Đề thi tham khảo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA 2019 Mơn Tốn Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ (22/11/2018) u 2, u1 2, Bài (5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định công thức un 2 2un 1 7un , n a) Chứng minh phương trình u2018 x 2019 u2018 x 4u2019 x (ẩn x ) có hai nghiệm thực phân biệt thuộc miền (0;2 2) b) Tìm tất số thực cho dãy số (vn ) xác định Cn0un Cn1un 1 2Cn2un nCnn u0 , n có giới hạn hữu hạn Bài (5 điểm) Cho mảnh giấy hình đa giác ( H ) có 12 cạnh Người ta cắt ( H ) thành mảnh giấy nhỏ cho tất mảnh thu hình bình hành a) Chứng minh mảnh giấy đó, ln tìm mảnh giấy có hình chữ nhật b) Hỏi số lượng mảnh giấy cắt bao nhiêu? Bài (5 điểm) Với số thực m, n , giả sử tồn hàm số f : thỏa mãn f ( x m f ( xy )) f ( x ) n xf ( y ) với x, y a) Chứng minh f hàm toàn ánh f (1) phải có m n b) Ứng với m n 2018 , tìm tất hàm số thỏa mãn đề Bài (5 điểm) Trên đường tròn (O ) , cho hai điểm B, C cố định A thay đổi cho tam giác ABC không cân Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt BC D Đường tròn ( BID ) cắt AB E B đường tròn (CID ) cắt AC F C Gọi M , N giao điểm BI , DE CI , DF Gọi J giao điểm BF , CE T trung điểm AJ a) Chứng minh đường trung tuyến đường cao đỉnh I tam giác IMN qua điểm cố định A thay đổi b) Đường tròn qua E , J tiếp xúc với AJ cắt ET P, đường tròn qua F , J tiếp xúc với AJ cắt FT Q Phân giác góc APJ , AQJ cắt AJ R, S RB cắt SC X , RC cắt SB Y Chứng minh tâm đường tròn ( AXY ), ( AMN ), ( APQ ) thẳng hàng