Phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ số 1 :Luận án TS. Toán học

Mục lục Mở đầu Chơng Bài toán Cauchy cho phơng trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên 1.1 1.2 12 Trờng hợp hạng hệ số 13 1.1.1 Kh¸i niƯm chØ sè 13 1.1.2 Bµi to¸n Cauchy 21 1.1.3 Bài toán khởi tạo giá trị ban đầu 28 Trờng hợp hệ số có hạng thay đổi 33 Chơng Bài toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên 41 2.1 Khái niệm toán qui 42 2.2 Sù tån t¹i nhÊt nghiƯm cđa toán qui 49 2.3 Tính giải đợc toán kh«ng chÝnh qui 58 Chơng Phơng trình sai phân ẩn số phơng trình vi phân đại số số 3.1 76 Lợc đồ sai phân Euler cho toán Cauchy phơng trình vi phân đại số số 3.1.1 3.1.2 3.2 77 Tính tơng thích khái niệm số phơng trình vi phân đại số phơng trình sai phân ẩn 77 Sự hội tụ lợc đồ Euler hiÖn 82 Lợc đồ sai phân Euler cho toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số số 91 i 3.2.1 3.2.2 Mèi liªn hệ tính qui toán liên tục rời rạc 93 Sự hội tụ lợc đồ Euler hiÖn 99 KÕt luËn chung 111 Danh mục công trình đà công bố liên quan đến luận án 113 Tài liệu tham khảo 114 bảng ký hiệu N- tập số tự nhiên Nk = {n ∈ N : n ≥ k}, N0 = N ∪ {0} k = n1 , n2 - k ∈ {n : n ∈ N0 vµ n1 n n2 }, n1 , n2 N0 R, Rm , Rmìm - trục số thực, không gian véc tơ thực m-chiều, không gian ma trận vuông thùc cÊp m C(J, Rm ), C (J, Rm )- không gian hàm véc tơ liên tục (khả vi liên tục) đoạn J := [t0 , T ] kxk- chn Euclid cđa vÐc t¬ x AT , A1 , kAk- chuyển vị, nghịch đảo, chuẩn ma trËn A (t−¬ng thÝch víi chn Euclid cđa vÐc t¬) I - ma trận đơn vị cấp m O- ma trËn vu«ng kh«ng cÊp m (C0 , , CN ) ∈ Rm×m(N +1) - ma trËn cã cột cột ma trận C0 , , CN ∈ Rm×m kerA- nhân ma trận A rankA- hạng ma trận A ImA- ¶nh cđa ma trËn A dimX - sè chiỊu cđa kh«ng gian X span{v1 , , }- không gian sinh véc t¬ v1 , , An = Un n VnT - khai triển kì dị ma trËn An diag(M, N )- ma trËn ®−êng chéo khối e CN QN )/R- không gian thơng ker(D, e CN QN )+ - nghịch đảo suy réng theo Moore-Penrose cña (D, e CN QN −1 ) (D, N P D= Cn X n - ma trËn bắn toán biên nhiều điểm n=0 Mở đầu Phơng trình sai phân thờng xuất ngời ta mô tả tợng tiến hoá quan sát đợc tự nhiên Chẳng hạn, xét trình phát triển dân số năm một quốc gia hay vùng Nếu gọi xn+1 số dân thời điểm năm n + xn+1 hàm số dân xn thời điểm năm trớc Sự liên hệ đợc mô tả hÖ thøc: xn+1 = f (xn , n), n ∈ Nn0 Phơng trình sai phân theo biến độc lập n hàm phải tìm un phơng trình hàm có dạng F (un+1 , un , , un−k , n) = 0, n ∈ Nn0 , (0.1) k số nguyên không âm, F hàm theo biến un+1 , un , , un−k , n vµ n0 số nguyên dơng đà cho Trong trờng hợp k hữu hạn, (0.1) đợc gọi phơng trình sai phân cấp k + Tơng tự nh phơng trình vi phân, phơng trình sai phân cấp k + đa đợc hệ phơng trình sai phân cấp dạng f (xn+1 , xn , n) = 0, n Nn0 , (0.2) xn (n Nn0 ) f véc tơ hàm véc tơ Vì xét phơng trình sai phân có cấp hữu hạn không gian Rm ta cần đề cập đến phơng trình sai phân cấp dạng (0.2) Một hớng tiếp cận quan trọng khác coi phơng trình sai phân nh kết việc rời rạc hoá phơng trình vi phân, tích phân, vi-tích phân đạo hàm riêng Vấn đề đợc trình bày kĩ phần sau Lý thuyết phơng trình sai phân tìm đợc nhiều øng dơng c¸c lÜnh vùc cđa to¸n häc cịng nh khoa học khác, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lợng tư, di trun häc, kinh tÕ häc, t©m lý häc xà hội học, Vì vậy, việc nghiên cứu phơng trình sai phân vấn đề thời toán học đợc nhiều nhà khoa học quan tâm Trong thời gian gần đà có nhiều tài liệu chuyên khảo viết phơng trình sai phân (xem [1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]) Ngoµi ra, có hàng ngàn báo khoa học phơng trình sai phân ứng dụng Có tạp chÝ quèc tÕ (Journal of Difference Equations and Applications) chuyªn đăng tải vấn đề Ta biết nÕu kerfy (y, x, t) = {0} th× (0.2) cã thể đa dạng xn+1 = g(xn , n), n ∈ Nn0 (0.3) Nh−ng nÕu fxn+1 (xn+1 , xn , n) suy biÕn, tøc lµ kerfy (y, x, t) 6= {0} nói chung (0.2) không đa đợc dạng (0.3) Trong trờng hợp này, (0.2) đợc gọi phơng trình sai phân ẩn Khi ấy, kết phơng trình sai phân thờng (0.3) nói chung không Hiện tợng xảy giống nh ta xét phơng trình vi phân đại số f (x0 , x, t) = 0, t ∈ J := [t0 , T ], (0.4) ma trận fx0 (x0 , x, t) không khả nghịch với giá trị biến Hiện nay, hớng phát triển mạnh lý thuyết phơng trình vi phân nghiên cứu phơng trình vi phân suy biến (0.4) Đây lĩnh vực đợc nhiều nhà khoa học quan tâm nhiều toán thực tế dẫn đến phơng trình vi phân đại số (0.4) Các ví dụ toán suy biến đa đến nghiên cứu phơng trình vi phân đại số toán điều khiển tối u, toán nhiễu kì dị, toán nửa rời rạc sai phân hoá phơng trình đạo hàm riêng phơng pháp đờng thẳng, toán mô hình mạng điện (xem [16], [14], [13]) Phơng trình vi phân đại số đà đợc Gantmacher nghiên cứu từ lâu (xem [19]) Nhng mÃi đến năm 80, phơng trình vi phân đại số đợc đặc biệt quan tâm Đà xuất hàng loạt công trình nghiên cứu vấn đề (xem [16], [14], [15]) Bằng cách sử dụng biến đổi Kronecker cho cặp ma trận, ngời ta nhận đợc công thức nghiệm phơng trình vi phân đại số tuyến tính «t«n«m Ax0 (t) + Bx(t) = q(t), t ∈ J, (0.5) víi A lµ ma trËn suy biÕn Cho đến cuối thập kỷ 80, loạt kết phơng trình tuyến tính A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t), t J, (0.6) ma trận A(t) suy biến với t J , đà đợc công bố viết thành tài liệu chuyên khảo (xem [21], [23], [13]) Có nhiều cách đa khái niệm số cho phơng trình (0.6), khái niệm để đo khoảng cách phơng trình vi phân đại số phơng trình vi phân thờng Phơng trình vi phân đại số có số lớn độ phức tạp để xử lý chúng cao đây, ta đề cập đến khái niệm số phơng trình (0.6) theo nghĩa Griepentrog Marz Khái niệm số lớn theo nghĩa Griepentrog Marz khái niệm số theo cách khác tìm đợc [20] Theo Griepentrog Marz (0.6) đợc gọi có số tồn phép chiếu trơn Q(t) lªn kerA(t) cho ma trËn G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với t J Đà chứng minh đợc rằng, toán Cauchy với (0.6) có số điều kiện ban đầu P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0, (0.7) víi P (t) := I Q(t), giải đợc nghiệm Hơn nữa, công thức nghiệm (0.6) (0.7) cã d¹ng x(t) = u(t) + Q(t)G−1 (t)(q(t) − B(t)u(t)), u(t) nghiệm toán giá trị ban đầu u0 (t) = P (t)G1 (t)(q(t) − B(t)u(t)),  u(t0 ) = u0 := P (t0 )x0 t J, Khác với toán Cauchy cho phơng trình vi phân thờng, điều kiện ban đầu thờng đợc viết dới dạng x(t0 ) = x0 , toán giá trị ban đầu phơng trình vi phân đại số đòi hỏi P (t0 )(x(t0 ) x0 ) = Không phải giá trị x0 sử dụng để khởi tạo x(t) Bài toán biên hai điểm cho phơng trình vi phân đại số (0.6) với điều kiện biên C0 x(t0 ) + CT x(T ) = γ (0.8) đà đợc Griepentrog Marz nghiên cứu (xem [21]) Bài toán (0.6) (0.8) giải đợc nghiệm ma trận bắn D := C0 X(t0 ) + CT X(T ) thoả mÃn điều kiện kerD=kerA(t0 ) ImD=Im(C0 , CT ) Các kết sâu sắc toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số tìm đợc báo Lentini Marz (xem [29]) hc P K Anh (xem [3]) Lý thuyết định tính phơng trình vi phân đại số nh tính ổn định nghiệm, bán kính ổn định phơng trình đặc biệt phơng pháp số để giải toán phơng trình vi phân đại số đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34], [36], [38], [39], [41]) Còng gièng nh phơng trình vi phân đại số, thực tế có nhiều toán dẫn nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn Có hai mô hình thực tế tiêu biểu vấn đề mô hình dân số Leslie (xem [16], [14]) mô hình kinh tế Leontief (xem [14], [17]) Mô hình dân số Leslie đợc mô tả phơng trình sai phân xn+1 = Tn xn , b1 (n) b2 (n) bm−1 (n) bm (n)   p1 (n)   Tn =  p2 (n)     0 pm−1 (n)         Đặt t đơn vị thời gian, mt tuổi thọ tối đa cá thể vµ A1 := (0, ∆t], A2 := (∆t, 2∆t], , Am := ((m−1)∆t, m∆t] Trong ®ã pk (n) khả cho phụ nữ có ®é tuæi thuéc Ak thêi gian n∆t sÏ cã ®é tuæi thuéc Ak+1 thêi gian (n + 1)∆t Nói cách khác, pk (n) tỷ lệ sống sót bà mẹ độ tuổi Ak vào thời gian nt Còn bk (n) số trẻ sơ sinh nữ đợc sinh thời gian (n + 1)t bà mẹ có độ tuổi thuộc Ak , tøc lµ bk (n) lµ tû lƯ sinh Ta th−êng gäi ma trËn Tn lµ ma trËn Leslie Trong thùc tế, nghiên cứu phát triển dân số vùng nhiều ta biết phân bố số dân theo độ tuổi vùng thời điểm xn0 = x0 ta cần tìm phân bố số dân theo ®é ti cđa vïng Êy t¹i mét thêi ®iĨm tr−íc xn0 k , tức ta cần giải to¸n   xn+1  xn = Tn xn , n = n0 − k, n0 − 1, (0.10) =x Điều không may mắn ma trận Leslie thờng suy biến Chẳng hạn ta xét t = (năm) m = 20, tức lµ ta cã A1 = (0, 5], , A20 = (95, 100] Chóng ta cã thĨ cho r»ng tån t¹i k0 cho b20 (n) = · · · = b20−k0 (n) = víi mäi n, ®iỊu nµy cã nghÜa lµ  b (n) b2 (n)   p1 (n)    p2 (n)      Tn =  0    0    0     0 bm−k0 −1 (n) bm−k0 (n) 0 0 0 pm−k0 −1 (n) pm−k0 (n) 0 0 pm−k0 +1 (n)  0   0   0      0   0   0     pm−1 (n) Víi phÐp ®æi biÕn ui = xn0 −i (i = 0, k) phép đặt Mi = Tn0 i (i = 0, k), toán (0.10) trở thành Mi ui+1  u0 = ui , i = 0, k − 1, (0.100 ) = x0 Râ rµng (0.10’) lµ toán giá trị ban đầu phơng trình sai phân ẩn Mô hình kinh tế Leontief đợc mô t¶ bëi hƯ suy biÕn xn = Axn + B(xn+1 − xn ) + dn , hay Bxn+1 = (I + B − A)xn − dn (0.11) Trong đó, kinh tế đợc chia thành m lĩnh vực sản xuất, xn véc tơ gồm m thành phần mà thành phần thứ i giá trị sản xuất hàng hoá lĩnh vực sản xuất thứ i thời điểm n, A ma trận sản xuất, Axn phần tiêu hao sản xuất, B ma trận đầu t, B(xn+1 xn ) giá trị lợi nhuận sinh dn véc tơ tiêu dùng Ma trận đầu t B = (bij ) Rmìm gồm thành phần bij số hàng hoá lĩnh vực sản xuất thứ i mà lĩnh vực sản xuất thứ j cần để sản xuất đơn vị hàng hoá lĩnh vực V× vËy, thùc tÕ ma trËn B th−êng suy biến, chẳng hạn lĩnh vực sản xuất thứ i không sản xuất hàng hoá hàng thứ i cđa ma trËn B lµ VËy (0.11) th−êng lµ phơng trình sai phân ẩn Mặt khác, nhiều phơng trình sai phân ẩn kết việc rời rạc hoá phơng trình vi phân đại số (0.6) Ascher, Brenan, Campbell Petzold (xem [13], [8]) đà xét lợc ®å sai ph©n Èn An xn − xn−1 + Bn xn = qn , τ n = 1, N , hay (An + τ Bn )xn = An xn−1 + τ qn , n = 1, N Khi Êy với giả thiết (0.6) có số với bớc lới rời rạc đủ bé ta nhận đợc ma trận An + Bn khả nghịch, nói cách khác phơng trình phơng trình sai phân thờng Bây giờ, áp dụng lợc đồ sai phân Euler cho (0.6), ta nhận đợc An xn+1 xn + Bn xn = qn , τ n = 0, N − 1, hay An xn+1 = (An − τ Bn )xn + τ qn , n = 0, N − Rõ ràng, phơng trình sai phân phơng trình sai phân ẩn Tơng tự, ta nhận đợc phơng trình sai phân ẩn sử dụng lợc đồ sai phân trung tâm cho phơng trình vi phân đại số (0.6) Ngoài có nhiều toán điều khiển kĩ thuật liên quan đến phơng trình sai phân ẩn Những mô hình thực tế, nh việc rời rạc hoá phơng trình vi phân đại số cho ta thấy việc nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn vấn đề thời đợc nhiều ngời quan tâm Trong thực tế, phơng trình sai phân ẩn đà đợc đồng thời đề cập đến nghiên cứu phơng trình vi phân đại số Campbell, Meyer (xem [16]) ®· dïng biÕn ®ỉi Kronecker gièng nh− đà sử dụng phơng trình vi phân đại số (0.5) để đa phơng trình sai phân ẩn tuyến tính «t«n«m Axn+1 = Bxn + qn , n ∈ Nn0 , A ma trận suy biến, hệ gồm phơng trình sai phân thờng phơng trình sai phân ẩn dạng đặc biệt Các kết nhận đợc phơng trình sai phân ẩn dạng đà đợc Campbell (xem [14]), Dai (xem [17]) áp dụng cho toán điều khiển dạng  Exn+1  yn = Axn + Bun , n ∈ Nn0 , = Cxn , ®ã ma trËn E suy biến Gần Navarro, Ferrer Jodar (xem [35]) đà đa công thức nghiệm nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho phơng trình sai phân Èn tuyÕn tÝnh «t«n«m bËc cao Bk xn+k + Bk−1 xn+k−1 + · · · + B0 xn = f (n), Bk ma trận suy biến Sự tồn nghiệm phơng trình sai ph©n Èn cã chËm Axn+1 = Bxn + Cxn−n0 + f (n), víi ma trËn A suy biÕn, cịng ®· đợc Li, Zhang Liu (xem [30]) nghiên cứu Khác với phơng trình vi phân đại số, kết phơng trình sai phân ẩn không dừng đợc đề cập Campbell số tác giả khác (xem [14], [15], [40], [42]) xét lớp hẹp phơng trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng Gần Bondarenko, Rutkas Vlasenko (xem [9], [10], [11]) 104 Từ ta nhận đợc e0 C k = O(τ ), kC eN − C N k = O(τ ) vµ kβe − βk = O( ) kC Hơn nữa, ta có kC N k kCT kkPs (T )k=const Tõ ®ã ta suy VËy ta cã eN MN −1 M0 k = o(1) kC N M N −1 M − C kS − S1 k = o(1) B©y giê ta sÏ chøng minh kβ k = o(1), eN ∗ , β1 := βe − C vµ β := β − C N β , (3.59) β1∗ := rN −1 + MN −1 rN −2 + · · · + MN −1 M1 r0 , ∗ β := rN −1 + M N −1 rN −2 + · · · + M N −1 M r0 XÐt hai toán giá trị ban đầu sau: vn+1 = Mn + rn ,   v n+1 = M n v n + rn ,  v0 vµ  v n = 0, N − 1, = v0 n = 0, N − 1, = v0 Ta ý toán đà đợc xét Định lý 3.2 với nghiệm chúng đợc ký hiệu un un tơng ứng Theo kết đà chứng minh Định lý 3.2, ta cã kvN − vN k = o(1) MỈt khác, ta để ý = vN MN −1 M0 v , β = v N − M N −1 M v vµ kMN −1 M0 − M N −1 M k = o(1), kv N − vN k = o(1), suy ∗ kβ1∗ − β k = o(1) 105 Tõ hÖ thøc (3.59), ta cã ∗ eN β ∗ k kβ1 − β k kβe − βk + kC N β − C ∗ eN kkβ1∗ k kβe − βk + kC N kkβ − β1∗ k + kC N − C ¸p dơng c¸c hƯ thøc eN k = O(τ ), kβ ∗ − β ∗ k = o(1) kβe − βk = O(τ ), kC N − C 1 vµ chó ý r»ng kC N k const, kβ1∗ k kvN k + kMN −1 M0 v k const, ta cã kβ − β1 k = o(1) VËy ta ®· chøng minh đợc kS S1 k = o(1) vµ kβ1 − β k = o(1) b−íc lới đủ nhỏ (3.60) áp dụng phơng pháp Euler cho toán Cauchy (3.52), ý C(t) := P (t)Ps (t) − P (t)G−1 (t)B(t) = P (t)(I − Q(t)G−1 (t)B(t)) − P (t)G−1 (t)B(t), t ∈ J , −1 M n := I + τ Pn0 (I − Qn G−1 n Bn ) − τ Pn Gn Bn , n = 0, N 1, ta nhận đợc Yn+1 Y0 = M n Yn , n = 0, N − 1, = I VËy, YN = M N −1 M vµ kYN − Y (T )k = O( ) Mặt khác, ta có S := C + C N M N −1 M + KQ0 V× vËy S đợc viết lại S = C + C N YN + KQ0 Hơn nữa, S := C + C N Y (T ) + KQ(t0 ) Tõ ®ã, ta cã kS − Sk = kC N (YN − Y (T ))k = O(τ ) Kết hợp đẳng thức cuối với (3.60), ta suy S1 → S τ → 106 Do ma trận bắn S toán liên tục không suy biến nên ta có ma trận S , S11 tồn bị chặn đủ nhỏ Kết hợp khẳng định với (3.57), (3.58) (3.60), ta nhận đợc ku0 u0 k = o(1) đủ bé Tơng tự nh chứng minh Định lý 3.2, với lu ý trờng hợp ta có := ku0 − u0 k = ku∗0 − u∗0 k = o(1), ta thu đợc n o(1), n = 0, N Điều có nghĩa kun un k → τ → 0, n = 0, N Suy điều phải chứng minh Trớc kết thúc chơng này, ta xét ví dụ minh hoạ cho hội tụ phơng pháp rời rạc toán biên hai điểm cho phơng trình vi phân đại số số đợc phát biểu Định lý 3.6 Ví dụ 3.1 Xét toán biên hai ®iĨm (1.2), (3.32) víi d÷ liƯu cho bëi nh− sau:       2 1  , B(t) = −   , q(t) =   , t ∈ J := [0, 1], A(t) =  0 1 t       3 e−2  , CT =  , γ =   ∈ Im(C0 , CT ) (3.61) C0 =  3 e−2     √ 0 − √5  , t ∈ [0, 1], Q = Từ Trong trờng hợp ta cã V (t) =  √1 √2 5 ®ã suy  Q(t) = V (t)Q∗ V T (t) =  − 25  G(t) = A(t) + B(t)Q(t) =   − 25  VËy G−1 (t) = − 25  , t ∈ [0, 1],   , t ∈ [0, 1] 5   , t ∈ [0, 1], −2 107 điều chứng tỏ phơng trình vi phân đại số (1.2) với liệu cho (3.61) có chØ sè Ta biÕt r»ng ma trËn nghiƯm c¬ (1.2) X(t) = Ps (t)Y (t)P (0) (xem [21], [29], [3]), Y (t) ma trận nghiệm Y (t) = (P (t)Ps (t) − P (t)G−1 (t)B(t))Y (t), Y (0) = I Tính toán ta nhận đợc Y (t) = suy  t e 5 t e + t e − t e t t  2e X(t) =  e − + −2et −et Do ®ã ma trËn b¾n  5 , t ∈ [0, 1],   , t ∈ [0, 1]   2e + e +  D = C0 X(0) + CT X(1) =  2e + e + Lúc điều kiện qui (3.35) toán thoả mÃn kerD = span{(1, 2)T } = kerA(0) vµ ImD = span{(1, 1)T } = Im(C0 , CT ) Vì toán biên hai ®iĨm ®ang xÐt cã nghiƯm nhÊt Ta biÕt r»ng nghiệm toán cho công thức sau (xem [21], [29], [3]): x(t) = X(t)x + X(t) Z t Y −1 (s)P (s)h(s)ds + Q(t)G−1 (t)q(t), h(t) := P (t)(I + P (t))G1 (t)q(t), x0 véc tơ thoả mÃn Dx = γ − C0 Q(0)G (0)q(0) − CT (X(1) Z Y −1 (s)P (s)h(s)ds + Q(1)G−1 (1)q(1)) Bằng tính toán đơn giản ta tìm đợc x0 =  α  , víi α lµ sè thùc bất kì, t e +t1 ta nhận đợc nghiệm toán x(t) =  −et − 2t + 108 Ta cã toán mở rộng (3.43), (3.44) tơng ứng với toán liên tục xét có dạng Vậy   2             3           1 xn+1 − xn 2 1 −   xn τ 1    2 3 2  x0 +   xN 2  1 =   , n = 0, N , nτ   e − 2 =  e−2 (3.62) (3.63)     2(1 + τ ) + τ τ  , qn (τ ) =   , n = 0, N , Bn (τ ) =  τ τ nτ     √2 √1 0 − 5 , Vn =  Q∗ =  , n = 0, N √ √ 5 Khi ®ã Do vËy  Gn (τ ) = An + Bn (τ )Vn−1 Q∗ VnT =  − τ5 Gn (τ )−1 =  5  − τ1  τ 2τ   (n = 0, N ) , n = 0, N , phơng trình sai phân ẩn (3.62) vừa nhận đợc có số áp dụng công thức (1.18) tính toán ta nhận đợc (3.62) cho nghiÖm  x01 ∗ T −1 e  , x0 = P−1 x − V−1 Q V0 G0 (τ )q0 (τ ) = −x1 n−2 P (n) −1 −1 (n) Mn−2−k (τ )Gk (τ )qk (τ ) + Gn−1 (τ )qn−1 (τ )) xn = Pen−1 (Mn−1 (τ )x0 + k=0   n (x + 1)(1 + τ ) + nτ − −1  , n = 1, N , −Vn−1 Q∗ VnT Gn (τ )qn (τ ) =  n −(x1 + 1)(1 + τ ) − 2nτ +   x01 x0 = R2 Thay hệ thức x0 , xN vào (3.63) ta tìm x02 đợc x01 = e(1+ )N 1+(1+ )N Để ý = điểm (3.62), (3.63) N , ta nhận đợc nghiệm toán biªn hai 109 x0 =    e+1 N (1 1+(1+ N ) N e−(1+ N ) N 1+(1+ ) N  , N e−(1+ N ) − 1+(1+ )N N + n ) N + n N −1   xn =  e+1 n n − 1+(1+ )N (1 + N ) − N + N   e+1 N tn + t − 1 N ((1 + N ) ) n 1+(1+ N )  , n = 1, N , = e+1 N tn − 1+(1+ )N ((1 + N ) ) − 2tn + N ®ã tn = nτ = n N tn e + tn − , x(t) nghiệm toán biên hai etn 2tn + điểm (1.2), (3.32) với liệu cho (3.61) Vì rõ ràng 0, tức Mặt khác, x(tn ) =  N → +∞ ta cã xn → x(tn ), n N Điều chứng tỏ lợc đồ sai phân xét ví dụ hội tụ kết luận Trong ba lợc đồ sai phân thờng dùng lợc đồ sai phân lùi áp dụng cho phơng trình vi phân đại số số cho phơng trình sai phân thờng (xem [21], [13]), hai lợc đồ sai phân lại dẫn đến phơng trình sai phân ẩn Do cha có kết phơng trình sai phân ẩn không dừng, nên cha thấy tài liệu đề cập đến việc rời rạc phơng trình vi phân đại số phơng pháp Euler hay phơng pháp sai phân trung tâm Kết nhận đợc Chơng tơng thích khái niệm số phơng trình vi phân đại số phơng trình sai phân ẩn khẳng định tính hợp lý khái niệm số phơng trình sai phân ẩn đợc đa từ đầu luận án Đối tợng nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn, không sâu nghiên cứu việc giải số phơng trình vi phân đại số Về vấn đề độc giả quan tâm tìm thấy nhiều tài liệu, chẳng hạn nh [21], [23], [8], [13], Đó lý không đa so sánh phơng pháp Euler đà biết với phơng pháp số khác Qua chứng minh hội tụ phơng pháp Euler cho toán Cauchy phơng trình vi phân đại số số 1, ta thấy chất trình rời rạc 110 liên quan đến phần khả vi, tức phần P (t)x(t) nghiệm x(t) Để chứng minh đợc hội tụ này, đà khéo léo tách phần Pn1 xn P (t)x(t) hai toán rời rạc liên tục để phần Pn1 xn nghiệm rời rạc hội tụ đến nghiệm un với un nhận đợc phơng pháp Euler toán giá trị ban đầu cho phơng trình vi phân thờng u(t) := P (t)x(t) Đối với toán biên nhiều điểm tơng thích tính qui hai toán rời rạc liên tục không Một kết hay đà nhận đợc chơng nghiệm toán rời rạc mở rộng, cách thêm vào phơng trình (3.42), hội tụ nghiệm toán liên tục Kết cho thấy điều kiện qui toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn số 1, mà đà nhận đợc Chơng 2, khác hẳn với điều kiện qui toán biên nhiều điểm cho phơng trình vi phân đại số Kết luận chung Luận án nghiên cứu toán giá trị ban đầu toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng Đồng thời, đa mối liên hệ phơng trình sai phân ẩn tuyến tính phơng trình vi phân đại số Những kết luận án là: Đa khái niệm số phơng trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng Thiết lập công thức nghiệm tờng minh toán giá trị ban đầu phơng trình sai phân ẩn số Trình bày số kết toán khởi tạo giá trị ban đầu Xây dựng công thức nghiệm cho toán Cauchy phơng trình sai phân ẩn hệ số có hạng thay đổi Nhận đợc điều kiện cần đủ tính giải đợc nghiệm toán biên nhiều điểm phơng trình sai phân ẩn số Thiết lập điều kiện cần đủ tính giải đợc đa công thức nghiệm tổng quát tờng minh để tìm nghiệm toán biên nhiều điểm phơng trình sai phân ẩn số trờng hợp toán không giải đợc nghiệm Chứng tỏ áp dụng phơng pháp Euler cho phơng trình vi phân đại số số ta nhận đợc phơng trình sai phân ẩn số Hơn nghiệm toán giá trị ban đầu phơng trình sai phân ẩn số hội tụ đến nghiệm toán giá trị ban đầu phơng trình vi phân đại số số tơng ứng Chỉ không tơng thích tính nghiệm toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số số toán tơng ứng cho phơng trình sai phân ẩn số nhận đợc rời rạc toán liên tục phơng pháp Euler Chứng minh hội tụ lợc đồ Euler cho toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số số 111 112 Về phơng pháp, luận án đà trình bày hớng tiếp cận hiệu cho đối tợng khó nghiên cứu, hệ tuyến tính suy biến không dừng Với phơng pháp tiếp cận này, luận án đà giải đợc lớp rộng toán suy biến thờng gặp thực tế Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm bán kính ổn định phơng trình sai phân ẩn tuyến tính số Đa khái niệm số cao cho phơng trình sai phân ẩn tuyến tính Tiếp tục nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn phi tuyến Tìm mô hình thực tế đa nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn tuyến tính số Danh mục công trình đà công bố liên quan ®Õn luËn ¸n P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations, Acta Math Vietnamica 29 (1): 23-39 P K Anh, L C Loi (2001), On multipoint BPVs for linear implicit nonautonomous systems of difference equations, Vietnam J Math 29 (3): 281-286 L C Loi, N H Du, P K Anh (2002), On linear implicit non-autonomous systems of difference equations, J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 113 Tài liệu tham khảo [1] R P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Inc [2] R P Agarwal, D O’Regan (2001), Infinite Interval Problems for Differential, Difference and Integral Equations, Kluwer Academic Publishers [3] P K Anh (1997), ”Multipoint boundary-value problems for transferable differential-algebraic equations I-Linear case”, Vietnam J Math 25 (4): 347-358 [4] P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), ”Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations”, Acta Math Vietnamica 29 (1): 23-39 [5] P K Anh, L C Loi (2001), ”On multipoint BPVs for linear implicit nonautonomous systems of difference equations”, Vietnam J Math 29 (3): 281-286 [6] C Are´ valo, G Soderlind (1995), ”Convergence of multistep discretizations of DAEs”, BIT 35 (1): 143-168 [7] U M Ascher, R M M Mattheij, R D Russell (1988), Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Prentice Hall [8] U Ascher, L R Petzold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia [9] M F Bondarenko, A G Rutkas (1998), ”On a class of implicit difference equations”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 7: 11-15 114 115 [10] M F Bondarenko, L A Vlasenko, A G Rutkas (1999), ”Periodic solutions of a class of implicit difference equations”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 1: 9-14 [11] M F Bondarenko, A G Rutkas (2001), ”Criteria for the determinacy of implicit discrete nonautonomous systems”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 2: 7-11 [12] M Bracke (2000), On Stability Radii of Parametrized, Linear DifferentialAlgebraic Systems with Applications to Electrical Networks, Ph D thesis, Vom Fachbereich Mathematik der Universitaăt Kaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades [13] K E Brenan, S L Campell, L R Petzold (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, North-Holland, New York [14] S L Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman Advanced Publishing Program [15] S L Campbell (1982), Singular Systems of Differential Equations II, Pitman Advanced Publishing Program [16] S L Campbell, C D Meyer (1978), Generalized Inverses of Linear Transformations, Pitman [17] L Dai (1989), Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences 118, Springer-Verlag [18] S N Elaydi (1995), An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag [19] F R Gantmacher (1959), Theory of Matrices, Vol 1, 2, Chelsea, NewYork [20] E Griepentrog, M Hanke, R Marz (1992), Berliner Seminar on DifferentialAlgebraic Equations Seminar Notes, Berlin 116 [21] E Griepentrog , R Marz (1986), Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner-Text Math., Vol 88, Teubner, Leipzig [22] G H Golub, C F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press [23] E Hairer, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag [24] E Isaacson, H B Keller (1966), Analysis of Numerical Methods, John Wiley & Sons, Inc [25] T Kato (1966), Perturbation Theory for Linear Operator, Springer-Verlag, New York [26] R K Kittappa (1993), ”A representation of the solution of the nth order linear difference equation with variable coefficients”, Linear Algebra Appl 193: 211-222 [27] P Kunkel, V Mehrmann (1996), ”A new class of discretization methods for the solution of linear differential-algebraic equations with variable coefficients”, SIAM J Numer Anal 33 (5): 1941-1961 [28] V Lakshmikantham, D Trigiante (1988), Theory of Difference Equations Numerical Methods and Applications, Academic Press, Inc [29] M Lentini, R Marz (1990), ”The condition of boundary value problems in transferable differential-algebraic equations”, SIAM J Numer Anal 27: 1001-1015 [30] Y Li, X Zhang, Y Liu (2000), ”Basic theory of linear singular discrete systems with delay”, Appl Math Comput 108: 33-46 [31] H Liu, Y Song (2003), ”Stability of numerical methods for solving linear index-3 DAEs”, Appl Numer Math 134: 35-50 117 [32] L C Loi, N H Du, P K Anh (2002), ”On linear implicit non-autonomous systems of difference equations”, J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 [33] R K Mallik (1997), ”On the solution of a second order linear homogeneous difference equation with variable coefficients”, J Math Anal Appl., 215: 32-47 [34] R Marz (1995), ”On linear differential-algebraic equations and linearizations”, Appl Numer Math 18: 267-292 [35] E Navarro, M V Ferrer, L Jo´ dar (1994), ”Closed form general solution of nonhomogeneous implicit higher order difference systems”, Appl Math Comput 60: 113-123 [36] H Pasic (1999), ”Multipoint boundary-value problems”, J Optim Theory Appl 100 (2): 397-416 [37] C Qian (2002), ”Convergence of a difference equation and its applications”, J Diff Eq Appl (2): 163-175 [38] P J Rabier, W C Rheinboldt (1996), ”Classical and generalized solution of time-dependent linear differential-algebraic equations”, Linear Algebra Appl 245: 259-293 [39] A Rachid (1993), ”A remark on the discretization of singular systems”, Automatica 31 (2): 347-348 [40] J Sreedhar, P V Dooren (1999), ”Periodic descriptor systems: Solvability and Conditionability”, IEEE Trans Automatic Control 44 (2): 310-313 [41] R Stover (2001), ”Collocation methods for solving linear differentialalgebraic boundary value problems”, Numer Math 88: 771-795 [42] C-J Wang (1999), ”Controllability and observability of linear time-varying singular systems”, IEEE Trans Automatic Control 44 (10): 1901-1905 118 [43] S Xu, C Yang, Y Niu, J Lam (2001), ”Robust stabilization for uncertain discrete singular systems”, Automatica 37: 769-774 [44] X Yan (1997), ”Singularly perturbed differential-algebraic equations I: Asymptotic expansion of outer solutions”, J Math Anal Appl 207: 326-344