Zirnbauer m r elektrodynamik ( 1998)(de)(213s) PE

Martin R Zirnbauer Elektrodynamik Juli 1998 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Inhaltsverzeichnis Mathematische Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 Euklidischer Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Linearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Alternierende Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Au eres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Inneres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Zuruckholen alternierender Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : Hodgescher Sternoperator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dichten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Vektorfelder und 1-Formen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Di erentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cartan-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Poincaresches Lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Pullback : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kurvenintegrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Flachen- und Volumenintegrale im E3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Integration von Di erentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Allgemeiner Satz von Stokes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Lie-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Stromformen und Stromlinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Laplace-Operator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 13 14 16 17 22 24 28 30 33 38 44 47 50 52 58 Prinzipien des Elektromagnetismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 1.1 Mathematischer Rahmen und Ma system : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung : : : : : : : : : : : : : : : 64 1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen MaxwellGleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 1.6 Flu linienbild : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 1.7 Axiom 4: Materialgesetze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 1.8 Energiesatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 1.9 Anschlu bedingungen an Grenz achen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86 VI Inhaltsverzeichnis 1.10 Elektrodynamik in Materie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 1.11 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98 ElektroMagnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101 2.1 Elementare Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.2 Magnetostatik: Messung von : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104 2.2 Poisson-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114 2.4 Randwertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.1 Die Greenschen Identitaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem : : : : : : : : 117 2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastrome : : : : : 122 2.5 Energiebetrachtungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.1 Kapazitatskoe zienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.2 Induktionskoe zienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128 Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 3.1 k-Komplexe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.1 Kapazitives Netzwerk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.2 Resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140 3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.3.3 Materialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.4 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147 3.5 Dynamik (diskret) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151 Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 4.2 Ebene Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.1 Ein Beispiel fur Pulserzeugung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.2 Skin-E ekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161 4.2.3 Brechung an ebenen Grenz achen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162 4.2.4 Losung der inhomogenen Wellengleichung : : : : : : : : : : : 162 4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.1 Losung der homogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms : : : : : : : : : : : : : : 168 4.3.3 Losung der inhomogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : 169 Inhaltsverzeichnis 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 VII Elektrische Dipolstrahlung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170 Strahlung einer beschleunigten Punktladung : : : : : : : : : : : : : : : 173 Beugungsphanomene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Symmetrien und Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Das Feynmansche Paradoxon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Geometrische Optik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178 Relativistisch kovariante Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 Der Minkowski-Raum M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 Die Poincare-Gruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180 Au erer Kalkul auf M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Kovariante Formulierung der Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : 183 Anschauliche Deutung mittels Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : 183 Altes relativistisch aufgewarmt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184 Transformationsverhalten der Felder und Strome : : : : : : : : : : : 186 5.8.1 Transformation des Viererstroms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186 5.8.2 Transformation der Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187 5.8.3 Aharonov-Casher-E ekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188 5.9 Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien : : : : : : : : : : : : : : 191 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : : : : 193 Erhaltene Strome : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 194 Ginzburg-Landau-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 Abelsches Higgs-Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 199 Quanten-Halle ekt und Chern-Simons-Wirkung : : : : : : : : : : : : 202 A Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Di erentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 205 Mathematische Grundlagen 0.1 Euklidischer Raum Perspektive Zur Formulierung der Elektrodynamik benotigen wir ein mathematisches Modell der physikalischen Raum-Zeit In der ersten Halfte dieser Vorlesung behandeln wir die Zeit separat vom Raum und modellieren den physikalischen Raum durch den dreidimensionalen Euklidischen Raum E3 In der zweiten Halfte werden wir dann zum Zweck der relativistisch kovarianten Formulierung der Elektrodynamik zu einer einheitlichen Beschreibung von Raum und Zeit ubergehen und die physikalische Raum-Zeit durch den vierdimensionalen Minkowski-Raum M4 modellieren (Wir wollen hier nur erwahnen, ohne darauf weiter einzugehen, da das MinkowskiModell adaquat ist, solange die raumkrummenden E ekte der Gravitation vernachlassigt werden konnen.) Beiden Modellen, E3 und M4 , liegt der Begri eines a nen Raumes zugrunde Der n-dimensionale a ne Raum An Der Begri des "Vektorraumes\ (oder linearen Raumes) wird als bekannt vorausgesetzt, und wir erinnern nur daran, da die "Vektoren\ genannten Elemente eines solchen Raumes addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden konnen Per De nition besteht nun ein a ner Raum nicht aus Vektoren, sondern aus Punkten, und die letzteren lassen sich nicht sinnvoll addieren Ein a ner Raum ist also kein Vektorraum, obwohl er zu einem solchen in enger Beziehung steht Jedem Paar von Punkten a und b eines a nen Raumes ist namlich in eindeutiger Weise ein Vektor zugeordnet Au erdem ist es moglich, zu einem Punkt a eines a nen Raumes einen Vektor v zu addieren, was einen neuen Punkt b = a + v zum Resultat hat Die Operation des Addierens von Vektoren zu Punkten ist assoziativ und fuhrt einen Punkt nur dann in sich uber, wenn der hinzugefugte Vektor der Nullvektor ist Diesen Sachverhalt fassen wir in der folgenden Denition zusammen: ein a ner Raum A ist ein Tripel (M V +), bestehend aus einer Punktmenge M , einem reellen Vektorraum V und einer Addition + : M V ! M , (a v) 7! a + v mit den Eigenschaften (1) a + (v + w) = (a + v) + w (a M v w V ) (2) a + v = a () v = (a M v V ) (3) zu jedem Paar a b M existiert ein v V mit b = a + v : Mathematische Grundlagen Der nach (2) eindeutige Vektor v von (3) hei t der "Di erenzvektor\ von a und b und wird mit b ; a bezeichnet Fur V = Rn ist A = (M V +) der n-dimensionale a ne Raum An Aufgabe 0.1.1 Gegeben sei ein Tripel von Punkten a b c M Deduzieren Sie aus den Axiomen (1)-(3) die Beziehung c ; a = (c ; b) + (b ; a) Unter der Geraden durch a in Richtung von v versteht man die Menge von Punkten der Form a + sv mit beliebigem s R Der von m Vektoren v1 :::Pvmm aufgespannte Spat mit Basispunkt p ist die Punktmenge faja = p + i=1 ti vi g fur t1 ::: tm Fur m = sprechen wir auch von einem Parallelogramm Ein a nes Koordinatensystem ist eine Gesamtheit (o e1 e2 ::: en ), bestehend aus einem ausgewahlten Punkt o M ("Koordinatenursprung\) P und n linear unabhangigen Elementen e1 ::: en von V Die durch a ; o = ni=1 xi ei einem Punkt a M zugeordneten Zahlen x1 ::: xn hei en a ne Koordinaten von a bezuglich (o e1 ::: en ) Eine a ne Abbildung : M ! M bildet Geraden auf Geraden ab e2 a x x1 o e1 Abbildung 0.1 A nes Koordinatensystem (o e1 e2 ) und a ne Koordinaten x1 , x2 eines Punktes a A2 Aufgabe 0.1.2 Zeigen Sie, da jede a ne Abbildung sich in der Form (p) = (o) + L(p ; o) ausdrucken la t, wobei o ein beliebig gewahlter Referenzpunkt und die Abbildung L : V ! V linear ist Euklidischer Vektorraum Der Di erenzvektorraum V eines a nen Raumes hat zu wenig Struktur, als da es moglich ware, Langen von Vektoren oder von Vektoren eingeschlossene Winkel zu messen Diese Moglichkeit wird erst durch die Einfuhrung eines positiv de niten Skalarprodukts h i ero net Ein Vektorraum V mit positiv de nitem Skalarprodukt h i hei t Euklidischer Vektorraum p Die Lange jvj eines Vektors v ist in diesem Fall erklart durch jvj = hv vi und der Winkel (u v) zwischen zwei Vektoren u und v durch cos (u v) = hu vi=jujjvj 0.2 Linearformen Der n-dimensionale Euklidische Raum En Unter einem Euklidischen Raum E versteht man einen a nen Raum A, dessen Di erenzvektorraum V die zusatzliche Struktur eines Euklidischen Vektorraums hat Der Abstand d(a b) zweier Punkte a b M wird durch d(a b) = jb ; aj erklart Der ndimensionale Euklidische Raum wird mit En bezeichnet Ein kartesisches Koordinatensystem von En ist ein a nes Koordinatensystem (o e1 ::: en ) mit der zusatzlichen Eigenschaft, da die Vektoren e1 ::: en eine Orthonormalbasis bilden: hei ej i = ij (i j = ::: n) : Hierbei ist ij Kroneckers Delta-Symbol, d.h ij = fur i = j , und ij = fur i 6= j Sind xi und yi die Koordinaten von a M und b M bezuglich eines solchen Systems, dann gilt: d(a b) = j(b ; o) ; (a ; o)j = v u n uX (xi ; yi )ei = t (xi ; yi )2 : n X i=1 i=1 Da d(a b)Pvon der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, folgt dasselbe fur ni=1 (xi ; yi )2 Euklidische Bewegungen Sei E ein Euklidischer Raum und : E ! E eine a ne Abbildung Wir nennen eine Euklidische Bewegung, wenn fur jedes Paar a b E gilt j (a) ; (b)j = ja ; bj : Euklidische Bewegungen lassen also den Abstand zwischen Punkten ungeandert Aus der Behauptung von Aufgabe 0.1.2 folgt, da jede Euklidische Bewegung in der Form (a) = (o) + R(a ; o) ausgedruckt werden kann, wobei die lineare Abbildung R : V ! V der Orthogonalitatsbedingung hRv1 Rv2 i = hv1 v2 i unterliegt Der Spezialfall R = id hei t Translation, fur (o) = o liegt eine Rotation mit Fixpunkt o vor 0.2 Linearformen Hier und im folgenden bezeichne V immer einen Vektorraum der Dimension n uber dem reellen Zahlenkorper R Eine Linearform auf V ist eine lineare Abbildung, die jedem Element von V eine reelle Zahl zuweist In Formeln schreiben wir :V !R v 7! (v) d.h wir bezeichnen die v V durch zugewiesene Zahl mit (v) Linearitat der Abbildung bedeutet, da fur alle u v V und x y R gilt: Mathematische Grundlagen (xu + yv) = x (u) + y (v) : Linearformen lassen sich wie Vektoren in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren: ( + )(v) := (v) + (v) (x )(v) := x (v) : Sie bilden also ihrerseits einen linearen Raum, den sogenannten "Dualraum\ von V , den wir mit L(V R) oder kurzer mit V bezeichnen Man sieht leicht, da V die gleiche Dimension wie V hat Damit ist schon alles gesagt, was es an dieser Stelle uber Linearformen zu wissen gibt, und wir konnten jetzt im Prinzip sofort zu Abschn 0.3 ubergehen Fur manche Zwecke ist es aber hilfreich, mit dem abstrakten Begri der Linearform eine anschauliche Vorstellung verbinden zu konnen Graphische Veranschaulichung Nach obiger De nition setzt der Begri der Linearform einen reellen Vektorraum V voraus und sonst nichts Um den Begri der Linearform graphisch zu veranschaulichen, ist es jedoch gunstig, V als den Di erenzvektorraum eines a nen Raumes A = (M V +) zu interpretieren, was wir hier tun wollen Ein Vektor v V la t sich dann als ein Pfeil au assen, der zwei Punkte von M miteinander verbindet Addition zweier Vektoren u und v erfolgt in diesem Bild dadurch, da man den Schaft des Pfeils von v durch Parallelverschiebung an die Spitze des Pfeils von u setzt.1 Der Summenvektor u + v ist dann derjenige Pfeil, der vom Schaft von u zur Spitze von v zeigt Dieser nutzlichen Veranschaulichung des Vektorbegri s und der Addition von Vektoren entspricht eine Vorstellung von Linearformen, die in Abb 0.2 illustriert ist +3 +2 a f o α Abbildung 0.2 A e +3 +2 b v +1 -1 -2 +1 -1 -2 o α nes Modell einer Linearform α(v)= 2,69 Abb 0.2 entsteht auf die folgende Weise Wir geben uns einen Punkt o und einen Vektor e vor und zeichnen die Gerade durch o in Richtung von e Diese Gerade nennen wir die "Nullgerade\ Nun nehmen wir einen zweiten, von e linear unabhangigen Vektor f , bringen den Schaft von f durch Parallelverschiebung auf irgendeinen Punkt (z.B o) der Nullgeraden und zeichnen die Gerade durch die Spitze von f in Richtung von e Dann schieben wir Parallelverschiebung beruht auf der algebraischen Relation b + v = a + v +(b ; a) 0.2 Linearformen den Schaft von f auf einen Punkt der so entstandenen "Einsgeraden\ und legen durch die Spitze von f wiederum eine Gerade in Richtung von e Diesen Proze setzen wir fort und produzieren auf diese Weise eine Schar durchnumerierter und paralleler Geraden, die wir mit bezeichnen (Abb 0.2a) Nach dieser vorbereitenden Konstruktion wahlen wir nun irgendeinen Vektor v R2 und bringen seinen Schaft (wiederum durch Parallelverschiebung) auf die Nullgerade (Abb 0.2b) Die Spitze von v wird dann im allgemeinen nicht auf einer der gezeichneten Geraden liegen, sondern auf einer gedachten Zwischengeraden, deren "Nummer\ durch lineare Interpolation bestimmbar ist in Abb 0.2b ware dies ungefahr die Gerade 2,69 Durch die Geradenschar wird also dem Vektor v die reelle Zahl 2,69 eindeutig zugeordnet Eine solche Zuordnung existiert o ensichtlich nicht nur fur v sondern fur jedes Element des R2 Die Geradenschar de niert folglich eine Abbildung von R2 nach R, und diese Abbildung ist per Konstruktion von linear Mit anderen Worten, die Geradenschar von Abb 0.2 veranschaulicht in graphischer Weise ein Element von L(R2 R) Ganz analog kann man sich die Elemente von L(R3 R) als Scharen paralleler Ebenen im dreidimensionalen a nen Raum, und allgemein die Elemente von L(Rn R) als Scharen von (n ; 1)-dimensionalen Hyperebenen im n-dimensionalen a nen Raum, vorstellen v Abbildung 0.3 Modell einer Linearform α L(R R) Der Wert von (v) wird festgestellt, indem man die von v durchsto enen Ebenen von abzahlt und linear interpoliert Der Pfeil von legt die positive Zahlrichtung fest Beispiel 0.2.1 In den Kursen fur Physik-Anfanger wird die physikalische Gro e "Kraft\ ublicherweise als Vektor eingefuhrt In der Tat ist in einem Euklidischen Raum jedem Kraftfeld eindeutig ein Vektorfeld zugeordnet Jedoch la t sich der Begri "Kraft\ bereits auf einem a nen Raum, d.h vor Einfuhrung eines Skalarprodukts mit Sinn erfullen Ein konservatives Kraftfeld wird namlich vollstandig charakterisiert durch die Arbeit, die aufzubringen ist, um einen Korper von einem Punkt zu einem anderen zu transportieren Fur ein homogenes Kraftfeld hangt diese Arbeit nur vom Di erenzvektor der beiden Punkte ab, nicht aber von ihrer individuellen Position Bewegt man den Korper zunachst von a nach b und dann von b nach c, so setzen sich die Arbeiten linear zusammen Ein homogenes Kraftfeld la t sich also als eine lineare Abbildung au assen, die jedem (Verschiebungs-)Vektor die Arbeit zuordnet, die beim Verschieben eines Korpers vom Schaft bis zur Spitze des Mathematische Grundlagen betre enden Vektors aufzubringen ist Kurz gesagt, ein homogenes Kraftfeld ist eine Linearform Beispiel 0.2.2 Es sei hier betont, da die De nition des Begri s der Linearform kein Skalarprodukt erfordert Fur dieses zweite Beispiel wollen wir aber den Vektorraum V dennoch mit einem Skalarprodukt h i versehen Auf V lassen sich dann Linearformen dadurch erzeugen, da man in das erste (oder das zweite) Argument des Skalarprodukts permanent einen fest gewahlten Vektor einsetzt: = hv i Ist speziell v = e ein Vektor der Lange Eins, dann entspricht die Linearform = he i fur V = R2 einer Geradenschar im E2 mit der Eigenschaft, da die Geraden der Schar auf e senkrecht stehen und Abstand Eins haben Basisdarstellung Sei e1 e2 ::: en eine Basis von V Die sogenannte \Dualbasis" ::: n von V wird eindeutig festgelegt durch die Forderung i (ej ) = i (i j = ::: n) j wobei ji Kroneckers Delta-Symbol ist Fur den Fall n = werden Basis und zugehorige Dualbasis in Abb 0.4 graphisch veranschaulicht.PSind ein Vektor v und eine Linearform in Basisdarstellung durch v = i vi ei und = P i i i gegeben, so folgt aus der De nition der Dualbasis sofort (v) = n X i=1 i vi : θ1 +2 +1 e1 -1 -2 θ2 e2 -1 +1 +2 +3 Abbildung 0.4 Basis und Dualbasis 0.3 Alternierende Multilinearformen In Abschn 0.2 haben wir Linearformen als lineare Abbildungen eines Vektorraums in die reellen Zahlen kennengelernt Solche Abbildungen konnen 6.3 Ginzburg-Landau-Theorie 195 @L ; i L = d L ! ^ @ (d !) d.h wir haben einen erhaltenen Strom gefunden: @L + i L T = ;L ! ^ @ (d erfullt dT = !) Anwendung auf die "reine\ Elektrodynamik: r L(A dA) = ; 12 "0 dA ^ ? dA : Hier ist: ; @L + i L @L T = ; L A ^ @ (d A) @ (dA) = +G ) ; T = ; (di + i d) A ^ G + 12 i (F ^ G) ; ; ; = ; i F ^ G + 12 (i F ) ^ G + 21 F ^ i G ; d i A ^ G ; ; ; dG=0 = F ^ i G ; 21 i F ^ G ; d i A ^ G : | {z =:T^ } ; Wegen der Exaktheit von ; d i A ^ G ist auch der "symmetrische\ ; ; Anteil T^ von T geschlossen, d.h es gilt dT^ = fur T^ = 21 F ^ i G ; 12 i F ^ G, wie wir oben schon auf direktem Wege gezeigt haben (Vgl auch Kap.??.) Allerdings hangt jede Umkehrung A = A F ] der Beziehung F = dA nichtlokal von F ab Die ``Lokalisierungshypothese'' favorisiert daher schon aus rein theoretischer Sicht T^ Bemerkung Wegen d d = sind erhaltene Stome durch dT = nur bis auf Addition einer exakten 3-Form bestimmt Welches T das richtige\ ist (d.h die korrekten Ausdrucke fur Energiestrom, Impulsstrom,"Drehimpulsstrom usw liefert), la t sich nicht aus allgemeinen Prinzipien deduzieren, sondern mu aus der Erfahrung entschieden werden 6.3 Ginzburg-Landau-Theorie (Anwendung des Variationsprinzips auf eine Gleichgewichtstheorie S ! H.) In einem supraleitenden Festkorper binden sich Elektronen zu sogenannten Als Cooper-Paare konnen sie sich verlustfrei durch den "Cooper-Paaren\ Festkorper bewegen, was zu widerstandslosem Strom u fuhrt Die magneto-statischen Eigenschaften von Supraleitern werden durch die Ginzburg-Landau-Gleichungen auf phanomenologische Weise beschrieben In der Ginzburg-Landau-Theorie geht man von einem Funktional fur die statische Energie des Supraleiters aus Es hat die Form: 196 Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien H= Zh E3 i ; ; dA ^ ? dA + 2m ~d +iqA ^ ?(~d ; iqA )+ U j j dV : Hierbei ist A das magnetische Vektorpotential und ein komplexwertiges (neu! bisher war alles reell) Skalarfeld, dessen Betragsquadrat j (p)j2 als die Wahrscheinlichkeit, ein Cooper-Paar am Ort p zu nden, interpretiert wird q = 2e ist die elektrische Ladung eines Cooper-Paares, ~ eine Konstante von der physikalischen Dimension einer Wirkung (Plancksche Konstante), U (x) = ; x + 21 x2 eine Funktion, d die raumliche au ere Ableitung und ? = ?3 der Sternoperator im E3 Vergleiche mit Hamiltonfunktion H = (p ; eA)2 =2m fur Teilchen im Magnetfeld und setze p ! ~d=i Die positiven Gro en m, und sind die Parameter der Theorie (m hat die Dimension einer Masse.) Beachte auch ] = (Lange);3=2 Eichinvarianz diskutieren: A 7! A + d 7! eiq =~ 7! e;iq =~ : Per Postulat ist der Zustand des Supraleiters im Gleichgewicht ein Minimum von H Hieraus folgen die Ginzburg-Landau-Gleichungen Sie sind die Euler-Lagrange-Gleichungen des Funktionals H A dA d d ] und lauten wie folgt: H = ; d @H @@A @ (dA) Ausfuhren der Variationsableitungen ergibt das Amperesche2 Gesetz: dH = js , mit H = ;0 ? dA und js = 2~mq i ? ( d ; d ) ; qm j j2 ? A js ist als die Stromdichte-2-Form des Suprastroms zu interpretieren @ H = d @ H @ @ (d ) ; Hier ergibt das; Ausrechnen:; 2~m2 4A = U j j2 mit 4A := ? d ; i~q A ^ ? d ; i~q A @ H ) ~2 = U ;j j2 @@H = d @ (d ) 2m A Wegen U ( = ) = haben die Ginzburg-Landau-Gleichungen die triviale Losung p A und = = = const : p (Allgemeiner wegen Eichinvarianz: A = d und = eie =~ = ) Diese Losung beschreibt das Innere des Supraleiters Nun wollen wir sehen, was an einer Vakuum-Supraleiter-Grenz ache passiert Im Vakuum ist B = dA 6= und = (keine Cooper-Paare im Vakuum) Tief im Inneren des Supraleiters ist j j2 = = und B = Qualitativ erwarten wir daher das folgende Verhalten: 6.3 Ginzburg-Landau-Theorie Supraleiter 197 Vakuum |ψ|2 B Abbildung 6.1 London-Limes Wir machen die Annahme, da j j2 auf dem Weg in den Supraleiter hinein sehr schnell zu einem Sattigungswert = ansteigt, wahrend B nur langsam abfallt (Dies ist der Londonsche Grenzfall In welchem Parameterbereich er sich einstellt, werden wir spater diskutieren.) Zur Berechnung des Abfallverhaltens von B durfen wir dann j j2 als p raumlich konstant ansehen Wir setzen = = = const (Unter welchen Bedingungen la t sich die Phase von konstant eichen? Einfach zusammenhangender den Ausdruck furpjs ein und erhalten js = ; qm ?A Wegen djs = d(dH ) = erfordert = = o ensichtlich die Coulomb-Eichung d ? A = Das Amperesche Gesetz lautet js = dH = ;0 d ? dA Gleichsetzen der Ausdrucke fur js und auf beiden Seiten den Sternoperator anwenden gibt mit d ? A = die Gleichung ;2 = q2 : 4A = ;2 A m Der Parameter hat die Dimension einer Lange Sei nun z die zur Grenz ache senkrechte Koordinate und z > bezeichne das Innere des Supraleiters Weiter sei Ajz=0 := A(0) = AVakuum Ajz=1 = Die Losung der Gleichung 4A = ;2 A zu diesen Randbedingungen ist unter der Annahme von Translationsinvarianz in der xy-Ebene A = e;z= A(0) Das Vektorpotential (und mit ihm das Magnetfeld) fallt im Supraleiter exponentiell ab ist die Eindringtiefe Die Magnetfeldverdrangung wird durch eine Supra-Stromdichte js = ;( );1 e;z= ? A(0) erreicht Wir werden jetzt die Ubergangszone etwas genauer ansehen Aus den Parametern der p Theorie la t sich neben eine zweite, unabhangige Lange bilden: = ~= 2m Wir suchen nach einer Losung der Ginzburg-Landau-Gleichungen in der Form p = = f (z ) reell, A ~q a(z ) dx : Supraleiter) in Die Funktionen f und a sind dimensionslos Einsetzen des Ansatzes liefert: 198 Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien (1) dH = js ; (2) 4A = U j j2 a00 f 00 ; a2 f ) ) = ;f a = ; + f2 f (i) (ii) Die Randbedingungen sind (h0 = au eres Magnetfeld) f (0) = a0 (0) = h0 f (1) = a(1) = : Diese Gleichungen sind recht nichtlinear und im allgemeinen nur mit Hilfe eines Computers losbar Einfach zu behandeln sind die beiden Grenzfalle und In diesem Fall durfen wir den Term f 00 in (ii) vernachlassigen Die resultierende Gleichung ; 21 a2 f = (;1+ f 2)f hat nur zwei Losungen: f = und a beliebig (Vakuum) f = und a = (Supraleiter) Das System springt an der Grenz ache zwischen den beiden Losungen (Genauer andert sich f von auf uber die kleine Lange ) Dies ist der schon diskutierte London-Limes Hier ist das Magnetfeld die sich rasch andernde Gro e, und f wachst langsam von auf an Uber dem Bereich, wo sich f andert, durfen wir a praktisch als Null ansehen Es resultiert dann die Gleichung f 00 = ;1;1 ; f f : Ihre Losung zu den angegebenen Randbedingungen ist f (z ) = pz wie man leicht nachrechnet Die Gro e hei t Koharenzlange Sie bestimmt die Distanz, uber der j j2 sich andert Vakuum Supraleiter Vakuum Supraleiter f f B B z ξ >> λ Abbildung 6.2 In dem Bereich z > gilt f bzw B e;z= fur z ξ 0), v ein Vektorfeld, eine Abbildung zwischen o enen Teilmengen zweier a ner Raume (die Bildmenge von liege in En ) und C ein geeignetes Integrationsgebiet Au eres Produkt f ^ = ^ f := f ^ = (;1)kl ^ Inneres Produkt ! X n n X i iv f = iv i=1 d x = iv ( ^ ) = (iv ) ^ Au ere Ableitung vi i=1 + (;1)k ^ (iv ) (A.1) (A.2) (A.3) (A.4) n @f X i (A.5) i dx @x i=1 d ( ^ ) = (d ) ^ + (;1)k ^ (d ) (A.6) d d = Poincare : d = =) (lokal :) = d (A.7) df = Pullback f =f ( ^ )=( d=d Integration Z Z Stokes : Z(C) C = d = C Z @C )^( ) (A.8) (A.9) (A.10) (A.11) (A.12) 206 A Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Di erentialformen Sternoperator (im E3) ?? = id ? dx = dy ^ dz ? dx ^ dy ^ dz = ^? = ^? (und zyklisch) (falls k = l) (A.13) (A.14) (A.15) (A.16) Index (inneres Produkt), siehe Kap 0.5 Ableitung { partielle, 18 Alternierende Multilinearformen, Ampere, 64, 106 Basis { duale, Basisdarstellung { alternierender Multilinearformen, 10 Boost, 186 Cooper-Paare, 195 Coulomb, 64 Coulomb-Eichung, 110 d (Operator), 181 (Laplace-Operator), siehe Kap 0.20, 185 d'Alembert-Operator , 158 Determinante, 14 Dielektrische Konstante d Vakuums, 81, 84 Di erential { einer Abbildung, 24 { einer Funktion, 18 Di erentialform { k-ten Grades (k-Form), 22 { ersten Grades (1-Form), 19 { exakte, 28 { geschlossene, 28 { Koordinatendarstellung, 23 { top-dimensionale, 22 Dilatation, 183 Dipolmoment { elektrisches, 114 { magnetisches, 115 Dirichlet-Problem, 118 Divergenz, 27 Dualraum, "0 , siehe Dielektrische Konstante d Vakuums E ektive Masse, 202 Eichfeld, 199 Eichpotential, 193 Eichtransformation, 109 Eindringtiefe, 161, 197 Elektroschwache Theorie, 199 Energiedichte, 86 Energiestromdichte, 86 Ereignis, 179 Erregung { elektrische, 67 { { Mesvorschrift, 90 { magnetische, 69 { { Mesvorschrift, 92 Faraday-Form, 181, 182 Faradaysches Induktionsgesetz, 75 Feld { elektrisches, 82 { elektromagnetisches, 82 { magnetisches, 82 Feldgleichungen, 192, 193, 199 Feldstarke { elektrische, 71 { magnetische, 72 Fernzone (Dipolstrahlung), 171 Flachenladungsdichte, 120, 124 Flachenladungsdichte, 89 Fluslinien, 68 Flus { elektrischer, 68 { magnetischer, 73 Flusdichte { elektrische, 68 { magnetische, 73 Gradient, 21 Greensche Funktion, 119 GUT, 84 207 208 Index ~, siehe Plancksche Konstante Hamiltonsches Prinzip, 191 Hauptsatz der Cartanschen Di erentialrechnung, 51 Induktionsgesetz, siehe Faradaysches Induktionsgesetz Inertialsystem, 179 k-Form, 22 k-Kette, 46 k-Zelle, 44 Kapazitat, 104 Kausalitatsprinzip, 164 Koharenzlange, 198 Konforme Gruppe, 183 Kontinuitatsgleichung, 52, siehe Kap 1.2, 181 Koordinatenform, 19 Koordinatenfunktion, 18 Koordinatensystem { a nes, { kartesisches, Kopplungskonstante, 199 Kraft { Coulomb-, 72 Kugelkondensator, 103 LX (Lie-Ableitung), siehe Kap 0.18 Ladung, 64 Ladungsdichte { elektrische, 65 { magnetische, 75 Ladungserhaltung, siehe Kap 1.2, 181 Ladungsneutralitat (Universum), 70 Lagrange-Dichte, 191, 193 Leistung (d Feldes an Materie), 85 Leitfahigkeit, 161 Lenzsche Regel, 74 Lichtgeschwindigkeit, 84 Lichtkegel, 164 Linearform, Linienstromdichte, 89 London-Limes, 197, 198 Lorentz-Eichung, 185 Lorentz-Gruppe, 180 Lorentz-Kraft, 72, 85, 106, 178 M (Operator), 165 , siehe Magnetische Permeabilitat d Vakuums Magnetische Monopole, 83 Magnetische Permeabilitat d Vakuums, 81 Magnetisierung, 94 Materialgesetze, 80 Materialgleichungen, 182 Maxwell-Form, 182 Maxwell-Gleichungen { homogene, siehe Kap.1.4, 181 { Inhomogene, 67 Monopolmoment (elektrisches), 114 Ober achenladung, 89 Ohmsches Gesetz, 97, 161 Orientierung, Parametrisierung, 34 Permeabilitat, siehe Magnetische P Plancksche Konstante, 196 Poisson-Kern, 120 Poisson-Problem, 118 Polarisierung (elektrische), 93 Polarkoordinaten (spharische), 102 Potential { einer Punktladung, 107 { elektrostatisches, 107 { skalares magnetisches, 130 Poynting-Form, 86 Quadrupolmoment (elektrisches), 114 Quellterm (Wellengleichung), 158 Rand { einer k-Kette, 46 { einer k-Zelle, 46 Raum { a ner, Raumwinkel-Form, 23 Rechte-Hand-Regel, Ringspannung { elektrische, 72 Rotation, 26 Skalarprodukt { Lorentzsches, 179 Skin-Tiefe, siehe Eindringtiefe Spannung { elektrische, 72 { magnetische, 70 { statische, 103 Sternformig, 28 Stromdichte { elektrische, 66 Supraleiter, 92, 195 Tangentenvektor, 34 Temporale Eichung, 200 Index Transformation { aktive, 186 { passive, 186 Vektorbosonen, 199 Vektorpotential, 109 Vierer-Strom, 181, 182, 194 Viererpotential, 185, 199 Weinberg-Salam-Glashow-Theorie, 202 Welle (elektromagnetische), 84 Wellenoperator, 158 Weltpunkt, siehe Ereignis Winkel-1-Form, 37 Wirkungsfunktional, 192 Wirkungsprinzip, 192 Zylinderkoordinaten, 104 209 ... Scharen - und -dimensionaler Hyperebenen Insbesondere wird im dreidimensionalen Raum das au ere Produkt einer Linearform mit einer 2-linearen alternierenden Form (namlich eine 3-lineare alternierende... aller mathematischer Operationen, die von der metrischen Struktur der Raume E3 und M4 Gebrauch machen Vorbereitungen Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension n, wie zuvor Wir versehen V mit... 1-Formen in derselben Beziehung wie alternierende Multilinearformen zu Linearformen Di erentialformen vom Grad k hei en kurz k-Formen Der Begri 0-Form wird synonym mit dem Begri "Funktion gebraucht