Đề thi trường tỉnh năm học 2012-2013 Lời giải Bình luận Tổ hợp 1 (Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Giả sử n số tự nhiên không nhỏ Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm, khơng có điểm thẳng hàng Mỗi cặp điểm thuộc P nối với đoạn thẳng tô màu trắng đỏ Tìm số nhỏ đoạn thẳng đỏ cho tam giác với đỉnh thuộc P có cạnh đỏ (Hưng Yên, vòng chung khảo) Trong mặt phẳng cho n điểm A 1, A2, ., An (n≥4) cho khơng có điểm thẳng hàng khơng có điểm nằm đường trịn Gọi at (1 ≤ t ≤ n) số đường tròn ngoại tiếp tam giác A iAjAk (1 ≤ i < j < k ≤ n) chứa điểm At Đặt N = a1 + a2 + … + an Chứng minh điểm A1, A2, , An đỉnh đa giác lồi N = n − 6n + 11n − 6n 12 (Hưng Yên, vòng sơ khảo) Quan sát thạch sùng bắt muỗi, ta thấy quy luật sau: +) Con thạch sùng nghỉ ngơi sau lần bắt muỗi; +) Con muỗi bị bắt sau thời gian nghỉ phút; +) Thời gian nghỉ trước bắt muỗi thứ 2m thời gian nghỉ trước bắt muỗi thứ m phút so với thời gian nghỉ trước bắt muỗi thứ 2m+1; +) Khi thạch sùng hết nghỉ bắt muỗi Coi thời gian thực động tác bắt muỗi thạch sùng Hỏi sau phút thạch sùng bắt muỗi thứ 82 (ĐHKHTN, vòng 1, ngày 1) Có mười người đến dự buổi tiệc Biết người quen ba người , hai người quen khơng có người quen chung hai người khơng quen có người quen chung Hỏi cần nhấu bàn trịn để xếp mười người ngồi cho hai người ngồi cạnh quen ? (ĐHKHTN, vịng 1, ngày 2) Trong lớp có 30 học sinh xếp thành hàng dọc Cơ giáo phát cho em viên kẹo Với k > cho lớp có em phát k viên kẹo, ta gọi tk vị trí em cuối lớp phát k viên Khi em đứng thứ tk - phát k-1 viên kẹo Hỏi giáo có cách phát kẹo? (Kiểm tra đội tuyển Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho tập S= {1,2, ,999} Tìm số nguyên dương n nhỏ cho tập A S gồm n phần tử tồn phần tử a, b, c, d thuộc A cho: a+2b+3c=d (Hà Tĩnh) Trong kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tốn tỉnh có 20 em tham gia Mỗi học sinh phải thi vòng, vòng gọi thi Điểm thi cho số tự nhiên từ đến 10 Phương thức chọn đội tuyển so sánh kết điểm thi tương ứng (vòng 1, vịng ) thí sinh Thí sinh A gọi so sánh với thí sinh B điểm thi A không nhỏ điểm thi tương ứng B Biết khơng có hai thí sinh có cặp điểm số tương ứng Chứng minh chọn ba thí sinh A, B, C cho A so sánh với B B so sánh với C (Đà Nẵng) Cho số 1, 2, 3,…, n Chúng ta thực việc xóa hai số bảng thay số lần tổng hai số Cứ tiếp tục trình bảng cịn lại số Số cuối bảng số kẹo mà học sinh nhận Chứng minh số kẹo ln lớn 4n với số tự nhiên n lớn (Đà Nẵng) Có cách chia 13 đồ vật đôi khác cho người, cho số có người khơng nhận đồ vật nào?