 0.006m, R/h=80 hcore/hFG = 2, e0=0.5 ΔT=300K Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 (1) Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m (1) τ (MPa) τ (MPa) h= 0.006m, R/h=80, hcore/hFG = e0=0.5, ΔT=300K 1169 MPa (2) (3) 952 MPa 845 MPa Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 (2) (3) Nền K1=6×107N/m3 K2=4×105N/m ψ (độ) Wmax/h Hình 12a Ảnh hưởng L/R lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) Hình 12b Ảnh hưởng tỉ số L/R lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) Bảng 6: Ảnh hưởng gân đến tải xoắn tới hạn k2=k3=N=k=1, h=0.006m, L/R=1.5, R/h=80, a/hFG = 2, e0=0.5, hs=hr=0.006m, bs=br=0.006m, ns=20, nr=20, K1=6×107N/m3, K2=4×105 N/m, ΔT=300K (Trường hợp 1: gân gia cưởng phía trong) τ (MPa) K2=0 N/m K1=3×107 N/m3 K2=4×105 K2=8×105 K2=0 N/m K1=6×107 N/m3 K2=4×105 K2=8×105 K2=0 N/m K1=9×107 N/m3 K2=4×105 K2=8×105 Khơng gân Gân dọc (ns=40) Gân vòng (nr=40) Gân trực giao (ns=20, nr=20) 608.9001U (8,0.46) 618.1758 (8,0.44) 967.1460 (7,0.74) 857.2249 (7,0.61) 563.3682L (7,0.48) 580.5520 (7,0.45) 861.8107 (6,0.69) 779.8039 (7,0.65) 699.6473 (8,0.49) 711.3891 (8,0.47) 1040.4887 (7,0.46) 936.5071 (7,0.63) 656.2031 (7,0.54) 676.6567 (7,0.50) 942.0977 (6,0.71) 861.4514 (7,0.67) 786.4654 (8,0.53) 800.5328 (8,0.50) 1113.4552 (7,0.77) 1014.6256 (7,0.65) 743.7651 (8,0.54) 767.9773 (7,0.54) 1021.5415 (6,0.73) 942.1404 (7,0.69) 624.3455 (8,0.47) 634.3234 (8,0.45) 980.2054 (7,0.75) 873.2423 (7,0.62) 593.7124 (8,0.51) 613.5872 (8,0.48) 892.0696 (6,0.71) 808.2607 (7,0.66) 713.9375 (8,0.50) 726.3575 (8,0.48) 1053.3383 (7,0.77) 952.0060 (7,0.64) 682.3531 (8,0.55) 705.1518 (8,0.51) 971.5633 (6,0.73) 889.1465 (7,0.68) 799.9394 (8,0.53) 814.6745 (8,0.51) 1126.0893 (7,0.78) 1029.7074 (7,0.66) 768.1953 (8,0.58) 793.5566 (8,0.54) 1050.2756 (6,0.74) 969.1209 (7,0.69) 639.5002 (8,0.48) 650.1845 (8,0.46) 993.1481 (7,0.76) 889.0539 (7,0.63) 618.2474 (8,0.52) 636.9811 (8,0.48) 921.5634 (6,0.72) 835.4408 (7,0.67) 728.0235 (8,0.51) 741.1372 (8,0.49) 1066.0859 (7,0.77) 967.3378 (7,0.65) 705.8890 (8,0.55) 727.5046 (8,0.51) 1000.0729 (7,0.80) 915.6010 (7,0.68) 813.2483 (8,0.54) 650.1845 (8,0.46) 1138.6417 (7,0.79) 1044.6377 (7,0.66) 790.8975 (8,0.58) 814.9979 (8,0.54) 1075.8452 (7,0.81) 994.9052 (7,0.70) 28 h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, e0=0.5, ΔT=300K h= 0.006m, R/h=80, L/R=1.5 hcore/hFG = 2, e0=0.5, ΔT=300K (1) Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 τ (MPa) τ (MPa) (2) (3) (4) Gân hs=hr=0.006m bs=br=0.006m ns=nr=20 ψ (độ) Wmax/h Hình 13a Ảnh hưởng gân lên đường cong τ - Wmax/h (Case 1: k2=k3=N=k=1) 952 MPa 857 MPa (1) 714 MPa (2) (3) (4) 609 MN Hình 13b Ảnh hưởng gân lên đường cong τ – ψ (Case 1: k2=k3=N=k=1) e) Ảnh hưởng gân Ảnh hưởng gân đến tải xoắn tới hạn tải xoắn tới hạn vỏ trụ sandwich xốp có gân gia cường mô tả bảng Như quan sát thấy, tải xoắn tới hạn tăng hệ số hền K1 K2 tăng Điều hình 13 Thêm vào đó, bảng cịn với số gân gia cường vỏ xốp gia cường gân vịng có khả chịu xoắn tốt nhất, đứng thứ hai gân trực giao, sau gân dọc Vỏ khơng gia cường (khơng có gân gia cường) khơng có đàn hồi có tải xoắn tới hạn nhỏ 29 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp giải tích để nghiên cứu tốn ổn định vỏ trụ sandwich xốp có gân gia cường lệch tâm Phương trình cân vỏ trụ nhận dựa vào lý thuyết vỏ Donnell kỹ thuật san tác dụng gân; sử dụng phương pháp Galerkin để tìm phương trình tính tải xoắn tới hạn phương trình khảo sát đáp ứng sau tới hạn Các tính tốn số ảnh hưởng thông số độ xốp, độ dầy lớp lõi, số gân, nhiệt độ, số tỉ phần thể tích k tham số hình học đến tải xoắn tới hạn đáp ứng sau tới hạn vỏ trụ sandwich xốp có gân gia cường Luận văn thu số kết sau: i) Đã trình bày chi tiết kết tính tốn giải tích tìm phương trình hiển xác định tải xoắn tới hạn phương trình khảo sát đáp ứng sau tới hạn vỏ trụ Sandwich xốp có gân gia cường có đàn hồi môi trường nhiệt độ ii) Khảo sát số nghiên cứu ảnh hưởng tham số đến tải xoắn tới hạn đường cong sau tới hạn vỏ trụ Sandwich xốp có gân gia cường từ rút kết luận sau: - Tải xoắn tới hạn τcr vỏ trụ xốp có gân gia cường giảm hệ số độ xốp e0 tăng - Khi hcore/hFG tăng tải xoắn tới hạn hai trường hợp gân gân giảm - Khả chịu tải xoắn vỏ trụ giảm nhiệt độ ΔT tăng - Giá trị tải tới hạn tăng số tỉ phần thể tích k lớp phủ tăng - Khi tỉ số R/h L/R tăng lên khả mang tải vỏ trụ xốp có gân gia cường trực giao đàn hồi giảm 30 - Sự có mặt gân cách bố trí gân thay đổi ảnh hưởng đáng kể đến khả mang tải vỏ Với vỏ có gân gia cường khả mang tải vỏ cao hẳn so với vỏ khơng có gân gia cường Với việc gắn gân vịng khả mang tải trường hợp cao so với trường hợp gắn gân dọc gân trực giao Hƣớng nghiên cứu luận văn: - Giải tốn vỏ trụ sandwich xốp có gân gia cường chịu tải động - Giải kết cấu vỏ khác vỏ nón, panel cầu làm vật liệu xốp - Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt để nghiên cứu toán 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Batra R.C (2006), “Torsion of a functionally graded cylinder”, AIAA J 44, pp 1363–1365 [2] Wang H.M., Liu C.B., Ding H.J (2009), “Exact solution and transient behavior for torsional vibration of functionally graded finite hollow cylinders”, Acta Mech Sinica 25, pp 555–563 [3] Zhang P., Fu Y (2011), “Torsional buckling of elastic cylinders with hard coatings”, Acta Mech 220, pp 275–287 [4] Sofiyev A.H., Schnack E (2004), “The stability of functionally graded cylindrical shells under linearly increasing dynamic torsional loading”, Eng Struct 26, pp 1321–1331 [5] Li S, Wang S Elastic stability of circular cylindrical shells with FGMS layers under end torsion force Lixue Xuebao/Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics 2010; 42 (6): 1172-79 [6] Bagherizadeh E., Kiani Y., Eslami M.R (2011), “Mechanical buckling of functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundation”, Compos Struct 93, pp 3063-3071 [7] Sofiyev A.H., Kuruoglu N (2013), “Torsional vibration and buckling of the cylindrical shell with functionally graded coatings surrounded by an elastic medium”, Compos Part B: Eng 45, pp 1133–1142 [8] Najafizadeh M.M., Hasani A., Khazaeinejad P (2009), “Mechanical stability of functionally graded stiffened cylindrical shells”, Appl Math Modelling 33, pp 1151-1157 [9] Bich D.H., Nam V.H., Phuong N.T (2011), “Nonlinear post-buckling of eccentrically stiffened functionally graded plates and shallow shells” Vietnam J Mech 3, pp.131-147 32 [10] Dung DV, Hoa LK Nonlinear torsional buckling and postbuckling of eccentrically stiffened FGM cylindrical shells in thermal environment Composites: Part B 69 (2015) 378–388 [11] Thang PT, Trung NT Effect of stiffeners on nonlinear buckling of cylindrical shells with functionally graded coatings under torsional load Composite Structures 153 (2016) 654–661 [12] Thang PT, Duc ND, Trung NT Thermomechanical buckling and post-buckling of cylindrical shell with functionally graded coatings and reinforced by stringers Aerospace Science and Technology 66 (2017) 392–401 [13] Ninh DG, Bich DH Nonlinear torsional buckling and postbuckling of eccentrically stiffened ceramic functionally graded material metal layer cylindrical shell surrounded by elastic foundation subjected to thermo-mechanical load Journal of Sandwich Structures and Materials, 18 (6), (2016), pp 712-738 [14] Shen HS Torsional buckling and postbuckling of FGM cylindrical shells in thermal environments International Journal of Non-Linear Mechanics 2009;44:644-57 [15] Huang H, Han Q Nonlinear buckling of torsion-loaded functionally graded cylindrical shells in thermal environment European Journal of Mechanics-A/Solids 2010;29:42-8 [16] Magnucki, K and P Stasiewicz, Elastic buckling of a porous beam Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2004 42(4): p 859868 [17] Magnucka Blandzi, E Mathematical Modeling of a Rectangular Sandwich Plate with a Non - Homogeneous Core in AIP Conference Proceedings 2007 AIP [18] Magnucka-Blandzi, E., Mathematical modelling of a rectangular sandwich plate with a metal foam core Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011 49(2): p 439-455 33 [19] Magnucka-Blandzi, E., Axi-symmetrical deflection and buckling of circular porous-cellular plate Thin-walled structures, 2008 46(3): p 333-337 [20] Chen, D., J Yang, and S Kitipornchai, Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam Composite Structures, 2015 133: p 54-61 [21] Kitipornchai, S., D Chen, and J Yang, Free vibration and elastic buckling of functionally graded porous beams reinforced by graphene platelets Materials & Design, 2017 116: p 656-665 [22] Jabbari, M., et al., Buckling analysis of a functionally graded thin circular plate made of saturated porous materials Journal of Engineering Mechanics, 2013 140(2): p 287-295 [23] Mojahedin, A., et al., Buckling analysis of functionally graded circular plates made of saturated porous materials based on higher order shear deformation theory Thin-Walled Structures, 2016 99: p 83-90 [24] Tu TM, Hoa LK, Hung DX and Hai LT Nonlinear buckling and postbuckling analysis of imperfect porous plates under mechanical loads Journal of Sandwich Structures & Materials https://doi.org/10.1177/1099636218789612 [25] M.R Feyzi, A.R Khorshidvand Axisymmetric post-buckling behavior of saturated porous circular plates Thin-Walled Structures 112 (2017) 149–158 [26] Brush DO, Almroth BO Buckling of bars, plates and shells Mc Graw-Hill, New York; 1975 [27] Reddy JN Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and Analysis Boca Raton: CRS Press 2004 [28] Volmir AS Stability of elastic systems Science Edition Moscow; 1963 (in Russian) 34 [29] Shen H.S (2009), “Torsional buckling and postbuckling of FGM cylindrical shells in thermal environments”, Int J Non-Linear Mech 44, pp 644-657 [30] Nash W.A (1959), “An experimental analysis of the buckling of thin initially imperfect cylindrical shells subject to torsion”, Proceedings of the Society for Experimental stress Analysis 16(2), pp 55-68 [31] Ekstrom R.E (1963), “Buckling of cylindrical shells under combined torsion and hydrostatic pressure”, Experimental Mechanics 3, pp 192-197 35