THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ LŨY THỪA BẬC HAI, CĂN BẬC BA VÀ LŨY THỪA BẬC BA Giáo viên: Vũ Nguyên Duy Trường THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Hai dạng phương trình khơng phải khơng q khó Gần tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 442 444 có nêu lên phương pháp giải hai dạng phương trình Để góp phần phong phú sinh động thêm, chúng tơi xin trình bày thêm cách tiếp cận lời giải khác Dạng 1: Phương trình chứa bậc hai lũy thừa bậc hai ax + b = c (dx + e )2 + α x + β với d = ac + α e = bc + β Phương pháp: Đặt ax + b = dt + e , điều kiện : dt + e ≥ Khi phương trình chuyển thành hệ: ax + b = dt + e (1) ax + b = (dt + e ) ⇔ 2 dt + e = c (dx + e ) + α x + β dt + e = c (dx + e ) + α x + β Trừ vế theo vế ta đưa phương trình dạng tích Kết hợp với (1) ta tìm nghiệm pt Lời bàn: Vấn đề phân tích lý thuyết đưa ra?? Chúng ta tham khảo phương pháp sau: Ví dụ 1: Giải phương trình x + = −4 x + 13 x − x≥− Lời giải: Điều kiện Nháp : (*) Đểbiế n đổ i vềdạng lýthuyế t, ta đặ t : x + = at + b (a, b cầ n tìm) x + = at + b Phương trình chuyể n nh hệ at + b = −4 x + 13 x − a 2t + 2abt − x + b − = ⇔ x − 13 x + at + b + = Muïc tiê u : nhẫ m a, b cho hai hệtrừnhau cónhâ n tửchung là( x − t ) 4t + 4bt − x + b − = Đồ ng nhấ t a = ⇔ a=± , chọn trướ c a = thếvà o hệta có: x − 13 x + 2t + b + = Trừvếtheo vế: 4(t − x ) + (4b − 2)t + 10 x + b − b − = b − b − = Đểxuấ t hiệ n nhâ n tử(t − x ) c (x − t ) (4b − 2)t + 10 x coù(t − x ) hoặ Kiể m tra thấ y b = −2 thỏ a Vậ y a = vàb = -2 Trình bày cụ thể sau: Đặt x + = 2t − (t ≥ 1) Phương trình ban đầu chuyển thành hệ: Với t ≥1 biến đổi hệ thành x + = 2t − (**) 2t − = −4 x + 13 x − 4t − 8t − x + − = 4 x − 13 x + 2t − + = t = x ⇒ 4(t − x ) − 10t + 10 x = ⇔ (t − x )(2t + x − 5) = ⇔ 2t = − x Với Với t=x (**) vào 2t = − x được: x ≥ 11 + 73 x + = 2x − ⇔ ⇔x= x − 11x + = (**) vào được: 15 − 97 x ≤ x + = − 2x ⇔ ⇔x= 4 x − 15 x + = Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu thỏa 11 + 73 15 − 97 S= , 8 Chú ý: Cách đặt khơng , với chọn b=3 a = −2 x + = −2t + nên giải phương trình cách đặt Ví dụ 2: Giải phương trình 2x − + x − 3x + = suy (t ≥ ) Đây đề thi Đại học khối D năm 2006 Do phương trình có nghiệm ngun x =1 nên dễ dàng giải cách thông 2x −1 = t t thường đặt quy phương trình ban đầu phương trình bậc theo ẩn , chia Hoocner đưa phương trình tích a, b Hoặc ta áp dụng phương pháp tìm Ta tìm a = 1, b = để đặt x − = at + b trình bày lời giải cụ thể sau: Lời giải: x≥ Điều kiện: Đặt 2x −1 = t Suy Với , phương trình ban đầu quy hệ 2 x − − t = (*) t + x − x + = x = t ⇔ t = − x x − t + t − x = ⇔ ( x − t )( x + t − 1) = x=t vào (*) ta tìm Tập nghiệm phương trình x , tương tự với { 1; − 2} t = 1− x ÁP DỤNG: Giải phương trình sau: (3 x + 1)2 + (4 x + 3)2 = x + + x + = x + 4x + 2 x + x + + = 13 x Đáp số: −5 + 17 −7 − 13 S= ; 10 10 x − 4x − = x + 4x + = 7x + 7x 28 x= Đáp số: x − = 3x + x + − 50 14 3x2 + x − 29 12x + 61 = 36 12x + 61 = 6y + Đặt x − x − 2004 1+ 16032x = 2004 + 16032 x = 2t − Đặt Dạng 2: Phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba ax + b = c (ex + d )3 + α x + β d = ac + α với e = bc + β Phương pháp chung: Ta tìm cách đặt ax + b = ex + d sau quy phương trình hệ đối xứng loại Ví dụ Giải phương trình sau: x3 + x + Hướng dẫn nháp: 20 x +1 = 1− 2x Đặt Thế − 2x = mt + n mt + n ; lập phương vế ta được: m3t + 3m nt + 3mn 2t + x + n3 − = 27 x + 27 x + 20 x − 3mt + − 3n = vào pt ban đầu: m = 3, n = Trừ vế theo vế pt, dễ dàng chọn Lời giải: Đặt − x = 3t + Phương trình ban đầu quy hệ: Trừ vế theo vế pt ta được: • TH1: t=x 27t + 27t + 9t + x = 27 x + 27 x + 20 x − 9t = 9(t − x) 3 ( t + tx + x ) + 3(t + x ) + = … ( t + tx + x ) + 3(t + x) + = • TH2: Thật vậy: Đặt S = t + x; P = t.x S, P Thế vào pt: , ta chứng minh pt vô nghiệm t, x , điều kiện có nghiệm S ≥ 4P 3S − 3P + 3S + = Nhân vào hai vế pt: nghiệm 8 S − P + 4S + = ⇔ ( S − P ) + 3S + S + = 3 vơ Phương trình ban đầu có nghiệm là:… Lời bàn: ví dụ q trình làm nháp, ta thấy đồng chọn m = ±3 m 3t 27x nên dễ dàng Nếu khơng dễ dàng đồng sao? Ta xét ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: x3 + x + x + = x + Hướng dẫn nháp: Đặt Thế Vì x + = mt + n mt + n m3 ; lập phương vế ta được: m3t + 3m nt + 3mn 2t − x + n3 − = x + x + x − mt + − n = vào pt ban đầu: khó đồng nên nhân hai vế pt (a) cho 2, ta được: x + 12 x + x − 2mt + − 2n = Trừ vế theo vế pt, dễ dàng chọn m = 2, n = Lời giải: Đặt x + = 2t + Phương trình ban đầu quy hệ: Trừ vế theo vế hai pt: • TH1: t=x 8t + 12t + 6t − x = 8 x + 12 x + x − 4t = 2(t − x) 4(t + xt + x ) + 6(t + x ) + 5 = … 4(t + xt + x ) + 6(t + x) + = • TH2: Thật vậy: Đặt S = t + x; P = t.x , ta chứng minh pt vô nghiệm t, x , điều kiện có nghiệm S ≥ 4P (a) S, P Thế vào pt: S − P + S + = ⇔ S − P + 3S2 + 6S + = ⇔ S − P + ( S + 1) + = pt vơ nghiệm Phương trình ban đầu có nghiệm là: … m, n Lời bàn: khó tìm cách đặt q trình giải phải chứng minh phương trình nghiệm x + = 2t + 4(t + xt + x ) + 6(t + x) + = , mà vơ Cịn phương trình sau, đơi giải phương trình bậc ba phải nhớ tới ứng dụng lượng giác Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x3 − x − = x + Lời giải: Đặt x + = 2t Phương trình ban đầu quy hệ: Trừ vế theo vế hai pt: • Dễ thấy pt: 8t − x − = 8 x − x − 2t − = 2(t − x) 4(t + xt + x ) + 1 = 4(t + xt + x ) + = vơ nghiệm Với • t=x Ta có: x3 − x − = ⇔ x3 − x = ta có pt: π = cos (*) cos 3a = cos a − 3cos a x1 = cos Phương trình (*) có nghiệm x1 = cos trình ban đầu có nghiệm π π ± 2π = cos x2,3 , tức phương π 7π 5π , x2 = cos , x3 = cos 9 ÁP DỤNG Giải phương trình sau: 3x − 63 x 3 = − x + x Đặt x − 36 x + 53x − 25 = x − x + 3x − 3x + = − x 81x − = x3 − x + (Olympic 30/4 lần XV_ năm 2009) Đáp số: x−2 x − 18 x + 30 x − 17 = − x − Đáp số: 5± 3 x = 2; x = 3 24 x − 63 = 2t − x = 0; x = Đáp số: Đáp số: x =1 x = 1, x = −2 3±