TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN PHẦN I – ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ §iỊu kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A Các công thức biến đổi thøc A2 A a b AB A B c A B d A2 B A B e A B ( A 0; B 0) A B A2 B A B B ( B 0) ( A 0; B 0) A B A2 B f ( A 0; B 0) AB ( A 0; B 0) ( AB 0; B 0) i A A B B B k C C ( A B) A B2 AB m C C( A B) A B A B ( B 0) ( A 0; A B ) ( A 0; B 0; A B ) Hµm sè y = ax + b (a 0) - TÝnh chÊt: + Hµm sè đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đ-ờng thẳng qua ®iĨm A(0;b); B(-b/a;0) Hµm sè y = ax2 (a 0) - TÝnh chÊt: + NÕu a > hàm số nghịch biến x < đồng biÕn x > + NÕu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đ-ờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành + Nếu a < đồ thị nằm phía d-ới trục hoành Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Xét đ-ờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a' (d) // (d') a = a' vµ b b' (d) (d') a = a' vµ b = b' Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng đ ờng cong Xét đ-ờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung Ph ơng trình bậc hai Xét ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiÖm thu gän = b - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu > : Ph-ơng trình có hai nghiệm - Nếu ' > : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biƯt: ph©n biƯt: x1 b b ; x2 2a 2a NÕu = : Ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp : b x1 x2 2a x1 b ' ' b ' ' ; x2 a a - NÕu ' = : Ph-ơng trình có nghiệm kép: x1 x2 Nếu < : Ph-ơng trình v« nghiƯm b' a - NÕu ' < : Ph-ơng trình vô nghiệm Hệ thức Viet øng dơng - HƯ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiệm ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: b S x x a P x x c a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải ph-ơng trình: x2 - Sx + P = (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0) + NhÈm nghiệm ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) NÕu a + b + c = ph-ơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a NÕu a - b + c = ph-ơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c a Giải toán cách lập ph ơng trình, hệ ph ơng trình B-ớc 1: Lập ph-ơng trình hệ ph-ơng trình B-ớc 2: Giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình B-ớc 3: Kiểm tra nghiệm ph-ơng trình hệ ph-ơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận B Cỏc dng bi Dạng 1: Rỳt gn biu thc Bài toán: Rút gọn biểu thøc A §Ĩ rót gän biĨu thøc A ta thực b-ớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nÕu cã) - §ư a bít thõa sè thức (nếu có) - Trục thức mÉu (nÕu cã) - Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: l thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bi toỏn tớnh toỏn Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a Cách giải: - Rút gọn biểu thøc A(x) - Thay x = a vµo biĨu thøc rút gọn Dạng 3: Chng minh ng thc Bài toán : Chứng minh đẳng thức A = B Một số ph ơng pháp chứng minh: - Ph ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Ph ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Ph ơng pháp 3: Ph ơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Ph ơng pháp 4: Ph ơng pháp t ơng đ ơng A = B A' = B' A" = B" (*) (*) A = B - Ph ơng pháp 5: Ph ơng pháp sử dụng giả thiết - Ph ơng pháp 6: Ph ơng pháp quy nạp - Ph ơng pháp 7: Ph ơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chng minh bt ng thc Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 a2 a3 an n a1.a2 a3 an (víi a1.a2 a3 an ) n Dấu = xảy khi: a1 a2 a3 an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 (a12 a22 a32 an2 )(b12 b22 b32 bn2 ) DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: a a1 a2 a3 n b1 b2 b3 bn Mét sè ph-ơng pháp chứng minh: - Ph ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Ph ơng pháp 2: BiÕn ®ỉi trùc tiÕp A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M - Ph ơng pháp 3: Ph ơng pháp t ơng đ ơng A > B A' > B' A" > B" (*) (*) ®óng A > B - Ph ơng pháp 4: Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C vµ C > B A > B - Ph ơng pháp 5: Ph ơng pháp phản chứng Để chøng minh A > B ta gi¶ sư B > A dùng phép biến đổi t ơng đ ơng để dẫn đến điều vô lí ta kết luận A > B - Ph ơng pháp 6: Ph ơng pháp sử dụng giả thiết - Ph ơng pháp 7: Ph ơng pháp quy nạp - Ph ơng pháp 8: Ph ơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: Bài tốn liên quan đến phương trình bậc hai Bài toán 1: Giải ph ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) C¸c phư ơng pháp giải: - Ph ơng pháp 1: Phân tích đ a ph ơng trình tích - Ph ơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a x = a - Phư ¬ng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac + NÕu > : Phư ơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b b ; x2 2a 2a + NÕu = : Ph ơng trình có nghiệm kép x1 x2 b 2a + NÕu < : Ph ơng trình vô nghiệm - Ph ơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ' = b'2 - ac víi b = 2b' + Nếu ' > : Ph ơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 b ' ' b ' ' ; x2 a a + Nếu ' = : Ph ơng trình có nghiÖm kÐp b' x1 x2 a + Nếu ' < : Ph ơng trình vô nghiệm - Ph ơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm ph ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: b x1 x2 a x x c a Chó ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm ph ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thuéc tham sè m ) XÐt hÖ sè a: Có thể có khả a Tr ờng hợp a = với vài giá trị cđa m Gi¶ sư a = m = m0 ta có: (*) trở thành ph-ơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b víi m = m0: (**) cã mét nghiƯm x = -c/b + NÕu b = vµ c = với m = m0: (**) vô định (*) vô định + Nếu b = c víi m = m0: (**) v« nghiƯm (*) vô nghiệm b Tr-ờng hợp a 0: Tính hc ' + TÝnh = b2 - 4ac NÕu > : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 b b ; x2 2a 2a Nếu = : Ph-ơng trình có nghiÖm kÐp : x1 x2 b 2a NÕu < : Ph-ơng trình vô nghiệm + Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ' > : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 b ' ' b ' ' ; x2 a a b' Nếu ' = : Ph-ơng trình có nghiệm kép: x1 x2 a NÕu ' < : Ph-ơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm Cã hai khả để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm: Hc a = 0, b Hc a 0, ' Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm ph©n biƯt a a hc ' Điều kiện có hai nghiệm phân biệt Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm: a a hc hc b a ' Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp a §iỊu kiƯn cã nghiÖm kÐp: a ' Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) vô nghiệm a Điều kiện có mét nghiƯm: a hc ' Bài toán 8: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm a a hc b Điều kiện cã mét nghiÖm: a ' Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu: ' hc c c P a P a Bài toán 10 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phô thuéc tham số m) có nghiệm d-ơng Điều kiện cã hai nghiƯm d-¬ng: ' c c P hc P a a b b S a S a Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham số m ) có nghiệm âm Điều kiện cã hai nghiƯm ©m: ' c c P hc P a a b b S a S a Bài toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào ph-ơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2 - Hoặc tính x2 = S - x1 x2 = P x1 Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm x1, x2 thoả mÃn điều kiện: a x1 x2 c 1 n x1 x2 b x12 x22 k d x12 x22 h e x13 x23 t Điều kiện chung: ' (*) Theo định lí Viet ta có: b x1 x2 a S (1) x x c P (2) a a Tr-êng hỵp: x1 x2 b x1 x2 Gi¶i hÖ a x1 x2 x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) m Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Tr-ờng hợp: x12 x22 k ( x1 x2 )2 x1 x2 k Thay x1 + x2 = S = c b vµ x1.x2 = P = vµo ta cã: a a S2 - 2P = k Tìm đ-ợc giá trị m thoả mÃn (*) c Tr-êng hỵp: 1 n x1 x2 nx1.x2 b nc x1 x2 Giải ph-ơng trình - b = nc tìm đ-ợc m thoả mÃn (*) d Tr-ờng hợp: x12 x22 h S 2P h Giải bất ph-ơng trình S2 - 2P - h chọn m thoả mÃn (*) e Tr-ờng hợp: x13 x23 t S 3PS t Giải ph-ơng trình S 3PS t chọn m thoả mÃn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u v biết tổng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chóng Ta có u v nghiệm ph-ơng trình: x - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P 0) Giải ph-ơng trình (*) ta tìm đ-ợc hai số u v cần tìm Néi dung 6: Giải phương trình, bất phương trình Bài toán1: Giải ph-ơng trình trùng ph-ơng ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t0) ta có ph-ơng trình at2 + bt + c = Giải ph-ơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at2 + bt + c = vô nghiệm nghiệm âm nghiệm kép âm nghiệm d-ơng nghiệm d-ơng ax4 + bx2 + c = v« nghiƯm v« nghiƯm vô nghiệm nghiệm đối nghiệm cặp nghiệm đối Bài toán 2: Giải ph-ơng trình A( x 1 ) B( x ) C x x = t x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x )2 = x x t x x x Đặt x Thay vào ph-ơng trình ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = At2 + Bt + C - 2A = = t giải tìm x x 1 Bài toán 3: Giải ph-ơng trình A( x ) B( x ) C x x Đặt x = t x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x )2 = x x t x x x Giải ph-ơng trình ẩn t sau vào x Thay vào ph-ơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = At2 + Bt + C + 2A = Giải ph-ơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 4: Giải ph-ơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đ-a ph-ơng trình bậc cao dạng: + Ph-ơng trình tích + Ph-ơng trình bậc hai Nội dung 7: Gii h phng trình ax by c a ' x b ' y c ' Bài toán: Giải hệ ph-ơng trình Các ph-ơng pháp giải: + Ph-ơng pháp đồ thị + Ph-ơng pháp cộng + Ph-ơng pháp + Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: Gii phng trỡnh vụ t Bài toán 1: Giải ph-ơng trình dạng f ( x) g ( x) (1) Ta cã g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (2) (3) Gi¶i (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải ph-ơng trình d¹ng f ( x ) h( x ) g ( x ) §iỊu kiƯn cã nghÜa ph-ơng trình f ( x) h( x) g ( x) Với điều kiện thoả mÃn ta bình ph-ơng hai vế để giải tìm x Nội dung 8: Gii phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i Bài toán: Giải ph-ơng trình dạng f ( x) g ( x) Ph-ơng pháp 1: g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 2 XÐt f(x) f(x) = g(x) XÐt f(x) < - f(x) = g(x) Ph-ơng pháp 3: Víi g(x) ta cã f(x) = g(x) Ph-ơng pháp 2: Nội dung 9: Giỏ tr lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Bµi toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Ph-ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hµm sè y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do ®ã ymax = M g(x) = - BiÕn ®ỉi hµm sè y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k kZ y m Do ®ã ymin = m h(x) = Ph-ơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Ph-ơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: Cỏc bi toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đồ th Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có qua A không? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm ph-ơng trình (C) A(C) yA = f(xA) Dó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) yA (C) không qua A * S tng giao ca hai th Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) HÃy khảo sát t-ơng giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm ph-ơng trình hoành độ ®iĨm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xóc - NÕu (*) cã nghiƯm th× (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * Lp phng trỡnh ng thng Bài toán 1: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph-ơng trình (D) Bài toán 2: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = ax + b y A ax A b y B ax B b (D) qua A B nên ta có: Giải hệ ta tìm đ-ợc a b suy ph-ơng trình (D) Bài toán 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x) Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = kx + b Ph-ơng trình hoành độ ®iĨm chung cđa (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ-ợc b suy ph-ơng trình (D) Bài toán 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) k tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x) Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = kx + b Ph-ơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ-ợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) (***) a b Ph-ơng trình ®-êng th¼ng (D) PHẦN II – HÌNH HỌC A Kiến thc cn nh Hệ thức l-ợng tam giác vu«ng b2 = ab' c2 = ac' A h2 = b'c' b c ah = bc a2 = b + c h B 1 2 2 h b c Tỉ số l-ợng giác cña gãc nhän < sin < < coss < sin cos tg cot g cos sin c' b' C H a sin2 + cos2 = 10 tg.cotg = 1 tg 2 cos2 cot g Hệ thức cạnh góc tam giác vuông sin B b = asinB = acosC a b = ctgB = ccotgC c c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A Đ-ờng tròn b C - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đ-ợc đ-ờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đ-ờng tròn có tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng - Quan hệ vuông góc đ-ờng kính dây Trong đ-ờng tròn + Đ-ờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đ-ờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đ-ờng tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đ-ờng tròn hay hai đ-ờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng đ-ờng tròn: Vị trí t-ơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R 11 - Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn cắt dR - Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn tiếp xúc - Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn không giao - Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng đ-ờng tròn: Vị trí t-ơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d vµ R R - r < OO' < R + r - Hai đ-ờng tròn cắt - Hai đ-ờng tròn tiếp xúc + Tiếp xúc OO' = R + r + TiÕp xóc OO' = R - r - Hai đ-ờng tròn không giao + (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng tâm OO' < R - r OO' = Tiếp tuyến đ-ờng tròn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm - DÊu hiƯu nhËn biÕt tiếp tuyến: 12 + Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đ-ờng tròn đến đ-ờng thẳng bán kính + Đ-ờng thẳng qua điểm đ-ờng tròn vuông góc với bán kính qua A điểm - TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t O M MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB B + MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB - Tiếp tuyến chung hai đ-ờng tròn: đ-ờng thẳng tiếp xúc với hai đ-ờng tròn đó: Tiếp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung d d d' O O' O O' d' Góc với đ-ờng tròn Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo A B Gãc ë t©m AOB sd AB O A B O Gãc néi tiÕp AMB sd AB M x A Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến dây cung B xBA O sd AB 13 B A M Gãc có đỉnh bên đ-ờng tròn O AMB ( sd AB sdCD) AMB ( sd AB sdCD) C D M D C Góc có đỉnh bên đ-ờng tròn O A B Chú ý: Trong đ-ờng tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn góc vuông ng-ợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đ-ờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đ-ờng tròn b¸n kÝnh R: C = 2R = d Rn - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l 180 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: S Các loại đ-ờng tròn Đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác R2n 360 Đ-ờng tròn nội tiếp tam giác A lR Đ-ờng tròn bàng tiếp tam giác A A B C O O F B E J C B C Tâm đ-ờng tròn giao ba đ-ờng trung trực tam giác Tâm đ-ờng tròn giao ba Tâm đ-ờng tròn bàng đ-ờng phân giác tiếp góc A giao tam giác điểm hai đ-ờng phân 14 giác góc B C giao điểm đ-ờng phân giác góc A đ-ờng phân giác B (hoặc C) 10 Các loại hình không gian a Hình trụ - Diện tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - DiƯn tÝch toµn phần: Stp = 2rh + r2 - Thể tích hình trơ: V = Sh = r2h r: b¸n kÝnh Trong ®ã h: chiỊu cao b H×nh nãn: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - Diện tích toàn phần: Stp = 2rl + r2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = r 2h c H×nh nãn cơt: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = h(r12 r22 r1 r2 ) Trong r: bán kính l: đ-ờng sinh h: chiều cao r1: bán kính dáy lớn r2: bán kính đáy nhỏ Trong l: đ-ờng sinh h: chiều cao d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d - Thể tích hình cầu: V = R 3 R: bán kính Trong d: đ-ờng kính 11 Tứ gi¸c néi tiÕp: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại d-ới góc B Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c - Hai gãc b»ng tỉng hc hiƯu cđa hai gãc theo thø tù đôi - Hai góc phụ (hoặc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhọn tù có cạnh đôi song song vuông góc - Hai góc ó le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc t-ơng ứng hai tam giác đồng dạng 15 - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh t-ơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây tr-ơng hai cung đ-ờng tròn hai đ-ờng Dạng 2: Chứng minh hai đ-ờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đ-ờng thẳng song song với đ-ờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét cát tuyến hai góc nhau: + vị trí so le + vị trí so le + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đ-ờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông gãc C¸ch chøng minh: - Chóng song song song song với hai đ-ờng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đ-ờng cao tam giác - Đ-ờng kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai góc kề bù Dạng 4: Chứng minh ba đ-ờng thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 5: Chứng minh hai tam gi¸c b»ng C¸ch chøng minh: * Hai tam giác th-ờng: - Tr-ờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Tr-ờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Tr-ờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) 16 * Hai tam giác vuông: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Cã hai gãc b»ng đôi - Có góc xen hai cạnh t-ơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh t-ơng ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Cã mét gãc nhän b»ng - Cã hai cạnh góc vuông t-ơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: MAC MDB hc MAD MCB - NÕu ®iĨm M, A, B, C, D cóng nằm đ-ờng thẳng phải chứng minh tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Tr-êng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp C¸ch chøng minh: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ®Ønh b»ng gãc cđa ®Ønh ®èi diƯn - Tø giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại d-ới góc Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đ-ờng tròn (O;R) C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT MT T (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đ-ờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức l-ợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số l-ợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thÓ tÝch 17 ... f(x) < - f(x) = g(x) Ph-¬ng ph¸p 3: Víi g(x) ta cã f(x) = g(x) Ph-ơng pháp 2: Nội dung 9: Giỏ trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)... nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 90 0 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn góc vuông ng-ợc lại... - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại d-ới góc Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đ-ờng tròn (O;R) C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT MT T (O;R) -