Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2006 – 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 : (3 đ)Thu gọn các biểu thức: a) 51229526 −−+= A b) 402088 +++= B c) )116)( 63 12 26 4 16 15 ( + − − − + + =C Câu 2 : (3 đ) a) Chứng minh : Rzyxzyxzyx ∈∀++≤++ ,,,)(3)( 2222 b) Cho 4 1 , 4 1 , 4 1 ,1 − ≥ − ≥ − ≥=++ zyxzyx . Chứng minh : 4 1 4 1 4 1 21x y z + + + + + ≤ . Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu? Câu 3 : (4 đ) Giải hệ phương trình và phương trình: a) = + = + = + 13 36 xz zx 5 18 y yz 5 12 yx xy z b) 22 2 84 4 xx x −=−+ Câu 4 : (2 đ) Cho phương trình : 0 2 =++ cbxax có các hệ số cba ,, là các số ngun lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy khơng thể là số hữu tỉ. Câu 5 : (4 đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D. a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M. b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi. Tính tích số AC.BD theo CD. c)Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh OA 2 = OB 2 = OH.OK. Câu 6 : (4 đ) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ACB = 45 o . Đường tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN vuông góc OC và MN = 2 AB .