Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” Số nguyên tố Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, chia hết cho chia hết cho Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11 Mục lục Tính chất Bảng số nguyên tố-sàng Eratosthene o 2.1 Sàng Eratosthene o 2.2 Lịch sử bảng số nguyên tố Định lý số học Bài toán xác định số nguyên tố thứ n o 4.1 Số nguyên tố thứ n o 4.2 Định lý số nguyên tố o 4.3 Sự phân bố số nguyên tố Số nguyên tố Fermat Mersenne Số nguyên tố Ramanujan Giả thiết Goldbach - Euler Xem thêm Kiểm tra tính nguyên tố Các phương pháp thô sơ Kiểm tra theo xác suất Các phép kiểm tra tất định Độ phức tạp Các phương pháp lý thuyết số Pierre de Fermat Định lý nhỏ Fermat Định lý cuối Fermat Xem thêm Đọc thêm Liên kết ngồi Những cơng trình fermat *** Tổng quát A) Lý thuyết số B) Xác suất C) Hình học giải tích D) Tốn vi phân E) Định lý nhỏ Fermat F) Định lý cuối Fermat: G) Trở thành định lý Fermat- Wiles -1- Trường Trung Học Phồ Thơng Chun Tiền Giang - Lớp 10 Tốn Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” H) Số Fermat I) Đẳng thức Pell-Fermat: J) Tổng số lũy thừa K) Phương pháp phản chứng Kiểm tra Fermat Khái niệm Thuật toán thời gian thi hành Khả vận dụng Bảng số nguyên tố Định lý Brouwer Định lý de Branges Giải thuật Euclid Giải thuật Euclid mở rộng NumberSpiral Prime numbers Solving Fermat The first 15 million primes Tính chất Ký hiệu "b a" nghĩa b ước a, ký hiệu a b nghĩa a chia hết cho b Ước số nhỏ khác số tự nhiên a > số nguyên tố Chứng minh: Giả sử d a; d nhỏ nhất; d Nếu d không nguyên tố d = d1.d2; d1, d2 > d1|a với d1 < d: mâu thuẫn với d nhỏ Vậy d nguyên tố Cho p số nguyên tố; a N; a Khi (a,p) = p (a p) (a,p) = (a p) Nếu tích chia hết cho số ngun tố p có thừa số chia hết cho p p p Ước số dương bé khác hợp số a > số nguyên tố không vượt Chứng minh: Giả sử p ước dương bé khác a Theo tính chất Þ p ngun tố Ta lại có: a = p.a1, a1 ước dương a Þ a1 ³ p Þ a = p.a1 ³ p2 Þ p £ Tập hợp số nguyên tố vô hạn Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p1 < p2 < < pn Xét a = p1.p2 Pn + -2- Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” Ta có: a > a ¹ pi; "i = Þ a hợp số Þ a có ước nguyên tố pi, Hay ampi ( pi) M pi Þ 1M pi: mâu thuẫn Vậy tập hợp số ngun tố vơ hạn Tuy nhiên, tập hợp số nguyên tố tập số tự nhiên, mà tập hợp số tự nhiên đếm nên tập hợp số nguyên tố đếm Bảng số nguyên tố-sàng Eratosthene Sàng Eratosthene Hình minh họa cho thấy thuật tốn đơn giản để tìm số ngun tố bội số Các số tô màu giống họ mà dẫn đầu (đậm hơn) số nguyên tố Sàng Eratosthene giải thuật cổ xưa để lập bảng tất số nguyên tố nhỏ số n cho trước Giải thuật dựa tính chất: hợp số m có ước nguyên tố không vượt m Giải thuật xóa số khỏi tập số nguyên tố Số số số 2, số nguyên tố Bắt đầu từ số xoá tất bội khỏi bảng Số khơng bị xố sau số (số 3) số nguyên tố Tiếp theo lại xoá bội Giải thuật tiếp tục găp số nguyên tố � n dừng lại Tất số chưa bị xoá số nguyên tố Theo ngơn ngữ thuật tốn ta diễn đạt giải thuật sàng Eratosthene sau: Eratosthene(n) Var List Prime[1 n] Int i,j,k For i:=1 to n Prime[i]:=True Prime[1]:=false K=0 While k < sqrt(n) { I=k+1 -3- Trường Trung Học Phồ Thơng Chun Tiền Giang - Lớp 10 Tốn Chun Đề : “ Số Nguyên Tố” While Prime[i]=False i:=i+1 K=i J=2 Prime[k]:= True While k*j2 H) Số Fermat F = 2^n + = Dn + F Fermat D lũy thừa hai (Deux) 2k + với k = 2n I) Đẳng thức Pell-Fermat: Y² - ax² = ± Bất số nguyên tố có dạng 4n+1 tổng hai số bình phương (Được chứng minh Euler) Bất số tự phân tích thành theo hình tam giác, theo hình vng, theo hình ngũ giác Http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/Image926.gif Thay vi tong so cac luy thua 4, nen viet : tong cua nhung luy thua bac J) Tổng lũy thừa bậc Đẳng thức s4 + t4 = khơng có nghiệm số nguyên Http://membres.lycos.fr/villemingerard/Addition/Partiti2.htm#courbes4 Couple amiable: 17 296 et 18 416 (4e paire) Http://membres.lycos.fr/villemingerard/Decompos/Fermat.htm#fermat K) Cách phản chứng Fermat cho ta chứng minh phản chứng, giả sử ngược với thật để đưa tới chủ đích trái ngược khơng thể chấp nhận Thí dụ: Giả sử có hai giả thiết: Socrate người Tất người phải chết Dùng lối phản chứng để chứng minh "Socrate phải chết." - 26 - Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” Muốn vậy, giả sử ngược lại: "Socrate bất tử" Mà "Tất người phải chết", "Socrate người" Nhưng điều trái ngược với giả thiết đầu "Socrate người" Vậy giả sử khởi đầu "Socrate bất tử" sai, ngược lại đúng: "Socrate phải chết" Http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/ 5/ Link tới trang nói Fermat Beaumont-de-Lomagne Dictionnaire des nombres Bibmath Académie de Bordeaux Bibliographie 6/ Sách dịch tiếng Việt Định lý cuối Fermat Andrew Wiles giải Định lý cuối Fermat câu chuyện thách đố làm bối rối óc vĩ đại nhân loại suốt 358 năm Một đề tài thu hút ý người học Toán mê Tốn có câu trả lời Bạn thấy thú vị tác giả quay ngược lịch sử đắm theo dẫn dắt tìm tịi, khám phá bí ẩn lời giải, đời nghiệp nhà toán học vĩ đại giới từ xưa đến © http://vietsciences.free.fr Võ Thị Diệu Hằng - 27 - Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” Kiểm tra Fermat Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm Kiểm tra Fermat thuật toán xác suất kiểm tra số tự nhiên hợp số số nguyên tố xác suất Mục lục Khái niệm Thuật toán thời gian thi hành Khả vận dụng Khái niệm Định lý Fermat nhỏ phát biểu p số nguyên tố , Nếu ta muốn kiểm tra số n có nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên số a' kiểm tra xem đẳng thức có khơng Nếu khơng với giá trị a n hợp số Nếu đẳng thức với nhiều giá trị a, ta nói n số nguyên tố với xác suất đó, số giả nguyên tố(pseudoprime) Có thể phép thử cho ta kết sai Số a mà Trong n hợp số gọi giả Fermat Cịn có số a mà Thì a xem chứng Fermat chứng tỏ n hợp số Thuật toán thời gian thi hành Thuật tốn viết sau: - 28 - Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” Inputs: n: giá trị để kiểm tra tính nguyên tố; k: tham số tham gia vào trình kiểm tra Output: hợp số n hợp số, không nguyên tố xác suất Repeat k times: Lấy a ngẫu nhiên [1, n − 1] If an − mod n ≠ then Return composite Return probably prime Khi dùng thuật tốn tính nhanh luỹ thừa theo mođun, thời gian thi hàn thuật toán O(k × log3n), k số lần kiểm tra với số a ngãu nhiên, n giá trị ta muốn kiểm tra Khả vận dụng Có nhiều giá trị n số Carmichael mà với tất giá trị a cho ƯCLN(a,n)=1 giả Fermat Mặc dù số Carmichael hiếm, phép thử Fermat dùng so với phương pháp khác kiểm tra Miller-Rabin hay kiểm tra Solovay-Strassen Nói chung, n khơng số Carmichael nửa số Là chứng Fermat Để chứng minh điều này, giả sử a chứng Fermat a1, a2, , as giả Fermat Khi Và tất a × for i = 1, 2, , s chứng Fermat - 29 - Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” - 30 - ... trình số học Pythagore thành Samos (-5 69 ; -4 75), Euclide thành Alexandrie (-3 20 ; -2 60), Archimède thành Syracuse (-2 87 ; -2 12), Eudoxe thành Cnide (-4 08 ; -3 55) Diophante Alexandrie (thế kỷ... thuyet so Sau cung, voi Pascal, ong la nguoi xuat su cua Phep tinh xac suat - 24 - Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 To? ?n Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố” D) To? ?n vi phân - Là người... P.Erdos nhà to? ?n học Atle Selberg ( 19/6/1917 - ?) Người Nauy độc lập chứng minh ( - 1) cách dựa vào đẳng thức Selberg Công việc họ - 12 - Trường Trung Học Phồ Thơng Chun Tiền Giang - Lớp 10 Tốn