[TCO] Hướng tiếp cận bài 1 VMO 2018

Hướng tiếp cận VMO 2018 #TCM_Xct Cà Mau, ngày 13 tháng 01 năm 2018 Chào bän, admin page “Täp chí Olympic” ngày trước, täi page “Täp chí Olympic – Trở läi” Hơm cuối tuæn, với câ tuæn sau nghỉ hai học kì, lâu có thời gian rânh rỗi nên xách xe quê chơi Định lau dọn nhà cửa giúp ông bà lát ngồi hàng ba, rót thêm trà Bắc, đọc vài sách cũ kho, nhìn mây nhìn trời cho thư giãn đỉu óc Nhưng mà nghĩ läi thơi, thời gian châ bận bịu gì, nên tranh thủ thời gian ngồi làm file be bé tặng bän có niềm u thích với mơn tốn chương trình phổ thơng Ở file trình bày, khơng ngắn gọn tóm tắt, khơng bình luận, đơn giân hướng nhìn góc tiếp cận ú, mt cỏch tht t nhiờn nhỗt, v mt vi tốn đề VMO vừa Một phỉn học sinh, mà cách viết văn phong học sinh gỉn gũi với học sinh hơn, phỉn trực tiếp ngồi phịng thi, phỉn lý tốn với lä lẫm, tức phịng thi tự mày mị hướng giâi cho bi toỏn ỗy nờn vic nh hỡnh li giõi cú lẽ đến cách tự nhiên dễ hiểu nhỗt, i vi cõ cỏc bọn hc sinh chuyờn v không chuyên Sau đåy đề VMO 2018: Bài Cho dãy số  xn  xác định bći x1  xn1  xn   xn  vĆi n  a) ChĀng minh dãy số có giĆi hän hĂu hän tỡm gii họn ú b) Vi mi s nguyờn dỵng n , chĀng minh n  x1  x2   xn  n  Thử xem no a) Bõy gi gp bi dóy nhỵ th này, läi đọc đề câu a “có giĆi hän hĂu hän”, nên ta tìm giĆi hän ú trỵc nhợ ? Cú gii họn hu họn tc n thật lĆn, xn hay xn1 ngang nga nhau, ging nhỵ ỵng tim cn ngang cỷa đồ thị hàm số y  x 1 vậy, mà x tiến x1  đồ thị cng ngy cng gổn ỵng thng y Ta có xn xn1 chúng “ngang ngāa” nhau, tăng n đến lúc chúng bng nhau, ỗy l cú gii họn hu họn ỗy Gią ta cho chúng L ? L  L   L  (1) Ta s giõi phỵng trỡnh (1), liờn hp thā (1)  L  L8  L3 L   L   L   (2) Chà, đến đåy vế trái cú v ng bin nhợ ? L phõi dỵng thỡ mi ng bin ỵc ỳng khụng, nờn l L õm ? Vậy ta tìm cách làm cho L dỵng Do L L8 L3 nờn ta d thỗy L dỵng ri, vy v trỏi cỷa (2) đồng biến, ta nhèm thā L  vế trái vế phâi, nên nghiệm cûa (2) hay nghiệm cûa (1) L  Vậy ta đoán giĆi hän hĂu hän cûa dãy  xn  ChĀng minh dãy có giĆi hän hĂu hän nhỵ ? Ta thā liệt kê xem sao: Dãy giâm thật să lĆn hĄn số (giâm ngặt bị chn dỵi) Dóy tng tht s v hn số (tăng ngặt bị chặn trên) Mình cüng thật să khơng biết có cách hay khơng nĂa, nên ta thā cách đỉu xem khâ quan không Ta xét thā hiệu xn1  xn xem có tăng hay giâm khơng ? xn1  xn  xn   xn   xn   xn  xn       xn     xn     xn  1   1   xn  1   xn  1     (3)  x 8 3 xn   xn     n xn  Hmm, đống ngoặc bên phâi sau liên hĉp để vơ nghiệm hĄi khoai nhỵ, nên ta tìm cách giĆi hän giỏ tr cỷa xn th xem D thỗy xn  x1   xn1  xn   xn   xn   xn  0 Tính thā x2  10   x1  , đoán đoán thā xn  xem xn1   xn   xn     xn   xn     xn  (ln xn  ) Vậy xn he Quay tr lọi (3) thỗy cú v b tc nhợ, tớnh ỵc x1 , x2 nên ta dă đốn xn1  xn để ỏp dýng phỵng phỏp Vy tớnh th x3 xem dă đốn cûa ta có khơng Cơng độn tính biếng nên bän tính thā, kt quõ l x3 x2 , tc l phỵng án bị bể kèo Läi bế tắc nhỵ Hmm, cách khác xem GiĆi hän cûa  xn nhỵ ta d oỏn l Vy thā xét hiệu cûa xn so vĆi he, có giĆi hän hĂu hän nên không cách giĂa xn đến giâm dæn Thā nào: xn1   xn   xn Xột cỏi hiu ỗy ta thu ỵc xn1 xn v ngỵc lọi Ch cú v thm Nhỵ trờn ó núi, không cách giĂa xn đến giâm dỉn , mà xn lúc lĆn hĄn, lúc bé hĄn nên xét hiệu: Tn  xn   xn1  , ta cố gắng chĀng minh Tn  vĆi n  Việc chĀng minh đĄn giân cách xét trỵng hp, sau ỗy phỏ dỗu tr tuyt i i nhą điều kiện xn1  xn  v ngỵc lọi, cõ trỵng hp u cho Tn  Để đĄn giân, xét trỵng hp l xn thỡ Tn xn  xn1   xn  xn   xn   (4) Tn   xn  1     xn    Gią ta cæn chĀng minh    1  xn     xn  1      x   x   n n   xn     xn    nhỵ, ta läi dùng điều kiện  xn  1 xn    xn    1 10   2     10     Yeah, may nhỵ, Tn  rồi, tÿ đåy dễ dàng chĀng mỡnh ỵc xn cú gii họn hu họn giĆi hän hĂu hän b) Nhỡn vo hỡnh thc, v nhỡn cỏi (4), ý tỵng ỗy ch ồu xn Ta s chĀng minh xn  xn1   ngỵc lọi tỵng t (phõi núi l y n   mod  chang) cách ta chĀng minh Tn  ć ý a) Sau ỗy thỡ bt cp v chng minh cụng oọn cũn läi dễ dàng Trên đåy toàn hướng giâi cách suy nghĩ phịng thi, khơng nêu hướng đúng, mà nêu hướng giâi sai, nhằm tránh trường hợp cỏc bọn cõm thỗy li giõi quỏ õo diu nh cách mà nhiều người khác trình bày lời giâi Thế nhé, cuối tuæn vui vẻ ! ... khơng Ta xét thā hiệu xn? ?1  xn xem có tăng hay giâm khơng ? xn? ?1  xn  xn   xn   xn   xn  xn       xn     xn     xn  1? ??   1   xn  1? ??   xn  1? ??     (3)  x 8 3... cách giĆi hän giá trị cûa xn thā xem D thỗy xn vỡ x1  xn? ?1  xn   xn   xn   xn  0 Tính thā x2  10   x1  , đoán đoán thā xn  xem xn? ?1   xn   xn     xn   xn     xn  (ln... minh    1  xn     xn  1? ??      x   x   n n   xn     xn    nhỵ, ta läi dùng điều kiện  xn  1? ?? xn    xn    1? ?? 10   2     10     Yeah, may nhỵ, Tn 