Về chuỗi Fourier có trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - CHU THỊ THƠM VỀ CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - CHU THỊ THƠM VỀ CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NINH VĂN THU Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Được hướng dẫn tận tình PGS.TS Ninh Văn Thu, sau q trình làm việc nghiêm túc, tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Ninh Văn Thu Thầy tận tình hướng dẫn, kiểm tra giúp tơi hồn thành luận văn Được làm việc hướng dẫn thầy, học hỏi nhiều Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện học tập, giúp lĩnh hội tiếp thu kiến thức quý báu thời gian học tập Khoa.Tôi xin gửi lời cảm ơn đến phòng Sau Đại học Nhà trường tạo điều kiện cho tơi hồn thành thủ tục trình học tập bảo vệ luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè, người động viên ủng hộ vật chất tinh thần suốt trình học tơi Mặc dù thân tơi có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2018 Chu Thị Thơm Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ký hiệu không gian 1.2 Hàm liên tục khúc, hàm khả vi khúc 1.3 Bất đẳng thức Hăolder Bt ng thc Minkowski 1.4 Tớch chp ca hai hàm L1 (Rn ) 1.5 Hệ hàm lượng giác trực giao 1.6 Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier có trọng 2.1 Nhân chuỗi Fourier có trọng 2.2 Tính chất hội tụ điểm σn (f, x) 2.3 Sự hội tụ chuẩn 2.4 Đặc trưng chuỗi Fourier 2.5 Một vài ví dụ số 5 6 18 18 26 29 32 34 Mở đầu Trong Toán học, chuỗi Fourier (được đặt tên theo nhà toán học Joseph Fourier) hàm tuần hồn f cách biểu diễn hàm dạng tổng hàm tuần hồn có dạng eikx , tức +∞ +∞ f∼ ck e ikx = k=−∞ ck (cos kx + i sin kx) k=−∞ Fourier người nghiên cứu chuỗi lượng giác theo cơng trình trước Euler, D’Alembert Daniel Bernoulli Fourier áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt Dirichlet Riemann diễn đạt lại cơng trình Fourier theo quan điểm tốn học đại Chuỗi Fourier lúc hội tụ.Với hàm f thuộc không gian L ([−π; π]) ≡ L1 , tổng riêng Fourier thứ n f định nghĩa π Sn (f, x) = ck e |k|≤n n đó, Dn (x) = ikx = 2π Dn (x − y) f (y)dy = (Dn ∗ f ) (x) , (0.1) −π eikx nhân Dirichlet, Dn ∗ f tích chập Dn f k=−n Có nhiều kết tổng Sn (f, x) nghiên cứu từ trước đến Hơn nữa, Sn (f, x) không hội tụ hàm liên tục Tính chất hội tụ tốt đạt trung bình Cesàro Trung bình Cesàro định nghĩa sau σn (f, x) = n+1 n Sk (f, x) (0.2) k=0 Mặc dù có nhiều thuận lợi, tốc độ hội tụ trung bình Cesàro khơng nhanh tổng riêng Fourier hàm trơn Vì vậy, người ta quan tâm đến việc tìm tổng riêng Fourier có trọng khác, tổng riêng có tốc độ hội tụ nhanh trung bình Cesàro Luận văn trình bày lại số kết hội tụ chuỗi Fourier có trọng dựa theo báo "A weighted Fourier series with signed good kernels" tác giả Sony Chan Kyung Soo Rim (Hàn Quốc, xem tài liệu [3]) Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số định nghĩa, định lý sau: MỤC LỤC + Ký hiệu không gian + Định nghĩa hàm liên tục khỳc, kh vi tng khỳc + Bt ng thc Hăolder, Minkowski + Tích chập hai hàm L1 (Rn ) + Hệ hàm lượng giác trực giao + Định nghĩa chuỗi Fourier + Định nghĩa tổng Dirichlet + Định nghĩa trung bình Cesàro + Định lý hội tụ chuỗi Fourier + Khai triển Fourier [−π; π] + Nguyên lý Riemann địa phương Chương 2: Chuỗi Fourier có trọng Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kết hội tụ chuỗi Fourier có trọng sau: + Nhân chuỗi Fourier có trọng + Tính chất hội tụ theo điểm σn (f, x) + Sự hội tụ chuẩn + Đặc trưng chuỗi Fourier + Một vài ví dụ số Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương nhắc lại số khái niệm định lý dùng chương sau Nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2] 1.1 Ký hiệu không gian Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, ≤ p < ∞, K = R hay K = C Ta định nghĩa không gian Lp (R) sau Lp (R) = |f |p < ∞ f : R → K : f đo R L∞ (R) = f : R → K : f đo tồn C (f ) cho |f (x)| ≤ C (f ) h.k.n Chú ý 1.1.2 Trong không gian Lp (R), với f ∈ Lp (R), xác định chuẩn f f p p |f | = p R Trong không gian L∞ (R), xác định chuẩn f f ∞ = inf {C (f ) : |f (x)| ≤ C (f ) h.k.n} Khi đó: i) Lp (R) với ≤ p ≤ ∞ không gian Banach với chuẩn · p ii) L2 (R) không gian Hilbert với tích vơ hướng (f, g) = f ∈ L2 (R), g ∈ L2 (R) R f.g với Cho I khoảng bị chặn R Khi đó, ta định nghĩa Lp (I) tương tự Lp (R), thay tích phân R thành tích phân I Trong luận văn này, ta ký hiệu Lp := Lp ([−π; π]) với ≤ p ≤ ∞ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2 Hàm liên tục khúc, hàm khả vi khúc Định nghĩa 1.2.1 (Hàm liên tục) i) Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số f : A → R điểm x0 ∈ A Nếu với ε > cho trước tồn δ > (phụ thuộc vào ε) cho với x ∈ {x ∈ A : |x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tục điểm x0 ii) Nếu f liên tục điểm x ∈ A ta nói f liên tục A Định nghĩa 1.2.2 (Hàm liên tục đều) Hàm số f : A → R gọi liên tục A với ε > cho trước tồn δ > (phụ thuộc vào ε) cho với x, x ∈ A thỏa mãn |x−x | < δ ta có |f (x) − f (x )| < ε Định nghĩa 1.2.3 (Điểm gián đoạn loại một) Cho hàm số f : [a; b] → R Giả sử x0 ∈ (a; b) Nếu tồn đồng thời hai giới hạn hữu hạn lim+ f (x) lim− f (x) hai giới hạn khác f (x0 ) x→x0 x→x0 x0 gọi điểm gián đoạn loại Định nghĩa 1.2.4 (Hàm liên tục khúc) Cho hàm f xác định đoạn [a; b] Nếu ta chia đoạn [a; b] thành hữu hạn đoạn [ai ; bi ], (i = 1, 2, , k) điểm chia: a = a1 < b1 < < ak < bk = b cho khoảng (ai ; bi ) hàm f liên tục tồn giới hạn hữu hạn limx→a+0 f (x) = f (ai + 0) limx→b−0 f (x) = f (bi − 0) với i = 1, 2, , k i i ta nói hàm f liên tục khúc [a; b] Định nghĩa 1.2.5 (Hàm khả vi khúc) Nếu hàm f liên tục khúc [a; b] f có đạo hàm f liên tục khúc [a; b] ta nói f hàm khả vi khỳc trờn on [a; b] 1.3 Bt ng thc Hă older Bất đẳng thức Minkowski Định lí 1.3.1 (Bất đẳng thc Hă older) Cho f Lp (R), g Lq (R) số thực p, q với < p < ∞, < q < ∞, p1 + 1q = Khi f g ∈ L1 (R) p |f g| ≤ p |f | R q |g| R q R Đặc biệt, p = q = ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz |f g| ≤ |f | R R 2 |g| R CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lí 1.3.2 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho < p < ∞ Khi đó, với f ∈ Lp (R), g ∈ Lp (R), ta có p p |f + g| p ≤ |f | R 1.4 1.4.1 p p |g| + R p R Tích chập hai hàm L1 (Rn) Định nghĩa Cho hai hàm f (x) , g (x) thuộc L1 (Rn ) Ký hiệu (f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y) dy Rn Khi (f ∗ g) (x) hàm x thuộc L1 (Rn ) gọi tích chập hai hàm f g 1.4.2 Tính chất Tích chập có tính chất giao hoán kết hợp a) Nếu đặt x − y = t (f ∗ g) (x) = f (t) g (x − t) dt = (g ∗ f ) (x) Rn b) Với hàm f, g, h thuộc L1 (Rn ), ta ln có (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h), ký hiệu f ∗ g ∗ h Tính chất chuẩn tích chập Với hàm f, g thuộc L1 (Rn ), ta ln có f ∗g L1 ≤ f L1 g L1 (1.1) L1 g L1 (1.2) Nếu f (x) ≥ 0, g (x) ≥ với x ∈ Rn f ∗g L1 = f CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chứng minh: Thật vậy, f ∗g L1 f (x − y) g (y) dy dx = Rn Rn ≤ |f (x − y)| |g (y)| dy dx Rn ≤ Rn |g (y)| |f (x − y)| dx dy Rn = = f f Rn L1 L1 |g (y)| dy Rn g L1 Như vậy, (1.1) chứng minh Khi f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0, chứng minh trên, bất đẳng thức không ngặt trở thành đẳng thức Do đó, (1.2) chứng minh 1.5 Hệ hàm lượng giác trực giao Định nghĩa 1.5.1 Giả sử {ϕn }+∞ n=1 dãy hàm khả tích [a; b] Khi đó, b b ϕ2n (x) dx = với n ∈ N ϕn (x) ϕm (x) dx = với n, m ∈ N, n = m a a ta nói {ϕn }+∞ n=1 hệ hàm trực giao [a; b] Xét hệ hàm lượng giác [−π; π] 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, Dễ dàng kiểm tra π cos kx cos nxdx = π nếu k=n k = n, sin kx sin nxdx = π nếu k=n k = n, −π π −π π sin kx cos nxdx = với k, n ∈ N −π Như vậy, hệ hàm lượng giác hệ hàm trực giao [−π; π] CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG π Ước lượng A: Đặt C = maxn Fn ≡ maxn |Fn (x)| dx Theo Bổ đề 2.1.6, ta có −π π |Fn (x)|dx ≤ 2I + 2III + 2IV −π 22 π + π + 69 3 ≤ π3 + Từ đó, ta suy < C < ∞ Do hàm f liên tục x = a nên với ε > cho trước, tồn δ > cho ε f (a + x) + f (a − x) − f (a) < C với ≤ x < δ Trong (2.14), lấy η = δ, ta δ ε |A| ≤ Cπ |Fn (x)| ε ≤ Fn Cπ ε ≤ C Cπ ≤ ε (2.15) Ước lượng B: Theo Hệ 2.1.3 trang 20, ta có |Fn (x)| ≤ 5π 4(n+1)|x|3 với < |x| < π Vì vậy, max |Fn (x)| ≤ δn ≤ k2 |ck |2 |ck | + (n + 1) |k|≤n |k|>n f − σn (f ) = 2 Vì vậy, định lý chứng minh Kết luận suy từ tính chất trực giao dãy eikx k∈Z Định lý 2.3.5 Hệ 2.3.6 Cho f ∈ L2 Khi f − Sn (f ) ≤ f − σn (f ) ≤ f − σn (f ) với n Chú ý 2.3.7 Trong Định lý 2.3.5, ta quan niệm f − σn (f ) f − σn (f ) (2.19) bị chặn L2 Tuy nhiên, ta tồn f ∈ L2 cho (2.19) dần đến ∞ n → ∞ Cụ thể, ta chọn hàm f (x) = k e−|k| eikx Thật vậy, f − σn (f ) f − σn (f ) 2 2 = (n + 1) k e−2|k| + 2(n+1)2 −2n e e2 −1 −2|k| + |k|≤n k e 2(n+1)4 −2n e e2 −1 |k|≤n = (n + 1)2 A với A= Chọn n0 cho 2(n+1)4 −2n e e2 −1 k e−2|k| + 2(n+1)2 −2n e e2 −1 −2|k| + |k|≤n k e 2(n+1)4 −2n e e2 −1 |k|≤n ≤ với n ≥ n0 Khi đó, ta có A≥ |k|≤n |k|≤n ≥ 2(n+1)2 −2n e e2 −1 k e−2|k| + k e−2|k| + n+1 t2 e−2t dt+ 2(n+1) e−2n e2 −1 ∞ 2e−2 + 2 t4 e−2t dt + 31 (2.20) CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG với n ≥ n0 Khi n → ∞ 2(n+1) e−2n → Do đó, từ (2.20) cho n → ∞, ta e2 −1 ∞ −2 t2 e−2t dt e = A ≥ −2 ∞ −2t 103 −4 −2 2e + e + 2e + 2 t e dt + Chú ý 2.4 −2 e 2e−2 + 103 e−4 +1 số dương Do đó, (n + 1)2 A → ∞ n → ∞ Đặc trưng chuỗi Fourier Định lý đặc trưng Fejér khẳng định trung bình Cesàro chuỗi lượng giác ∞ ∞ ck eikx bị chặn Lp điều kiện cần đủ để chuỗi k=−∞ ck eikx trở thành k=−∞ chuỗi Fourier hàm f ∈ Lp , (1 < p ≤ ∞).Trong 1− σn (x) = |k|≤n |k| ck eikx n+1 Trong mục 2.4 này, ta chứng minh σn (x) bị chặn Lp σn (x) bị chặn Lp , 1− σn (x) = |k|≤n k2 ikx ck e (n + 1) Định lí 2.4.1 Giả sử < p ≤ ∞ Khi f ∈ Lp tồn C < ∞ cho σn Trong trường hợp này, f p p cn einx chuỗi Fourier hàm ≤ C ≤ C Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.1.6 trang 22 Hệ 2.1.3 trang 20, ta có π σn p ≤ f (· − t) p |Fn (t)| dt 2π −π π (2n + 1) ≤ f p dt 2π −π (2n + 1) = f p Vậy, điều kiện cần chứng minh Sử dụng tính compact yếu không gian Lp (1 < p ≤ ∞), tồn dãy nk → ∞ f ∈ Lp cho σnk hội tụ yếu đến f nk → ∞ Do e−int ∈ L∞ nên ta có nk →∞ 2π π σnk (t) e−int dt = lim −π lim nk →∞ 1− n2 (nk + 1)2 = cn π f (t) e−int dt = 2π −π = cn (f ) 32 cn CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG Chú ý 2.4.2 Định lý 2.4.1 không với p = Thật vậy, cho cn = với n Khi σn = Fn bị chặn theo Bổ đề 2.1.6 Mặt khác, einx không chuỗi Fourier hàm thuộc L Do đó, khơng thỏa mãn bổ đề Riemann Đối với độ đo hữu hạn µ [−π; π], ta định nghĩa cn (µ) = Nếu π 2π e−int dµ (t) với n −π cn eint chuỗi Fourier µ rõ ràng ta có σn (µ, x) = π 2π Fn (x − t) dµ (t) tồn C cho σn (µ) ≤ (2.21) −π π C 2π |dµ (t)| (2.22) −π Thật vậy, từ đẳng thức (2.21), ta có σn (µ, x) = |k|≤n k2 1− (n + 1)2 k2 (n + 1)2 1− = |k|≤n = = 2π 2π ck (µ) eikx π 1− −π |k|≤n π 2π π e−ikt dµ (t) eikx −π k2 ik(x−t) dµ (t) e (n + 1) F (x − t) dµ (t) −π Từ (2.21), ta suy σn (µ) 1 2π = 2π ≤ 2π C ≤ 2π π |σn (µ, x)| dx = −π π −π π −π π 2π 2π π F (x − t) dµ (t) dx −π π |F (x − t)| |dµ (t)| dx −π |d (µ (t))| −π Do đó, bất đẳng thức (2.22) chứng minh Định lí 2.4.3 C < ∞ cho cn einx chuỗi Fourier độ đo hữu hạn µ tồn σn Trong trường hợp này, π −π |dµ| ≤ C 33 ≤ C CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG x Chứng minh Từ (2.22) ta suy điều kiện đủ chứng minh Lấy hn (x) = −π σn (t) dt Dãy {hn } có biến phân hội tụ [−π; π] Từ hn (−π) = với n, ta suy dãy {|hn |} tiến đến ∞ [−π; π] Sử dụng bổ đề Helly, ta suy tồn dãy nk → ∞ hàm h bị chặn [−π; π] cho π σnk (t) dt = h (x) , lim nk →∞ x ∈ [−π; π] −π Cố định n, với nk > |n|, ta có 1− π σn (t) e−int dt 2π −π k in π hnk (π) + hnk (t) eint dt = 2π 2π −π n2 (nk + 1)2 cn = Cho nk → ∞, ta cn = π in h (π) + 2π 2π h (t) e−int dt −π Do đó, dµ = dh 2.5 Một vài ví dụ số Trong phần cuối này, ta so sánh σn (f, x) với σn (f, x) Sn (f, x) vài mơ hình số Hai ví dụ điển hình sau xét [−π; π] Ví dụ 2.5.1 Cho f (x) = −1 ≤ x ≤ π − π ≤ x < Ta ý f có điểm gián đoạn loại x = x = π Chuẩn L2 f − Sn (f ) f − σn (f ) f − σn (f ) 2 n = 10 n = 20 n = 30 n = 40 0, 2538 0, 1272 0, 0848 0, 0636 0, 4642 0, 2427 0, 1643 0, 1242 0, 3112 0, 1620 0, 1096 0, 0828 Ví dụ 2.5.2 Cho − π1 x −1 − π1 x g (x) = ≤ x ≤ π − π ≤ x < Ta ý g có điểm gián đoạn loại x = hàm số tuần hoàn R Chuẩn L2 g − Sn (g) g − σn (g) g − σn (g) 2 n = 10 n = 20 n = 30 n = 40 0, 1211 0, 0620 0, 0417 0, 0314 0, 2263 0, 1198 0, 0814 0, 0617 0, 1546 0, 0808 0, 0547 0, 0414 34 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG Trong không gian định chuẩn L2 , khác giá trị f − Sn (f ) nhỏ {einx } hệ trực chuẩn, giá trị f − σn (f ) nhỏ nhiều so với f − σn (f ) (xem Bảng 1,2) Khi so sánh hội tụ theo điểm f − σn (f ) nhỏ nhất, đặc biệt lân cận gần điểm gián đoạn (tham khảo Hình 2.1, Hình 2.2, Hình 2.3, Hình 2.4) Hình 2.1: Khi n = 20, đường màu xanh, màu đỏ, màu đen biểu thị cho S20 (f, x), σ20 (f, x), σ20 (f, x) Tại điểm kết thúc, g liên tục hàm tuần hồn R Từ Hình 2.3 Hình 2.4 ta thấy |g (x) − σn (g, x)| nhỏ lân cận π −π 35 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG Hình 2.2: Một phần hình 2.1 Đường màu xanh, màu đỏ, màu đen biểu thị cho S20 (f, x), σ20 (f, x), σ20 (f, x) 36 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CÓ TRỌNG Hình 2.3: Khi n = 20, đường màu xanh, màu đỏ, màu đen biểu thị cho S20 (g, x), σ20 (g, x), σ20 (g, x) Cuối cùng, so sánh ba nhân Dn (x) , Kn (x) , Fn (x) Hình 2.5, Hình 2.6 n = 10 Chúng ta lưu ý Fn (x) hạt nhân dương 37 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG Hình 2.4: Một phần Hình 2.3 Đường màu xanh, màu đỏ, màu đen biểu thị cho S20 (g, x), σ20 (g, x), σ20 (g, x) 38 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG Hình 2.5: Khi n = 10, đường màu xanh, đỏ, đen biểu diễn cho D10 (x) , K10 (x) , F10 (x) 39 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER CĨ TRỌNG Hình 2.6: Một phần Hình 2.5 Các đường màu xanh, đỏ, đen biểu diễn cho D10 (x) , K10 (x) , F10 (x) 40 Kết luận Luận văn hệ thống lại số kiến thức chuỗi Fourier, trình bày số kết hội tụ chuỗi Fourier có trọng Luận văn làm sáng tỏ tổng riêng có trọng có tốc độ hội tụ nhanh trung bình Cesàro Một số định lý chứng minh luận văn là: +) Định lý 2.3.5 so sánh tốc độ hội tụ tổng riêng có trọng với trung bình Cesàro +) Định lý 2.4.1, 2.4.3 (Chỉ chuỗi Fourier có trọng với chuẩn bị chặn điều kiện cần đủ để chuỗi không trọng tương ứng chuỗi Fourier hàm hay độ đo) Luận văn đưa số ví dụ minh họa định lý 41 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2010), Giáo Trình Giải Tích tập 2, Nhà Xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Đức Long, Phạm Kỳ Anh (2001), Giáo Trình Hàm thực Giải Tích Hàm, Nhà Xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] S Chan and K S Rim (2017), A Weighted Fourier Series with signed good kernels, Bull Korean Math Soc 54(2017), No 3, pp 935-952 [4] G Kvernadze (1998), Detection of the jumps of a bounded function by its Fourier series, J Approx Theory 92, 167–190 [5] A J Jerri (1998), The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations, Kluwer Academic Publ., London [6] K S Rim and B I Yun (2013), Gibbs phenomenon removval by adding Heaviside functions, Adv Comput Math 38, no 4, 683–699 42