đề thi khảo sát học sinh giỏi toán 7 Năm học 2005-2006 Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề I, Trắc nghiệm khách quan: Câu 1:(0,25 điểm) Chọn chữ Đ (đúng) hoặc S (sai) điền vào chỗ cho mỗi câu sau: a/ Nếu a<0 thì a 2 >0 b/ Nếu a 2 >0 thì a>0 c/ Nếu a<0 thì a 2 >a d/ Nếu a 2 <1 thì a<1 Câu 2: (0,25 điểm) Chữ số tận cùng của hiệu ( ) [ ] ( ) [ ] 9 9 9 9 9 9 9 99 là: A. 0 B. 1 C. 9 D. Một đáp án khác Câu 3: (0,25 điểm) Cho ba tỉ số bằng nhau: ba c ac b cb a +++ ;; thì giá trị của mỗi tỉ số đó là: A. 1 B. 0 C. 2 1 và -1 D. 2 1 và 0 Câu 4: (0,25 điểm) Cho 2006 đờng thẳng cắt nhau tại một điểm. Trong các góc tạo thành có số cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt là: A. 2005 B. 2006 C. 2005.2006 D. 2006.2005:2 II, Tự luận Câu 5:(2 điểm) a/Tìm x biết: ||2x 1| - 3| = 2 b/Cho 4 số nguyên phân biệt a, b, c, d. Chứng ming rằng: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) 12 Câu 6: (1 điểm) Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhậnu chăm sóc vờn trờng có diện tích 300 m 2 . lớp 7A nhận 15% diện tích vờn trờng, lớp 7B nhận 5 1 diện tích còn lại. Phần còn lại chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E theo tỉ lệ 16 5 ; 4 1 ; 2 1 . Tính diện tích đất mỗi lớp Câu 7:(3 điểm) Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện : 3y 2 = 2(z 2 x 2 ) a, Chứng minh rằng z là số lớn nhất trong ba số. b, Tìm thêm điều kiện để x, y, z là ba cạnh của tam giác. c, Chứng minh rằng mỗi tỉ số z y x z x y ;; đều nhỏ hơn một hằng số. Câu 8:(2 điểm) Cho tam giác đều ABC và điểm M ở trong tam giác. Gọi A , B ,C lần lợt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a/ MA+MB+MC không đổi. b/AC+BA+CB không đổi. Câu 9:(1 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 CMR: a 2 +b 2 +c 2 +2abc>2 L u ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ! o Hớng dẫn chấm toán 7 Năm học 2005-2006 Đáp án Thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan: (1 điiểm) Câu 1: a, Đ ; b, S ; c, Đ ; d, Đ 0,25điểm Câu 2: A. 0 0,25điểm Câu 3: C. 2 1 và -1 0,25điểm Câu 4: C. 2005.2006 0,25điểm Phần tự luận: (8 điểm) Câu 5: a, (+) TH1: |2x-1|-3=2 |2x-1| = 5 2x-1=5 x=3 2x-1=-4 x=-2 (+) TH2: |2x-1|-3=-2 |2x-1| = 1 2x-1=1 x=1 2x-1=-1 x=0 b, Đặt A = a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) Theo nguyên kí Diricle ta có: Trong 4 số a, b, c, d bao giờ cũng tồn tại ít nhất hai số khi chia cho 3 có cùng số d. Cho nên trong 6 hiêụ trên bao giờ cũng có ít nhất 1 hiệu chia hết cho 3 A 3 (1) Mặt khác ta xét: + Nếu: Trong 4 số a, b, c, d có hai số chẵn, hai số lẻ thì trong 6 hiệu trên sẽ có hai hiệu chia hết cho 2 A 4 (*) + Nếu : Trong 4 số a, b, c, d có ba số chẵn và một số lẻ hoặc có ba số lẻ và một số chẵn thì trong 6 hiệu trên sẽ có hai hiệu chia hết cho 2 A 4 (**) Từ (*) và (**) ta có A 4 (2) Mà (3,4)=1 lên từ (1) và (2) A 12 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 6: Diện tích đất của lớp 7A là: 300.15%=45 m 2 Diện tích đất của lớp 7B là: (300-45). 51 5 1 = m 2 Gọi diện tích đất của 3 lớp 7C, 7D, 7E lần lợt là: x, y, z (0<x,y,z<204 và x,y,z )N Theo bài ra ta có: 0,5 điểm 0,5 điểm đề số 1 60;48;96 12 548 17 204 548 17548 16 5 4 1 2 1 === === === ++ === == zyx zyx zyx zyxzyx zyx Vậy diện tích đất của 5 lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E lần lợt là: 45m 2 , 51 m 2 , 96 m 2 , 48 m 2 , 60 m 2 0,5 điểm Câu 7: a, Ta có: 3y 2 = 2(z 2 x 2 ). Vì 3y 2 >0 với y>0 2(z 2 x 2 ) z 2 x 2 >0 mà x,z > 0 z > x (1) Mặt khác: Ta xét 3y 2 = 2(z 2 x 2 ) y 2 + 2z 2 = 2(z 2 y 2 ). Vì y 2 + 2z 2 > 0 với y, z > 0 2(z 2 y 2 ) > 0 z 2 y 2 > 0 mà y, z > 0 z > y (2) Từ (1) và (2) z là số lớn nhất trong 3 số x, y, z b, Để x, y, z là số đo 3 cạnh của một tam giác thì: |x-y|<z<x+y Vì z > x và z > y nên z > |x-y| luôn đúng. Vậy ta chỉ cần điều kiện z < x+y c, * xét tỉ số x y z < x+y 2z 2 < 2x 2 + 4xy + 2y 2 mà 3y 2 = 2(z 2 x 2 ) 3y 2 +2x 2 < 2x 2 +4xy+2y 2 y 2 < 4xy x y <4. * xét tỉ số x z z < x+y x z <1+ x y =5 * xét tỉ số z y z < x+y x > z y 2x 2 > 2z 2 4zy + 2y 2 ( vì z > y) Mà 3y 2 = 2(z 2 x 2 ) 2z 2 3y 2 > 2z 2 - 4yz + 2y 2 5y 2 < 4yz z y < 5 4 Câu 9:(2điểm) a, Đặt AB=BC=CA=a. Kẻ đờng cao AH=h. Ta có : A S ABC =S MAB +S MAC +S MBC 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 1 điểm '. 2 1 '. 2 1 '. 2 1 2 1 MBaMCaMAaah ++= P Hay h = MA+MB+MC (không đổi) C L b, Qua M kẻ các đoạn thẳng song song với B các cạnh của tam giác (hình bên) Q K Ta gọi x, y, z lần lợt là các cạnh của các tam giác đều MIJ, MKL và MPQ ta có a = x+y+z Do đó ta có: B I H A J C AC +BA+CB = (AP+PC)+(BI+IA)+(CK+KB) ) 2 () 2 () 2 ( y x x z z y ++++= = )( 2 3 zyx ++ = a 2 3 (không đổi) 1 điểm Câu 9: Trớc hết ta chứng minh 0 < a,b ,c < 1 Ta có (1-a)(1-b)(1-c)<0 1-(a+b+c) + (ab+bc+ac) -abc < 0 (a+b+c)-(ab+bc+ac)+abc>1 2(a+b+c)-2(ab+bc+ac)+2abc>2 (a+b+c) 2 -2(ab+bc+ac)+2abc>2 a 2 +b 2 +c 2 +2abc>2. L u ý : Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm bình thờng. Bài làm của HS đúng đến đâu cho điểm đến đó. đề thi khảo sát học sinh giỏi toán 7 Năm học 2005-2006 Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đềđề số 2 Câu 1:(1 điểm) Cho a, b, c, d N * thỏa mãn ab=cd. CMR: A=a n + b n + c n + d n là hợp số với n N Câu 2:(1,5 điểm) Số A đợc chia thành 3 số tỷ lệ theo 6 1 ; 4 3 ; 5 2 . Biết tổng bình phơng của ba số đó bằng 24309. Tìm số A Câu 3:(1,5 điểm) Cho x, y, z thoả mãn : y yxz x xzy z zyx + = + = + . Tính giá trị của biểu thức : M = ( )1)(1)(1 z x y z x y +++ Câu 4: (2 điểm) a, Chứng minh rằng không tồn tại một đa thức P(x) với hệ số nguyên dơng thoả mãn: P(1)=19 và P(19)=85. b, Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức: A= 2 74 x x có giá trị nguyên. Câu 5:(1 điểm) Chứng minh rằng nếu p, q là các số nguyên tố và q=p+2 thì q p +p q chia hết cho (p+q). Câu 6:(2 điểm) a, Cho tam giác cân ABC ( cân đỉnh A) có góc A bằng 80 0 . Gọi D là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho góc DBC bằng 10 0 ; góc DCB bằng 30 0 . tính số đo góc BAD. b, Cho tam giác ABC có AB < AC và các đờng cao BD và CE. CMR: BD < CE. L u ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ! Hớng dẫn chấm toán 7 Năm học 2005-2006 đề số 2 Đáp án Thang điểm Câu 1: Giả sử (a, c)=t, khi đó a = ta 1 , c=tc 1 với (a 1 ,c 1 )=1 Từ ab=cd suy ra a 1 b=c 1 d. Đặt b=kc 1 c 1 d=a 1 .kc 1 d=ka 1 Khi đó : A = a n + b n + c n + d n =t n a 1 n + t n c 1 n +t n c 1 n +t n a 1 n =(k n +t n )(a n 1 +c 1 n ) Vì k, t, a 1 , c 1 N * nên A là hợp số. 1điểm Câu 2:Giả sử số A đợc chia thành 3 số x, y, z. Theo bài ra ta có: 30100.9 1352025.9 72576.9 9 2701 24309 27011002025576 1045241 6 3 4 2 5 6 1 4 3 5 2 2 2 2 222222 == == == == ++ === ====== zz yy xx zyxzyx zyxzyxzyx Vậy A = 237 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm Câu 3: y yxz x xzy z zyx + = + = + zyx zyx y zyx x zyx z zyx y yxz x xzy z zyx ++ ++ = ++ = ++ = ++ + + =+ + =+ + )(2 222 + Nếu x+y+z=0 thì M=-1 + Nếu x+y+z 0 thì M= 8 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm Câu 4: a, Giả sử tồn tại đa thức P= a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + .+a n x n với a 0 , a 1 , .a n N * Theo bài ra ta có: P(1) =19 a 0 +a 1 +a 2 + .+a n =19(1) P(19)=85 a 0 +19a 1 +19 2 a 2 +19 3 a 3 + .+19 n a n =85 (2) Lấy (2)-(1) ta có: (19-1) a 1 + (19 2 -1) a 2 + .+(19 n -1)a n =67 (*) Ta thấy VT của (*) 18 còn VP của (*) = 67 không chia hết cho 18 vô lí Vậy điều giả sử là sai. không tồn tại một đa thức nh vậy. b, A= 2 1 4 2 74 += xx x Để A có giá trị là một số nguyên thì x-2 là ớc của 1 + x-2 =1 x=3 + x-2 = -1 x=1 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm Câu 5: Đặt A= q p +p q A=(q p +p p )+(p q -p p ) Vì p, q là các số nguyên tố mà q=p+2 p lẻ 0,5điểm p p +q p p+q (1) Mặt khác ta có: p+q = 2(p+1) Ta xét p q -p p = p p (p 2 -1)=p p (p-1)(p+1) Ta thấy p p p ; p+1 p+1 p p (p-1)(p+1) p+q (2) Từ (1) và (2) A p+q 0,5điểm Câu 6: a, Gọi E là giao điểm của CI và đờng phân giác của góc ABI A EBI= EBA=20 0 EBC=30 0 = ECB Tam giác BEC cân tại E Mà tam giác ABC cân tại A AE BC mà tam giác ABC cân đỉnh A AE là đờng phân giác của góc A EAB = EAC = 40 0 mà EIB = 40 0 B C EBA= EBI (g-c-g) AB = BI ABI cân đỉnh B AIB = 70 0 b, Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ DH vuông góc với AB (H AB ) xét ADH và ABE có : Góc A chung AB = AD A ADF= ABE ( cạnh huyền- góc nhọn) DH=BE mà D , C AC, Mà DH // CF H E CF > DH CF > BE. F D B C 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm L u ý : Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm bình thờng. Bài làm của HS đúng đến đâu cho điểm đến đó.