Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường ĐH năm học 2009-2010 Phương trình, hệ phương trình 1 (Đại học Vinh) Giải phương trình: (Hà Nội) Giải phương trình 9( x x ) x Giải Điều kiện x 2/3 Nhân hai vế phương trình với x x , ta 9[(4 x 1) (3x 2)] ( x 3)( x 3x ) 9( x 3) ( x 3)( x 3x ) x 3x Đến ta giải nhiều cách Cách Kết hợp với phương trình 4x 1 3x x 3 để phương trình x 84 từ giải cách bình phương hai vế Cách Giải phương trình x 3x phương pháp bình phương 4x 1 liên tiếp Cách Chú ý f ( x) x 3x hàm số tăng miền xác định Do phương trình f(x) = có khơng q nghiệm Nhận thấy x = nghiệm phương trình f(x) = 9, suy x = nghiệm phương trình f(x) = 9, nghiệm phương trình đề (Ninh Bình) Giải hệ phương trình x2 y a y z a z x a Trong a tham số thoả mãn điều kiện < a < (Đồng Nai) Giải phương trình sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x Giải Sử dụng đẳng thức sin3x – cos3x = 3sinx – 4sin3x + 3cosx – 4cos3x = (sinx+cosx)(3 - 4(sin2xsinxcosx+cos2x) = (sinx+cosx)(2sin2x-1) ta điều kiện để phương trình có nghĩa (sinx+cosx)(2sin2x-1) điều kiện đó, phương trình rút gọn lại thành sinx – cosx = (sin3x – cos3x)(2sin2x-1) (sinx – cosx)(1 – (sin2x+sinxcosx+cos2x)(2sin2x-1)) = (sinx – cosx)(–sin22x – 3/2sin2x + 2) = Từ giải phương trình Bình luận Bài giống đề thi đại học hơn, khơng có ý tưởng (Đồng Nai) Giải hệ phương trình x xy x y 0 x x y x y 0 (Bình Định) Giải phương trình: x 10 x 17 x 2 x x x Giải (Dựa theo ý tưởng nguyenvannam) Dễ thấy x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x3, ta 2 10 17 23 8t 17t 10t 23 5t (1) x x x x với t = 1/x (t 0) Ta biến đổi phương trình (1) tiếp tục sau (1) (2t 1) 2(2t 1) 5t 23 5t Xét hàm số f(x) = x3 + 2x f’ = 3x2 + > nên f hàm số tăng R Phương trình cuối viết lại thành f (2t 1) f (3 5t 1) Do f hàm số tăng nên phương trình tương đương với 2t 3 5t 8t 12t 6t 5t 17 97 17 97 Tương ứng ta tìm x 16 12 Giải ta t = (loại), t a Tìm tất giá trị tham số thực a cho phương trình: a(sin2x+1) + = (a-3)(sinx+cosx) có nghiệm b Phương trình 2x – – x2 = có nghiệm số thực? Hãy giải thích (Đồng Nai) Giải hệ phương trình x xy y 10 y (1) x y 6 (2) Giải Nếu y = từ phương trình (1) suy x = 0, phương trình (2) khơng thoả mãn Vậy y Chia hai vế phương trình (1) cho y 5, ta x x y y (3) Xét hàm số f(x) = x + x, ta có f’(x) = 5x + > 0, suy f y y hàm số tăng R Phương trình (3) viết lại thành f(x/y) = f(y) f hàm tăng nên tương đương với x/y = y, suy x = y Thay vào phương trình (2), ta x x 6 (4) Giải ta x = nghiệm phương trình (4) Từ hệ ban đầu có nghiệm (x ; y) = (1 ; 1) (1 ;-1) Ghi Tham khảo thêm lời giải (Hà Nội) (Bình Định) (Cần Thơ) Tìm tất nghiệm thực phương trình x 11x 13 x x x 10 (Đại học Sư phạm) Giải tập hợp số thực hệ phương trình sau: 2009 xi 2009 i 1 2009 2009 x8 x i i i 1 i 1 Giải Giả sử (x1, x2, …, x2009) nghiệm hệ Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có 2009 2009 2009 x xi i 1 i 1 2009 Suy x i 2 i 2009 (1) i 1 Bây áp dụng bất đẳng thức Chebysev cho số (x 12, x22, …, x20092) (x16, x26, …, x20096) thứ tự nhau, ta có 2009 2009 2009 xi xi 2009 xi8 (2) i 1 i 1 i 1 Từ (1) (2) ta suy 2009 2009 i 1 i 1 xi8 xi6 (3) Từ phương trình (2) ta suy dấu xảy (3), tức dấu phải xảy (1) (2), tức ta phải có tất x i Từ suy tất xi Kết luận: Vậy x1 = x2 = … = x2009 = nghiệm hệ phương trình 11 (PTNK) Cho a, b, c số thực dương Giải hệ phương trình ax aby xy bc a abz bc x zx bc az yz ab Hướng dẫn Viết hệ dạng Ax By xy C Bz Cx A zx C Az yz B giải hệ tìm A, B, C theo x, y, z (phương pháp giải theo tham số)