TH 8 1 HH chương 2 bài 3

BÀI DIỆN TÍCH TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cơng thức tính diện tích tam giác + Chứng minh định lí diện tích tam giác  Kĩ + Tính diện tích tam giác + Tính độ dài cạnh tam giác + Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác, chứng minh đẳng thức Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Diện tích tam giác nửa diện tích cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh S= a.h (S diện tích, a cạnh tam giác, h chiều cao tương ứng với cạnh a) Hệ Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S = b.c (S diện tích; b, c hai cạnh tam giác vuông) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tốn, chứng minh diện tích tam giác Phương pháp giải Ví dụ: Cho ∆ABC có đường cao AH = 5cm; BC = 6cm Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác S = a.h Trong h độ dài đường cao ứng với cạnh a Ví dụ mẫu Hướng dẫn giải Ta có S ABC = 1 AH BC = 5.6 = 15 ( cm ) 2 Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) , hai đường chéo cắt O Chứng minh S AOD = S BOC Hướng dẫn giải Do AB / / CD nên hai tam giác ADC , BDC có cạnh CD chung, đường cao kẻ từ A B đến CD nhau, suy S ADC = S BDC Cùng trừ SODC ta S AOD = S BOC Trang Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Biết AB = 26cm, AC = 25cm, HB = 10cm Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải Ta có AH ⊥ BC nên ·AHB = 900 Suy ∆HAB tam giác vuông H Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác HAB ta có AH + BH = AB ⇔ AH = 262 − 102 ⇔ AH = 24cm Tương tự, tam giác HAC, ta có: AH + HC = AC ⇔ HC = 252 − 242 ⇔ HC = 7cm Ta lại có BC = BH + HC ⇒ BC = 10 + = 17 ( cm ) ⇒ S ABC = 1 AH BC ⇒ S ABC = 24.17 = 204 ( cm ) 2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Diện tích tam giác ABC có độ dài đường cao AH = h , độ dài cạnh đáy tương ứng BC = a A S ∆ABC = ah B S ∆ABC = ah C S ∆ABC = 2ah D S ∆ABC = ah Câu 2: Diện tích ∆ABC cân A, có độ dài cạnh đáy a, độ dài cạnh bên b A S = a 4b − a 2 B S = 2a 4b − a C S = a 4b − a D S = 4a 4b − a Câu 3: Diện tích tam giác có cạnh a A S = a2 B S = 2a C S = 4a D S = a2 Câu 4: Cho ∆ABC cân A, đường cao AH = 4cm , cạnh bên AB = 5cm Diện tích ∆ABC A 12cm B 24cm C S = 6cm D S = 48cm Trang Câu 5: Cho tam giác ABC, có BC = 10cm , đường trung tuyến BD CE cắt G có độ dài theo thứ tự 9cm 12cm Diện tích tam giác ABC A 16cm B 32cm C 72cm D 64cm Câu 6: Cho tam giác ABC, đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Biết AB = 15cm; AC = 41cm; HB = 12cm Tính diện tích tam giác ABC Câu 7: Cho tam giác ABC, biết AB = 5cm; AC = 6cm; S ABC = 10cm Trên hai cạnh AB AC cho AD = 3cm; AE = 2cm Tính diện tích tam giác ABC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1–B 2–C 3–D 4–A 5–C Câu Ta có ∆AHB tam giác vuông H nên AH + HB = AB (theo định lý Py-ta-go) ⇒ AH = 152 − 122 = 81 ⇒ AH = ( cm ) Ta lại có ∆AHC tam giác vuông H nên AH + HC = AC ⇒ HC = 412 − 92 = 1600 ⇒ HC = 40 ( cm ) Suy BC = 12 + 40 = 52 ( cm ) Vậy S ABC = 1 BC AH = 52.9 = 234 ( cm ) 2 Câu Ta có ∆ADE ∆ADC có đường cao kẻ từ D, nên suy S ADE = S ADC (1) Ta lại có ∆ADC ∆ABC có chiều cao kẻ từ C, nên suy S ADC = S ABC (2) 1 Từ (1) (2), ta có S ADE = S ABC = 10 = ( cm ) 5 Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác Phương pháp giải Ví dụ: Cho ∆ABC , có S ABC = 30cm , đường cao Trang AH = 6cm Tính độ dài BC Hướng dẫn giải Từ công thức S = 2S 2S a.h suy a = ;h = h a Ta có S ABC = AH BC ⇒ BC = S ABC 2.30 ⇒ BC = = 10 ( cm ) AH Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, BC = 30cm , đường cao AH = 20cm Tính đường cao tương ứng với cạnh bên Hướng dẫn giải Tam giác ABC cân A, đường cao AH = 20cm Suy H trung điểm BC ⇒ BH = HC = 15cm Kẻ BK ⊥ AC Ta có: AC = AH + HC (Py-ta-go) ⇒ AC = 202 + 152 = 625 ( cm ) ⇒ AC = 25cm 1 Lại có S ABC = BC AH = 30.20 = 300cm 2 ⇒ BK = 2.S ABC 2.300 = = 24cm AC 25 Vậy đường cao tương ứng với cạnh bên dài 24cm Ví dụ Cho tam giác ABC, D E hai điểm nằm hai cạnh AB AC cho AE = 2cm; S ADE = 2cm , AB = 8cm, EC = 1cm, S ABC = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng AD Hướng dẫn giải Xét tam giác ADE ADC , ta có S ADE AE 3 = = ⇒ S ADC = S ADE = = ( cm ) S ADC AC 2 Xét tam giác ADC ABC , ta có S ADC AD AD 8.3 = ⇒ = ⇒ AD = = 2, ( cm ) S ABC AB 10 10 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Qua B kẻ đường thẳng song song với AM cắt CA E Gọi I giao điểm EM với AB Trong khẳng định sau, khẳng định sai Trang A S ∆IEA = S ∆BIM B S ∆EAM = S ∆BAM C S ∆AEB = S ∆MEB D S ∆EMC = 2.S ∆ABC Câu 2: Cho ∆ABC , M trung điểm BC Trong khẳng định sau, khẳng định A S ABC = 3S AMB B S AMB > S AMC C S AMB < S AMC D S AMB = S AMC Câu 3:Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm a) Chứng minh BD ⊥ CE b) Tính diện tích tam giác ABC Câu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5cm; AB = 3, 2cm , đường cao AH = 2, 4cm Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Điểm M di chuyển cạnh BC Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Tính độ dài nhỏ đoạn thẳng DE HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1–D 2–D Câu a) Gọi G giao điểm BD CE Khi G trọng tâm tam giác ABC Ta có BG = 2 BD ⇒ BG = = ( cm ) ; 3 2 CG = CE ⇒ CG = 12 = ( cm ) 3 Xét ∆GBC , ta có: GB + GC = 62 + 82 = 100 = BC Suy ∆GBC vuông G hay BD ⊥ CE b) Gọi H giao điểm AG BC ( H ∈ BC ) 1 Ta có SGBC = GB.GC ⇒ SGBC = 6.8 = 24 ( cm ) 2 Ta có ∆ABC ∆GBC có chung cạnh nên S ABC AH = =3 SGBC GH Trang Do S ABC = 3.SGBC = 3.24 = 72 ( cm ) Câu Gọi CD chân đường cao kẻ từ đỉnh C tam giác ABC Xét ∆ABC , ta có: S ABC = 1 AH BC = 2, 4.7,5 = ( cm ) 2 Ta lại có 2S 2.9 S ABC = AB.CD ⇒ CD = ABC ⇒ CD = = 5, 625 ( cm ) AB 3, Câu Gọi AH đường cao ∆ABC Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác ABC ta có BC = AB + AC ⇒ BC = 152 + 202 = 625 ⇒ BC = 25 ( cm ) Ta lại có AH BC = AB AC ( = S ABC ) ⇒ AH = AB AC 15.20 = = 12 ( cm ) BC 25 Xét tứ giác ADME, ta có µA = D µ =E µ = 900 ⇒ ADME hình chữ nhật ⇒ DE = AM Do DE nhỏ AM nhỏ nhất, mà AM nhỏ AM = AH Vậy giá trị nhỏ DE 12(cm) Dạng Sử dụng cơng thức tính diện tích để chứng minh hệ thức Phương pháp giải Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH ( H ∈ BC ) Chứng minh rằng: AH BC = AB AC Trang Bước Phát quan hệ diện tích hình Bước Sử dụng cơng thức tính diện tích Hướng dẫn giải - Tam giác ABC vng A nên ta có S= AB AC (1) - Tam giác ABC có đường cao AH nên ta có: S= AH BC (2) Từ (1) (2), suy ra: AB AC = AH BC Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tam giác đến ba cạnh tam giác khơng phụ thuộc vào vị trí điểm tam giác Hướng dẫn giải Gọi M điểm tam giác ABC Kẻ MH ⊥ BC , MI ⊥ AC , MK ⊥ AB ( H ∈ BC , I ∈ AC , K ∈ AB ) Gọi AN chiều cao tam giác ABC Đặt AB = AC = BC = a, AN = h Ta có: S AMB + S AMC + S BMC = S ABC Suy ra: 1 1 a.MK + a.MI + a.MH = a.h 2 2 ⇒ MK + MI + MH = h Vậy khoảng cách từ điểm tam giác đến ba cạnh không phụ thuộc vào vị trí điểm tam giác Bài tập tự luyện dạng Câu Chứng minh trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Câu Cho hình chữ nhật ABCD M điểm đối xứng với D qua C Chứng minh S ABCD = S AMD Câu Cho tam giác ABC có M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: S ABC = 4S AMN Trang Câu a) Cho tam giác ABC DBC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Kẻ đường cao DK tam giác DBC Gọi S diện tích tam giác ABC Gọi S ′ diện tích tam giác DBC Chứng minh rằng: S ′ DK = S AH b) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Kẻ đường cao tam giác AD, BE CF Đường thẳng qua điểm M song song với AD cắt cạnh BC H Đường thẳng qua điểm M song song với BE cắt cạnh AC K Đường thẳng qua điểm M song song với CF cắt cạnh BA T Chứng minh rằng: MH MK MT + + =1 AD BE CF HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Ta xét tam giác ABC, M trung điểm BC, AH đường cao +) Ta có S AMB = 1 BM AH , S AMC = MC AH 2 +) Ta lại có BM = MC (giả thuyết) ⇒ S AMB = S AMC Vậy trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Câu Xét hình chữ nhật ABCD, ta có: S ABCD = AD.DC Xét ∆AMD , ta có S AMD = 1 AD.DM = AD.2.DC = AD.DC Vậy S ABCD = S ADM 2 Câu +) Ta có BN đường trung tuyến ∆ABC nên S ANB = S BNC = S ABC (chung đường cao, đáy tương ứng nhau) +) Tương tự NM trung tuyến ∆ANB nên S AMN = S BNM = S ANB Trang Do S AMN = S ABC hay S ABC = 4S AMN (điều phải chứng minh) Câu a) +) Xét tam giác ABC, ta có S = +) Xét tam giác DBC, ta có S ′ = Do AH BC DK BC S ′ DK = S AH b) Gọi S , S1 , S , S3 diện tích tam giác ABC , MBC , MCA, MAB ta có S = S1 + S + S3 Theo câu a ta có ⇒ S1 MH S MK S3 MT = ; = ; = S AD S BE S CF MH MK MT S1 S2 S3 + + = + + =1 AD BE CF S S S Trang 10 ... 26 2 − 10 2 ⇔ AH = 24 cm Tương tự, tam giác HAC, ta có: AH + HC = AC ⇔ HC = 25 2 − 24 2 ⇔ HC = 7cm Ta lại có BC = BH + HC ⇒ BC = 10 + = 17 ( cm ) ⇒ S ABC = 1 AH BC ⇒ S ABC = 24 .17 = 20 4 ( cm ) 2 Bài. .. AH = 20 cm Suy H trung điểm BC ⇒ BH = HC = 15 cm Kẻ BK ⊥ AC Ta có: AC = AH + HC (Py-ta-go) ⇒ AC = 20 2 + 15 2 = 625 ( cm ) ⇒ AC = 25 cm 1 Lại có S ABC = BC AH = 30 .20 = 30 0cm 2 ⇒ BK = 2. S ABC 2. 30 0... AC ⇒ HC = 4 12 − 92 = 16 00 ⇒ HC = 40 ( cm ) Suy BC = 12 + 40 = 52 ( cm ) Vậy S ABC = 1 BC AH = 52. 9 = 23 4 ( cm ) 2 Câu Ta có ∆ADE ∆ADC có đường cao kẻ từ D, nên suy S ADE = S ADC (1) Ta lại có