Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K23 Cán hướng dẫn: PGS.TS PHAN NHẬT TĨNH Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Phan Nhật Tĩnh Thầy giao đề tài, hướng dẫn em suốt q trình hồn thực luận văn Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm Huế dạy học giúp đỡ em thời gian qua Thừa Thiên Huế, tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Ngọc Uyển Nhi Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu trơn không trơn phát triển mạnh mẽ với nhiều kết đẹp đẽ phong phú Lý thuyết điều kiện cấp toán tối ưu đa mục tiêu phận quan trọng lý thuyết tối ưu Trong năm qua, có quan tâm ngày nhiều điều kiện cấp tốn tối ưu bên cạnh vai trị kiểm tra tính tối ưu, đặc biệt khơng có giả thiết lồi (từ điều kiện cần ta có tập điểm dừng mà bao hàm nghiệm toán tối ưu, điều kiện đủ tối ưu cấp cho phép ta tìm nghiệm tốn đó), điều kiện cấp hai sở cho việc thiết kế thuật toán tối ưu đồng thời trợ giúp cho việc nghiên cứu tính nhạy cảm nghiệm tối ưu tốn có nhiễu Vì lí trên, chọn đề tài cho luận văn cao học “ Điều kiện tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu” Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Các khái niệm lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Chương 2: Điều kiện cần tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập hợp Chương 3: Điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập hợp trường hợp không ràng buộc tập hợp Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 Mục lục Các khái niệm lý thuyết tối ưu đa mục tiêu §1 Quan hệ thứ tự phần Rm §2 Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu Điều kiện cần tối ưu cấp hai tốn tối ưu đa mục tiêu §1 Tập tiếp xúc, Tập tuyến tính cấp cấp §2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai tốn có ràng buộc tập hợp 14 §3 Định lý Motzkin 18 §4 Ứng dụng định lý Motzkin vào điều kiện cần toán tối ưu cấp 25 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu 28 §1 Điều kiện đủ toán tối ưu cấp hai 29 §2 Trường hợp tốn khơng ràng buộc tập hợp 31 Chương Các khái niệm lý thuyết tối ưu đa mục tiêu §1 Quan hệ thứ tự phần Rm Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai Rm tập hợp không rỗng R Rm × Rm , ta viết xRy với (x, y) ∈ R b) Một quan hệ hai ≤ Rm gọi thứ tự phần với x, y, z, w ∈ Rm , tính chất sau thỏa mãn: i) x ≤ x (Tính phản xạ) ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (Tính bắc cầu) iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (Tính tương thích theo phép cộng) iv) x ≤ y, α ∈ R+ ⇒ αx ≤ αy (Tính tương thích theo nhân tử vơ hướng) c) Thứ tự phần ≤ Rm gọi phản đối xứng nếu: ∀x, y ∈ Rm , x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian tuyến tính Rm trang bị quan hệ thứ tự phần gọi khơng gian tuyến tính thứ tự phần ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Thứ tự phần Rm mà ta gọi thứ tự tự nhiên ≤m xác định bởi: ≤m = {(x, y) ∈ Rm × Rm |xi ≤ yi , ∀i = 1, , m} Định nghĩa 1.1.3 a) Một tập hợp C ⊂ Rm gọi lồi với x, y ∈ C λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C b) Một tập hợp khơng rỗng K ⊂ Rm gọi nón với điểm k ∈ K λ ≥ 0, ta có λk ∈ K , K tập lồi gọi nón lồi c) Nón K gọi nón nhọn K ∩ (−K) = {0} Nhận xét: Trong không gian hữu hạn chiều Rm , mặt phẳng, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, hình cầu cho ta hình ảnh tập lồi Chú ý 1.1.4 i) Quan hệ thứ tự phần mơ tả nón lồi Bất kỳ thứ tự phần ≤ Rm xác định nón lồi: K = {x ∈ Rm |0m ≤ x} Và nón lồi K ⊂ Rm , gọi nón thứ tự, xác định thứ tự phần Rm bởi: ≤K = {(x, y) ∈ Rm × Rm |y − x ∈ K} ii) Như vậy, cho nón lồi K ⊂ Rm xác định Rm quan hệ thứ tự: ∀x, y ∈ Rm : x ≤K y ⇔ y − x ∈ K Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU §2 Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu 2.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.2.1 Cho T tập hợp khác rỗng khơng gian tuyến tính Rm thứ tự phần nón lồi K Điểm y ∈ T gọi K-điểm cực tiểu tập hợp T nếu: (y − K) ∩ T ⊂ y + K (1) Nếu K nhọn (1) tương đương với: y¯ −k ∈ y¯ +K ⇒ k = ⇒ y¯ −k = y¯ nên (y − K) ∩ T = {y} Hình 1.1: K-điểm cực tiểu y¯ Điểm y˜ ≤K y Cho f : Rn → Rm Ω ⊂ Rn Giả sử Rm thứ tự nón lồi K Xét toán tối ưu đa mục tiêu sau:    min f (x) (MOP)   x ∈ Ω Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định nghĩa 1.2.2 Một điểm x ¯ ∈ Ω gọi nghiệm cực tiểu (hoặc nghiệm hữu hiệu K-cực tiểu) toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K f (¯ x) K-điểm cực tiểu tập hợp f (Ω) (f (¯ x) − K) ∩ f (Ω) ⊂ f (¯ x) + K Chú ý 1.2.3 i) Tập hợp tất nghiệm cực tiểu theo nón K ký hiệu M(f (Ω), K) ii) Tập hợp ảnh tập hợp nghiệm cực tiểu ký hiệu là: ε(f (Ω), K) = {f (x)|x ∈ M(f (Ω), K)} Khi ε(f (Ω), K) cịn gọi tập giá trị hữu hiệu Mỗi điểm y¯ ∈ ε(f (Ω), K) gọi giá trị K-cực tiểu (hay hữu hiệu theo nón K) iii) Với K = Rm + K-điểm cực tiểu cịn gọi điểm cực tiểu Edgeworth-Pareto (EP-điểm cực tiểu) iv) Hình 1.2 ví dụ tốn tối ưu đa mục tiêu với số chiều n = Tập hợp Ω f (Ω) nón nhọn thứ tự Tập giá trị hữu hiệu biểu thị đường dày Hình 1.2: Giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định nghĩa 1.2.4 Cho K nón nhọn, lồi, với int(K) = ∅ Điểm x¯ ∈ Ω gọi nghiệm cực tiểu yếu (MOP) theo K nếu: (f (¯ x) − int(K)) ∩ f (Ω) = ∅ Chú ý 1.2.5 i) Tập hợp tất nghiệm cực tiểu yếu theo nón K (cịn gọi K-điểm cực tiểu yếu) ký hiệu Mw (f (Ω), K) ii) Tập hợp ảnh tập hợp điểm cực tiểu yếu là: εw (f (Ω), K) = {f (x)|x ∈ Mw (f (Ω), K)} gọi tập hợp giá trị hữu hiệu yếu theo nón K iii) K-điểm cực tiểu yếu điểm cực tiểu theo nón int(K) ∪ {0m }, đó, Mw (f (Ω), K) = M(f (Ω), int(K) ∪ {0m }) Với tốn tối ưu đa mục tiêu, ta có khái niệm cực tiểu địa phương: Định nghĩa 1.2.6 Cho K nón nhọn, lồi với int(K) = ∅ Điểm x ¯ ∈ Ω gọi nghiệm cực tiểu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K tồn lân cận U x ¯ cho y ∈ f (Ω ∩ U )\{f (¯ x)} với f (¯ x) ∈ y + K Điểm x ¯ ∈ Ω gọi nghiệm cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K tồn lân cận U x¯ cho khơng có y ∈ f (Ω ∩ U ) với f (¯ x) ∈ y + intK Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 2.2 Các tính chất Bổ đề 1.2.7 Cho K1 K2 nón lồi với K1 ⊂ K2 Khi đó: M(f (Ω), K2 ) ⊂ M(f (Ω), K1 ) Chứng minh: ∀¯ x ∈ M(f (Ω), K2 ) (f (¯ x) − K2 ) ∩ f (Ω) ⊂ f (¯ x) + K Lấy y ∈ (f (¯ x) − K1 ) ∩ f (Ω) nên ∃k1 ∈ K1 cho: y = f (¯ x) − k1 y ∈ f (Ω) Vì K1 ⊂ K2 nên k1 ∈ K2 suy y = f (¯ x) − k1 ∈ (f (¯ x) − K2 ) y ∈ f (Ω) Vậy y ∈ (f (¯ x) − K2 ) ∩ f (Ω) nên: (f (¯ x) − K1 ) ∩ f (Ω) ⊂ (f (¯ x) − K2 ) ∩ f (Ω) ⊂ f (¯ x) + K Do đó, x ¯ ∈ M(f (Ω), K1 ) Kết phát biểu tương tự với tập hợp nghiệm cực tiểu yếu Hệ 1.2.8 Cho K1 K2 nón lồi, nhọn, phần khác rỗng K1 ⊂ K2 Khi đó: Mw (f (Ω), K2 ) ⊂ Mw (f (Ω), K1 ) Chứng minh: Với K1 ⊂ K2 dẫn đến int(K1 ) ⊂ int(K2 ) đó: Mw (f (Ω), K2 ) = M(f (Ω), int(K2 ) ∪ {0m }) ⊂ M(f (Ω), int(K1 ) ∪ {0m }) = Mw (f (Ω), K1 ) Hệ 1.2.9 Cho K nón lồi, nhọn, phần khác rỗng Khi đó: i) M(f (Ω), K) ⊂ Mw (f (Ω), K) ii) ε(f (Ω), K) ⊂ εw (f (Ω), K) Chứng minh: Do int(K) ∪ {0m } ⊂ K nên: M(f (Ω), K) ⊂ M(f (Ω), int(K) ∪ {0m }) = Mw (f (Ω), K) Do với ε(f (Ω), K) = {f (x)|x ∈ M(f (Ω), K)} ε(f (Ω), K) ⊂ εw (f (Ω), K) Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU i) (a) ⇒ (b) Vì B + D tập lồi đa diện nếu: ∃x ∈ Rn cho ψ(x) + z0 ∈ B + D (29) Theo Định lý 2.3.3, tồn (λ, µ1 , à2 ) Rp+ ì Rs+ ì Rr , λ = cho (26) thỏa α0 = λ, y0 + µ1 , z1 + µ2 , z2 ≥ σB (µ) = (Do B = {(0s , 0r )}) Nếu (29) sai theo bổ đề 2.3.2(ii), tn ti (à1 , à2 ) Rs+ ì Rr , (µ1 , µ2 ) = (0, 0) cho µ1 ◦ ψ1 + µ2 ◦ ψ2 = α0 = µ1 , z1 + µ2 , z2 > σB+D (µ) Từ bất đẳng thức này, Bổ đề 2.3.1, ta có: µ ∈ D− α0 > σB (µ) = Cuối cùng, cho λ = 0, tất điều kiện thỏa mãn ii) (b)⇒(a) Nếu λ = áp dụng Định lý 2.3.3 suy điều cần chứng minh Nếu λ = từ (26) ta có µ ◦ ψ = từ (27)-(28), ta có µ, z0 = α0 > = σB (µ) Do đó, với µ = áp dụng Định lý 2.3.3 Bổ đề 2.3.2(ii): khơng có x ∈ Rn cho: ϕ(x) + y0 ∈ −intC = −intRm + ψ(x) + z0 = (ψ1 + z1 , ψ2 + z2 ) ∈ B + D = Rs− × {0r } Suy ra: ϕ(x) + y0 < 0, ψ1 + z1 ≤ 0, ψ2 + z2 = với ψ = (ψ1 , ψ2 ), z0 = (z1 , z2 ) Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 24 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU §4 Ứng dụng định lý Motzkin vào điều kiện cần toán tối ưu cấp Cho f : Rn → Rm g : Rn → Rp hàm khả vi cấp 2, Rm thứ tự nón K lồi, nhọn với phần khơng rỗng Cho Q ⊂ Rp , Ω = g −1 (Q) Xét toán (MOP):    min f (x)   x ∈ Ω Định lý 2.4.1 (Quy tắc Lagrange) Cho x ¯ nghiệm cực tiểu yếu toán (MOP) v ∈ C(Ω, x¯) ∩ [C(f, x¯)\C0 (f, x¯)] Giả sử, T (Q, g(¯ x)) lồi Q T -ổn định (g(¯ x), g (¯ x)v) Nếu (SOACQ) thỏa (¯ x, v) với tập lồi τ (v) khác rỗng T (Q, g(¯ x), g (¯ x)v), tn ti (, à) Rm ì Rp , vi (λ, µ) = (0, 0) cho: λ ∈ K + , µ ∈ N (Q, g(¯ x)) (30) λ ◦ f (¯ x) + µ ◦ g (¯ x) = (31) λ, f (¯ x)(v, v) + µ, g (¯ x)(v, v) ≥ sup µ, z (32) z∈τ (v) Nếu thêm vào ràng buộc sau thỏa:    ∃w ∈ Rn cho (33)   g (¯ x)w + g (¯ x)(v, v) ∈ ri[τ (v) + T (T (Q, g(¯ x)), g (¯ x)v)] Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 25 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU hay    τ (v) + T (T (Q, g(¯ x)), g (¯ x)v) tập lồi đa diện     tồn w ∈ Rn cho:      g (¯ x)w + g (¯ x)(v, v) ∈ τ (v) + T (T (Q, g(¯ x)), g (¯ x)v) (34) tồn (λ, µ) ∈ Rm × Rp , λ = thỏa (30)-(32) Chứng minh: Đặt:    y0 = f (¯ x)(v, v), ϕ(w) = f (¯ x)w, C = cone(K + f (¯ x)v)        z0 = g (¯ x)(v, v), ψ(w) = g (¯ x)w (37)    B = τ (v), K = T (T (Q, g(¯ x)), g (¯ x)v)       B ˜ = T (Q, g(¯ x), g (¯ x)v) Rõ ràng giả thiết (A)(i)-(v) phần điều kiện (a) Định lý 2.3.3 thỏa mãn, xét hệ phương trình định lý 2.3.3 §3:    ϕ(w) + y0 ∈ −intC (1)   ˜ ψ(w) + z0 ∈ B (2) nghĩa là:    f (¯ x)w + f (¯ x)(v, v) ∈ −intcone(K + f (¯ x)v) (36)   g (¯ x)w + g (¯ x)(v, v) ∈ T (Q, g(¯ x), g (¯ x)v) Từ (1) ⇒ w ∈ C02 (Ω, x ¯, v) Từ (2) ⇒ w ∈ C (Ω, x ¯, v) = T (Ω, x¯, v) (do (SOACQ) (¯ x, v)) Vơ lý từ định lý 2.2.2 §2 với x ¯ nghiệm cực tiểu tốn T (Ω, x¯, v) ∩ C02 (Ω, x¯, v) = ∅ nên hệ phương trình (36) vơ nghiêm Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 26 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Nếu (33) sai, nghĩa khơng có w ∈ Rn cho ψ(w) + z0 ∈ ri(B + D) áp dụng Bổ đề 2.3.2(i) §3, tồn µ ∈ Rp , µ = cho µ◦ψ = 0, µ, z0 ≥ σB+D (µ) Áp dụng bổ 2.3.1 ca Đ3, D thỡ à, z0 ≥ σB (µ) µ ◦ ψ = tức µ, g (¯ x)(v, v) ≥ supz∈τ (v) µ, z với B = τ (v) µ ◦ g (¯ x) = Với λ = điều kiện (30)-(32) thỏa mãn vì: D− = T (T (Q, g(¯ x)), g (¯ x)v)− = {µ ∈ N (Q, g(¯ x)) : µ, g (¯ x)v = 0} (37) (Do g (¯ x)v ∈ T (Q, g(¯ x) nên µ ∈ D− µ ∈ T (Q, g(¯ x)− = N (Q, g(¯ x) với µ, g (¯ x)v = 0) Chứng minh tương tự B + D đa diện (34) sai Vì vậy, giả sử (33) (34) Khi đó,áp dụng nh lý 2.3.3, tn ti (, à) Rp ì Rp , λ = cho: λ ∈ C + = {λ ∈ K + : λ, f (¯ x)v = 0}, µ ∈ D− D− cho (37) Ta có:    λ ◦ ϕ + µ ◦ ψ =    λ, y0 + µ, z0 ≥ σB (µ) hay    λ ◦ f (¯ x) + µ ◦ g (¯ x) =    λ, f (¯ x)(v, v) + µ, g (¯ x)(v, v) ≥ supz∈τ (v) µ, z Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 27 Chương Điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu Các khái niệm, kết chương trích dẫn từ báo [2] mục tài liệu tham khảo Xét toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) sau:    min f (x)   x ∈ Ω Trong đó, f : Rn → Rm hàm khả vi cấp 2, Rm thứ tự nón K lồi, nhọn với phần khơng rỗng Ở chương này, ta xét nón K = Rm + , vậy, tốn (MOP) cịn gọi toán tối ưu đa mục tiêu Edgeworth-Pareto K-điểm cực tiểu tốn (MOP) cịn gọi EP-điểm cực tiểu Cho x ¯ ∈ Ω, v ∈ Rn , đặt I(¯ x, v) = {i ∈ I, fi (¯ x)v = 0}, I = {1, 2, , m}, f = (f1 , f2 , , fm ) Bây giờ, ta khảo sát điều kiện đủ toán tối ưu đa mục tiêu Edgeworth-Pareto 28 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU §1 Điều kiện đủ toán tối ưu cấp hai Định lý 3.1.1 Cho x ¯ ∈ Ω Nếu với hướng = v ∈ C1 (f, x¯) ∩ T (Ω, x¯), điều kiện: max [fi (¯ x).w + fi (¯ x)(v, v)] > (38) i∈I(¯ x,v) thỏa mãn với w ∈ T (Ω, x ¯, v) cho w, v = điều kiện: max [fi (¯ x).w] > (39) i∈I(¯ x,v) ¯, v) cho w, v = x¯ thỏa mãn với = w ∈ T02 (Ω, x EP-nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Chứng minh: Giả sử x ¯ không nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Khi đó, tồn dãy (xn ) ⊆ Ω với xn → x ¯ cho f (xn ) = f (¯ x) fi (xn ) ≤ fi (¯ x) với i ∈ I Đặt tn = ||xn − x ¯|| = tn−1 (xn − x¯) Lấy dãy thích hợp, ta có: xn − x¯ tn → 0+ → v (trong v vectơ đơn vị = = tn xn − x¯ ) ||xn − x¯|| Vì v ∈ T (Ω, x ¯) dễ dàng thấy v ∈ C1 (f, x¯) − v Chọn sn = |vn − v|| wn = theo Mệnh đề 2.1.3 §1 sn Chương 2, ta có: xn = x¯ + tn v + tn sn wn ∈ Ω với wn → w với số w = sn → 0+ (ngoại trừ sn = 0) Vậy: = sn wn + v suy ||vn ||2 = ||sn wn + v||2 = ||v||2 + ||sn wn ||2 + 2sn wn v Do v véc-tơ đơn vị (||vn || = ||v|| = 1) nên: wn v = − sn ||wn ||2 Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 29 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU − v nên ||wn || = sn = |||vn − v|| → (do → v ) ||vn − v|| Khi đó: w.v = Cho i ∈ I(¯ x, v), ta có: Do wn = > 2t−2 x)] n [fi (xn ) − fi (¯ = 2t−1 x).wn +fi (¯ x)(v, v)+2sn fi (¯ x)(v, wn )+2s2n fi (¯ x)(wn , wn )+εn n sn fi (¯ (40) Với εn → sn → 0: Nếu t−1 n sn → r với số r ≥ n → +∞ Từ (40), ta có: ≥ fi (¯ x).2rw + fi (¯ x)(v, v) (41) Nếu t−1 n sn → r theo Mệnh đề 2.1.3 §1 Chương 2: 2rw ∈ T (Ω, x¯, v) Khi đó, (41) mâu thuẫn với giả thiết (38) tn s → +∞ Nếu t−1 → nên w ∈ T02 (Ω, x¯, v) (theo Mệnh đề 2.1.3 n n sn §1 Chương 2) Vì từ (39) fi (¯ x).w > với số i ∈ I(¯ x, v) t−1 x).wn → +∞, điều mâu thuẫn với (40) n sn fi (¯ Vậy x ¯ nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 30 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU §2 Trường hợp tốn khơng ràng buộc tập hợp Định lý 3.1.1 cho ta điều kiện đủ toán EP-tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc Ω ⊂ Rn Giả sử, Ω = Rn tốn (MOP) trở thành tốn tối ưu khơng ràng buộc Bây giờ, dựa vào Định lý 3.1.1, ta khảo sát điều kiện đủ với toán EP-tối ưu đa mục tiêu không ràng buộc Định lý 3.2.1 Lấy Ω = Rn x ¯ ∈ Rn Nếu (38) thỏa với hướng = v ∈ C1 (f, x¯) w ∈ Rn cho w.v = x¯ EP-nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) Chứng minh: Giả sử x ¯ không nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) nên tồn tn → 0+ → v với v = cho xn = x¯ + tn thỏa f (xn ) = f (¯ x) fi (xn ) ≤ fi (¯ x) với i ∈ I Vì 1 x)(vn , ) + tn εkn ≥ t−1 x)] = fi (¯ x).vn + tn fi (¯ n [fi (xn ) − fi (¯ 2 (42) Với εkn → n → +∞, ta có: f (¯ x)vn ≤ ⇒ f (¯ x)v ≤ nên v ∈ C1 (f, x¯) Do từ giả thiết I(¯ x, v) = ∅ Ta có hệ:    fi (¯ x).w + fi (¯ x)(v, v) ≤ 0, i ∈ I(¯ x, v)   w.v = khơng có nghiệm w ∈ Rn Vì vậy, định lý Gale [xem 2.4.10 Mangasarian 1969] tồn số θi ≥ cho: θi fi (¯ x) + θ0 v = (43) i∈I(¯ x,v) Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 31 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU θi fi (¯ x)(v, v) > (44) i∈I(¯ x,v) Vì i ∈ I(¯ x, v) fi (¯ x)v = nên: θi fi (¯ x).v + θ0 v.v = θ0 ||v||2 = 0.v = i∈I(¯ x,v) θi fi (¯ x) = Suy θ0 = 0, từ (43) ta có: Vì vậy, từ (42), nhân vế i∈I(¯ x,v) cho 2t−1 n θi ta có: θi fi (¯ x)(vn , ) + εkn 0≥ i∈I(¯ x,v) Cho n → +∞ với εkn → ≥ θi f (¯ x)(v, v) ta suy điều mâu i∈I(¯ x,v) thuẫn với (44) Ở định lý 3.1.1, từ (38), ta thấy điều kiện x ¯ nghiệm cực tiểu địa phương (MOP) thỏa với điều kiện = v ∈ C1 (f, x ¯) ∩ T (Ω, x¯) = w ∈ T02 (Ω, x¯, v) Bây giờ, ta khảo sát mở rộng định lý 3.1.1 trường hợp không ràng buộc Ω = Rn qua mệnh đề sau đây: Mệnh đề 3.2.2 Cho hướng = v¯ ∈ C1 (f, x ¯) Nếu: max[fi (¯ x)w] ≥ i∈I (45) thỏa với w ∈ Rn điều kiện: fi (¯ x)(v, v) > (46) i∈I(¯ x,v) thỏa với v¯, (38) thỏa với v¯ w ∈ Rn Chứng minh: Giả sử rằng, ∃w ¯ ∈ Rn cho: fi (¯ x).w¯ + fi (¯ x)(v, v) ≤ Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 32 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU thỏa với i ∈ I(¯ x, v¯) Từ (46) ta có: fi (¯ x)(v, v) > nên fi (¯ x).w¯ < với i ∈ I(¯ x, v¯) Nếu tập hợp tồn I, rõ ràng w ¯ mâu thuẫn với (45) Mặt khác, tập hợp không toàn I, đặt: τ= f (¯ x).¯ v − i :i∈ / I(¯ x, v¯), fi (¯ x).w¯ > fi (¯ x).w¯ (47) Khi đó, i ∈ / I(¯ x, v¯), fi (¯ x).w¯ > 0, từ (47): τ fi (¯ x).w¯ < − fi (¯ x).¯ v nên: x)¯ v < fi (¯ x).(¯ v + τ w) ¯ = fi (¯ x).¯ v + τ fi (¯ x).w¯ ≤ fi (¯ Vì vậy, v¯ + τ w ¯ không thỏa mãn (45), mẫu thuẫn với giả thiết Ví dụ 3.2.3 Xét tốn (MOP) với n = 2, l = 2, Ω = R2 và: f1 (x1 , x2 ) = x2 , f2 (x1 , x2 ) = x21 − x2 Thật dễ dàng để kiểm tra x ¯ = (0, 0) điểm vec-tơ cực tiểu Tuy nhiên, chọn v = với v ∈ R × {0}, điều kiện (46) trở thành: min{0, 2v12 } > Rõ ràng điều không thỏa min{0, 2d21 } = Ngược lại, xét (38) ta có: max{w2 , −w2 + 2v12 } > không thỏa với hướng giảm v = w ∈ R2 Ví dụ 3.2.4 Xét tốn (MOP) với n = 2, l = 3, Ω = R2 và: f1 (x1 , x2 ) = x1 sin x2 , f2 (x1 , x2 ) = x1 +x22 , f3 (x1 , x2 ) = −(sin x1 +sin x2 ) Vì f1 f3 âm f3 đồng dọc theo đường thẳng mô tả điểm xt = (−t, t) với t ∈ (0, 1) x ¯ = (0, 0) khơng phải cực Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 33 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU tiểu địa phương vec-tơ (MOP) Điều dễ dàng kiểm tra (45) thỏa với w ∈ Rn Chọn v = với v ∈ C1 (f, x ¯) = {v ∈ R2 : v1 ≤ 0, v1 + v2 ≥ 0, v2 ≥ 0}, ta có ∈ K(¯ x, v¯) và: f1 (¯ x)(¯ v , v¯) = 2v¯1 v¯2 > trừ v¯1 = (chú ý v¯2 = bao hàm v1¯v1 = 0) Trong trường hợp ∈ I(¯ x, v¯) ta có: f2 (¯ x)(¯ v , v¯) = 2v¯2 > Vì vậy, ta có max fi (¯ x)(v, v) > thỏa với v ∈ C1 (f, x¯) i∈I(¯ x,v) Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 34 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KẾT LUẬN 1.Bài nghiên cứu thu kết quả: Chỉ khái niệm lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Chỉ mệnh đề, định lý, hệ liên quan đến điều kiện cần đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu Các mệnh đề, định lý, hệ luận văn chứng minh cách rõ ràng, chi tiết, cụ thể Đưa ứng dụng vào trường hợp đặc biệt từ điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu Hạn chế đề tài: Chưa phát điều điều kiện cần đủ lý thuyết tối ưu đa mục tiêu thời gian nghiên cứu ngắn Phần điều kiện đủ lý thuyết tối ưu đa mục tiêu khảo sát trường hợp cho nón K = Rm + Hướng giải đề tài: Hy vọng thời gian có điều kiện nghiên cứu sâu hơn, em quay lại vấn đề mức độ cao Do thời gian nghiên cứu lực cịn hạn chế nên nội dung hình thức đề tài khơng tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy bạn quan tâm, góp ý, bổ sung để hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 35 Tài liệu tham khảo [1] A.M.Geoffrion Proper efficiency and the theory of vector maximization J.Math.Anal.Appl 22: 618-630, 1968 [2] Bigi G., On Sucient Second Order Optimality Conditions in Multiobjective Optimization, Math Methods Oper Res., 63 (2006), 77-85 [3] Bigi G, Castellani M (2000) Second Order Optimality Conditions for differentiable Multiobjective problems RAIRO Oper Res 34:411-426 [4] Bonnans J-F, Cominetti R, Shapiro A (1999) Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets SIAM J.Optim 9(2): 466-492 [5] C.D.Aliprantis, M Florenzano, V.F.Martins-da Rocha, and R.Tourky.Equilibrium analysis in financial Markets with countably many securities J.Math.Econ., 40(6): 683-699, 2004 [6] Cominetti R (1990) Metric regularity, tangent sets, and second-order optimality conditions Appl.Math.Optim 21(3): 265-287 [7] Craven B-D (1995) Control and optimization Chapman and Hall mathematics, London 36 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU [8] Di S (1996) Classical optimality conditions under weaker assumptions SIAM J.Optim 6(1):178-197 [9] Flett T-M (1980) Differential analysis Cambridge University Press, Cambridge [10] Gabriele Eichfelder (2008), Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization, pp 3-20 [11] Huỳnh Thế Phùng (2012) Cơ sở giải tích lồi - Nhà xuất giáo dục Việt Nam [12] Jimenez B Novo V., Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimizaton, Math Meth.Oper.Res., 58 (2003), 299-317 [13] Kawasaki H (1988) Second-order necessary conditions of the KuhnTucker type under new constraint qualifications.J.Optim Theory Appl 57(2): 253-264 ă [14] K Lowner Uber monotone Matrixfunktionen.Math.Z,38: 177-216, 1934 [15] Penot J-P (1999) Second-order conditions for optimization problems with constraints SIAM J Control Optim 37(1): 303-318 [16] Penot J-P (2000), Recent Advances on second-order optimality conditions Lecture Notes in Econom and Math Systems 481: 357-380 [17] Rockafellar R-T (1970) Convex Analysis Princeton University Press, Princeton Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 37 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU [18] V Pareto Cours d’Econnomie Politique Librare Droz, Gen eve, 1964 (the first edition in 1896) [19] Wang SY (1991), Second order necessary and sufficient conditions in multiobjective programing Numer Func Anal Optim 12:237-252 [20] Y.Sawaragi, H.Nakayama, and T.Tanino Theory of Multiobjective Optimization Number 176 in science and engineering in Mathematics Academic Press, London, 1985) Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 38 ... fm ) Bây giờ, ta khảo sát điều kiện đủ toán tối ưu đa mục tiêu Edgeworth-Pareto 28 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU §1 Điều kiện đủ toán tối ưu cấp hai Định lý 3.1.1 Cho x ¯... dụng định lý Motzkin vào điều kiện cần toán tối ưu cấp 25 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu 28 §1 Điều kiện đủ tốn tối ưu cấp hai 29 §2 Trường... Ngọc Uyển Nhi-Luận văn Thạc sỹ 2017 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu trơn không trơn phát triển mạnh