Một số định lý hội tụ theo độ đo mờ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ KIM MAI MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HỘI TỤ THEO ĐỘ ĐO MỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ KIM MAI MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HỘI TỤ THEO ĐỘ ĐO MỜ Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn công trình nghiên cứu tơi hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Trương Văn Thương Trong trình nghiên cứu đề tài luận văn, tơi kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Nguyễn Thị Kim Mai ii LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS Trương Văn Thương, cảm ơn lời động viên, nhắc nhở Thầy suốt trình hướng dẫn khoa học cho tơi Thầy giúp tơi vượt qua khó khăn để hồn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cơ giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Khóa 24 trường ĐHSP Huế toàn thể thầy khoa Tốn trường ĐHSP Huế giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Sau Đại học trường ĐHSP Huế tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Cuối cùng, xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo 1.1.1 Đại số 1.1.2 σ -đại số 1.1.3 σ -đại số Borel 1.1.4 Độ đo đại số tập hợp 1.2 Hàm đo 1.3 Độ đo mờ 10 1.3.1 Định nghĩa 10 1.3.2 Tính chất liên tục khơng-cộng tính độ đo mờ 12 1.4 Các khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo 20 1.5 Một số tính chất dạng hội tụ cho dãy hàm đo 22 Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ 2.1 2.2 29 Định lí Egorov độ đo mờ 29 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần 29 2.1.2 Định lí Egorov thuộc tính giả-hội tụ 43 2.1.3 Định lí Egorov độ đo mờ liên tục 47 Định lí Lusin độ đo mờ 49 2.2.1 Định lí Lusin độ đo mờ liên tục 50 2.2.2 Định lí Lusin độ đo mờ tùy ý 60 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 MỞ ĐẦU Trong toán học, độ đo hàm số cho tương ứng “chiều dài”, “thể tích” “xác suất”, ứng với số thực Đó khái niệm quan trọng giải tích lý thuyết xác suất Một cách hình thức, độ đo µ hàm số cho tương ứng với phần tử S tập hợp A đại số X với giá trị µ(S) số thực khơng âm vơ hạn Các tính chất sau phải thỏa mãn: i) µ(A) ≥ với A ∈ A; ii) µ(∅) = 0; iii) µ σ -cộng tính, tức là, với dãy (An )n ⊂ A cho An rời đơi ∞ ∞ An ∈ A µ( n=1 ∞ An ) = n=1 µAn n=1 Trong trường hợp, bỏ điều kiện σ -cộng tính µ thỏa mãn: i) µ(∅) = µ(X) > 0; ii) µ(A) ≤ µ(B) với A ⊂ B A, B ∈ A; µ gọi độ đo mờ Trong giáo trình “Lý thuyết độ đo tích phân” tìm hiểu đầy đủ độ đo µ tính chất liên quan chẳng hạn: Định lí Egorov, Định lí Lusin Trong trường hợp, thay độ đo µ độ đo mờ độ đo mờ có tính chất, định lí hội tụ nào? Với mong muốn nghiên cứu sâu độ đo mờ định lí hội tụ theo độ đo mờ Đó đề tài thú vị mẽ Và định hướng thầy giáo hướng dẫn TS Trương Văn Thương, tơi chọn đề tài “Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ” cho luận văn thạc sĩ thuộc chun ngành Tốn Giải tích Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày kiến thức sở cần thiết độ đo, độ đo mờ, hàm đo được, khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo số tính chất dạng hội tụ cho dãy hàm đo Chương 2: Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày hai định lí hội tụ theo độ đo mờ: Định lí Egorov Định lí Lusin Bao gồm nội dung: i) Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần ii) Định lí Egorov thuộc tính giả-hội tụ iii) Định lí Egorov độ đo mờ liên tục iv) Định lí Lusin độ đo mờ liên tục v) Định lí Lusin độ đo mờ tùy ý Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất đại số, σ -đại số, σ -đại số Borel độ đo đại số tập hợp Những kết tham khảo từ tài liệu [1] 1.1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Xét A lớp khác rỗng tập X Lớp A gọi đại số X nếu: i) A ∪ B ∈ A với A, B ∈ A; ii) Phần bù Ac = X \ A ∈ A với A ∈ A Dễ dàng thấy lớp A = {∅, X} A = P(X) đại số Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A đại số X Lúc đó, tập rỗng X thuộc A Ngoài ra, A, B thuộc A A ∩ B, A \ B A∆B thuộc A 1.1.2 σ-đại số Định nghĩa 1.1.3 Một lớp khác rỗng A ⊂ P(X) gọi σ -đại số X nếu: ∞ An ∈ A với dãy (An )n ⊂ A; i) n=1 ii) Phần bù Ac = X \ A ∈ A với A ∈ A Các lớp A = {∅, X} A = P(X) σ -đại số Nếu X tập vô hạn họ A gồm tập A không đếm Ac không đếm σ -đại số Nhận xét 1.1.4 i) Nếu A σ -đại số X A đại số X ∞ An ∈ A ii) Giả sử A σ -đại số X Lúc đó, (An )n ⊂ A n=1 Định lí 1.1.5 Cho A ⊂ P(X) lớp khác rỗng Lúc đó, tồn σ -đại số F(A) chứa A chứa σ -đại số chứa A, σ -đại số F(A) gọi σ -đại số sinh A 1.1.3 σ-đại số Borel Định nghĩa 1.1.6 Cho X khơng gian tơpơ Lúc đó, σ -đại số sinh họ tập mở X gọi σ -đại số Borel X , ký hiệu BX B(X) đơn giản B Mỗi phần tử B(X) gọi tập Borel Nhận xét 1.1.7 i) Các tập mở, tập đóng tập Borel; ∞ ii) Nếu An , n = 1, 2, tập Borel ∞ An , n=1 An theo thứ tự n=1 tập kiểu Fδ , Gσ tập Borel; iii) Giả sử X không gian tơpơ Lúc đó, σ -đại số Borel X σ -đại số sinh lớp tập đóng 1.1.4 Độ đo đại số tập hợp Định nghĩa 1.1.8 Cho A ⊂ P(X) lớp không rỗng Một ánh xạ f : A → R gọi hàm tập N◦ Vì Fε ⊂ Xm fn ⇒ f Xm với m = 1, 2, nên fn ⇒ f m=1 Fε Định lí sau Định lí Lusin cho độ đo mờ liên tục không gian metric X Định lí 2.2.9 Cho µ độ đo mờ hữu hạn, liên tục, không gian đo (X, Bd ) f ∈ F Nếu µ khơng-cộng tính yếu với ε > 0, tồn tập đóng Fε ∈ Cd cho f liên tục Fε µ(X \ Fε ) < ε Chứng minh (a) Xét trường hợp f hàm đơn giản Lúc đó, f có biểu diễn s cn χEn (x) (x ∈ X), χEn hàm đặc dạng chuẩn f (x) = n=1 s trưng tập En X = En (các tập En rời đôi một) Với n=1 En ∈ Bd , n = 1, 2, , s, theo Hệ 2.2.5, tồn dãy tăng (Fn(k) )k ⊂ Cd cho Fn(k) ⊂ En µ(En \ Fn(k) ) < với k = 1, 2, k Với n = 1, 2, , s ta có ∞ En \ Fn(k) En \ Fn(k) (k → ∞) k=1 µ liên tục nên ∞ En \ Fn(k) = lim µ(En \ Fn(k) ) = µ k→∞ k=1 Mặt khác, µ khơng-cộng tính yếu, theo Bổ đề 2.2.2 ta có ∀ε > 0, tồn dãy (En \ Fn(kn ) ) (En \ Fn(k) ) cho s (En \ Fn(kn ) ) < ε µ n=1 s Fn(kn ) Fε tập đóng Đặt Fε = n=1 s µ(X \ Fε ) = µ s En \ n=1 s Fn(kn ) n=1 (En \ Fn(kn ) ) < ε ≤µ n=1 57 Do En rời đôi nên Fn(kn ) rời đôi Thu hẹp f lên Fε số cn tập Fn(kn ) nên f liên tục tập Fn(kn ) Do s Fn(kn ) Fn(kn ) tập đóng rời đôi nên f liên tục Fε = n=1 tập đóng Fε (b) Xét f hàm đo Lúc đó, theo Định lí 1.2.10 tồn dãy (ϕn )n dãy hàm đơn giản cho lim ϕn = f X Theo phần chứng n→∞ minh (a), với hàm đơn giản ϕn với k = 1, 2, tồn tập đóng Xn(k) ⊂ X cho ϕn liên tục Xn(k) µ(X \ Xn(k) ) < (k = 1, 2, ) k Không tổng quát, với n ∈ N∗ , giả sử (Xn(k) )k ⊂ Cd dãy tăng theo k ∞ Do đó, X \ Xn(k) (X \ Xn(k) ) (k → ∞) mà µ liên tục nên k=1 ∞ (X \ Xn(k) ) = lim µ(X \ Xn(k) ) = (n = 1, 2, ) µ k→∞ k=1 (m) Theo Bổ đề 2.2.2, với m ∈ N∗ , tồn dãy (X \ Xn(kn ) )n (X \ Xn(k) ) cho ∞ (m) X \ Xn(kn µ ) n=1 ∞ < , m Vì (X \ Xn(k) ) dãy giảm theo k (n ∈ N∗ ), m n=1 khơng tổng qt, ta giả sử kn(1) < kn(2) < (n ∈ N∗ ) (m) Xn(kn hay µ X \ ∞ (m) Xn(kn Đặt Hm = ) ) < (m = 1, 2, ) Khi đó, (X \ Hm )m dãy giảm µ n=1 liên tục nên ∞ ∞ X \ Hm = lim µ X \ Hm = hay µ X \ µ m→∞ m=1 (m) Vì ϕn liên tục Xn(kn ) Hm = m=1 (m) Hm ⊂ Xn(kn ) (n = 1, 2, ) nên với Hm ta có ϕn liên tục Hm Mặt khác, lim ϕn = f X nên theo Định lí 2.2.8, tồn dãy tăng n→∞ 58 (Xm )m ⊂ Cd thỏa mãn ∞ ∞ X \ Xm = X \ X \ Xm m=1 ∞ Xm , µ(X \ m=1 Xm ) = m=1 ϕn ⇒ f Xm với m = 1, 2, Ta có ∞ (X \ Hm ) ∪ (X \ Xm ) (X \ ∞ Hm ) ∪ (X \ m=1 Xm ) (m → ∞), m=1 µ liên tục khơng-cộng tính yếu nên ∞ lim µ (X \ Hm ) ∪ (X \ Xm ) = µ (X \ m→∞ ∞ Hm ) ∪ (X \ m=1 Xm ) = m=1 Do đó, lim µ X \ (Hm ∩ Xm ) = Suy ra, ∀ε > 0, tồn m◦ cho m→∞ µ X \ (Hm◦ ∩ Xm◦ ) < ε Đặt Fε = Hm◦ ∩ Xm◦ Fε tập đóng µ(X \ Fε ) < ε Bây giờ, ta cần f liên tục Fε Ta có, Fε ⊂ Hm◦ ϕn liên tục Hm◦ nên ϕn liên tục Fε với n = 1, 2, Mặt khác, Fε ⊂ Xm◦ ϕn ⇒ f Xm◦ nên f liên tục Fε Định lí 2.2.10 Cho µ độ đo mờ không gian đo (X, Bd ), µ liên tục trên, khơng-cộng tính yếu, thỏa mãn điều kiện [E], (fn )n ⊂ F f ∈ F Khi đó, ta có i) µ quy a.e ii) Nếu fn −→ f với ε > 0, tồn tập đóng Fε ∈ Cd cho µ(X \ Fε ) < ε fn ⇒ f Fε iii) Với ε > 0, tồn tập đóng Fε ∈ Cd cho f liên tục Fε µ(X \ Fε ) < ε 59 2.2.2 Định lí Lusin độ đo mờ tùy ý Mệnh đề 2.2.11 [3] Cho µ độ đo mờ không gian đo (X, Bd ) Lúc đó, mệnh đề sau tương đương: i) µ khơng-cộng tính yếu thỏa mãn điều kiện [E] ii) Với ε > với dãy kép (En(m) )(n,m)∈N×N ⊂ Bd thỏa mãn, với m ∈ N∗ , En(m) E (m) µ(E (m) ) = 0, tồn dãy tăng (nm )m ⊂ N cho ∞ En(m) ) < ε m µ( m=1 iii) Với k ∈ N với dãy kép (En(m) )(n,m)∈N×N ⊂ Bd thỏa mãn, với m ∈ N∗ , En(m) E (m) µ(E (m) ) = 0, tồn dãy tăng (nm (k))m ⊂ N cho, với m ∈ N, nm (k) ≤ nm (k + 1) ∞ En(m) ) < m(k) k m=1 µ( Mệnh đề 2.2.12 Cho µ độ đo mờ không gian đo (X, Bd ) Nếu µ thỏa mãn điều kiện [E] có tính chất [p.g.p.] µ quy Chứng minh Gọi E = E ∈ Bd | ∀ε > 0, ∃Fε ∈ Cd Gε ∈ Td thỏa mãn Fε ⊂ E ⊂ Gε µ(Gε \ Fε ) < ε Khi đó, E σ -đại số Thật vậy, +) Vì ∅, X ∈ E nên E = ∅ +) Với E ∈ E , ta có ∀ε > 0, ∃Fε ∈ Cd Gε ∈ Td thỏa mãn Fε ⊂ E ⊂ Gε µ Gε \ Fε < ε Suy X \ Gε ⊂ X \ E ⊂ X \ Fε với X \ Gε ∈ Cd , X \ Fε ∈ Td µ (X \ Fε ) \ (X \ Gε ) = µ(Gε \ Fε ) < ε Vì vậy, X \ E ∈ E +) Với (E (m) )m ⊂ E 60 (m) Với m ∈ N∗ , E (m) ∈ E nên tồn dãy (G(m) n )n ⊂ Td (Fn )n ⊂ Cd (n = 1, 2, ) m Không tổng quát, ta giả sử với m ∈ N∗ , (G(m) n )n dãy giảm (m) cho Fn(m) ⊂ E (m) ⊂ Gn(m) µ(G(m) n \ Fn ) < (Fn(m) )n dãy tăng theo n ∞ ∗ (m) (m) (m) (G(m) n \ Fn ) ≤ µ(Gn \ Fn ) < Với m ∈ N , n=1 nên n ∞ (m) (G(m) n \ Fn ) = µ n=1 ∞ Đặt D (m) (m) (G(m) n \ Fn ) ta có = n=1 (m) G(m) n \ Fn D(m) (n → ∞) µ(D(m) ) = (m = 1, 2, ) Vì µ thỏa mãn tính chất [p.g.p.] nên theo Mệnh đề 1.3.7 (vii)) µ khơngcộng tính yếu Mặt khác, µ thỏa mãn điều kiện [E], theo Mệnh đề 2.2.11 ta có: ∀ε > 0, tồn ∞ dãy (m) (G(m) nm \Fnm ) (m) (G(m) n \Fn ) (m) (G(m) nm \Fnm ) < ε cho µ m=1 Vì µ thỏa mãn điều kiện [E] nên theo Định lí 2.1.6, µ liên tục thứ tự ∞ k Fn(m) m Mặt khác, m=1 Fn(m) m \ ∅ (k → ∞) nên m=1 ∞ k Fn(m) m lim µ k→∞ m=1 m=1 ∞ k◦ Fn(m) m Do đó, tồn k◦ cho µ G(m) nm Fε = Đặt Gε = m=1 Fn(m) < ε m \ m=1 k◦ ∞ Fn(m) = m \ m=1 Fn(m) Gε tập mở, Fε tập đóng, m m=1 ∞ E (m) ⊂ Gε Fε ⊂ m=1 61 ∞ µ(Gε \ Fε ) = µ G(m) nm m=1 ∞ Fn(m) m \ m=1 ∞ ∞ =µ k◦ G(m) nm m=1 ∞ Fn(m) m \ ∪ m=1 (2.19) m=1 k◦ Fn(m) \ m m=1 m=1 Fn(m) m \ m=1 +∞ (m) (G(m) nm \ (Fnm ) ∪ ≤µ k◦ Fn(m) m Fn(m) m 0, tồn m◦ cho µ(Gm◦ \ F ) < ε Như vậy, ∀ε > 0, ∃F ∈ Cd , Gm◦ ∈ Td cho F ⊂ F ⊂ Gm◦ µ(Gm◦ \ F ) < ε nên F ∈ E Suy Cd ⊂ E Vì E σ -đại số nên Td ⊂ E 62 Do đó, Bd ⊂ E Vậy µ quy Định lí 2.2.13 Cho µ độ đo mờ không gian đo (X, Bd ), µ thỏa a.e mãn điều kiện [E], có tính chất [p.g.p.], (fn )n ⊂ F f ∈ F Nếu fn −→ f với ε > 0, tồn tập đóng Fε ∈ Cd cho µ(X \ Fε ) < ε fn ⇒ f Fε a.e Chứng minh Vì µ thỏa mãn điều kiện [E] fn −→ f nên theo Định lí 2.1.4 a.u ta có fn −→ f a.u Vì fn −→ f nên tồn dãy (X (m) )m ⊂ Bd cho fn ⇒ f X (m) µ(X \ X (m) ) < (m = 1, 2, ) Ta có m ∞ X \ X (m) ⊂ X \ X (m) , m = 1, 2, m=1 Suy ∞ X \ X (m) ≤ µ X \ X (m) < µ m=1 Do , m = 1, 2, m ∞ X \ X (m) = 0, µ m=1 hay ∞ X (m) = µ X\ m=1 ∞ X (m) µH = Đặt H = X \ m=1 Do µ có tính chất [p.g.p.], theo Mệnh đề 1.3.7 (vii)) ta có µ khơng-cộng tính yếu Vì µ khơng-cộng tính yếu X (m) ∈ Bd với m = 1, 2, theo Hệ 2.2.5 tồn dãy tăng (Fn(m) )n ⊂ Cd thỏa mãn Fn(m) ⊂ X (m) µ(X (m) \Fn(m) ) < với n = 1, 2, Do đó, với m ∈ N∗ ta có ∞ X (m) \ Fn(m) (X (m) \ Fn(m) )(n → ∞) n=1 63 n ∞ ∗ Với m ∈ N , ta đặt D (m) (X (m) \ Fn(m) ) ∪ H , = n=1 (X (m) \Fn(m) )∪H D(m) (n → ∞) µD(m) = µ khơng cộng tính yếu nên theo Mệnh đề 2.2.11 ta có: ∀ε > 0, tồn dãy tăng (nm )m ⊂ N cho ∞ (X (m) \ Fn(m) ) ∪ H < ε m µ m=1 ∞ ∞ Fn(m) ⊂ m Vì X \ m=1 (X (m) \ Fn(m) ) ∪ H nên m m=1 ∞ Fn(m) < ε m µ X\ (2.20) m=1 Ta có ∞ N Fn(m) m X\ m=1 nên Fn(m) (N → ∞) m X\ m=1 ∞ N Fn(m) m Fn(m) m \ m=1 ∅ (N → ∞) m=1 Mặt khác, µ thỏa điều kiện [E] nên theo Định lí 2.1.6 µ liên tục thứ tự Vì ∞ N Fn(m) m lim µ N →∞ Fn(m) = m \ m=1 m=1 Do đó, tồn N◦ cho ∞ N◦ Fn(m) m µ Fn(m) < ε m \ (2.21) m=1 m=1 Từ (2.20), (2.21) µ có tính chất [p.g.p.] ta có ∞ N◦ Fn(m) m µ X\ m=1 ∞ Fn(m) m ≤µ X\ ∪ m=1 N◦ Fn(m) m m=1 N◦ Fn(m) Fε tập đóng thỏa mãn m Đặt Fε = m=1 N◦ Fn(m) ) < ε m µ(X \ Fε ) = µ(X \ m=1 64 Fn(m) m \ m=1 < ε N◦ X (m) fn ⇒ f X (m) với m = 1, 2, nên fn ⇒ f Vì Fε ⊂ m=1 Fε Định lí sau Định lí Lusin cho độ đo mờ tùy ý khơng gian metric X Định lí 2.2.14 Cho µ độ đo mờ không gian đo (X, Bd ), µ thỏa mãn điều kiện [E] có tính chất [p.g.p.] Nếu f ∈ F với ε > 0, tồn tập đóng Fε ∈ Cd cho µ(X \ Fε ) < ε f liên tục Fε Chứng minh (a) Xét trường hợp f hàm đơn giản Lúc đó, f có biểu diễn s cm χE (m) (x) (x ∈ X), χE (m) hàm đặc dạng chuẩn f = m=1 trưng tập E (m) s E (m) , tập E (m) rời đôi X = m=1 Với E (m) ∈ Bd (m = 1, 2, , s), theo Hệ 2.2.5 tồn dãy tăng (Fn(m) )n ⊂ Cd cho Fn(m) ⊂ E (m) µ(E (m) \ Fn(m) ) < (n = 1, 2, ) n Với m = 1, 2, , s ta có ∞ E (m) Fn(m) \ E (m) \ Fn(m) n=1 ∞ En \ Fn(m) ) = µ( n=1 Vì µ có tính chất [p.g.p.] nên theo Mệnh đề 1.3.7 (vii)) µ khơng-cộng tính Do đó, theo Mệnh đề 2.2.11 ta có: ∀ε > 0, tồn dãy tăng (nm )m ⊂ N cho s (E (m) \ Fn(m) ) < ε m µ m=1 s Fn(m) Fε tập đóng m Đặt Fε = m=1 s µ(X \ Fε ) = µ s E m=1 (m) s Fn(m) m \ m=1 ≤µ (m) (E (m) \ F(nm ) ) < ε m=1 65 Vì E (m) rời đôi nên Fn(m) rời đôi Thu hẹp f lên Fε m số cm tập Fn(m) nên f liên tục tập Fn(m) Vì m m s Fn(m) Fn(m) tập đóng rời đơi nên f liên tục m m Fε = m=1 tập đóng Fε (b) Xét f hàm đo Lúc đó, theo Định lí 1.2.10 tồn dãy (ϕm )m dãy hàm đơn giản cho lim ϕm = f X Theo phần m→∞ chứng minh (a), với hàm đơn giản ϕm với m = 1, 2, tồn tập đóng Xn(m) ⊂ X cho ϕm liên tục Xn(m) µ(X \ Xn(m) ) < (n = n 1, 2, ) Không tổng quát, với m ∈ N∗ , giả sử (Xn(m) )n ⊂ Cd dãy tăng theo n Do đó, với m = 1, 2, ta có ∞ X\ Xn(m) ∞ (X \ Xn(m) ) =D (m) µD (m) (X \ Xn(m) ) = =µ n=1 n=1 Theo Mệnh đề 2.2.11, với m, k ∈ N∗ , tồn dãy tăng nm (k) cho nm (k) ≤ nm (k + 1) ∞ (m) X \ Xnm (k) ) < k m=1 µ( ∞ (m) Xnm (k) , k = 1, 2, Khi đó, (Hk ) ⊂ Cd (Hk ) dãy tăng Đặt Hk = m=1 Ta có ∞ µ(X \ ∞ (m) Hk ) ≤ µ(X \ Hk ) = µ X \ Xnm (k) m=1 k=1 ∞ (m) = µ( X \ Xnm (k) ) < (k = 1, 2, ) k m=1 Do (2.22) ∞ lim µ X \ k→∞ Hk = k=1 Vì ϕm liên tục Xn(m) Hk ⊂ Xn(m) (k = 1, 2, ) nên ϕm liên tục m m Hk (k = 1, 2, ) Mặt khác, 66 lim ϕm = f X , theo Định lí 2.2.13, tồn dãy tăng (Xk )k ⊂ Cd thỏa mãn µ(X \ Xk ) < ϕm ⇒ f Xk (k = 1, 2, ) k m→∞ Do ∞ ∞ X \ Xk ∞ X \ Xk = X \ k=1 Xk , µ(X \ k=1 Xk ) = k=1 ϕm ⇒ f Xk với k = 1, 2, Vì µ khơng-cộng tính yếu nên ∞ ∞ Hk ) ∪ (X \ µ (X \ k=1 Xk ) = k=1 Mặt khác ∞ (X \ Hk ) ∪ (X \ Xk ) (X \ ∞ Hk ) ∪ (X \ k=1 Xk ) k=1 liên tục thứ tự mạnh (do µ thỏa mãn điều kiện [E]) nên lim µ (X \ Hk ) ∪ (X \ Xk ) = k→∞ Do đó, lim µ X \ (Hk ∩ Xk ) = k→∞ Suy ra, với ε > 0, tồn k◦ cho µ X \ (Hk◦ ∩ Xk◦ ) < ε Đặt Fε = Hk◦ ∩ Xk◦ Fε tập đóng µ(X \ Fε ) < ε Bây giờ, ta cần f liên tục Fε Vì Fε ⊂ Hk◦ ϕm liên tục Hk◦ nên ϕm liên tục Fε Mặt khác, Fε ⊂ Xk◦ ϕm ⇒ f Xk◦ nên f liên tục Fε Theo Định lí 2.1.6 (ii)), Mệnh đề 1.3.7 (ix)) Định lí 2.2.14 ta có định lí sau Định lí 2.2.15 Cho µ độ đo mờ khơng gian đo (X, Bd ) f ∈ F Giả sử rằng, µ thỏa mãn điều kiện sau i) µ nửa liên tục dưới, vét cạn có tính chất [p.g.p.]; ii) µ liên tục thứ tự mạnh, khơng-cộng tính yếu có tính chất [S]; 67 iii) µ khơng-cộng tính yếu, thỏa mãn điều kiện [E] có tính chất [S] Khi đó, với ε > 0, tồn tập đóng Fε ∈ Cd cho µ(X \ Fε ) < ε f liên tục Fε 68 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn tìm hiểu độ đo mờ, khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo được, số tính chất dạng hội tụ cho dãy hàm đo định lí hội tụ theo độ đo mờ: Định lí Egorov Định lí Lusin Luận văn đạt số kết sau: + Trình bày cách có hệ thống kiến thức độ đo, độ đo mờ, khái niệm hội tụ cho dãy hàm đo được, số tính chất dạng hội tụ cho dãy hàm đo + Trình bày ba điều kiện cần đủ để hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần + Trình bày Định lí Egorov thuộc tính giả-hội tụ Định lí Egorov độ đo mờ liên tục + Trình bày Định lí Lusin độ đo mờ liên tục Định lí Lusin độ đo mờ tùy ý Trong trình thực luận văn, tác giả nhận thấy số vấn đề nêu luận văn cần thêm thời gian nhiều nỗ lực để tiếp tục hoàn chỉnh hiểu rõ ràng sâu sắc Mặc dù cố gắng nghiêm túc trình học tập nghiên cứu khoa học, thời gian khả hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Lương Hà (2013), Giáo trình “Độ Đo Tích Phân”, Dự án PT GV THPT TCCN [2] Lương Hà (2002), Cơ sở giải tích đại, ĐHSP Huế Tiếng Anh: [3] J Li, R Mesiar, E Pap, E.P Klement (2015), Convergence theorems for monotone measures, Fuzzy Sets Systems 281, pp 103–127 [4] Masayuki Takahashi (2013), New necessary and sufficient condition for convergence theorem with respect to non-additive measure, Doctoral Thesis, Tokyo Institute of Technology [5] J Li (2003), On Egoroff’s theorems on fuzzy measure spaces, Fuzzy Sets Systems 135, pp 367–375 [6] P.R Halmos (1968), Measure Theory, Van Nostrand, New York [7] J Li, M Yasuda, Q Jiang, H Suzuki, Z Wang, G.J Klir (1997), Convergence of sequence of measurable functions on fuzzy measure, Fuzzy Sets and Systems 87, B G Teubner, Stuttganrt [8] Q Jiang, S Wang, D Ziou (1999), A further investigation for fuzzy measures on metric spaces, Fuzzy Sets Systems 105, pp 293–297 [9] J Li, M Yasuda (2004), Egoroff’s theorems on monotone non-additive measure space, Int J Uncertain Fuzziness Knowl.-Based Systems, pp 61–68 70 [10] J Li, M Yasuda (2004), Lusin’s theorem on fuzzy measure spaces, Fuzzy Sets Systems 146, pp 121–133 [11] J Li, M Yasuda (2005), On Egoroff’s theorems on finite monotone nonadditive measure space, Fuzzy Sets Systems 153, pp 71–78 [12] M Takahashi, T Murofushi, S Asahina (2014), A new necessary and sufficient condition for the Egoroff theorem in non-additive measure theory, Fuzzy Sets Systems 244, pp 34–40 71 ... 28 Chương Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ 2.1 Định lí Egorov độ đo mờ 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần Định nghĩa 2.1.1 Cho µ độ đo mờ không gian đo (X, A) Độ đo mờ µ thỏa mãn:... 20 1.5 Một số tính chất dạng hội tụ cho dãy hàm đo 22 Một số định lí hội tụ theo độ đo mờ 2.1 2.2 29 Định lí Egorov độ đo mờ 29 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần... lí hội tụ theo độ đo mờ: Định lí Egorov Định lí Lusin Bao gồm nội dung: i) Hội tụ hầu khắp nơi kéo theo hội tụ gần ii) Định lí Egorov thuộc tính giả -hội tụ iii) Định lí Egorov độ đo mờ liên tục