Nghiệm viscosity đối với bài toán điều khiển tối ưu

(t) = y(t) = x f hàm lõm (y, u) nên f (y(s), u(s)) − f (y ∗ (s), u∗ (s)) ≤ fx∗ (y(s) − y ∗ (s)) + fu∗ (u(s) − u∗ (s)) p∗ (s)T ≤ với s ∈ [t, T ] Do Jt,x (u) − Jt,x (u∗ ) ≥ Hay Jt,x (u) ≥ Jt,x (u∗ ) với điều khiển chấp nhận u Do u∗ điều khiển tối ưu cho tốn Ví dụ 3.2.1 Xét lại Ví dụ 3.1.2 ta thấy L, f p∗ (s) thỏa yêu cầu Định lý 3.2.2 nên u∗ (s) = s − điều khiển tối ưu tốn Ví dụ 3.2.2 Xét điều khiển tối ưu cực tiểu hóa hàm số y (s) + u2 (s) ds J(u) = với y (s) = y(s) + u(s), y(0) = Giả sử u∗ cực tiểu hóa hàm J(u) Khi phương trình Hamilton - Jacobi có dạng H(y ∗ (s), p∗ (s)) = max [−p(s)f (y(s), u(s)) − L(y(s), u(s))] u∈R = max −p(s).(y(s) + u(s)) − y (s) − u2 (s) u∈R = p∗2 (s) − p∗ (s)y ∗ (s) − y ∗2 (s) Khi (y ∗ , p∗ ) thỏa hệ   y ∗ (s) = −Hp (y ∗ (s), p∗ (s)) = − p∗ (s) + y ∗ (s),  p ∗ (s) = H (y ∗ (s), p∗ (s)) = −p∗ (s) − 2y ∗ (s), x Viết dạng ma trận, ta      y ∗ (s) − 12 y ∗ (s)  =   ∗ ∗ p (s) p (s) −2 −1 M 75 y ∗ (0) = p∗ (1) = Khi     ∗ y (s) y (0)   = eM s   ∗ ∗ p (s) p (0) ∗ M 2n = 2n I2 , với n ∈ N∗ Đặt √ √ √ ( 2s)2 ( 2s)4 ( 2s)6 A(s) = + + + + ··· 2! 4! 6! √ √ √ √ ( 2s)3 ( 2s)5 ( 2s)7 B(s) = √ + + + ··· 2s + 3! 5! 7! Ta có M 2n+1 = 2n M, Khi esM = A(s).I2 + B(s).M Do   y ∗ (s) = A(s)y ∗ (0) + B(s)y ∗ (0) − B(s)p∗ (0)  p∗ (s) = A(s)p∗ (0) − 2B(s)y ∗ (0) − B(s)p∗ (0) với s ∈ [0, 1] Ta chứng minh p∗ (s) ≥ 0, với s ∈ [0, 1] Khi đó, L, f, p∗ (s) thỏa yêu cầu Định lý 3.2.1 nên u∗ (s) = − 21 p∗ (s) điều khiển tối ưu toán 76 KẾT LUẬN Trong luận văn thu kết sau: Tổng quan hệ thống lý thuyết, kiến thức hàm liên tục Lipschitz, hàm lồi, hàm nửa lõm, hàm đa trị; vi phân vi phân hàm nửa lõm kết nghiệm cổ điển phương trình vi phân thường, nghiệm viscosity phương trình Hamilton-Jacobi Nghiên cứu kết tồn điều khiển tối ưu, tính chất hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin toán điều khiển tối ưu với thời gian giới hạn không gian khơng hạn chế hai tốn Mayer Bolza Nghiên cứu điều kiện cần đủ tồn điều khiển tối ưu cho toán Bolza dạng đơn giản khảo sát ví dụ minh họa Với khả nghiên cứu, đọc hiểu thân luận văn giúp nắm kiến thức giải tích, phương trình vi phân, đặc biệt khái niệm đạo hàm, vi phân suy rộng, nghiệm viscosity phương trình HamiltonJacobi Ngồi ra, tơi cịn nắm kiến thức toán điều khiển tối ưu, bước đầu tìm hiểu nguyên lý quy hoạch động, mối liên hệ phương trình Hamilton-Jacobi tốn điều khiển tối ưu Hơn nữa, luận văn giúp trang bị kiến thức bản, hệ thống để tiếp cận vấn đề thời lý thuyết điều khiển tối ưu Lý thuyết điều khiển tối ưu cịn nhiều tốn mở Chúng hy vọng trở lại nghiên cứu vấn đề trường hợp tổng quát 77 Tài liệu tham khảo [1] Albano P., Cannarsa P (2000), Propagation of singularities for concave solutions of Hamilton-Jacobi equations, in International Conference on Differential Equations, World Sci Publishing, River Edge, NJ [2] Alberto Bressan,Viscosity solution of Hamilton-Jacobi equations and optimal control Problems, S.I.S.S.A., Trieste 34014 Italy [3] Cannarsa P., Sinestrari C (2004), Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi equations and optimal control, Birkhauser, Boston [4] Chachuat B (2007), Nonlinear and Dynamic Optimization, Automatic Control Laboratory, EPFL, Switzerland [5] Lawrence C.Evans, An introduction to Mathematical Optimal Control, Theory Version 0.2, Department of Mathematics University of California, Berkeley [6] M.G.Crandall; L.C.Evans; P.L.Lions (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans.Amer Math Soc., Vol 282, No.2., pp 487-502 78 ... Hamilton-Jacobi tốn điều khiển tối ưu Hơn nữa, luận văn cịn giúp tơi trang bị kiến thức bản, hệ thống để tiếp cận vấn đề thời lý thuyết điều khiển tối ưu Lý thuyết điều khiển tối ưu cịn nhiều tốn mở... khiển tối ưu với thời gian giới hạn không gian không hạn chế hai tốn Mayer Bolza Nghiên cứu điều kiện cần đủ tồn điều khiển tối ưu cho toán Bolza dạng đơn giản khảo sát ví dụ minh họa Với khả... kết nghiệm cổ điển phương trình vi phân thường, nghiệm viscosity phương trình Hamilton-Jacobi Nghiên cứu kết tồn điều khiển tối ưu, tính chất hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin toán điều khiển