Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HOÀNG CHƠN ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA VÀ DÃY PHỔ MAY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 Mục lục Mục lục v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 12 1.1 Đại số Steenrod 12 1.2 Giải thức bar cobar 16 1.3 Dãy phổ 19 1.4 Đồng cấu chuyển đại số 24 Chương Đại số lambda đồng cấu chuyển đại số 30 2.1 Giới thiệu đại số lambda 30 2.2 Đại số lambda lăng kính lý thuyết bất biến modular 33 2.3 Cấu trúc A -môđun đại số lambda 36 2.4 Biểu diễn đồng cấu chuyển đại số đại số lambda 44 2.5 Ứng dụng 49 2.6 Đồng cấu chuyển đại số hạng 52 2.7 Kết luận chương 62 Chương Dãy phổ May đồng cấu chuyển đại số 63 3.1 Dãy phổ May 63 3.2 Đồng cấu chuyển đại số 68 3.3 Hai toán “hit” 73 3.4 Ảnh đồng cấu chuyển hạng 75 v 3.5 Ảnh đồng cấu chuyển hạng cao 83 3.6 Chứng minh Bổ đề 3.4.5 87 3.7 Kết luận chương 91 Kết luận 92 Dự kiến nghiên cứu 93 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 95 Tài liệu tham khảo 96 Phụ lục A Cơ sở đơn thức đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof 104 A.1 Giới thiệu đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof 104 A.2 Cơ sở đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof 106 A.3 Kết liên quan 113 vi Mở đầu Bài tốn phân loại kiểu đồng ln khơng gian tôpô vấn đề trọng tâm Tôpô đại số Các hàm tử đồng điều, đối đồng điều kỳ dị bất biến đồng luân thường sử dụng, nhiên chúng chưa đủ mạnh để giải toán Năm 1947, Steenrod [67] xây dựng, với k ≥ 0, toán tử đối đồng điều (được gọi toán tử Steenrod) Sq k : H ∗ (X) → H ∗+k (X), tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị (modulo 2) không gian tôpô X Đại số sinh Sq i (i ≥ 0) gọi đại số Steenrod Đại số thường ký hiệu A Đối đồng điều kỳ dị (mod 2) không gian tôpô X có cấu trúc A -đại số khơng ổn định Trong nhiều trường hợp, cấu trúc bổ sung cho phép nhận biết khác biệt kiểu đồng luân không gian tôpô mà đồng điều đối đồng điều không nhận biết Cấu trúc đại số Steenrod Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50] nghiên cứu cách sâu sắc Bên cạnh sở cộng tính cổ điển biết (xem Steenrod [68], Serre [92], Milnor [50]), năm gần đây, nhiều sở cộng tính khác đại số Steenrod tác giả Arnon [6], Wall [79], Wood [85, 86], Palmieri-Wang [57] xây dựng nghiên cứu Một tốn quan trọng chương trình phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô xác định nhóm đồng luân, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định, mặt cầu Năm 1958, Adams [1] xây dựng dãy phổ hội tụ thành phần 2-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trang E2 dãy phổ (được gọi dãy phổ Adams) đối đồng điều đại số Steenrod, Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) Kể từ đó, việc xác định đối đồng điều đại số Steenrod trở thành toán quan trọng Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm 60 kỷ trước, đáng ý cơng trình Adams [2], Wang [80], May [46, 47], Tangora [74], Lin [37, 38], Lin-Mahowald [39], Bruner [11] Tuy nhiên, toán khó Cho đến Exts,∗ A (F2 , F2 ) xác định hoàn toàn với s ≤ (xem [80], [37, 38], [15]) Từ nghiên cứu Adams [2], Mahowald-Tangora [44], có vài đại số vô hạn Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) i xây dựng đại số Adams, sinh hi ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ) (xem [2]), đại số wedge (xem [44],[45]); nhiên, quan hệ đại số Adams chưa xác định hết Khi s > 5, người ta biết số thông tin rời rạc Exts,∗ A (F2 , F2 ) (xem [11]) Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều đại số Steenrod đại số vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem [46, 47], [74], [37]) giải thức cực tiểu A (xem [11]) Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod công cụ lý thuyết bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng đồng cấu túy đại số, gọi đồng cấu chuyển đại số (hay gọi đồng cấu chuyển Singer): T rs : F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) / Exts,s+∗ (F2 , F2 ) A Ở đây, BVs khơng gian phân loại nhóm cộng không gian véctơ s chiều Vs trường F2 ; ký hiệu PA H∗ (BVs ) dùng để không gian H∗ (BVs ) gồm tất phần tử bị triệt tiêu toán tử Steenrod bậc dương Nhóm tuyến tính tổng qt GLs tác động Vs , tác động đồng điều đối đồng điều BVs Vì tác động GLs đại số Steenrod giao hốn với nên có tác động cảm sinh GLs PA H∗ (BVs ) Đồng cấu T rs xem phiên đại số đồng cấu chuyển hình học π∗S ((BVs )+ ) → π∗S (S0 ) trang E2 dãy phổ Adams (xem [52]) Singer chứng minh T rs đẳng cấu với s ≤ 2; ông đưa giả thuyết T rs đơn cấu với s ≥ [63] Sau đó, đồng cấu chuyển đại số nhiều tác giả nghiên cứu Năm 1993, sử dụng số tính tốn Kameko [34], Boardman [7] chứng minh T r3 đẳng cấu Ảnh T r4 xác định hoàn toàn tác giả: Bruner-Hà-Hưng [13], N H V Hưng [28], L M Hà [25], T N Nam [91], N H V Hưng-V T N Quỳnh [33] Vì T r = ⊕s T rs đồng cấu đại số T r1 đẳng cấu (xem [63]), nên ảnh đồng cấu chuyển đại số chứa đại số Adams sinh hi Sự kiện với tính tốn nói cho đồng cấu chuyển đại số hạng thấp chứng tỏ đồng cấu chuyển đại số có khả phát nhiều phần tử không tầm thường Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) Đồng cấu T rs , với s ≥ 5, bước đầu nghiên cứu Singer [63] V T N Quỳnh [61] Bên cạnh đó, dùng tính giao hốn tốn tử Kameko (xem [34]) toán tử Sq cổ điển (xem [40], [48]) thông qua đồng cấu chuyển đại số [51], N H V Hưng [28] chứng minh rằng, s ≥ 5, T rs không đẳng cấu vô hạn bậc Tuy nhiên, bậc xét, việc T rs không đơn cấu hay không toàn cấu chưa biết đến nên giả thuyết Singer cịn mở Dựa vào tính toán F2 ⊗A H ∗ (BVs ), N H V Hưng Kuhn đưa số giả thuyết thú vị cấu trúc đối đồng điều đại số Steenrod (xem [28], [9]) Cụ thể, [58], Peterson đưa giả thuyết F2 ⊗A H d (BVs ) = α(d + s) > s, α(n) số chữ số khai triển nhị phân n Giả thuyết này, sau đó, Wood [84] chứng minh năm 1989 Từ quan sát này, Kuhn [9] đưa giả thuyết Exts,t A (F2 , F2 ) = α(t) > s Giả thuyết Kuhn Bruner kiểm chứng xác nhận bậc mà nhóm Exts,t A (F2 , F2 ) xác định Mặt khác, nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số, N H V Hưng [28] chứng minh tác động toán tử Kameko lên F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) lặp lại nhiều s − lần ta nhận đẳng cấu lên ảnh Một giả thuyết tương tự N H V Hưng [28], [9] đưa tồn số r, phụ thuộc vào s, cho (Sq )i−r : Im(Sq )r → Im(Sq )i đẳng cấu, ký hiệu Im(Sq )i ảnh (Sq )i ExtsA (F2 , F2 ) Những giả thuyết này, đúng, cho thấy mối liên hệ mật thiết cấu trúc F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) Exts,∗ A (F2 , F2 ) thông qua đồng cấu chuyển Singer Vì vậy, đồng cấu chuyển đại số kỳ vọng công cụ quan trọng để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod Các tính tốn Singer [63] thực chủ yếu đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số sau / (F T rs∗ : TorAs,s+t (F2 , F2 ) ⊗A H t (BVs ))GLs Do đó, việc nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod thông qua đồng cấu chuyển đại số có liên quan mật thiết đến toán xác định tập sinh cực tiểu H ∗ (BVs ), xem môđun đại số Steenrod Bài toán gọi toán “hit”, khởi xướng gần đồng thời Peterson [58, 59] Singer [63] từ khía cạnh khác Sau đó, khía cạnh khác tốn ứng dụng nghiên cứu nhiều tác giả như: Wood [84, 86], Kameko [34], Singer [64], Crabb-Hubbuck [22], N H V Hưng-T N Nam [31, 32], T N Nam [90], N Sum [69, 70, 71], v.v Tuy nhiên nay, người ta hồn thành việc giải tốn trường hợp s = (xem [69]) Khi s ≥ 5, việc giải tốn “hit” vấn đề khó, với hỗ trợ máy tính (xem [12]) Đây trở ngại dùng đồng cấu chuyển đại số để nghiên cứu Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) Trong luận án này, tập trung nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số lăng kính đại số lambda dãy phổ May Đại số lambda, Λ, xây dựng năm 1966 sáu tác giả Bousfield, Curtis, Kan, Quillen, Rector Schlesinger [8], đại số vi phân kết hợp trường F2 , có đồng điều H s,t (Λ) ∼ = Exts,t (F2 , F2 ) Do đó, Λ xem trang E1 A dãy phổ Adams Ngày nay, Λ công cụ hữu hiệu để tính đối đồng điều đại số Steenrod, sử dụng rộng rãi (xem [80], [39], [38]) Năm 1970, Priddy [60], dùng đối phức Koszul, chứng minh đại số lambda đẳng cấu với thương đối phức cobar đại số Steenrod Một cách túy đại số, Λ đại số vi phân kết hợp trường F2 sinh phần tử λi , i ≥ 0, có song bậc (1, i), thỏa mãn quan hệ Adem: λs λt = j j−t−1 λs+t−j λj , s > 2t 2j − s Hơn nữa, vi phân Λ cho công thức: δ(λs ) = j s−j−1 λj λs−j−1 j+1 Năm 1982, Wellington [81, Định nghĩa 7.9], dùng quan hệ Nishida đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof, xây dựng tác động hình thức đại số Steenrod lên đại số lambda Tác động khơng giao hốn với vi phân, chúng có mối liên hệ thú vị (xem [81, Định lý 7.11]) Năm 1983, Singer [62] xây dựng lại đối ngẫu đại số lambda theo lý thuyết bất biến Gọi Γs địa phương hóa đại số Dickson cách làm nghịch đảo Qs,0 (xem [23]) Singer [62] chứng minh đối ngẫu đại số lambda đẳng cấu với phức dây chuyền, bậc đồng điều s, không gian Γs sinh phần tử thỏa mãn điều kiện chiều Với cách xây dựng này, đối ngẫu đại số lambda có cấu trúc tự nhiên A -môđun vi phân; nhiên, mối liên hệ cấu trúc A -môđun Λ quan hệ Nishida chưa hiểu rõ (xem bình luận Wilkerson [83, trang 10]) Sau đó, N H V Hưng [27] dùng phức dây chuyền Singer để xây dựng biểu diễn đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số Dựa ý tưởng Singer [62], xây dựng lại đại số lambda (chứ đối ngẫu lambda [62]) theo lý thuyết bất biến Từ đó, cấu trúc A -môđun đại số lambda xác định cách tường minh (xem Mệnh đề 1, so sánh với công thức (5.1) [62]) Với kết này, chúng tơi rõ mối liên hệ quan hệ Nishida cấu trúc A -môđun đại số Λ Gọi Λs không gian Λ sinh đơn thức có độ dài s Với s ≥ 1, xây dựng đồng cấu ψs : H∗ (BVs ) /Λ s, ánh xạ phần tử PA H∗ (BVs ) thành chu trình Λs , chứng minh ψs cảm sinh đồng cấu chuyển đại số Dùng ψs , kiểm tra lại kết L M Hà [25] d0 ∈ Ext4,18 (F2 , F2 ) e0 ∈ Ext4,21 (F2 , F2 ) nằm A A ảnh T r4 Ngoài ra, chúng tơi cịn đưa chứng minh khác cho việc f0 ∈ Ext4,22 (F2 , F2 ) nằm ảnh đồng cấu chuyển đại số, kết A chứng minh T N Nam [91] Một cơng cụ quan trọng khác để tính đối đồng điều đại số Steenrod dãy phổ xây dựng May [46] năm 1964 Để mô tả dãy phổ này, ta cần giới thiệu vài thuật ngữ ký hiệu Gọi A iđêan A sinh tất phần tử bậc dương, gọi iđêan bổ sung A Lọc bổ sung A định nghĩa cách đặt Fp A = A p ≥ Fp = (A )−p p < Lọc bổ sung A cảm sinh lọc giải thức bar, ta thu dãy phổ (gọi dãy phổ May) hội tụ đồng điều đại số Steenrod có trang E đẳng cấu với đồng điều đại số phân bậc liên kết E A Vì E A đại số Hopf sinh ngun thủy, nên từ cơng trình Priddy [60], phức để tính đồng điều H∗ (E A ) xác định cách tường minh Do đó, dãy phổ hồn tồn tiếp cận Các tính tốn May [46, 47], sau Tangora [74], Lin [37], Bruner [11], sử dụng dãy phổ May, xác định cấu trúc cộng tính cho Exts,t A (F2 , F2 ) với s ≤ 4, t với ≤ s < 40, t − s < 141 Chúng nhận thấy biểu diễn đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số giải thức bar nâng lên thành đồng cấu dây chuyền đồng cấu tương thích với lọc May Nên cảm sinh đồng cấu dãy phổ mà trang E phiên tương tự đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số: /F A E ψs : TorEs,s+t (F2 , F2 ) ⊗E0 A E H t (BVs ) = TorE0,t A (F2 , E Ps ) Chúng mô tả cách tường minh đồng cấu E ψs sử dụng để tính ảnh đồng cấu chuyển đại số số bậc Ngồi việc tìm lại hầu hết kết biết ảnh T r4 (xem Mệnh đề Mệnh đề 4), phương pháp chúng tơi cịn cho phép nhận số kết ảnh đồng cấu chuyển đại số hạng cao Cụ thể, chứng minh phần tử hn0 i ∈ Ext7+n,30+n (F2 , F2 ) (0 ≤ n ≤ 5) hn0 j ∈ ExtA7+n,33+n (F2 , F2 ) (0 ≤ n ≤ 2) A không nằm ảnh đồng cấu chuyển đại số (xem Định lý 5) Lưu ý h60 i = h30 j = (xem [11]) nên kết cho đầy đủ thông tin h0 -tháp i j Trong phần phụ lục luận án, nghiên cứu đại số thương quan trọng đại số lambda đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof Đại số xây dựng Araki Kudo [5] trường F2 , sau Dyer Lashof [24] mở rộng lên trường Fp , với p lẻ Cho đơn thức λI = λi1 λis ∈ Λ, số e(λI ) = i1 − · · · − is gọi trội (excess) λI Theo Curtis [21], đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof R, trường F2 , thương đại số lambda iđêan hai phía sinh đơn thức có trội âm Gọi Qi ∈ R ảnh λi ∈ Λ qua ánh xạ thương Các quan hệ Adem đại số lambda cảm sinh quan hệ Adem R Cụ thể, toán tử Qi thỏa mãn quan hệ Adem sau: Qs Qt = j j−t−1 Qs+t−j Qj , s > 2t 2j − s Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) khơng gian vịng lặp, đặc biệt khơng gian vịng lặp vơ hạn (xem [5], [49], [43]) Mặt khác, cơng trình Madsen [42], H Mùi [54], cho thấy không gian R sinh đơn thức có độ dài k đẳng cấu với đối ngẫu đại số Dickson Kết mở đường nghiên cứu đại số Araki-Kudo-DyerLashof công cụ lý thuyết bất biến modular (xem Madsen-Milgram [43], H Mùi [54], Campbell [14], N H V Hưng [26], N H V Hưng-P A Minh [30], N H V Hưng [29]) Kết của phần phụ lục xây dựng sở cho đại số ArakiKudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) liên hệ sở với sở chấp nhận sở Turner (xem Mệnh đề Mệnh đề 8) Ngoài ra, dựa vào phương pháp Arnon [6], chúng tơi tìm kết liên quan đến tính cực tiểu cực đại sở (xem Mệnh đề 9) Luận án chia thành ba chương phụ lục Trong Chương 1, nhắc lại kiến thức dùng hai chương luận án, bao gồm đại số Steenrod, giải thức bar cobar, dãy phổ cách tổng quan đồng cấu chuyển đại số Các kết luận án trình bày Chương 2, Chương Trong Chương 2, chúng tơi trình bày kết cho hướng nghiên cứu thứ Cụ thể, chúng tơi trình bày cách xây dựng đại số lambda theo lý thuyết bất biến Tác động A lên đại số lambda mô tả cách tường minh mệnh đề sau (mệnh đề đánh số Mệnh đề 2.3.3) Mệnh đề Với a, s ≥ λI Λ, tác động phải đại số Steenrod lên đại số lambda xác định công thức (λs λI )Sq a = t s−a λs−a+t (λI Sq t ) a − 2t Với tác động này, đại số lambda trở thành môđun đại số Steenrod, đối ngẫu với cấu trúc A -môđun phức dây chuyền định nghĩa Singer [62] (xem Mệnh đề 2.3.8) Lưu ý hệ số nhị thức n k Mệnh đề xác định với số nguyên n với số nguyên k ≥ 0, quan hệ Nishida có cơng thức tương tự hệ số nhị thức định nghĩa cho trường hợp n k khơng âm Do đó, tác động mơ tả mệnh đề làm sáng tỏ số kết Wellington [81] mối liên hệ vi phân cấu trúc A -môđun đại số Λ Tiếp theo, xây dựng biểu diễn đồng cấu chuyển đại số, ψs (xem Định lý 2.4.2), ứng dụng vào việc khảo sát ảnh đồng cấu chuyển đại số Trong [25], L M Hà xây dựng phần tử d0 ∈ PA H14 (BV4 ), e0 ∈ PA H17 (BV4 ) chứng minh cách gián tiếp phần tử tương ứng nghịch ảnh [61] V T N Quỳnh (2007), “On behavior of the fifth algebraic transfer”, in Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology, Geom Topol Monogr., 11, 309-326 [62] W.M Singer (1983), “Invariant theory and the Lambda algebra”, Trans Amer Math Soc 280, 673-693 [63] W M Singer (1989), “The transfer in homological algebra”, Math Z 202, 493-523 [64] W M Singer (1991), “On the action of Steenrod squares on polynomial algebras” Proc Amer Math Soc 111, 557-583 [65] L Smith (2007), “An algebraic introduction to the Steenrod algebra”, in Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology, Geom Topol Monogr., 11, 327-348 [66] E H Spanier (1966), Algebraic topology, Springer-Verlag New York [67] N E Steenrod (1947), “Products of cocycles and extensions of mappings”, Ann of Math 48, 290-320 [68] E N Steenrod and D B A Epstein (1962), “Cohomology operations”, Ann Math Studies, 50 [69] N Sum (2006), The hit problem for the polynomial algebra of four variables, preprint (136 pages) [70] N Sum (2010), “The negative answer to Kameko’s conjecture on the hit problem”, C R Acad Sci Paris, Ser I 348, 669-672 [71] N Sum (2010), “The negative answer to Kameko’s conjecture on the hit problem”, Advances in Mathematics 225, 2365-2390 [72] R Steinberg (1957), “Prime power representations of finite linear groups II”, Canad J Math 9, 347-351 [73] R Steiner (1983), “Homology operations and power series”, Glasgow Math J 24, 161-168 101 [74] M C Tangora (1970), “On the cohomology of the Steenrod algebra”, Math Z 116, 18 - 64 [75] P R Turner (1997), “Dickson coinvariants and the homology of QS0 ”, Math Z 224, 209 - 228 [76] R Vakil (1999), “On the Steenrod length of real projective spaces: finding longest chains in certain directed graphs”, Discrete Math 204, 415-425 n [77] G Walker and R M W Wood (1996), “The nilpotence height of Sq ”, Proc Amer Math Soc 124, 1291-1295 n [78] G Walker and R M W Wood (1998), “The nilpotence height of P p ”, Math Proc Camb Phil Soc 123, 85-93 [79] C T C Wall (1960), “Generators and relations for the Steenrod algebra”, Ann of Math 72, 429-444 [80] J S P Wang (1967), “On the cohomology of the mod-2 Steenrod algebra and the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Illinois J Math 11, 480490 [81] R.J Wellington (1982), “The unstable Adams spectral sequence for free iterated loop spaces”, Mem Amer Math Soc 258 [82] C Wilkerson (1977), “Classifying spaces, Steenrod operations and algebraic closure”, Topology 16, 227-237 [83] C Wilkerson (1982), “A primer on the Dickson invariants”, Proc North Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), Contemp Math 19, Amer Math Soc., Providence, RI (1983), 421–434, Revised version: http: //hopf.math.purdue.edu//Wilkerson-80s/dickson.pdf [84] R M W Wood (1989), “Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture”, Math Proc Camb Phil Soc 150, 307-309 [85] R M W Wood (1995), “A note on bases and relations in the Steenrod algebra”, Bull London Math Soc 27, 380-386 102 [86] R M W Wood (1998), “Problems of the Steenrod algebra”, Bull London Math Soc 30, 449-517 [87] N Yoneda (1954), “On the homology theory of module”, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA 7, 193-227 Tiếng Pháp [88] H Cartan (1950), “Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod”, C.R Acad Sci Paris 230, 425-427 [89] J Lannes and S Zarati (1987), “Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation”, Math Z 194, 25-59 [90] T N Nam (2004),“A-générateurs génériques pour l’algèbre polynomiale”, Advances in Mathematics 186, 334-362 [91] T N Nam (2008), “Transfert algébrique et action du groupe linéaire sur les puissances divisées modulo 2”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 58, 1785-1837 [92] J -P Serre (1953), “Cohomologie modulo des complexes d’EilenbergMaclane”, Comment Math Helv 27, 198-231 103 Phụ lục A Cơ sở đơn thức đại số Araki-KudoDyer-Lashof Trong phụ lục này, nghiên cứu cấu trúc đại số Araki-Kudo-DyerLashof Cụ thể, chúng tơi xây dựng sở cộng tính cho đại số Araki-KudoDyer-Lashof, xem F2 -không gian véctơ phân bậc, tìm mối quan hệ sở sở biết A.1 Giới thiệu đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof đại số sinh toán tử tác động lên đồng điều khơng gian vịng lặp Một cách túy đại số (xem [48], [42]) ta định nghĩa đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof sau: Gọi F đại số kết hợp, tự do, phân bậc có đơn vị F2 sinh phần tử Q0 , Q1 , , Qi , , bậc Qi i Với số nguyên không âm I = (ik−1 , , i0 ), ta định nghĩa QI = Qik−1 · · · Qi0 Ta gọi QI (hay I) chấp nhận is ≤ 2is−1 , với ≤ s ≤ k − 1, định nghĩa trội QI (hay I) k−2 I e(Q ) = ik−1 − ij j=0 Độ dài QI , (QI ) số số nguyên I, cụ thể (QI ) = (I) = k I = (ik−1 , , i0 ) Bậc QI ik−1 + · · · + i0 Gọi J iđêan F sinh phần tử (i) Qa Qb + i i−b−1 2i−a Qa+b−i Qi , a > 2b 104 (ii) QI , với e(QI ) < Đại số thương R = F /J gọi đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof có ý nghĩa quan trọng, dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) khơng gian vịng lặp vơ hạn (infinite loop space) QS0 S0 [5], [49], [43], cụ thể H∗ (QS0 ) = P [QI [1]|I chấp nhận được, e(QI ) ≥ 0] ⊗ F2 [Z], [1] ∈ H∗ (QS0 ) ảnh phần tử sinh H0 S0 = F2 ⊗ F2 phép nhúng S0 → QS0 Do (i), gọi quan hệ Adem, (ii), tập hợp tất đơn thức chấp nhận với trội không âm tạo thành sở cộng tính R, gọi sở chấp nhận Gọi R[k] không gian R sinh đơn thức QI có độ dài k Khi R[k] đối đại số R Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof có mối quan hệ mật thiết với đại số Dickson Cụ thể hơn, ta định nghĩa Iik có độ dài k sau: Iik = (2k−i−1 (2i − 1), , 2(2i − 1), 2i − 1, 2i−1 , , 2, 1), ≤ i < k; (2k−1 , , 2, 1), i = k Dễ dàng thấy QIik đơn thức chấp nhận có trội khơng âm Gọi ξik đối ngẫu QIik theo sở chấp nhận Madsen [42] tính khơng gian đối ngẫu R[k]∗ chứng tỏ đẳng cấu với đại số đa thức trường F2 sinh ξik : R[k]∗ ∼ = F2 [ξ1k , , ξkk ], ξik bậc 2k−i (2i − 1) Gọi Vk F2 -không gian véctơ k chiều Đối đồng điều BVk đại số đa thức Pk = F2 [x1 , , xk ] k phần tử sinh, phần tử có bậc Đồng điều BVk , H∗ (BVk ) = Γ(a1 , , ak ), đại số lũy thừa bị chia sinh a1 , , ak , đối ngẫu xi ∈ H (BV1 ) Nhóm tuyến tính tổng qt GLk = GL(Vk ) tác động quy lên Vk tác động lên đồng điều đối đồng điều BVk Đại số tất GLk -bất biến mô tả [23] sau (được gọi đại số Dickson): Dk = H ∗ (BVk )GLk ∼ = F2 [x1 , · · · , xk ]GLk = F2 [Qk,0 , Qk,1 , · · · , Qk,k−1 ], 105 Qk,i bất biến Dickson bậc 2k − 2i H Mùi [54] chứng minh R[k] đẳng cấu với Dk∗ A -đối đại số Trong [75], Turner giới thiệu sở cộng tính R, gọi sở Turner (t ) (2(t1 +t2 )) Định lý A.1.1 ([75]) Tập hợp {[a1 a2 sở cộng tính Dk∗ A.2 (2k−1 (t1 +···+tk )) · · · ak ]|ti ≥ 0} Cơ sở đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof Trong mục này, xây dựng sở cộng tính cho đại số ArakiKudo-Dyer-Lashof, tìm hiểu mối quan hệ sở với sở biết sở chấp nhận được, sở Turner Định lý sau đây, xây dựng sở cộng tính cho đại số Araki-Kudo-DyerLashof, kết mục Định lý A.2.1 Tập hợp tất đơn thức Qjk−1 · · · Qj0 , jn ≥ 2jn−1 , với ≤ n ≤ k − 1, jn chia hết cho 2n , sở cộng tính R[k] 12 Ví dụ, tập hợp {Q12 Q0 , Q10 Q2 , Q8 Q4 } sở cộng tính R[2] bậc Với QI QJ đơn thức độ dài k, ta nói QI ≤ QJ (tương ứng, QI ≤R QJ ) I ≤ J theo thứ tự từ điển từ bên trái (tương ứng, từ bên phải) Gọi AAdm sở chấp nhận được, AC sở nói Định lý A.2.1 Chọn thứ tự ≤ cho AAdm thư tự ≤R cho AC Khi đó, Bổ đề A.2.4 Định lý A.2.1, nhận kết sau hệ Mệnh đề A.2.2 Ma trận chuyển sở từ sở AAdm sang sở AC ma trận tam giác tương ứng với thứ tự chọn sở Để tìm ma trận chuyển sở, ta tìm sở AC R; ta dùng quan hệ Adem để biểu diễn chúng sở chấp nhận AAdm ; cuối ta nhận ma trân chuyển sở Ví dụ, ta có AC = {Q12 Q0 , Q10 Q2 , Q8 Q4 } 106 AAdm = {Q6 Q6 , Q7 Q5 , Q8 Q4 } sở R[2] bậc 12 Dễ dàng nhận thấy Q12 Q0 = Q6 Q6 ; Q10 Q2 = Q7 Q5 + Q6 Q6 ; Q8 Q4 = Q8 Q4 Từ suy ma trận chuyển sở 1 0 Để chứng minh Định lý A.2.1, ta cần kết sau Với số nguyên dương cố định k, đặt S = {I = (ik−1 , , i0 ) : ≤ in ≤ 2in−1 , e(I) ≥ 0}, S = {J = (jk−1 , , j0 ) : jn ≥ 2jn−1 ≥ 0, 2n jn } Định nghĩa ánh xạ ∆ : S / S , cho ∆(ik−1 , , i0 ) = (jk−1 , , j0 ), jk−1 = 2k−1 i0 , k−n−2 n jn = (ik−1−n − s=0 is ), ≤ n ≤ k − Bổ đề A.2.3 ∆ song ánh Chứng minh Theo (A.1), ta có: jn chia hết cho 2n , ≤ n ≤ k − 1, j0 = ik−1 − ik−2 − · · · − i0 = e(I) ≥ 0, với < n ≤ k − 1, jn = 2n (ik−1−n − ik−2−n − · · · − i0 ) = 2n [2ik−1−n − ik−n + (ik−n − ik−1−n − · · · − i0 )] = 2n+1 ik−1−n − 2n ik−n + 2jn−1 107 (A.1) Từ suy ra, jn − 2jn−1 = 2n (2ik−1−n − ik−n ) ≥ Hơn nữa, j0 ≥ 0, jn ≥ với ≤ n ≤ k − 1, nên ∆ xác định tốt Định nghĩa ánh xạ Φ : S / S xác định Φ(jk−1 , , j0 ) = (ik−1 , , i0 ), i0 = jk−1 2jk−1−s + jk−s + · · · + jk−1 , i = , < s ≤ k − s 2k−1 2k−s Khi đó, ∆ song ánh với ánh xạ ngược Φ Gọi Qa Qb đơn thức chấp nhận không tầm thường, b ≤ a ≤ 2b Áp dụng quan hệ Adem, ta nhận Q2b Qa−b = t≥b t − (a − b) − Qa+b−t Qt = Qa Qb + 2t − 2b Mt , t>b Mt đơn thức chấp nhận nhỏ Qa Qb Do đó, ta có Qa Qb = Q2b Qa−b + Mt , (A.2) t Mt đơn thức chấp nhận nhỏ Qa Qb theo thứ tự ≤ Trong trường hợp tổng quát, ta có kết sau Bổ đề A.2.4 Gọi QI = Qik−1 · · · Qi0 đơn thức chấp nhận khơng tầm thường Khi đó, QI = Q∆(I) + Mt , t Mt đơn thức chấp nhận nhỏ QI Ví dụ A.2.5 Áp dụng (A.2), ta nhận Q5 Q3 = Q6 Q2 Suy Q5 Q3 Q2 = Q6 Q2 Q2 = Q6 Q4 Q0 + Q6 Q1 Q3 = Q8 Q2 Q0 + Q5 Q5 Q0 = Q8 Q2 Q0 108 Áp dụng quan hệ (A.2), ta nhận Q22 Q12 = Q24 Q10 + Q21 Q13 Do đó, Q22 Q12 Q8 = Q24 Q10 Q8 + Q21 Q13 Q8 = Q24 Q16 Q2 + Q24 Q9 Q9 + Q21 Q13 Q8 = Q32 Q8 Q2 + Q20 Q20 Q2 + Q24 Q9 Q9 + Q21 Q13 Q8 = Q32 Q8 Q2 + Q21 Q13 Q8 + Q21 Q12 Q9 Như vậy, ta có Q22 Q12 Q8 = Q32 Q8 Q2 + Q21 Q13 Q8 + Q21 Q12 Q9 Chứng minh Bổ đề A.2.4 Vì (A.2), nên kết luận cho trường hợp k = Vì QI đơn thức chấp nhận không tầm thường, nên Qik−1 · · · Qi1 Do giả thiết quy nạp Qik−1 · · · Qi1 = Q2 k−2 i1 · · · Qik−1 −···−i1 + Pt , t Pt đơn thức chấp nhận nhỏ Qik−1 · · · Qi1 Suy QI = Q2 k−2 i1 2k−2 i1 =Q · · · Qik−1 −···−i1 Qi0 + ···Q ik−1 −···−i1 Pt Qi0 t i0 Q + (A.3) Pt , t Pt đơn thức chấp nhận nhỏ QI Vì I chấp nhận được, nên ik−1 − · · · − i1 ≤ 2i0 , giả thiết, e(QI ) = ik−1 − ik−2 − · · · − i1 − i0 ≥ Áp dụng (A.2) cho Qik−1 −···−i1 Qi0 , ta nhận k−2 Q2 i1 · · · Qik−1 −···−i1 Qi0 = Q2 Ns = Q2 us > i0 k−2 i1 k−2 i1 · · · Q2(ik−2 −···−i1 ) Q2i0 Qik−1 −···−i0 + Ns , · · · Q2(ik−2 −···−i1 ) Qus Qus , với us < ik−1 − ik−2 − · · · − i1 109 Áp dụng quan hệ Adem cho Q2(ik−2 −···−i1 ) Qus , k−2 Q2 Ns = i1 l · · · Q2 (ik−3 −···−i1 ) Qusl Qvl Qus , usl < ik−1 − 2(ik−3 + · · · + i1 ) < 2(ik−2 − · · · − i1 ) Lặp lại việc áp dụng quan hệ Adem, cuối ta nhận Qak−1 · · · Qa1 Qus , Ns = ak−1 < ik−1 Như Q2 k−2 i1 k−2 · · · Qik−1 −···−i1 Qi0 = Q2 i1 · · · Q2(ik−2 −···−i1 ) Q2i0 Qik−1 −···−i0 + Ls , Ls đơn thức chấp nhận nhỏ QI Do phép quy nạp, ta nhận k−2 Q2 i1 k−1 · · · Qik−1 −···−i1 Qi0 = Q2 i0 · · · Qik−1 −···−i0 + Nr , đó, Nr đơn thức chấp nhận nhỏ QI Như vậy, (A.3) viết lại, QI = Q∆(I) + Mt , t Mt đơn thức chấp nhận nhỏ QI Chứng minh Định lý A.2.1 Đặt Ak = {Qjk−1 Qjk−2 · · · Qj0 : js ≥ 2js−1 ≥ 0, 2s js , ≤ s ≤ k − 1} Vì Bổ đề A.2.3, bậc, số phần tử Ak với số chiều R[k] Ta cần chứng minh rằng, bậc, R[k] sinh Ak Vì Bổ đề A.2.4, với đơn thức chấp nhận QI , ta viết QI = Q∆(I) + Mt , t Mt đơn thức chấp nhận nhỏ QI Quy nạp thứ tự đơn thức, ta nhận kết luận định lý 110 Ví dụ A.2.6 Dùng Ví dụ A.2.5, ta nhận Q22 Q12 Q8 = Q32 Q8 Q2 + Q21 Q13 Q8 + Q21 Q12 Q9 , (A.4) Q21 Q13 Q8 = Q32 Q10 Q0 + Q21 Q12 Q9 + Q21 Q11 Q10 , Q21 Q11 Q10 = Q40 Q2 Q0 Như vậy, (A.4) biểu diễn Q22 Q12 Q8 = Q32 Q8 Q2 + Q32 Q10 Q0 + Q40 Q2 Q0 , đơn thức vế phải nằm A3 Chọn thứ tự ≤ cho sở Turner, nhận kết sau Mệnh đề A.2.7 Ma trận chuyển sở từ sở chấp nhận sang sở Turner ma trận tam giác tương ứng với thứ tự chọn cho sở Kết hợp Mệnh đề A.2.7 Mệnh đề A.2.2, nhận kết sau Hệ A.2.8 Ma trận chuyển sở từ sở sang sở Turner ma trận tam giác tương ứng với thứ tự chọn sở Gọi Uk nhóm GLk chứa ma trận tam giác Các bất biến tác động Uk GLk mô tả H Mùi [53] Dickson [23] tương ứng sau: F2 [x1 , , xk ]Uk = F2 [V1 , , Vk ], F2 [x1 , , xk ]GLk = F2 [Qk,0 , , Qk,k−1 ], đó, Vn = λi ∈F2 (λ1 x1 + · · · + λn−1 xn−1 + xn ), Qk,n = Q2k−1,n−1 + Vk Qk−1,n , ≤ n < k, Qk,n = n < n > k, Qn,n = Với số nguyên không âm I = (t1 , , tk ), gọi v(I) = v(t1 , , tk ) đối ngẫu V1t1 · · · Vktk tương ứng với sở V1h1 · · · Vkhk F2 [V1 , , Vk ] Tương 111 k tự, ta ký hiệu q(I) = q(t1 , , tk ) đối ngẫu Qtk,0 · · · Qtk,k−1 tương ứng với k sở Qhk,0 · · · Qhk,k−1 F2 [Qk,0 , , Qk,k−1 ] Trong [54], H Mùi chứng minh R[k] ∼ = Dk∗ A -đối đại số đẳng cấu tường minh chúng cho Qi1 · · · Qik → [v(i1 − · · · − ik , i2 − · · · − ik , , ik )] Chúng tơi dùng đẳng cấu để tìm mối quan hệ sở với sở Turner [75] Gọi I = (i1 , , ik ), J = (j1 , , jk ) số nguyên không âm Ta nói V I (tương ứng, xI , a(I) ) ≤ V J (tương ứng, xJ , a(J) ) I ≤ J theo thứ tự từ điển trái Chứng minh Mệnh đề A.2.7 Dễ dàng thấy rằng, bậc, k−1 2 V I = V1i1 · · · Vkik = xi11 x2i · · · xk k−1 2 x1i1 x2i · · · xk ik ik + đơn thức lớn hơn, không xuất đơn thức bất biến Mùi lớn V I Ta xây dựng đại diện v(I) sau: Đặt θ(I) = s (i ) (2i ) (2k−1 ik ) a1 a2 · · · ak (u ) (2u2 ) µ a1 a2 + =1 I > (u11 , , u1k ) > · · · > (us1 , , usk ), (2k−1 uk ) · · · ak k s−1 us s=1 = , k s−1 is s=1 với ; µ xác định cách quy nạp µ = (i ) (2i ) a1 a2 (2k−1 ik ) · · · ak −1 + (uj ) (2uj2 ) µj a1 a2 j=1 (2k−1 ujk ) · · · ak u , V1u1 · · · Vk k Dễ dàng kiểm tra θ(I), V J = if I = J, if I = J Do θ(I) đại diện v(I) Do kết H Mùi, QI = Qi1 · · · Qik → [v(t1 , , tk )], tj = ij − · · · − ik với ≤ j < k, tk = ik 112 Do đó, Qi1 · · · Qik → [θ(t1 , , tk )] (j ) (2j2 ) = [a1 a2 (2k−1 jk ) · · · ak (j ) (2j2 ) Và QI chấp nhận được, nên [a1 a2 Turner ] + hạng tử nhỏ (2k−1 jk ) · · · ak ] phần tử sở Mệnh đề chứng minh Ví dụ A.2.9 Chúng ta có {Q8 Q8 , Q9 Q7 , Q10 Q6 }; (0) (16) (2) (14) (4) (12) {[a1 a2 ], [a1 a2 ], [a1 a2 ]} tương ứng sở chấp nhận sở Turner R[2] bậc 16 Do đẳng cấu H Mùi kết trên, ta nhận (0) (16) Q8 Q8 → [v(0, 8)] = [θ(0, 8)] = [a1 a2 ]; (2) (14) Q9 Q7 → [v(2, 7)] = [θ(2, 7)] = [a1 a2 ]; (4) (12) (2) (14) Q10 Q6 → [v(4, 6)] = [θ(4, 6)] = [a1 a2 ] + [a1 a2 ] Như vậy, ma trận chuyển sở 0 1 0 A.3 Kết liên quan Cho thứ tự tuyến tính tập đơn thức R, đơn thức gọi cực tiểu (tương ứng, cực đại) khơng thể biểu diễn thành tổ hợp đơn thức nhỏ (tương ứng, lớn hơn) Sử dụng phương pháp tương tự phương pháp Arnon [6], ta nhận kết sau đây, kết phần Mệnh đề A.3.1 AC sở gồm tất đơn thức cực đại R[k] tương ứng với thứ tự ≤ 113 CHÚ Ý Kiểm tra trực tiếp ta nhận thấy AAdm sở gồm tất đơn thức cực tiểu R[k]tương ứng với thứ tự ≤ Chứng minh Ta cần chứng minh QJ khơng có dạng AC , QJ khơng đơn thức cực đại Một đơn thức QJ = Qjk−1 · · · Qj0 khơng có dạng AC điều sau xảy ra: (i) Tồn s, js < 2js−1 , (ii) Tồn s, js không chia hết cho 2s Trường hợp (i), js < js−1 Qjs Qjs−1 = 0, QJ = Ngược lại, áp dụng quan hệ (A.2), ta nhận QJ = Qjk−1 · · · Q2js−1 Qjs −js−1 · · · Qj0 + Mt , t Qjk−1 · · · Q2js−1 Qjs −js−1 · · · Qj0 > QJ Trường hợp lại, tồn s cho QJ chứa nhân tử Qjs Qjs−1 · · · Qj0 , jr chia hết cho 2r với ≤ r ≤ s − 1, js = 2m u, với m ≤ s − u lẻ Hơn nữa, ta giả sử, js > 2js−1 , js−1 ≥ 2js−2 , , j1 ≥ 2j0 Phép chứng minh chia thành hai trường hợp Trường hợp Nếu m = 0, js = u lẻ, áp dụng quan hệ Adem, ta có Qjs Qjs−1 = 2t≥js t − js−1 − Qjs +js−1 −t Qt 2t − js Qjs Qjs−1 = tồn t, js < 2t ≤ js + js−1 , cho Khi Qjs Qjs−1 = Qjs +js−1 −t Qt + hạng tử khác Áp dụng (A.2) cho Qjs +js−1 −t Qt ta thu Qjs Qjs−1 = Q2t Qjs +js−1 −2t + hạng tử khác Do đó, QJ biểu diễn QJ = Qjk−1 · · · Q2t Qjs +js−1 −2t · · · Qj0 + hạng tử khác, 114 t−js−1 −1 2t−js lẻ 2t > js , suy Qjk−1 · · · Q2t Qjs +js−1 −2t · · · Qj0 > QJ Trường hợp Nếu m > 0, áp dụng quan hệ Adem Qjs Qjs−1 , ta nhận t − js−1 − Qjs +js−1 −t Qt 2t − js Qjs Qjs−1 = Qjs /2+js−1 Qjs /2 + t>js /2 Nếu tồn t, j2s < t ≤ js +js−1 t−js−1 −1 2t−js cho lẻ, áp dụng Trường hợp 1, ta nhận kết luận Ngược lại, Qjs Qjs−1 = Qjs /2+js−1 Qjs /2 Dễ thấy js /2 > 2js−2 , áp dụng quan hệ Adem cho Qjs /2 Qjs−2 Lặp lại trình nhiều m bước, ta nhận Qjs · · · Qj0 = 0, QJ = Qjs · · · Qj0 biểu diễn Qjs · · · Qj0 = Qjs /2+js−1 · · · Qjs /2 r +js−r −t Qt Qjs−r−1 · · · Qj0 + hạng tử khác, (A.5) r ≤ m js /2r + js−r ≥ 2t > js /2r Áp dụng (A.2), ta nhận Qjs /2 r +js−r −t Qt = Q2t Qjs /2 r +js−r −2t + hạng tử khác Khi đó, (A.5) viết lại Qjs · · · Qj0 = Qjs /2+js−1 · · · Q2t Qjs /2 r +js−r −2t · · · Qj0 + hạng tử khác Vì 2t > js /2r > js /2r−1 + js−r+1 22 t ≤ js /2r−1 + 2js−r ≤ js /2r−1 + js−r+1 Áp dụng (A.2), lặp lại trình này, cuối (A.5) biểu diễn r+1 Qjs · · · Qj0 = Q2 t r r Qjs /2+js−1 −2 t · · · Qjs /2 +js−r −2t · · · Qj0 + hạng tử khác Vậy, QJ = Qjk−1 · · · Q2 QJ < Qjk−1 · · · Q2 r+1 t r+1 t · · · Qj0 + hạng tử khác, · · · Q j0 Mệnh đề chứng minh Bằng cách tương tự, chúng tơi chứng minh AAdm sở gồm tất đơn thức cực đại, AC sở gồm tất đơn thức cực tiểu R[k] tương tứng với thứ tự ≤R 115
Ngày đăng: 15/09/2020, 07:00
Xem thêm:
