Đề thi chọn HSG toán THPT cấp tỉnh năm 2019 2020 sở GD đt ninh thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Khóa ngày: 21/03/2020 Mơn thi: TỐN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ: (Đề thi có 01 trang / 20 điểm) Bài 1: Cho x , y , z số thực dương thỏa xyz  Chứng minh 1    x  y  z y  z  x z  x  y Lời giải 1 2 y x z2   VT  x  y  z y  z  x z  x  y 1 2 y x z2    Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có: x  y  z  y  z  x z  x  y 1 1 x y z    xy  yz  zx  Theo giả thiết x , y , z số thực dương thỏa xyz  , đó: 3  xyz  xy  yz  zx VT   VT   VT  (đpcm) 2 Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Bài 2: Giải phương trình x  14 x   x  x  20  x  Lời giải 5 x  14 x    Điều kiện xác định:  x  x  20   x  x 1   Ta có: x  14 x   x   x  x  20  x  x    x  1 x   x  5 u  x  Đặt  với điều kiện: u  3, v  v  x  x  Khi phương trình trở thành: u  v 3u  2v  5uv  3u  u  v   2v  u  v     u  v  3u  2v     3u  2v TH1: u  v suy ra:   61 x  x   x2  x   x2  5x       61 x   Đối chiếu điều kiện nhận x   61 x  TH2: 3u  2v suy ra: x   x  x   x  25 x  56    x    Đối chiếu điều kiện nhận x  2   61  Vậy tập nghiệm phương trình S   ;8   Bài 3: Cho a  2, b  3, c  Tìm giá trị lớn biểu thức N ab c   bc a   ca b  abc Lời giải a2 b3 c4 a2 b3 c4      c a b 2c 2a 3b Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2c2 3 b 3 1 1 4c4    N  N 2c 2 2 a b Ta có: N  2  c  c    Dấu đẳng thức xảy   a   a   b     b  Bài 4: Có số tự nhiên có chữ số, có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số khác có mặt tối đa lần Lời giải TH1: Xếp số vị trí Lấy vị trí, xếp số vào ba vị trí có: C73 cách Lấy vị trí tiếp theo, xếp số vào hai vị trí có: C42 cách Xếp vị trí cịn lại có thứ tự, có: A82 cách Vậy theo quy tắc nhân có C73 C42 A82  11760 số TH2: Xếp số vị trí đầu Lấy vị trí, xếp số vào ba vị trí có: C63 cách Lấy vị trí tiếp theo, xếp số vào hai vị trí có: C32 cách Xếp vị trí cịn lại có thứ tự, có: A71 cách Vậy theo quy tắc nhân có C63 C32 A71  420 số Từ trường hợp trường hợp 2, ta có 11760  420  11340 số thỏa mãn điều kiện toán Bài 5: sin A sin B sin C    mc ma mb (với ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A , B , C tam giác ABC ) Chứng minh tam giác ABC Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R  Lời giải Xét toán: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a  b  c  3a.ma Áp dụng cơng thức trung tuyến, ta có: ma2  2b  2c  a  2ma  2b  2c  a Suy ra: 3a.ma  a 2b  2c  a Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3a.ma  a b  c  2a  3a  2b  2c  a  3a.ma  a  b2  c (đpcm) a b c , sin B  ,sin C  ; 2 sin A sin B sin C a b c Khi đó:    3   1 ma mb mc 2ma 2mb 2mc Theo giả thiết, ta có R  suy sin A   a2 b2 c2    (*) 2ama 2bmb 2cmc 2 3a.ma  a  b  c  Áp dụng toán chứng minh trên, ta có: 2 3b.mb  a  b  c  2 2 3c.mc  a  b  c Khi ta hồn tồn chứng minh được:  Thật vậy: a2 b2 c2   1 2ama 2bmb 2cmc a2 b2 c2 a2 b2 c2      2 2 2 2 2ama 2bmb 2cmc a  b  c a  b  c a  b  c a2 b2 c2    (**) 2ama 2bmb 2cmc Căn vào giả thiết (*) suy bất đẳng thức (**) xảy dấu bằng, tức là: 2a  b  c  2 2b  a  c  a  b  c Vậy suy tam giác ABC (đpcm) 2c  a  b  Bài 6: Tìm số có ba chữ số biết số tổng giai thừa chữ số Lời giải Giả sử số cần tìm abc  a   Theo giả thiết, ta có: 100a  10b  c  a ! b ! c ! 7!  5040  1000 , nên a , b , c  Nhận thấy  abc  1000 Xét max a , b , c  , suy max a !, b !, c !  720 Tuy nhiên abc  666 , a , b , c  Nếu a , b , c  , suy a ! b ! c !  3.4!  72  100 Vậy ba số a , b , c có số TH1: Có số , suy hai số lại nhỏ Suy a ! b ! c !  5! 4! 4!  168 Khi a  suy b  c  Xét số cần lập 1b5 15c KN1: abc  1b5 , b  1; 2;3; 4 Suy 100  10b   1! b ! 5!  b ! 16  10b Kiểm tra b  1; 2;3; 4 , ta thấy b  thỏa mãn yêu cầu tốn KN2: abc  15c , c  1;2;3;4 Suy 100  50  c  1! 5! c !  c !  29  c Kiểm tra c  1;2;3;4 , ta thấy không tồn c thỏa mãn yêu cầu tốn TH2: Có hai số Suy 5! 5! 0!  100a  10b  c  5! 5! 4!  241  abc  264 , suy a  Thử lại 255  2! 5! 5! , nên không thỏa mãn yêu cầu toán TH3: Cả ba số Nhận thấy 555  3.5! nên không thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện toán là: 145 HẾT ... B  ,sin C  ; 2 sin A sin B sin C a b c Khi đó:    3   1 ma mb mc 2ma 2mb 2mc Theo giả thi? ??t, ta có R  suy sin A   a2 b2 c2    (*) 2ama 2bmb 2cmc 2 3a.ma  a  b  c  Áp dụng... 2 2 2ama 2bmb 2cmc a  b  c a  b  c a  b  c a2 b2 c2    (**) 2ama 2bmb 2cmc Căn vào giả thi? ??t (*) suy bất đẳng thức (**) xảy dấu bằng, tức là: 2a  b  c  2 2b  a  c  a  b  c ... số có ba chữ số biết số tổng giai thừa chữ số Lời giải Giả sử số cần tìm abc  a   Theo giả thi? ??t, ta có: 100a  10b  c  a ! b ! c ! 7!  5040  1000 , nên a , b , c  Nhận thấy 